CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC-Nguyễn Phúc Tăng

Nguyễn Phúc Tăng - AIT CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Nguyễn Phúc Tăng Sưu tầm giới thiệu * Các bất đẳng thức quan trọng mở rộng :  Bất đẳng thức AM - GM Nếu a1 , a2 , , an số thực không âm a1  a2   an n  a1a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an  Bất đẳng thức AM - GM suy rộng Cho số dương w1 , w2 , , wn thoả mãn w1  w2   wn  Nếu a1 , a2 , , an số thực khơng âm w1a1  w2 a2   wn an  a1w1 a2w2 anwn Đẳng thức xảy a1  a2   an  Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  an  a1  a2   an  a12 a2     b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy  Bất đẳng thức Holder a a1 a2    n b1 b2 bn Nguyễn Phúc Tăng - AIT      Với m dãy số dương a1,1 , a1,2 , a1,n , a2,1 , a2,2 , , a2,n am,1 , am,2 , , am,n ta có: m  n   n   , j     m  , j  i 1  j 1   j 1 i 1 m    m Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m = Bất đẳng thức Minkowski Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  a12  b12  a22  b22   an2  bn2   a1  a2   an    b1  b2   bn  Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  n a1a2 an  n b1b2 bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn  Dấu ‘‘=’’ bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz  Bất đẳng thức Vonicur Schur Cho số thực không âm a, b, c Nếu r  0, a r  a  b  a  c   b r  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   Đẳng thức xảy a = b = c, a = 0, b = c hoán vị  Bất đẳng thức Bernolli Với số nguyên r  x > - 1  x  r   rx * Các kí hiệu viết tắt thường dùng :  n a k 1   a1  a2   an k  a b  a b  b c  c a (Sigma cyclic: Tổng hoá vị) 2 2 cyc   a b  a b  b c  c a  ab 2 k  a1a2 an 2  bc  ca (Sigma Symmetric: Tổng đối xứng) sym  n a k 1  R -Tập số thực R  -Tập số thực dương  N* - Tập số tự nhiên bỏ qua phần tử Nguyễn Phúc Tăng - AIT  Q - Tập số hữu tỉ  [a, b] - Đoạn (khoảng đóng) hai đầu mút a, b  (a, b) - Đoạn mở hai đầu mút a, b  MO - National Mathematical Olympiad  IMO - International Mathematical Olympiad  TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad  VMEO - Viet Nam Mathematical EOlympiad  VMO - Viet Nam Mathematical Olympiad  S.O.S - Sum of Square  MV - Mixing Variables hay dồn biến  SMV - Stronger Mixing Variables hay dồn biến mạnh  THTT - Mathematical and Youth Magazine hay tạp chí Tốn Học  APMO - Asian Pacific Mathematical Olympiad  R.M.M - Rumanian Mathematical Magazine  Kvant - Russia Magazine Tuổi Trẻ * Các toán ứng dụng: Bài 1: Cho x, y, z số thực dương có tích 1.Chứng minh rằng: x3  (1  y)(1  z)  (IMO shortlist 1998) Bài 2: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a4  b2 (c  2)  Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: abc   cyc a ( a  b) Bài 4: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a3 b  c  abc Bài : Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 abc  bc  a  Bài 6: Cho a, b, c > thoả mãn : 1    Chứng minh rằng: a b c a2 abc  a  bc  Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 7: Cho x, y, z > 1    Chứng minh rằng: x y z  2x  y  z  1 1    12 x y yz zx Bài 8: : Cho x, y, z > thoả mãn Chứng minh rằng:  x  y  3z  (Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017) Bài 9: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh :  a  2b  3c  16 Bài 10: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:   cyc ab  a  Bài 11: Cho x, y, z > thoả mãn xy + yz + xz = 3xyz Chứng minh rằng: x cyc x   xy  Bài 12: Cho x, y, z > x  y  z  Chứng minh rằng: 2   xy  cyc (ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 ) Bài 13: Chứng minh với a, b, c > ta có: 1 1    3. a b c a  2b (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) Bài 14: Cho a, b, c > thoả mãn abc = 1.Chứng minh rằng:  (a  1) 1   b 1 2 Bài 15: : Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: a 1   b  abc abc (Đề thi USA MO 1998) Bài 16: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT a ab 1  b5  ab (ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Bài 17: Chứng minh với a, b, c, d > ta ln có : 1 1 abcd  3 3 3 a b c d abcd (Đề thi Austrian MO 2005) Bài 18: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a  b5  c  d abcd  abcd Bài 19: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng:  a  b  c  d   abc  bcd  cda  dab 16 Bài 20: Cho a, b, c > a + b +c =3 Chứng minh ; a 1 b cyc  (Bulgarian TST 2003) Bài 21: : Cho a, b, c không âm thoả mãn a + b + c = 3.Chứng minh: a2 1  a  b cyc 2 Bài 22: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2a  abc  a  b cyc (Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017) Bài 23: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: b cyc a   ab Bài 24: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 3.Chứng minh rằng: b cyc a   16 (Trần Quốc Anh) Bài 25: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 abc   2 cyc a  b Bài 26: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a 1 3 1 b cyc Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 27: Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x4 y  x2   (Trần Quốc Anh) Bài 28: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng: 1 a cyc  b abc   (Phạm Kim Hùng) Bài 29: : Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = abc Chứng minh rằng: a  bc(1  a )  Bài 30: Cho a, ,b c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng:  ab  2c  2c  ab  bc  ca (Đề thi Turkish TST 2007) Bài 31: Cho x, y, z > 0; xy + yz + zx = Chứng minh rằng:  4x cyc 1  xy  Bài 32: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   6 b c a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 33: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh :  x2   82 x2 Bài 34: Cho a, b, c >0 a + b + c  Chứng minh rằng:  a2  17  b2 Bài 35: : Tìm GTLN: x  2016 x  2017  x 1 x 1 (ĐTTS vào 10 Chun Lê Q Đơn-Bình Định2016-2017) Bài 36: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 19b3  a  ba  5b2  Bài 37: Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  1.Tìm GTNN: Nguyễn Phúc Tăng - AIT  2a  ab  2b cyc (ĐTTS vào 10, Hưng Yên 2016-2017) Bài 38: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng:  a  ab  2b2  cyc Bài 39: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:  1  a3 2 Bài 40: Cho a, b, c > a  b  c  Chứng minh rằng: a 3  b2  c  a ,b ,c (Đề thi vào 10 chuyên toán THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp 2016 2017 / Tạp chí CruxMath) Bài 41: Cho a, b, c > a +b +c =3 Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca (Russia 2002) Bài 42: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca Bài 43: : Cho a, b,c số thực không âm Chứng minh rằng:  a(a  c)  2(ab  bc  ca) cyc (Komal Magazine) Bài 44: : Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a (a  c  2b)  ab   Bài 45: Cho x, y, z >0 Chứng minh rằng:  x x 1 ( x  y )( x  z ) (Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math) Bài 46: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a3 a  b  c 3 1 Bài 47: Cho x, y, z số hực dương thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 1 x  y  z  xy  yz  zx Nguyễn Phúc Tăng - AIT (Tạp chí tốn học tuổi trẻ, T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012) Bài 48: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh : xyz ( x  y  z  x  y  z )   ( x  y  z )( xy  yz  zx) (Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015) Bài 49: Cho a, b, c số thực không âm ab + bc + ca > Chứng minh rằng:   a2 3 bc Bài 50: Chứng minh với nọi số thực dương a, b, c ta ln có: a  2b 3 a  ab  bc  Bài 51: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng:  ab 3 c  ab Bài 52: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a  bc abc  b2  c2 a  b  c (Phạm Hữu Đức) Bài 53: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng:  a b  c 2 a  bc (Phạm Kim Hùng, Vasile) Bài 54: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a  bc  b  ca  (Trần Quốc Anh) Bài 55: Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1     a  b2  c2  d ab bc cd da (Vasile Cirtoaje) Bài 56: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn (a+b)(b+c)(c+a) > Chứng minh rằng:  a  ab  b 2  ab  bc  ca   4 c  ab a  b2  c2 (Bùi Ngọc Anh) Bài 57: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT  a  a  bc  bc  a  b2  c Bài 58: Cho a, b, c > Chứng minh : 3(a  b  c ) ab  bc  ca  2 (a  b  c )2 a  b  c Bài 59: Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng:   ( xy  yz  xz )     x  y     (Iranian Mathematical Olumpiad 1996) Bài 60: Cho x, y, z số thực không âm Chứng minh rằng: x cyc   xy  y ( x  y  z )2 Bài 61: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 bc    a b c a  bc Bài 62: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a  bc  bc  abc Bài 63: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b  c  2a  b  c  3abc  a  b  c  (Nguyễn Văn Quý) Bài 64: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a  bc  3 a  b  c  bc Bài 65: Cho a, b, c  Chứng minh rằng:  a3  abc  abc bc Bài 66: Chứng minh với a, b, c  ta có:  a3  abc b  c  Bài 67: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thoả mãn a + b + c = Tìm GTNN: 14  a  b  c   ab  bc  ca a b  b2c  c a (Đề thi 10 chuyên toán,Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 68: Cho (a  b)  4ab  12 Chứng minh rằng: 1   2015ab  2016 a 1 b 1 (Đề thi vào 10 chuyên toán, THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương 2015-2016) Bài 69: Cho a, b, c số thực thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a2 1  a ,b ,c ( a  1) Bài 70: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 5bc a ba c  2 15 Bài 71: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:  1 a ,b ,c 2a Bài 72: Cho số thực x, y, z thoả mãn x + y + z  x( yz  1)2 y ( zx  1)2 z ( xy  1)2 15    z ( zx  1) x ( xy  1) y ( yz  1) (ĐTTS lớp 10 THPT Lam Sơn 2016-2017) Bài 73: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  (b  c)  4( a  b  c) (Darij Grinberg) Bài 74: Cho số thực a, b, c, x, y, z Chứng minh bất đẳng thức sau: x  ay  bz  a  b cyc (Rumanian TST) Bài 75: Cho trước số thực a, b Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y, z số thực dương tuỳ ý: x2   ay  bz  az  by    a  b (Olympiad 30-4) Bài 76: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = 1.Chứng minh rằng: a b2 c2    3(a  b  c ) b c a Bài 77: Cho a, b, c > a  b  c  1   , Chứng minh rằng: a b c Nguyễn Phúc Tăng - AIT  a  2b  3 cyc Bài 78: Giả sử a, b, c, d số thực không âm thoả mãn ab +bc +cd +da=1 Chứng minh rằng: a3  bcd (Đề thi IMO Shortlist 1998) Bài 79: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a5 a  b3  c  a2  ab  b2  Bài 80: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a6  b3  c3  18 Bài 81: Cho a, b, c > abc = Chứng minh rằng:  cyc a  ab  a  1  abc (ĐTTS vào 10 chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 2007-2008) Bài 82: Cho a, b, c > abc = Chứng minh :  cyc a3  2b3  1 Bài 83: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện : (x+y)(y+z)(z+x) = Chứng minh :  cyc x  xy  y xy   (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ T6, số 463) Bài 