bất đẳng thức lượng giác

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Chương : Áp dụng vào số vấn ñề khác “Có học phải có hành” Sau ñã xem xét bất ñẳng thức lượng giác phương pháp chứng minh ta phải biết vận dụng kết ñó vào vấn ñề khác Trong chương trước ta có ví dụ bất ñẳng thức lượng giác mà dấu thường xảy trường hợp ñặc biệt : tam giác ñều, cân hay vuông …Vì lại phát sinh dạng : ñịnh tính tam giác dựa vào ñiều kiện cho trước Mặt khác với kết chương trước ta dẫn ñến dạng toán tìm cực trị lượng giác nhờ bất ñẳng thức Dạng hay : kết ñược “giấu” ñi, bắt buộc người làm phải tự “mò mẫm” ñi tìm ñáp án cho riêng Công việc ñó thật thú vị ! Và tất nhiên muốn giải tốt vấn ñề ta cần có “vốn” bất ñẳng thức “kha khá” Bây kiểm tra hiệu bất ñẳng thức lượng giác chương : “Áp dụng vào số vấn ñề khác” Mục lục : 3.1 ðịnh tính tam giác…………………………………………………………67 3.1.1 Tam giác ñều………………………………………………………… 67 3.1.2 Tam giác cân………………………………………………………… 70 3.1.3 Tam giác vuông……………………………………………………… 72 3.2 Cực trị lượng giác……………………………………………………… 73 3.3 Bài tập…………………………………………………………………… 76 The Inequalities Trigonometry 66 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác 3.1 ðịnh tính tam giác : 3.1.1 Tam giác ñều : Tam giác ñều nói tam giác ñẹp tam giác Ở ta có ñược ñồng tính chất ñường cao, ñường trung tuyến, ñường phân giác, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp tam giác … Và kiện ñó lại trùng hợp với ñiều kiện xảy dấu bất ñẳng thức lượng giác ñối xứng tam giác Do ñó sau giải ñược bất ñẳng thức lượng giác ta cần phải nghĩ ñến việc vận dụng trở thành phương pháp nhận dạng tam giác ñều Ví dụ 3.1.1.1 CMR ∆ABC ñều thỏa : ma + mb + mc = R Lời giải : Theo BCS ta có : (ma + mb + mc )2 ≤ ma + mb + mc ( ) a + b2 + c2 ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ R sin A + sin B + sin C mà : sin A + sin B + sin C ≤ 81 ⇒ (ma + mb + mc ) ≤ R ⋅ = R 4 ⇒ m a + mb + mc ≤ R ðẳng thức xảy ∆ABC ñều ⇒ ñpcm ⇔ (ma + mb + mc ) ≤ ( ) ( ) Ví dụ 3.1.1.2 CMR thỏa sin A B ab sin = 2 4c ∆ABC ñều Lời giải : Ta có : The Inequalities Trigonometry 67 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác A− B A+ B A− B cos cos ab a + b R(sin A + sin B ) 2 = ≤ ≤ = = C C C A+ B 4c 8c R.8 sin C R.8.2 sin cos sin cos 2 2 A B ⇒ sin sin ≤ A+ B 2 cos A+ B A B ⇔ cos sin sin ≤ 2 A+ B A− B A+ B ⇔ cos − cos  −1 ≤  cos  2  A+ B A+ B A− B ⇔ cos − cos +1 ≥ cos 2 2 R.2 sin A+ B A− B  A−B ⇔  cos − cos ≥0  + sin 2   ⇒ ñpcm Ví dụ 3.1.1.3 CMR ∆ABC ñều thỏa : 2(ha + hb + hc ) = (a + b + c ) Lời giải : ðiều kiện ñề tương ñương với : r r r 2.2 p + +  = (a + b + c ) a b c r r r + + = a b c 1 ⇔ + + = A B B C C A cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 Mặt khác ta có :    A B 1 1   =  tan + tan  ≤ + A B 4 A B 4 2 cot + cot cot   cot 2 2  Tương tự : ⇔ The Inequalities Trigonometry 68 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng ≤ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác B C 1  tan + tan  4 2 B C + cot 2 C A 1 ≤  tan + tan  C A 4 2 cot + cot 2 A B C 1 1 ⇒ + + ≤  tan + tan + tan  A B B C C A 2 2 2 cot + cot cot + cot cot + cot 2 2 2 A B C A B C 1 ⇒ ≤  tan + tan + tan  ⇔ tan + tan + tan ≥ 2 2 2 2 ⇒ ñpcm cot Ví dụ 3.1.1.4 CMR thỏa S = 3Rr ∆ABC ñều Lời giải : Ta có : A B C A B C sin sin cos cos cos 2 2 2 A B C A B C A B C = R sin sin sin R cos cos cos = r R cos cos cos 2 2 2 2 3 3 ≤ r 4R = Rr ⇒ ñpcm S = R sin A sin B sin C = R 2.2.2 sin Ví dụ 3.1.1.5 CMR ∆ABC ñều thỏa ma mb mc = pS Lời giải : Ta có : 1 A ma = (2b + 2c − a ) = (b + c + 2bc cos A) ≥ bc(1 + cos A) = bc cos 4 2 mà : The Inequalities Trigonometry 69 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 A cos A = ⇒ cos −1 = 2bc 2bc 2 2 b + c − a + 2bc (b + c ) − a p( p − a ) ⇒ cos A = = = bc 4bc 4bc ⇒ ma ≥ p( p − a ) Tương tự : mb ≥ p( p − b )  mc ≥ p( p − c ) ⇒ ma mb mc ≥ p p( p − a )( p − b )( p − c ) = pS ⇒ ñpcm 3.1.2 Tam giác cân : Sau tam giác ñều tam giác cân ñẹp không Và ñây xét bất ñẳng thức có dấu xảy hai biến khác biến thứ ba Ví π 2π Vì khó trường hợp xác ñịnh tam giác ñều dụ A = B = ; C = Ví dụ 3.1.2.1 CMR ∆ABC cân thỏa ñiều kiện tan A + tan B = tan A+ B nhọn Lời giải : sin ( A + B ) sin ( A + B ) sin C = = cos A cos B cos( A + B ) + cos( A − B ) cos( A − B ) − cos C C cos( A − B ) ≤ ⇒ cos( A − B ) − cos C ≤ − cos C = sin 2 C C sin cos sin C sin C 2 = cot C = tan A + B ⇒ ≥ = C C cos( A − B ) − cos C 2 sin 2 sin 2 A+ B ⇒ tan A + tan B ≥ tan Ta có : tan A + tan B = A+ B  tan A + tan B  Từ giả thiết : tan A + tan B = tan ≤ 2  2   2 2 ⇔ tan A + tan B ≤ tan A + tan B + tan A tan B 2 ( The Inequalities Trigonometry ) 70 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác ⇔ (tan A − tan B ) ≤ ⇔ tan A = tan B ⇔ A=B ⇒ ñpcm Ví dụ 3.1.2.2 CMR ∆ABC cân thỏa = bc cos A Lời giải : Trong tam giác ta có : ≤ l a = 2bc A cos b+c bc 2bc ≤ = bc b+c bc 2bc A A A ⇒ cos ≤ bc cos ⇒ ≤ bc cos b+c 2 ðẳng thức xảy ∆ABC cân ⇒ ñpcm mà b + c ≥ bc ⇒ Ví dụ 3.1.2.3 CMR thỏa r + = R sin B ∆ABC cân Lời giải : Ta có : B B B B B r + = ( p − b ) tan + p tan = (2 p − b ) tan = (a + c ) tan = R(sin A + sin C ) B 2 2 cos B B sin sin − A+C A−C B A C = R cos cos = R sin B cos A − C ≤ R sin B cos = R sin ⋅ ⋅ B B 2 2 2 cos cos 2 sin ⇒ r + ≤ R sin B ðẳng thức xảy ∆ABC cân ⇒ ñpcm The Inequalities Trigonometry 71 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Ví dụ 3.1.2.4 CMR S = a + b ∆ABC cân ( ) Lời giải : Ta có : a + b ≤ 2ab ⇒ ⇒ 1 a + b ≥ ab ≥ ab sin C = S 2 ( ) a + b ≥ S ⇒ ∆ABC cân thỏa ñiều kiện ñề ( ) Ví dụ 3.1.2.5 CMR ∆ABC cân thỏa cos A + cos B + cos C = Lời giải : Ta có : A B+C B−C  cos A + cos B + cos C = 21 − sin  + cos cos 2 2  = −4 sin 1 A A B−C A B −C   B−C − + + sin cos − + = − sin − cos  + cos 2 4 2  4  2 B−C 9 A B−C   + ≤ = − sin − cos  − sin 2  4  ðẳng thức xảy B = C ⇒ ñpcm 3.1.3 Tam giác vuông : Cuối ta xét ñến tam giác vuông, ñại diện khó tính tam giác ñối với bất ñẳng thức lượng giác Dường nhận diện tam giác vuông, phương pháp biến ñổi tương ñương ñẳng thức ñược dùng Và ta gặp toán nhận diện tam giác vuông mà cần dùng ñến bất ñẳng thức lượng giác Ví dụ 3.1.3.1 CMR ∆ABC vuông thỏa cos B + sin C + sin B + cos C = 15 Lời giải : The Inequalities Trigonometry 72 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Theo BCS ta có : 3 cos B + sin B ≤ + cos B + sin B =  6 sin C + cos C ≤ + sin C + cos C = 10 ⇒ cos B + sin B + sin C + cos C ≤ 15 ðẳng thức xảy :  cos B sin B   = tan B = 3 cos B + sin B = π ⇔ ⇔ ⇔ tan B = cot C ⇔ B + C =  6 sin C + cos C = 10  sin C = cos C cot C =    ⇒ ñpcm ( ( )( )( ) ) 3.2 Cực trị lượng giác : ðây lĩnh vực vận dụng thành công triệt ñể bất ñẳng thức lượng giác vào giải toán ðặc biệt dạng này, gần ta người ñi sa mạc phương hướng ñường ñi, ta trước kết mà phải tự dùng bất ñẳng thức ñã biết ñể tìm ñáp án cuối Vì lẽ ñó mà dạng toán thường “khó xơi”, ñòi hỏi ta phải biết khéo léo sử dụng bất ñẳng thức cần vốn liếng kinh nghiệm bất ñẳng thức không nhỏ Ví dụ 3.2.1 Tìm giá trị nhỏ hàm số : a sin x + b cos y a cos x + b sin y + f (x , y ) = c sin x + d cos y c cos x + d sin y với a, b, c, d số dương Lời giải : ðặt f ( x , y ) = af + bf với f = sin x cos x + c sin x + d cos y c cos x + d sin y f2 = cos x sin x + c sin x + d cos y c cos x + d sin y ( ) ( Ta có : c + d = c sin x + cos x + d sin y + cos y Do ñó : The Inequalities Trigonometry ) 73 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác  sin x cos x + 2 2  c sin x + d cos y c cos x + d sin (c + d ) f1 = [(c sin x + d cos y ) + (c cos x + d sin y )]   y   sin x cos x  =1 ≥  c sin x + d cos y + c cos x + d sin y 2 2  c sin x + d cos y c cos x + d sin y   ⇒ f1 ≥ c+d Tương tự : f ≥ Vậy c+d f ( x , y ) = af + bf ≥ a+b c+d Ví dụ 3.2.