Trường THPT Lê Lợi-Phan Thiết GV : Trần Phú Hiếu CHƯƠNG II MẶT NĨN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU §1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRỊN XOAY Bài 1: Trong mặt phẳng (P) cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng d thay đổi ln qua O và hợp với (P) một góc 30 0 . chứng minh rằng d ln nằm trên một mặt nón xác định. Bài 2: Cho hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng d thay đổi ln đi qua A và cách B một đoạn khơng đổi 2 AB a = . Chứng minh rằng d ln nằm trên một mặt nón tròn xoay. Bài 3: Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm thucộ đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO = 30 0 , SAB = 60 0 . tính độ dài đường sinh của hình nón theo a. Bài 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy R = 25cm. một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12cm. hãy xác định thiết diện của (P) với khối nón và tính diện tích thiết diện đó. Bài 5: Một mặt phẳng ( ) α đi qua hai đường sinh của hình nón cắt mặt đáy hình nón theo một dây cung có độ dài gấp 4 lần đường cao của hình nón. Tính góc ϕ giữa mặt phẳng ( ) α và mặt đáy của hình nón nếu ϕ bằng nửa góc ở đỉnh của thiết diện của hình nón khi cắt bởi mặt phẳng ( ) α . Bài 6: Trong khơng gian cho tam giác OIM vng tại I, góc IOM bằng 30 0 và cạnh IM = a. khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay. b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay đó. Bài 7: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó. Bài 8: Tjiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng a. tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Bài 9: Cắt một hình nón N bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của hình nón N ( diện tích tồn phần là tổng hợp diện tích xung quanh và diện tích đá) và thể tích của khối nón N. Bài 10: thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a. a) tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 0 . tính diện tích của thiết diện này. Bài 11: Cho S. ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α . Bài 12: Một hình nón có đường sinh là l và góc giữa đường sinh và đáy là α . a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho ( ) 10 <<= kk SO SI . Tính diện tích của thiết diện qua I và vng góc với trục. Bài 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB = α ( α > 45 0 ). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD. Bài 14: Cho một đường tròn nằm trên mặt phẳng (P). từ một điểm M nằm trên đường tròn ta kẻ đường thẳng )(Pmpm ⊥ . Chứng minh rằng những đường thẳng m như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Bài 15: Cho mặt phẳng (P), một điểm A nằm trên (P), một điểm B nằm ngồi (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) khơng trùng với A. Một điểm M chạy trong mặt phẳng (P) sao cho ta ln có ABM = BMH. Chứng minh rằng điểm M ln nằm trên một mmặt trụ tròn xoay có trục là AB. Bài 16: Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy bằng 10cm. người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 30 0 . cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. 1 Trường THPT Lê Lợi-Phan Thiết GV : Trần Phú Hiếu Bài 17: Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm. tính diện tích của thiết diện. Bài 18: Một hình trụ có bán kính đáy R = 53, khoảng cách giữa hai đáy h = 56. Một thiết diện song song với trục là hình vng. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện. Bài 19: Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO; = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a khơng đổi ( ) 22 4Rhah +<> . a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ khơng đổi. b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ khơng đổi. Bài 20: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích khối tứ diện OO’AB. Bài 21: Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vng đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. a) tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên. b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó. Bài 22: Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích khối trụ đó. Bài 23: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp trong một khối trụ. Tính thể tích của khối trụ. Bài 24: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vng. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương đương. c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. Bài 25: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30 0 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. c) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Bài 26: Cho hình trụ bán kính R chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy (O, R) và (O’, R) sao cho OA và O’B hợp với nhau một góc bằng x và góc (AB, O’O) = y. a) Tính bán kính R theo h, x, y. b) Tính S xq , S lp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y. §2. MẶT CẦU Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B và )(ABCSA ⊥ . a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính 2 SC R = . b) Cho SA = BC = a và 2aAB = . Tính bán kính mặt cầu nói trên. Bài 2: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vng góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vng góc của A trên SB và SC. a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu. b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, BAC = 60 0 . Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, )(ABCDSA ⊥ và 3aSA = . Gọi O là tâm hình vng ABCD và K là hình chiếu của B trên SC. a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vng. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB. b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên. 2 Trường THPT Lê Lợi-Phan Thiết GV : Trần Phú Hiếu Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D. Bài 5: Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu. tính bán kính của mặt cầu ấy, biết hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c. Bài 6: Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phưong khoảng cách từ M đến hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k 2 . Bài 7: Cho hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M trong khơng gian sao cho 0. = MBAM là mặt cầu đường kính AB. Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M trong khơng gian sao cho : MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 2 a 2 . Bài 9: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với mặt cầu S(O; R) biết khoảng cách từ O đến (P) là 2 R . Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương. Bài 11: Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3aCD = . a) tính AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD. Bài 12: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại cac tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác. Bài 13: Chúng minh rằng nếu một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối của tứ diện bằng nhau. Bài 14: Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp. a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều. b) Tính đường cao của hình chóp, biết rằng 3RIS = . Bài 15: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Bài 16: Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và gc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 60 0 . Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại K. a) Tính So, SA. b) Chứng minh SOASMK ∆−∆ ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS. c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC. d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bài 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh nđều bằng a. Chứng minh hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp. xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Bài 19: Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bân và đáy bằng 60 0 . xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 20: Cho một tứ diện có các cạnh đối nhau. Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện đó là trọng tâm của tứ diện. chứng minh rằng tâm của mặt cầu đó cách đều bốn mặt từ diện. Bài 21: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. gọi O là tâm của ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I. chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này. Bài 22: Tính bán kính mặt cầu nội tiếp trong hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a và đường cao h. Bài 23: Hai mặt cầu (O 1 ; R 1 ) và (O 2 ; R 2 ) có diện tích lần lượt là V 1 và V 2 . Tính tỉ số 2 1 V V biết rằng R= 1kR 2 . Bài 24: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a. 3 Trường THPT Lê Lợi-Phan Thiết GV : Trần Phú Hiếu a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) tính diện tích mặt cầu. c) Tính thể tích khối cầu tương ứng. Bài 25: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0 . a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b) Tính diện tích mặt cầu. c) Tính thể tích khối cầu tương ứng. §3. TỐN TỔNG HỢP Bài 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hìnhvng ABCD và đáy là hình tròn nộitiếp hình vng A’B’C’D’. Bài 2: Cho khối chóp nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao SO. Một mặt phẳng (P) cố định vng góc với SO tại O’ và cắt khối nón N theo hình tròn có bán kính R’. mặt phẳng (Q) thay đổi, vng góc với SO tại điểm O 1 (O 1 nằm giữa O và O’) cắt khối nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính x. tính x theo R và R’ để (Q) chia phần khối nón nằm giữa (P) và đáy khối nón thành hai phần có thể tích bằng nhau. Bài 3: Cho hình nón N có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là α .Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khjoảng h, cắt hình nón N theo đường tròn (C). tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và α . Bài 4: Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2 α , trong hình nón có một hình trụ nội tiếp. tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vng. Bài 5: Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của hai đường tròn đáy (O); (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 30 0 . a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’. b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’. c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’. Bài 6: Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính R và có đường cao 2Rh = . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vng góc với O’B. a) chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vng. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ. b) Gọi ( ) α là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng ( ) α . c) Chứng minh rằng ( ) α là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng 2 2R . Bài 7: Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. hai mặt phẳng 9BCD) và ABC) vng góc với nhau và góc BDC = 90 0 . Xác định tâm và bán kính mặt cânù ngoại tiếp tứ diện SABC. Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. xác định tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Bài 9: Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vng góc với nhau. a) Chứng minh tam giác ACD vng. b) tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 10: Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với đáy một góc α . Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón. Bài 11: Cho hình cầu bán kính R. từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho: ASB = ASC = BSC = α . Tính thể tích V của tứ diện SABC theo R và α . ƠN TẬP CHƯƠNG II A. tốn trắc nghiệm: Câu 1 : Cho mặt cầu (O; r) và một điểm A với OA = 2r. qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B. khi đó độ dài đoạn AB bằng: 4 Trường THPT Lê Lợi-Phan Thiết GV : Trần Phú Hiếu a) r b) 2r c) 2 3r d) 3r . Câu 2: cho hình trụ T có bán kính đáy R, trục OO’ bằng 2R và mặt cầu (S) đường kính OO’. Khí đó tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích tồn phần của hình trụ bằng: a) 1 b) 2 c) 3 1 d) 3 2 . Câu 3: Cho hình nón N sinh bởi một tam giác đều cạnh α khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón N thì có bán kính bằng: a) 4 32a b) 4 32 3 a c) a d) 2 a Câu 4:Hình chóp S.ABC có đáy la 2tam giác ABC vng tại A, có SA vng góc với đáy và có SA = a, AB = b, AC = c. mặt cầu đi qua 4 đỉnh A, B, C, S có bán kính bằng: a) 2 cba ++ b) 2 222 cba ++ c) 222 2 cba ++ d) Một đáp án khác. Câu 5: Khẳng định nào sau, khẳng định nào sai. Các hình sau đây lươn ln có các đỉnh cùng nằm trên một mặt cầu: a) Hình chóp tam giác b) hình lập phương c) Hình chóp tứ giác d) hình chóp đều n – giác Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy tính diện tích xung quanh của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vng ABCD va 2đáy là hình tròn nội tiếp hình vng A’B’C’D’. đáp số nào sau đây đúng? a) 5 2 a π b) 2 5 2 a π c) 3 5 2 a π d) 4 5 2 a π . Câu 7: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng S, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính a. khí đó, thể tích của hình trụ bằng: a) Sa 2 1 b)Sa c) 2Sa d) 3Sa. Câu 8: Chọn câu trả lời đúng trong các câu sau đây, số mặt cầu chứa một đường tròn trước là: a) 0 b) 1 c) 2 d) Vơ số. Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Bán kính 5 . thước là a, b, c. Bài 6: Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phưong khoảng cách từ M đến hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k 2 . Bài 7: Cho hai. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M trong khơng gian sao cho 0. = MBAM là mặt cầu đường kính AB. Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm