bai tap chuong 2 dai so 10 bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10bai tap chuong 2 dai so 10
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 cách Bài 2: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 3: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Bài 4: a/ Một bó hoa gồm có: hồng trắng, hồng đỏ hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy hoa? b/ Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau? ĐS: a/ 18 b/ 15 Bài 5: Một đội văn nghệ chuẩn bò kòch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kòch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kòch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Bài 6: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo cà vạt được? b/ Đã chọn áo trắng không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35 b/ 29 Bài 7: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ x ∈ A, y ∈ A b/ {x , y} ⊂ A c/ x ∈ A, y ∈ A x + y = ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ cặp Bài 8: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số: a/ Gồm chữ số? b/ Gồm chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm chữ số? d/ Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e/ Gồm chữ số viết không lặp lại? f/ Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ e/ 120 f/ 24 Bài 9: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn? e/ Khác nhau, có số lẻ? ĐS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48 Bài 10: Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn? c) Theo môn sách Toán nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 11: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa? b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? Tổ hợp – xác suất ĐS: a/ 24 b/ 12 Bài 12: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a/ 34560 b/ 120960 Bài 13: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? ĐS: 298598400 Bài 14: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a/ Tập tập đứng cạnh nhau? b/ Tập tập không đứng cạnh nhau? ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29! Bài 15: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt lần? ĐS: 3360 Bài 16: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn? ĐS: 6840 Bài 17: a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số ĐS: a/ 18 b/ 42000 c/ 13320 Bài 18: a/ Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, b/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số ĐS: a/ 37332960 b/ 96 ; 259980 Bài 19: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho ĐS: a/ 3024 b/ 36960 IV Tổ hợp Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử n! Cnk = Số tổ hợp chập k n phần tử: k !(n − k )! • Qui ước: Cn0 = Tính chất: Tổ hợp – xác suất Cn0 = Cnn = Cnk = Cnn −k Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 n − k + k −1 Cnk = Cn k Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: • Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank = k !Cnk • Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: thứ tự ⇒ Những toán mà kết phụ thuộc vào vò trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp • Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n): Cnk + Không thứ tự, không hoàn lại: + Có thứ tự, không hoàn lại: Ank Dạng 1: Tìm số tổ hợp toán số học Bài 1: Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? ĐS: • Đề gồm câu lý thuyết tập: C42 C61 = 36 • Đề gồm câu lý thuyết tập: C41 C62 = 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ ĐS: a) C40 C15 b) C25 2 C15 c) C25 2 C15 + C25 C15 + C25 C15 + C25 d) C25 4 − C25 − C15 e) C40 Bài 3: Cho điểm mặt phẳng điểm thẳng hàng Hỏi có vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? ĐS: 20 ; 10 Bài 4: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? ĐS: 1200 Bài 5: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a/ 20 b/ 150 Bài 6: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đoàn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Bài 7: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bông, hỏi có cách chọn bó hoa đó: a/ Có hồng đỏ? b/ Có hồng vàng hồng đỏ? Tổ hợp – xác suất ĐS: a/ 112 b/ 150 Bài 8: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số: a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2? b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? ĐS: a/ 360 b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) Bài 10: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số chữ số 1) b/ Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần ĐS: a/ 33600 b/ 11340 (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) Bài 11: Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy? ĐS: 1800 (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) Bài 12: Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ công tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình không đồng thời có mặt tổ? ĐS: a/ 2974 b/ 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Bài 13: Một đoàn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bò tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a/ Có cách xếp cho vò khách lên toa b/ Có cách xếp cho vò khách lên tàu có toa có vò khách nói ĐS: a/ 99 b/ 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999) Bài 14: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh ĐS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001) Dạng 2: Tìm số tổ hợp toán hình học Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành? n(n − 1) Cn2 = ĐS: • Số giao điểm: n(n − 1)(n − 2) • Số tam giác: Cn3 = Bài 2: Cho 10 điểm không gian, điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm? c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? ĐS: a) C10 b) A10 c) C10 d) C10 Bài 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? b) Giả sử đường chéo qua đỉnh không đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải đỉnh) đường chéo ấy? Tổ hợp – xác suất ĐS: a) Cn2 − n = n ⇔ n = b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (không phải đỉnh) giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4 Bài 4: Cho đa giác lồi có n-cạnh (n ∈, b ≥ 3) a/ Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b/ Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? c/ Có giao điểm đường chéo? n(n − 3) (n − 2)(n − 1)n n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ; n = b/ ĐS: a/ c/ 24 Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng 10 đường tròn trên? ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) Bài 7: Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a/ Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? b/ Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác cạnh cạnh H? ĐS: a/ 1140; 20 b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D) Bài 8: Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng điểm thẳng hàng a/ Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường không qua A hay B? b/ Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a/ 45; 28 b/ 120 ; 36 ; Bài 9: Có p điểm mặt phẳng có q điểm thẳng hàng, số lại điểm thẳng hàng Nối p điểm lại với Hỏi: a/ Có đường thẳng? b/ Chúng tạo tam giác? 1 p( p − 1) − q(q − 1) + 2; b/ p( p − 1)( p − 2) − q(q − 1)(q − 2) ĐS: a/ Bài 10: Cho p điểm không gian có q điểm đồng phẳng, số lại điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa p điểm Hỏi: a/ Có mặt phẳng khác nhau? b/ Chúng tạo tứ diện? 3 ĐS: a/ C p − Cq + 4 b/ C p − Cq Bài 11: Cho p điểm có q điểm nằm đường tròn, điểm đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu: a/ Đường tròn, đường qua ba điểm? b/ Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó? 3 ĐS: a/ C p − Cq + 4 b/ C p − Cq V Nhò thức Newton Công thức khai triển nhò thức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: Tổ hợp – xác suất ( a + b)n = n ∑ Cnk an−k bk k =0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n−k bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk = Cnn −k 5) Cn0 = Cnn = , Cnk −1 + Cnk = Cnk+1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a b giá trò đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn ⇒ Cn0 + Cn1 + + Cnn = n (x–1)n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + + (−1)n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + + (−1)n Cnn = Dạng 1: Xác đònh hệ số khai triển nhò thức Newton Bài 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhò thức: 10 a) x + ÷ x4 ĐS: a) 45 12 b) x + ÷ x4 b) 495 c) –10 c) x − ÷ x2 d) 15 1 d) x − ÷ x Bài 2: a/ Tìm hệ số x12 y13 khai triển (2 x + 3y )25 b/ Tìm số hạng khai triển ( x − xy )15 13 ĐS: a) 313.212.C25 b) T8 = −6435 x 31.y , T9 = 6435 x 29 y Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m