HH 12

HÌNH HỌC 12 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần tính AB uuur , .AB CD uuur uuur (tích vô hướng), AB CD × uuur uuur (tích hữu hướng ) và cos . ( , ) . AB CD AB CD Abs AB AbsCD = uuur uuur uuuur uuur uuur uuur xin xem lại Hướng dẫn sử dụng (phần vectơ) Ví dụ 1 : Cho các vectơ (2; 7;5)a = r , ( 3;4;7)b = − r , (0; 7; 3)c = − − r a) Tìm tọa độ của các vectơ : 3 2u a b c = − + − r r r r ; 2v b c a = − + r r r r ; 5 3 7g c a b = + − r r r r b) Tính độ dài của , ,u v g r r r c) Tính tích vô hướng của . , . , . , .a b c b u g v u r r r r r r r r d) Tìm k , h và t sao cho 2g kv hu tc = − + r r r r Giải : Vào chương trình tính vectơ ấn ba lần MODE 3 ( màn hình hiện chữ VCT ) a) Nhập vào các vectơ : ấn SHIFT 5 (nghóa là chương trình vectơ VCT ) . Màn hình hiện : , ấn tiếp 1 ( Dim ) . Màn hình hiện : Chọn ấn 1 ( ta chọn vectơ A ) . Máy hỏi Ta nhập số chiều cho vectơ a r ấn 3 = Nhập tọa độ vào ấn 2 = 7 = 5 = Nhập vectơ b r ấn SHIFT 5 1 2 3 Nhập tọa độ của b r ấn (− ) 3 = 4 = 7 = Tiếp tục ấn SHIFT 5 1 3 3 để nhập tọa độ của vectơ c r Nhập tọa độ của c r ấn 0 = (− ) 7 = (− ) 3 = Ta bắt đầu tính 3 2u a b c = − + − r r r r Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ a r ) ấn tiếp × ( (−) 3 ) + 2 × SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ b r ) − SHIFT 5 3 3 ( Gọi lại vectơ c r ) = Kết quả : 1 12u = − ấn tiếp „ Kết quả : 2 6u = − ấn tiếp „ 3 2u = Vậy ( 12; 6; 2)u = − − r Tính tương tự như trên bằng cách gọi lại , ,a b c r r r rồi đưa vào biểu thức của vectơ ,v g r r , ta tính được : ( 4; 22; 22)v = − r ; (27; 42;67)g = − r b) Tính độ dài của , ,u v g r r r Tính u r : Đặt vectơ A trong máy thay cho u r Ấn SHIFT 5 1 1 3 = Nhập tọa độ cho vectơ u r : (−) 12 = (−) 6 = 2 = SHIFT ) ( Abs là tính độ dài của vectơ) SHIFT 5 3 1 = Kết quả : 13.5646u = r Tính tương tư , ta được : 31.3687, 83.5583v g = = r r a) Tính tích vô hướng của . , . , . , .a b c b u g v u r r r r r r r r Tính .a b r r :Nhập vectơ a r và vectơ b r như câu a) Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ a r ) Ấn tiếp SHIFT 5 „ 1 ( Dot dùng để tính tích vô hướng ) Ấn SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ b r ) Ấn = Kết quả : . 57a b = r r Ta tính được : . 49, . 62, . 40c b u g v u = − = = − r r r r r r b) Tìm k , h và t sao cho 2g kv hu tc = − + r r r r Với kết quả tìm được ở trên , ta có (27; 42;67) 2 ( 4; 22; 22) ( 12; 6; 2) (0; 7; 3)k h t − = − − − − + − − Suy ra : 8 12 27 44 6 7 42 44 2 3 67 k h k h t k h t − + =   + − = −   − − =  Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn như đã trình bày ở phần trên , ta giải được : 69 16 41 8 75 2 k h t  =    =    =   Vậy 69 41 75 8 8 2 g v u c = − + r r r r Ví dụ 2 : Cho đường thẳng (d) 2 4 0 2 3 1 0 x y z x y z − + + =   − + + − =  Cho biết vectơ chỉ phương của (d) Giải : Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x – y + z + 4 = 0 là )1,1,2( 1 −= n r của –x + 2y + 3z – 1 = 0 là 2 n r = (−1 , 2 , 3) Do đó (d) có vectơ chỉ phương là u r = 21 nn rr × ( Dùng chương trình VCT ta tính được u r = 21 nn rr × Cách ấn như sau : Ấn 3 lần MODE và chọn 3 (VCT) (màn hình hiện VCT) Ấn SHIFT 5 chọn 1 (Dim) sau đó chọn 1 (A) Nhập VctA = 1 n r = ( 2,−1 , 1) như sau : Thấy máy hiện VctA(m) m? ấn 3 (không gian 3 chiều) máy hiện VctA1 ? ấn 2 = máy hiện VctA2 ? ấn –1 = máy hiện VctA3 ? ấn 1 = Lại ấn SHIFT 5 chọn 1 (Dim) sau đó chọn 2 (B) Nhập VctB = 2 n r = (−1, 2, 3) tương tự. Sau khi đã nhập xong VctA = 1 n r = (2 ,–1 , 1) ; VctB = 2 n r = (–1 , 2 , 3) Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ 1 n r ) × (dùng để tính tích hữu hướng ) Ấn SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ 2 n r ) Ta được màn hình VctA × VctB Ấn = Kết quả −5 , ấn tiếp „ Kết quả −7 , „ Kết quả 3 Vậy 1 2 (-5, -7 , 3)u n n = × = r r r (dấu × (hữu hướng) lấy ở phím × ). Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho M(1 , 3 , 2) ; N(4 , 0 , 2) ; P(0 , 4 , –3) ; Q(1 , 0 , –3) a) Viết phương trình mặt phẳng (MNP) b) Tính diện tích tam giác MNP c) Thể tích hình chóp QMNP Giải : a) Vectơ pháp tuyến của (MNP) là PMNMn rr r ×= Nhập NM r = VctA ; PM r = VctB như trên ( nhập thẳng từ hiệu các tọa độ điểm) Sau đó ghi vào màn hình VctVctB và ấn = Kết quả : n r = (15 , 15 , 0) (MNP) còn qua M(1 , 3 , 2 ) nên có phương trình là: 15(x–1) + 15(y–3) + 0(z–2) = 0 hay x + y – 4 = 0 b) Cách 1 Diện tích 2 2 2 1 . ( ) 2 S MN MP MN MP = − × r r r r Dùng chương trình VCT , ta tính được S=10.6066 đvdt (Nhập VctA MN = uuuur ; Vct MP = uuur như ví dụ 1 và cuối cùng ghi 2 0.5 (( VctA VctA) ( VctB VctB ) - (VctA VctB) ) • • • và ấn = Dấu – (nhân vô hướng ) có bằng cách ấn SHIFT VCT „ 1 ( Dot ) Cách 2 : 1 ( ) 2 S Abs MN MP = × uuuur uuur Sau khi nhập ;VctA MN VctB MP = = uuuur uuur Ghi vào màn hình : 0.5 Abs(VctVctB) và ấn = Abs (tính độ dài ) ghi bằng phím SHIFT ) c) Thể tích V= QMPMNM r rr ⋅× )( 6 1 Dùng chương trình VCT Nhập VctA , VctB , VctC như phần a) ( thực ra chỉ nhập VctC MP = uuur ) và cuối cùng ghi : (1f 6) (VctVctB).VctC và ấn = Kết quả : 15 2 V = đvtt Ví dụ 3 : Tính khoảng cách từ điểâm 1 (1 , 1 , 2) M đến đường thẳng (D) có phương trình : a)      −= = +−= tz ty tx 1 2 1 b) 1 1 21 1 − − == + zvx c)    =−++− =++− 0132 042 zyx zyx )2( )1( Giải : Ta biết khoảng cách từ 1 M đến đường thẳng (D) qua 0 M và có Vectơ chỉ phương u r là 1 ( ) ( ) Abs M M u d Abs u × = o uuuuuur r r a) )1,2,1( −= u r , )1,0,1( 0 − M , 1 M M o uuuuuur = (2 , 1, 1) Nhập 1 M M o uuuuuur = VctA ; u r = VctB và ghi vào màn hình Abs(VctVctB) ÷ AbsB và ấn = Kết quả : d = 2.1213 b) Giải giống hệt câu a) c) Tìm điểm )(DM o ∈ như sau Tự cho z = 0 rồi vào chương trình giải phương trình bậc nhất 3 ẩn để giải hệ 2 4 0 2 1 0 x y x y − + =   − + − =  Ta được 7 2 ( , ,0) ( ) 3 3 o M D − − ∈ Nhập tiếp theo VctA = 1 n r = (2 , –1 , 1) VctB = 2 n r = (–1 , 2 , 3) VctC = 1 M M o uuuuuur (nhập trực tiếp từ tọa độ 1 , MM o ) Ghi vào màn hình VctVctB và ấn = (được vectơ chỉ phương n r của (D) ) Và ghi tiếp và màn hình Abs(VctC×VctAns)÷AbsVctAns và ấn = ( VctAns ghi bằng cách ấn SHIFT 5 3 4 ) Kết quả : d = 3.4467 Ví dụ 4 : Cho hình hộp mà ba cạnh tại một đỉnh được xác đònh bởi 3 vectơ 1 (3,5,-1)v = r ; 2 (2,1,7)v = r ; 3 (5,-2,1) v = r a) Tính diện tích toàn phần S. b) Tính thể tích V. c) Tính đường cao h với 2 v r , 3 v r là vectơ chỉ phương của mặt đáy. Giải : a) S = )(2 133221 vvvvvv rrrrrr ×+×+× Nhập VctA= 1 v r ; VctB= 2 v r ; VctC= 3 v r Rồi ghi vào màn hình 2(Abs(VctVctB)+ Abs(VctB×VctC)+ Abs(VctC×VctA)) và ấn = Kết quả : S = 225.5906 đvdt b) V = ( 1 v r × 2 v r ). 3 v r Cách 1 : Ghi vào màn hình E = (VctVctB).VctC Và ấn = V = 219 (lấy giá trò tuyệt đối) Cách 2 : Dùng chương trình ma trận (MAT) Ấn MODE ba lần rồi chọn 2 (MAT) (màn hình hiện MAT) Ta biết 1 v r = ( 111 ,, zyx ) 2 v r = ( 22.2 ,, zyx ) 3 v r = ( 333 ,, zyx ) nếu đặt MatA =      3 2 1 x x x 3 2 1 y y y      3 2 1 z z z =      5 2 3 − 2 1 5 −      1 7 1 thì V = ( 1 v r × 2 v r ). 3 v r = detMatA Cách ấn : Khi đã vào màn hình ma trận (có hiện MAT) Ta ấn tiếp SHIFT MAT chọn 1 (Dim) , chọn tiếp 1 (A) Máy hiện MatA(m×n) m ? ấn 3 = Máy hiện MatA(m×n) n ? ấn 3 = Máy hiện MatA11 ấn 3 = Máy hiện MatA12 ấn 5 = Máy hiện MatA13 ấn −1 = Máy hiện MatA21 ấn 2 = . . . . . . . . . . . . . . Máy hiện MatA33 ấn 1 = (đã nhập xong ma trận A (MatA) Ấn tiếp SHIFT MAT „ chọn 1 (Det) Ấn SHIFT MAT chọn 3 (MAT) chọn 1 (A) để có màn hình : Det MatA ấn = Kết quả : V = 219 (Câu b) được giải như trên thì nhanh hơn). c) Đường cao h đònh bởi 2 3 ( ) V d Abs v v = × r r Ghi vào màn hình : E ÷ Abs(VctB×VctC) và ấn = Kết quả h = 5.8635 Ví dụ 5. Cho 2 đường thẳng chéo nhau: (d) : c zz b yy a xx ooo − = − = − (d’) : ' ' ' ' ' ' c zz b yy a xx ooo − = − = − Thì khoảng cách h giữa (d) và (d’) chéo nhau là ( '). ' ( ') u u MM d Abs u u × = × uuuur r r r với u r = (a , b , c) ; u r ’ = (a’ , b’, c’) là các vectơ chỉ phương của (d) , (d’) và M( ooo zyx ,, ) ∈ (d) , M’( ooo zyx ',',' ) ∈ (d’) Áp dụng bằng số : Trong không