84: Cho số thực dương a, b,c thoả mãn abc + a + b = 3ab Chứng minh rằng: ab b a    a  b 1 bc  c  ca  c  (Đề thi học sinh giỏi môn toán tỉnh Phú Thọ năm 2011-2012)  Bài 85: Cho a, b, c > thoả mãn bất đẳng thức sau:  2 a  b  cyc Chứng minh rằng: ab + bc + ca  (Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán vùng Balkan dành cho lứa tuổi thiếu niên, Rumanian 2007) Bài 86: Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác Chứng minh : Nguyễn Phúc Tăng - AIT  x  1 y  z     (Tạp chí toán học tuổi trẻ, T4, Số 42, Tháng 7/2012) Bài 87: Cho a, b, c > thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh : a3  (2a  b2 )(2a  c2 )  Bài 88: Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = xy + yz + xz Tìm GTNN: x 1  y 1 Bài 89: Cho a, b, c > abc  Chứng minh rằng: a5  a 0  2 cyc a  b  c (Đề thi IMO 2005) Bài 90: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:  a(a  c)  cyc (Đề thi Zhaukovty 2008) Bài 91: Cho x, y > thoả mãn xy = Tìm GTNN: x2  y x  y 1 (Đề thi vào 10 chuyên toán, Nguyễn Trãi, Hải Dương 2014-2015) Bài 92: Cho a, b, c > a + b + c = ab + bc + ca Chứng minh rằng: a2  a,b,c a  a   Bài 93: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng:  4b cyc a 1    a ,b ,c a a  (Đề thi Greece MO 2002) Bài 94: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 a2   b cyc cyc b (Đề thi Junior Banlkan 2000) Bài 95: Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh : 1  cyc  a  b (Vasile Cirtoaje) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 96: Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn ab + bc +ca > Chứng minh rằng: a abc   b2  bc  c ab  bc  ca Bài 97: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a a 1  b2  c Bài 98: Cho a, b, c > abc = Chứng minh : a b 2 cyc 1  b 4 Bài 99: a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:   cyc  a  b Bài 100: Chứng minh x  y  z  thì:  x2 y    z   x2  y  z   (Đề thi Việt Nam MO 1991) Bài 101: Chứng minh với a, b, c khơng âm ta có: a (b  c) 2  c2 b Bài 102: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: b a   c2 a  b  c (Phạm Kim Hùng) Bài 103: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn ab + bc +ca > Chứng minh rằng: a  16bc  b2  c2  10 Bài 104: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 ab  ab  bc  ca a  ab  bc (Trần Quốc Anh) Bài 105: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 ab  ab  bc  ca a  bc  b (Trần Quốc Anh) Bài 106: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 ab  ab  bc  ca b  bc  c Nguyễn Phúc Tăng - AIT (Trần Quốc Anh) Bài 107; Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 a2  ab  bc  ca a  ab  bc (Trần Quốc Anh) Bài 108: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn (x - y)(x - z) = 1; y minh rằng:  ( x  y)  z Chứng 4 cyc (ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017) Bài 109: Cho x, y, z số không âm thoả mãn (x + z)(y + z)=1 Chứng minh rằng:  ( x  y) 4 cyc (ĐTTS lớp 10 ĐHSP Hà Nội 2008) Bài 110: Cho x, y, z  0; (x-y)(y-z)(z-x)  Chứng minh rằng:   xy  yz  xz     4   x  y   (Trần Nam Dũng, VMO 2008) Bài 111: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab  bc  ca a  b  c  4 a  b2  c abc Bài 112: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau : a3  b3  c3 9(ab  bc  ca)   12 abc a  b2  c2 Bài 113: Chứng minh với a, b, c > ta ln có bất đẳng thức sau : a  b2  c2 8abc  2 ab  bc  ca (a  b)(b  c)(c  a ) Bài 114: Cho a, b, c số thực khơng âm khơng có hai số đồng thời Chứng minh : a (b  c)  b2  bc  c  (Darij Grinberg) Bài 115: Cho a, b, c > Chứng minh : a2  2a  (b  c  a)2  Bài 116: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh : Nguyễn Phúc Tăng - AIT (b  c  a) 3(a  b  c )  2a  (b  c)2  (a  b  c)2 (Võ Quốc Bá Cẩn) Bài 117: Cho a, b, c > Chứng minh : a (b  c)  2 a  (b  c) (Đề thi Olympic 30/4, khối 11, lần XII - 2006) Bài 118: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  3a)  2a  (b  c)2  (Phạm Văn Thuận, Mathlinks forum) Bài 119: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  2a)  2a  (b  c)2  (USAMO 2003) Bài 120: Cho a, b, c > Chứng minh : (2a  b  c)2 12  4a3  (b  c)3  a  b  c Bài 121: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  a)2  (b  c)2  a  (Đề thi HSG Đắc Lắc 2014-2015/ HOMC 2007) Bài 122: Cho a, b, c, d > thoả mãn a + b + c + d = Chứng minh : 16 a ,b ,c ,d 3a    (Vaslie Cirtoaje – Algebraic Inequalities – Old and New Method ) Bài 123: Cho a, b, c > Chứng minh : a2  a  (b  c)2  2 Bài 124: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh : 1  a ,b ,c a   a Bài 125: Cho a, b, c > thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh : 1    a  b2  c2 2 a b c (Đề thi Romania TST 2006) Bài 126: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT a  1 a  8bc (IMO 2001) Bài 127: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1   1 3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1) (Lê Hữu Điền Khuê THPT Quốc Học, Thành phố Huế) Bài 128: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a abc  bc a Bài 129: Chứng minh với số thực a, b, c khơng âm ta ln có: a  abc a  2b  cyc Bài 130: Chứng minh với số thực a, b, c không âm ta ln có: a  b  3c  Bài 131: Cho a, b, c  0; a + b + c = Chứng minh rằng:  a   b  bc Bài 132: Cho a, b, c  Chứng minh rằng:  2a  ab  bc  2a  b  c Bài 133: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a 6a  b3  c  Bài 134: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a  b3  c 1 Bài 135: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng:  4a  bc  abc Bài 136: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:  a  a b c bca Bài 137: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT a  bc  (Romania 2005) Bài 138: Cho a, b, c số thực thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b c    a  b  c  10 (Poland 1996) Bài 139: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    b c a abc Bài 140: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b2 ab 3 a  b  c     c cyc a  b 2 (Nguyễn Đình Thi, Cezar Lupu) Bài 141: Cho số thực dương a, b, c cho ab + bc + ca = Chứng minh rằng:  a3  a  a  b  c (Iran 2008) Bài 142: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a   b   c     a  b  c  (APMO 2004) Bài 143: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng:   a  b    a  b  c  1 cyc (MOSP 2001) Bài 144: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a  b2  a  b2  c2 (Lê Việt Hưng, Hải Lăng, Quảng Trị ) Bài 145: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng: 1 1 a  b   a  cyc a ,b ,c (Bulgaria 1997) Bài 146: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca =3 Chứng minh rằng: 1   a  b  c   abc (Romania 2008) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 147: Cho số thực khơng âm a, b, c cho khơng có số đồng thời Chứng minh rằng:  cyc  a  2b   ab  bc  ca (Phạm Kim Hùng) Bài 148: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng: 1  a ,b ,c a  a  (Võ Quốc Bá Cẩn, Vasile Cirtoaje) Bài 149: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:   a  b  c    abc (Mathlinks Contest) Bài 150: Cho a, b, c > 0; a  b  c  Chứng minh rằng: a2   b2  ac  (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 151: Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn x  y  z        x y   cyc x , y , z x     (Đề thi chọn đội tuyển VMO Bà Rịa - Vũng Tàu 2016-2017) Bài 152: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:  a ,b ,c 1  a   