Các bài toán bồi dưỡng HSG

CHƯƠNG TRÌNH BỒI CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÒNG TOÀN QUỐC VÒNG TOÀN QUỐC NỘI DUNG ƠN THI TỒN QUỐC NỘI DUNG ƠN THI TỒN QUỐC ♠ Hình học phẳng Hình học phẳng ♠ Đại số Đại số ♠ Số học Số học ♠ Phương trình hàm Phương trình hàm ♠ Dãy số Dãy số ♠ Toán rời rạc Toán rời rạc ♠ Đa thức Đa thức • • Các phương pháp giải toán hình học phẳng Các phương pháp giải toán hình học phẳng ♠ Phương pháp tổng hợp ♠ Phương pháp tọa độ ♠ Phương pháp véc tơ ♠ Phương pháp biến hình Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp Ví dụ 1 Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau ở hai điểm A và B. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó tiếp xúc với (O 1 ) ở P và (O 2 ) ở T.Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau ở điểm S. Gọi H là điểm đối xứng của điểm B qua PT. Chứng minh rằng ba điểm A,H,S thẳng hàng (Chọn học sinh dự thi IMO 2001) Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp Ví dụ 1 Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau ở hai điểm A và B. Các tiếp tuyến tại A và B của (O 1 ) cắt nhau ở K. Gỉa sử M là một điểm nằm trên (O 1 ) nhưng không trùng với A và B. Đường thẳng AM cắt lại (O 2 ) ở P, đường thẳng KM cắt lại (O 1 ) ở C và đường thẳng AC cắt lại (O 2 ) ở Q. Chứng minh rằng: 1) Trung điểm của PQ nằm trên đường thẳng MC 2) Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố đònh khi M di động trên (O 1 ) (Chọn học sinh dự thi IMO 2001) Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp Ví dụ 1 Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa) Gỉa sử ABCD là một tứ giác nội tiếp. P,Q,R là chân các đường vuông góc hạ từ D lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng tỏ rằng PQ=QR khi và chỉ khi phân giác của các góc ABC và góc ADC cắt nhau trên AC. ( IMO 2003) Phương pháp tổng hợp Phương pháp tổng hợp Ví dụ 3 Ví dụ 3:(Hệ thức lượng trong đường tròn) Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố đònh (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc với nhau tại điểm M, và bán kính đường tròn (O 2 ) lớn hơnbán kính đường tròn (O 1 ). Xét điểm A nằm trên trên đường tròn (O 2 ) sao cho ba điểm O 1 , O 2 , A không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O 1 ) ( B và C là các tiếp điểm). Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O 2 ) tương ứng tại E và F. Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O 2 ). Chứng minh rằng điểm D di động trên đường thẳng cố đònh, khi A di động trên đường tròn (O 2 ) sao cho ba điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng. (Toàn quốc bảng A-2003) Phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ Ví dụ 1:Cho hai tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E và F là các điểm nằm trên đường thẳng qua D sao cho AE BE , AF CF, và E,F không trùng D. Giả sử M và N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng AN NM ⊥ ⊥ ⊥ Phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ Ví dụ 2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N. Từ N, kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt MA và BA tương ứng tại Q và P. Từ P, kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O. Chứng minh rằng BCQO ⊥ Phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ Ví dụ 3 Ví dụ 3: Trong tam giác ABC, góc C=60 0 , D,E,F là các điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi M là giao điểm của AD và BF. Gỉa sử CDEF là hình thoi. Chứng minh rằng DADMDF . 2 = [...]... Cho a,b,c là các số thực sau cho a≠0, a≠b và tất cả các nghiệm của phương trình ax3-x2+bx-1=0 Đều là các nghiệm thực và dương.Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 2 5a − 3ab + 2 P= a 2 (b − a ) Đại số (pp lượng giác hóa) Ví dụ 4: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều 4 kiện: abc+a+c=b Hãy tìm GTLN của biểu thức: 2 2 3 P= 2 − 2 + 2 a +1 b +1 c +1 Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến) Ví dụ 3: Xét các số thực... của K trên các đường thẳng BC và AB Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK (Toàn quốc bảng B-2004) Các phương pháp tìm GTLN và GTNN PP1: Sử dụng bất đẳng thức PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ PP4: Sử dụng đạo hàm PP5: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình Đại số (PP chuyển về hệ) Ví dụ 1: Xét các số thực... dụ 3: Xét các số thực x,y,z thỏa mãn hệ 3 điều kiện : x+y+z=4 và xyz=2 Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức 4 4 P=x +y +z (Toàn quốc bảng B 2004) 4 Đại số Ví dụ 4: Cho a2+b2+c2=4 và x∈(0;π/2) 4 Tìm GTLN và GTNN của y = a + b 2 sin x + c sin 2 x Đại số Ví dụ 5: Cho hàm f(x) xác đònh với mọi số thực 5 x sao cho f(tgx)=sin2x với mọi x∈(-π/2,π/2) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 3 3 f (sin x) f (cos x) Các phương... xứng nhau qua trung điểm A’ của BC Phương pháp véc tơ AX 1 = Ví dụ 1:Cho tam giác ABC Điểm X nằm trên cạnh AB sao cho AB 4 ’ CX cắt đường trung tuyến kẻ từ A cắt tại A và cắt trung tuyến kẻ từ B tại B’’ Các điểm B’,C’,A’’,C’’ được đònh nghóa tương tự Tìm tỷ số của diện tích hai tam giác A’’B’’C’’ và A’B’C’ Phương pháp biến hình Ví dụ 1:(Đối xứng trục) Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường... Cho hàm f(x) xác đònh với mọi số thực 5 x sao cho f(tgx)=sin2x với mọi x∈(-π/2,π/2) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 3 3 f (sin x) f (cos x) Các phương pháp giải hệ phương trình thường sử dụng PP1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ PP4: Sử dụng bất đẳng thức PP5: Sử dụng tam thức bậc hai PP6: Sử dụng tính đơn điệu của . hàm ♠ Dãy số Dãy số ♠ Toán rời rạc Toán rời rạc ♠ Đa thức Đa thức • • Các phương pháp giải toán hình học phẳng Các phương pháp giải toán hình học phẳng. CHƯƠNG TRÌNH BỒI CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÒNG TOÀN QUỐC VÒNG TOÀN QUỐC NỘI