gian Oxyz cho (d) : 1 1 1 1 2 − + = − = zy x (d’) : 2 1 0 2 0 x y z x y z + − + =   − + − =  thì (d) qua M(0 , 1 , –1) và có vectơ chỉ phương u r =(2 , 1 , –1) còn (d’) có vectơ chỉ phương u r ’= (2 , 1 , –1) × (1 , –1 , 1) = (0 , –3 , –3) và qua 1 5 M'( ,- , 0) 3 3 (tính được tọa độ M’ bằng cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (d’) với z = 0) Nhập u r = VctA , u r ’= VctB , VtcCMM = ' r (VctC được nhập trực tiếp từ tọa độ các điểm M , M’) Xong ghi vào màn hình : (VctVctB).VctC ÷Abs(VctVctB) Kết quả h = 2.3094 Ghi chú. Muốn tính góc α của d, d’ với (d ) có vectơ chỉ phương u r và (d’) có vectơ chỉphương u r ’ thì dùng công thức cosα = ' ' uu uu rr rr ⋅ Nhập u r = VctA , u r ’ = VctB Rồi ghi vào màn hình ( ở D) Vct((cos 1 − A.VctB)÷(AbsAbsB) và ấn = 0’’’ Ghi chú : Nếu u r = (a , b , c) ; u r ’ = (a’, b’, c’) lần lượt là các vectơ chỉ phương của (d),(d’) và o M ( ooo zyx ,, ) ∈ (d), o M ' ( ooo zyx ',',' ) ∈ (d’) thì phương trình của đường thẳng vuông góc chung của (d) , (d’) là [ ( ')] 0 [( ' ( ')] ' 0 o o u u u M M u u u M M  × × =   × × =   r r r r r r r r Trong đó M(x , y) là điểm thuộc đường vuông góc chung VctA = u r , VctB = 'u r ta cứ ghi vào màn hình như sau Vct(VctVctB) và ấn = Ta được VctAns = (a”,b”,c”) Sau đó ghi tiếp vào giấy "( ) "( ) "( ) o o o a x x b y y c z z− + − + − = 0 Tương tự cho dòng thứ hai của hệ phương trình xác đònh đường vuông góc chung . Bài toán : (d) có phương trình 1 3 4 2 8 1 − = − = − zyx (d) có phương trình 1 1 22 1 + = − = − zyx thì = (8 , 4 , 1) u r và )()3,2,1( dM o ∈ '= (2 ,-2 ,1) u r và )'()1,0,1(' dM o ∈− Áp dụng công thức trên (và tính bằng máy) , ta được Phương trình đường vuông góc chung là 5 11 4 5 0 1 0 x y z x y − + − − =   + − =  Bài tập thực hành : Bài 1 : Cho các vectơ (1; 3;6)a = − r , (0;5; 9)b = − r , (4; 3; 5)c = − − r a) Tìm tọa độ của các vectơ : 3 3 5 5 u a b c = − + − r r r r ; 3 5 9v b c a = − + − r r r r ; 5 3 7 9 g c a b = − + − r r r r b) Tính độ dài của , ,u v g r r r c) Tính tích vô hướng của . , . , . , .a b c b u g v u r r r r r r r r d) Tìm k và h sao cho 3 2 7 2 g kv hu tb = + − r r r r Bài 2 : Cho đường thẳng (d) 5 3 5 4 0 3 5 6 7 10 0 x y z x y z  − + + + =    − + − =  . Tìm vectơ chỉ phương của (d) và tính khoảng cách từ M ( 3 ;− 7 ; 5 ) đến đường thẳng (d) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(−6 , 4 , 1) ; B(7 , 1 , 3) ; C(5 , 7 , –2) ; D(1 , –8 , –7) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) ; (ABC) b) Tính diện tích tam giác BCD c) Thể tích hình chóp A.BCD Bài 4 : Trong không gian cho hai đường thẳng )(),( 21 dd có phương trình    =+− =+− 0104 0238 )( 1 zy zx d ;    =++ =−− 022 032 )( 2 zy zx d Tính khoảng cách giữa )(),( 21 dd ĐS : 2426.423 = MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIA N Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu nếu biết a ) Tâm 2 4 ( ; 3; ) 3 5 I − và đi qua điểm M( − 4 ; 5 ; 7 ) b) Mặt cầu đi qua 4 điểm A (− 1 ; 2 ; 9 ) ; (2; 4; 0)B − ; (1; 7;9)C − ; ( 2;0; 4)D − − Giải : a) Bán kính mặt cầu là : 2 2 2 2 4 27949 ( 4 ) (5 3) (7 ) 3 5 225 R IM = = − − + + + − = Ghi vào màn hình : 2 2 2 2 4 ( 4 ) (5 3) (7 ) 3 5 − − + + + − ấn = Kết quả : 27949 225 Vậy : 27949 225 R = Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là : 2 2 2 2 4 27949 ( ) ( 3) ( ) 3 5 225 x y z − + + + − = b) Cách 1 : Gọi I ( x ; y ; z) là tâm của mặt cầu cần tìm , ta có : IA IB IB IC IC ID =   =   =  <=> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) (2 ) (9 ) (2 ) ( 4 ) (2 ) ( 4 ) (1 ) ( 7 ) (9 ) (1 ) ( 7 ) (9 ) ( 2 ) ( 4 ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z  − − + − + − = − + − − +   − + − − + = − + − − + −   − + − − + − = − − + + − −   3 6 9 33 0 2 6 18 111 0 6 14 26 111 0 x y z x y z x y z − − + =   + − + =   − + − =  Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn , nhập trực tiếp các hệ số a , b , c , d .Ta được 423 52 56 13 199 52 x y z  = −    ⇔ = −    =   423 56 199 ( ; ; ) 52 13 52 I − − 2 2 2 2 2 423 56 199 ( 1 ) (2 ) (9 ) 52 13 52 R IA = = − + + + + − Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là : 2 2 2 423 56 199 158793 ( ) ( ) ( ) 52 13 52 1352 x y z + + + + − = Cách 2 : Với máy Vinacal ta có thể giải trực tiếp để tìm các hệ số a , b , c , d bằng cách thay tọa độ của 4 điểm A , B , C , D vào phương trình 0222 222 =++++++ DCzByAxzyx (1) Thay tọa độ của 4 điểm A , B , C , D vào phương trình (1) Ta được hệ bậc nhất 4 ẩn :        =++−− =+++− =++− =++++− 02084 013118142 02084 0861842 DCA DCBA DBA DCBA Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn Ấn MODE ba lần , ấn 1 , rồi tiếp tục ấn 4 Nhập lần lượt các hệ số của phương trình trên , cuối cùng ta được nghiệm : [...]...423   A = 52   B = 56  13   C = − 199  52  235 D = − 13  Vậy phương trình cần tìm là : x2 + y2 + z 2 + 423 112 199 235 x+ y− z− =0 26 13 26 13 Bài tập thực hành : Viết phương trình mặt cầu nếu biết 3 a ) Tâm I (− ,5,2) và đi qua điểm M(2 ; −5 ; 3 ) b) Mặt cầu đi qua 4 điểm A (− 3 ; 5 ; 0 ) ; B ( D (− ;3;1) 2 . SHIFT 5 3 3 ( Gọi lại vectơ c r ) = Kết quả : 1 12u = − ấn tiếp „ Kết quả : 2 6u = − ấn tiếp „ 3 2u = Vậy ( 12; 6; 2)u = − − r Tính tương tự như trên bằng. được ở trên , ta có (27; 42;67) 2 ( 4; 22; 22) ( 12; 6; 2) (0; 7; 3)k h t − = − − − − + − − Suy ra : 8 12 27 44 6 7 42 44 2 3 67 k h k h t k h t − + = 