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = cos A + cos 3B − cos 3C Lời giải : Ta có : cos 3C = cos 3[π − ( A + B )] = cos[3π − 3( A + B )] = − cos 3( A + B ) nên  A+ B  A− B  A+ B P = cos A + cos 3B + cos 3( A + B ) = cos 3  cos 3  −1  + cos 3        A− B  A+ B  A+ B ⇒ P + = cos 3  cos 3  + cos 3  + = f (x , y )        A− B ∆' = cos 3  −1 ≤ ⇒ P ≥ −   ∆ ' =  P=− ⇔  A− B  A+ B cos 3  = − cos 3       Vậy Pmin   A− B cos 3  =    ⇔ cos 3 A + B  = − cos 3 A − B       A = B  A = B  A = 2π  ⇔ ⇔  cos A  = −   4π  A =   5π 2π  A = B = ,C = =− ⇔  A = B = 4π , C = π  9 The Inequalities Trigonometry 74 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Ví dụ 3.2.3 Tìm giá trị lớn biểu thức : sin A + sin B + sin C P= cos A + cos B + cos C Lời giải : Ta có : −1 cos A + cos B + cos C = −1 − sin A + sin B + sin C ≤ −1 = 3− Do ñó : Pmax = ⇔ ∆ABC ñều P= ( ) Ví dụ 3.2.4 Tìm giá trị lớn nhỏ y = sin x − cos x Lời giải : ðiều kiện : sin x ≥ , cos x ≥ Ta có : y = sin x − cos x ≤ sin x ≤ sin x = π Dấu xảy ⇔  ⇔ x = + k 2π cos x = Mặt khác : y = sin x − cos x ≥ − cos x ≥ −1 sin x = ⇔ x = k 2π Dấu xảy ⇔  cos x = π   y max = ⇔ x = + k 2π Vậy   y = −1 ⇔ x = k 2π Ví dụ 3.2.5 Cho hàm số y = + cos x Hãy tìm Max y miền xác ñịnh sin x + cos x − The Inequalities Trigonometry 75 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương Áp dụng vào số vấn ñề khác Lời giải : Vì sinx cosx không ñồng thời nên y xác ñịnh R + cos x Y0 thuộc miền giá trị hàm số Y0 = có nghiệm sin x + cos x − ⇔ Y0 sin x + (Y0 − 1) cos x = 2Y0 + có nghiệm (2Y0 + 2)2 ≤ Y0 + (Y0 − 1)2 ⇔ 2Y0 + 10Y0 + ≤ − − 19 − + 19 ≤ Y0 ≤ 2 − + 19 = ⇔ Vậy y max 3.3 Bài tập : CMR ∆ABC ñều thỏa ñẳng thức sau : 3.3.2 sin A + sin B + sin 2C = sin A + sin B + sin C 1 + + = + tan A tan B tan C 3.3.3 sin A sin B sin 2C 2 3.3.1 cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A =   a2 + b2 + c2 a 2b 2c  = 3.3.4  A B C  cot A + cot B + cot C  tan tan tan 2 a cos A + b cos B + c cos C = 3.3.5 a+b+c A B C 3.3.6 ma mb mc = abc cos cos cos 2 A B C 3.3.7 l a lb l c = abc cos cos cos 2 A B C 3.3.8 bc cot + ca cot + ab cot = 12 S 2 26     3.3.9 1 + 1 + 1 +  = 5+  sin A  sin B  sin C  sin A sin B sin C 3.3.10 = (sin A + sin B + sin C ) The Inequalities Trigonometry 76 [...]...Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương 3 Áp dụng vào một số vấn ñề khác Lời giải : Vì sinx và cosx không ñồng thời bằng 1 nên y xác ñịnh trên R 2 + cos x Y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi Y0 = có nghiệm sin... (Y0 − 1) cos x = 2Y0 + 2 có nghiệm (2Y0 + 2)2 ≤ Y0 2 + (Y0 − 1)2 2 ⇔ 2Y0 + 10Y0 + 3 ≤ 0 − 5 − 19 − 5 + 19 ≤ Y0 ≤ 2 2 − 5 + 19 = 2 ⇔ Vậy y max 3.3 Bài tập : CMR ∆ABC ñều nếu nó thỏa một trong các ñẳng thức sau : 3 4 3.3.2 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = sin A + sin B + sin C 1 1 1 3 1 + + = + tan A tan B tan C 3.3.3 sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 2 3.3.1 cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A = 2   a2 + b2