21  ab  bc  ca   32 32 (Đề chọn đội tuyển VMO Thái Nguyên 2016-2017) Bài 153: Cho b  a > 0; c > Chứng minh rằng: a2 c2 ab   2 2 a c c b 2a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 154: Cho a, b, c số không âm Chứng minh rằng:  a2    a  b  c  a ,b ,c (Tạp chí Cruxmath) Bài 155: Chứng minh với số thực dương x, y, z ta có: x3  y  z x y  z  (Nguyễn Việt Hùng, GV THPT Chuyên KHTN,ĐHQGHN) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 156: Cho a, b, c > a + b + c = abc Chứng minh rằng: a b c    4 b c a abc (Lê Việt Hưng) Bài 157: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab  cyc abc a  b  c   abc  a  b  cyc (MOSP 2000) Bài 158: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a 1   8abc 3abc (Nguyễn Việt Hùng, GV THPT Chuyên KHTN,ĐHQGHN) Bài 159: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a 2b  c3  a2  ab  b2   ab  bc  ca (Turkey National Olympiad ) Bài 160: Cho a, b, c > 0; a  b  c  Chứng minh rằng; a b3 c    abc  b c a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 161: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2 a b3 c  a  b  c   a  b  c     b2 c a ab  bc  ca (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 162: Cho x, y, z > Chứng minh : 2x  y  z    x  y  x  z   x  y  z (Cruxmath) Chứng minh rằng:   a  bc  Bài 163: Cho a, b, c > ab + bc + ca = (China TST 2005) Bài 164: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = Chứng minh rằng:  a 2 b  c2 Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 165: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng:  a ,b ,c a3  a  1 3 (UK TST 2005) Bài 166: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c  1 1    a  b  c         b c a a b c (UK MO 2005) Bài 167: Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn x  y  z  Chứng minh rằng:  x x  yz  (Ukraine Olympiad 2008) Bài 168: Cho x, y, z > 0; x + y + z = Chứng minh rằng:  yz  x  x  27 31 (Serbia 2008) Bài 169: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c =3 Chứng minh rằng:   2 cyc a  b  (Iran 2009) Bài 170: Cho a, b, c số thực không âm cho a + b + c > Chứng minh rằng: a2   3a   b  c  (Võ Quốc Bá Cẩn, Viet Nam (IMO training camp) 2009) * Các tài liệu tham khảo: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Solving the inequality ***** Group/ Facebook Mathematical Inequality Group/ Facebook Imad Zak Group/ Facebook Diendantoanhoc.net http://www.ssmrmh.ro/ mathlinks.ro http://math.stackexchange.com/ Crux Mathematicorum Mathematical and Youth Magazine Nguyễn Phúc Tăng - AIT [10] Romanian Magazine [11] Kalva.demon.co.uk [12] Mathnfriend.net [13] k2pi.com [14] Mathlinks Inequality Forum [15] Vasile Cirtoaje [16] Daniel Sitaru [17] Leonard Giugiuc [18] Mathematical Reflections [19] Hojoo Lee - Topics in Inequalities [20] Kavant Magazine [21] IMO [22] Ha Noi Mathematical Open Compertion [23] Olympiad / Olympiad 30/4 [24] IMO Shortlist [25] JBMO, TST [26] Những viên kim cương bất đẳng thức toán học - Trần Phương sách số tác giả khác: Vasile Cirtoaje, Trần Quốc Anh, Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Kim Hùng, Phan Huy Khải, Bùi Việt Anh, Phan Thành Nam,… Hết ... m  , j  i 1  j 1   j 1 i 1 m    m Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m = Bất đẳng thức Minkowski Cho hai dãy số thực a1 , a2... c) (Darij Grinberg) Bài 74: Cho số thực a, b, c, x, y, z Chứng minh bất đẳng thức sau: x  ay  bz  a  b cyc (Rumanian TST) Bài 75: Cho trước số thực a, b Chứng minh bất đẳng thức sau với x,...  4 a  b2  c abc Bài 112: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau : a3  b3  c3 9(ab  bc  ca)   12 abc a  b2  c2 Bài 113: Chứng minh với a, b, c > ta ln có bất đẳng thức sau : a 