Sở giáo dục và đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2008-2009 Môn thi : toán Ngày 28 tháng 6 năm 2008 Hớng dẫn chấm gồm: 04 trang H ớng dẫn chấm Câu Phần nội dung Điểm câu I 2 điểm 1) 1,0điểm 2 2 2 2 x 2 x 2 x 4 10 11 0 x 1 x 1 x 1 + + = ữ ữ ữ + ĐK : x 1; x 2 . Đặt x 2 x 2 a ;b x 1 x 1 + = = + ta có phơng trình: ( ) ( ) 2 2 a b 10a b 11ab 0 10a b a b 0 b 10a = + = = = +) Với a = b ta có x 2 x 2 x 0 x 1 x 1 + = = + (thoả mãn ĐK) +) Với b = 10a ta có 2 x 2 x 2 10. 3x 11x 6 0 x 1 x 1 + = + = ữ + Giải phơng trình ta đợc : 1 2 2 x 3; x 3 = = (Đều thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm 1 2 3 2 x 3; x ; x 0 3 = = = 1.0 2) 1,0điểm Ta tính đợc ( ) ( ) ( ) n 2 n 2 n 1 n 1 n n n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n 1 n S x x x x x x x x x x 6S S + + + + + + = + = + + + = Chứng minh tơng tự ta có n 3 n 2 n 1 S 6S S + + + = . Do đó : n 3 n 1 n n 1 n 1 n S 6(6S S ) S 35S 6S + + + + = = n 6 S + và n S cùng số d khi chia cho 5 2009 S và 5 S cùng số d khi chia cho 5 mà 2 3 3 2 S 30S 5S 6S= + 5 S và 3 2 5S 6S cùng số d khi chia cho 5 mà 3 2 5S 6S 786 = vì vậy 2009 S khi chia cho 5 có số d là 1 1.0 câu II 2 điểm 1) 1,0điểm Ta có ( ) ( ) 2 n 13n 51 n 3 n 10 21+ + = + + + mà (n +10) - (n + 3) = 7 chia hết cho 7 nên chia làm hai trờng hợp : + Nếu (n +10) và (n + 3) cùng chia hết cho 7 ĐPCM + Nếu (n +10) và (n + 3) cùng không chia hết cho 7 ĐPCM 1.0 1 Đề thi dự bị 2) 1,0điểm Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y 1 5 x y 5 xy x y 1 1 1 x y 49 x y 1 49 x y x y + + = + + + = ữ + + + = + + = ữ Đặt 1 1 a x ; b y x y = + = + ta có hệ a b 5 a 2 a 7 hoặc ab 14 b 7 b 2 + = = = = = = Từ đó giải đợc nghiệm của hệ đã cho là: 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 1; ; 1; ; ; 1 ; ; 1 2 2 2 2 + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 1.0 câu III 2 điểm 1) 1,0điểm ĐK: 1 x 2 ta giải bất phơng trình ( ) 3x 8 2x 1 0 + đợc nghiệm: 8 1 x ;x 3 2 = 1.0 2) 1,0điểm Do m, n > 0 ta lập pt đờngthẳng AB là m y x m n = + sau đó thay toạ độ điểm C(3; 2) vào phơng trình trên ta tìm đợc kết quả các cặp số (m; n): ( ) ( ) ( ) ( ) 8;4 ; 5;5 ; 4;6 ; 3;9 1.0 câu IV 3 điểm 1) 1,5điểm d O A B M T N C Kẻ OA d, tiếp tuyến AB, kẻ BC OA C cố định. Kẻ tiếp tuyến MT, kẻ TN OM ta chứng minh đợc OM.ON = R 2 = OC.OA ã ã 0 OCN đồng dạng OMA ONC OAM 90 = = N nằm trên đờng tròn đờng kính OC cố định. 1.5 2 2) 1,5điểm O A B C D K H Vẽ hình nh trên Ta chứng minh ABCD 1 S .AC.BD 2 mà AC 2R; BD 2R nên diện tích tứ giác ABCD lớn nhất bằng 2 2R khi ABCD là hình vuông. 1.5 câu V 1 điểm 1,0điểm +)Ta chứng minh bổ đề: Nếu ba đỉnh của một tam giác nằm trên các cạnh của một hình chữ nhật thì diện của tam giác đó nhỏ hơn nửa diện tích hình chữ nhật. +) Sau đó: - Nếu tam giác MNP có các đỉnh nằm trên hình vuông ABCD thì diện tích tam giác không lớn hơn nửa diện tích hình vuông. - Nếu các đỉnh M, N, P nằm trong hình vuông ABCD khi đó qua các đỉnh M, N, P ta kẻ các đờng thẳng song song với các cạnh hình vuông khi đó tạo ra hình chữ nhật mà các đỉnh của tam giác MNP nằm trên đó diện tích tam giác không lớn hơn nửa diện tích của hình chữ nhật Vậy không có tam giác MNP có diện tích lớn hơn 1 2 đơn vị diện tích. 1.0 3 . . Đặt x 2 x 2 a ;b x 1 x 1 + = = + ta có phơng trình: ( ) ( ) 2 2 a b 1 0a b 11ab 0 1 0a b a b 0 b 1 0a = + = = = +) Với a = b ta có x 2 x 2 x. OAM 90 = = N nằm trên đờng tròn đờng kính OC cố định. 1.5 2 2) 1,5điểm O A B C D K H Vẽ hình nh trên Ta chứng minh ABCD 1 S .AC.BD 2 mà AC 2R; BD