Bất đẳng thức và các ứng dụng nguyễn phúc tăng lê việt hưng

Tài liệu về BĐT và những điều cần biết bao nhiều 120 bài tập về bất đẳng thức, các bất đẳng thức ần nhớ giúp các em tích hợp các kiến thức để chuẩn bị kì thi HSG, đặc biệt là các học sinh khối 9 THCS. Mong các em có thể hoàn thành thật tốt nhứng bài tập này.

Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Chuyên đề: Bất đẳng thức ứng dụng Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) I ) Khái niệm bất đẳng thức : 1.1 Số thực dương, số thực âm  Nếu a số thực dương, ta ký hiệu a   Nếu a số thực âm, ta ký hiệu a   Nếu a số thực dương a  , ta nói a số thực không âm, ký hiệu a   Nếu a số thực âm a  , ta nói a số thực khơng dương, ký hiệu a  Chú ý:  Với hai số thực a, b có ba khả sau xảy ra: a  b a  b a  b  Phủ định mệnh đề "a > 0" mệnh đề " a  "  Phủ định mệnh đề "a < 0" mệnh đề " a  " Tính chất quan trọng i) x  R : x  (đẳng thức xảy x  ) 2k ii) x  0, k  N , x  R (đẳng thức xảy x  ) iii) x12 k  x22 k   xn2 k  0, k  N , xi  R (đẳng thức xảy x1  x2   xn  ) 1.2 Định nghĩa Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a  b số dương, tức a  b  Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a  b  a b   Nếu a  b a  b , ta viết a  b Ta có: a  b  a b  Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1.3 Định nghĩa Giả sử A, B hai biểu thức (bằng số chứa biến) Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu A  B " A nhỏ B ", ký hiệu A  B " A lớn hay B " ký hiệu A  B " A nhỏ hay B " ký hiệu A  B gọi bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức  Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.4 Các tính chất bất đẳng thức 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Tính chất số) Hệ số) Hệ 1.4.3 Tính chất a  b ac  b  c a  b  a c  b c (Bắc cầu) (Cộng hai vế với a  b  a c  b c (Trừ hai vế với a c  b  a  b c a  b  a c  b d  c  d (Chuyển vế) (Cộng hai vế hai bđt chiều) ac  bc c > ac  bc c < 1.4.4 Tính chất a  b   (Nhân hai vế với số) Hệ Hệ a  b  a  b a b  c  c c > ab  a  b c <  c c số) (Đổi dấu hai vế) (Chia hai vế với Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a  b   ac  bd  c  d  1.4.5 Tính chất (Nhân hai vế hai bđt chiều) 1  a b (Nghịch đảo hai vế) 1.4.6 Tính chất a b 0 0 1.4.7 Tính chất a  b  0, n  N *  a n  b n (Nâng lũy thừa 1.4.8 Tính chất a  b  0, n  N *  (Khai bậc bậc n) n a nb n) Hệ Nếu a b hai số dương : a  b  a2  b2 (Bình phương hai vế) Nếu a b hai số không âm : (Bình phương hai vế) a  b  a2  b2 Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất x  , x  x2 , x  x , -x  x Với a, b  R ta có :   a b  a  b  a  b  a  b  a.b   a  b  a  b  a.b  a b  a  b Bất đẳng thức tam giác Nếu a, b, c ba cạnh tam giác :  a > 0, b > 0, c >  b c  a  b c  c a  b  c a  a b  c  a b a b c  A B  C  II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi Bất đẳng thức ứng dụng a, b  R a, b  R ab  a, b  R a, b, c  R a2  b2 a=b  a b ab      a, b  Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ab  a=b ab a=b  a  b   a2  b2  a b a bc a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  abc  a  b  c  4   a, b, c  R a2  b2  c2   a  b  c a bc a, b, c  R a  b  c   ab  bc  ca  a bc a, b  R a, b   a b   a  b  1a  1b     1   a b ab a, b, c   a bc   a  b  c  1a  1b  1c     1    a b c abc 10 a, b   a  b 11 a, b, c  R  ax  by  cz  , x, y , z  R a, b, c, x, y, z, m, n, p > (a + b)   a  b2  c2  x2  y  z  a b c   x y z (Hệ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) x, y , z  R a, b, c  R , a b  1   8 a b  1 + 2³ a b 12 14 a  b ab  1 + ³ 2 1+ a 1+ b 1+ ab ab  13 x2 y z  x  y  z     a b c a bc (Hệ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) a b c   x y z a  b3  c3  x3  y3  z  m3  n3  p3    axm  byn  czp  (Hệ bất đẳng thức Holder) * Các bất đẳng thức quan trọng mở rộng : Các dãy tương ứng tỉ lệ Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng  Bất đẳng thức AM - GM _ Nếu a1 , a2 , , an số thực khơng âm a1  a2   an n  a1a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an Bất đẳng thức AM - GM suy rộng Cho số dương w1 , w2 , , wn thoả mãn w1  w2   wn   Nếu a1 , a2 , , an số thực khơng âm w1a1  w2 a2   wn an  a1w1 a2w2 anwn Đẳng thức xảy a1  a2   an Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:   a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  a  a  a   an  a12 a2    n  b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn Bất đẳng thức Holder Với m dãy số dương  a1,1 , a1,2 , a1,n  ,  a2,1 , a2,2 , , a2,n   am,1 , am,2 , , am,n  ta có:  m m   n   n m a  a   i , j     i , j   i 1  j 1   j 1 i 1  Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m =  Bất đẳng thức Minkowski Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có: m a12  b12  a22  b22   an2  bn2   a1  a2   an    b1  b2   bn  2 Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  Bất đẳng thức ứng dụng n Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a1a2 an  n b1b2 bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn  Dấu ‘‘=’’ bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz  Bất đẳng thức Vonicur Schur _ Cho số thực không âm a, b, c Nếu r  0, ar  a  b  a  c   br  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   Đẳng thức xảy a = b = c, a = 0, b = c hốn vị Với bất đẳng thức ta có hệ sau:  Trong trường hợp r = 1, ta có dạng tương đương sau: 3 a a  b  c  3abc  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a ) 3 3 b 4(a  b  c )  15abc  (a  b  c) 2 c a  b  c  d  Trong a 9abc  2(ab  bc  ca ) a b c a b c 4abc    2 b  c c  a a  b (a  b)(b  c )(c  a ) trường hợp r = 2, ta có dạng tương đương: a  abc(a  b  c)  ab(a  b2 ) 2 b 6abc(a  b  c)  (2ab  a )( a  ab) Bất đẳng thức Bernolli _ Với số nguyên r  x > -1  1  x  r   rx III ) Một số kỹ thuật bất đẳng thức : 1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: Ví Dụ 1:Cho x  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x  x Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng a  b  ab ta có: A x  1  x  x x , x x=1, nhiên x=1 lại không nằm khoảng giá trị x  mà tốn quy định Vì với lời giải ta tìm sai điểm rơi cho toán Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ta có lời giải sau: Ta thấy lời giải sai đánh giá , dấu xảy x  Bất đẳng thức ứng dụng A  Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 8x  x  8.3 x 24 10    2    9 x  9 x 3 Ra thêm: Ví Dụ 2:Cho x  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  3x  2x Ví Dụ 3:Cho x>2 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: C  4x   x 4 Ví Dụ 4:Cho a,b >0 a+2b = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: D  ab2 Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: a b  b c  c a  2) Kỹ thuật đổi biến : Ví Dụ 1: Cho x,y,z > , xyz=1 Chứng minh : x y  y z  z x  (Lê Việt Hưng) Lời giải : Từ xyz=1 ta đặt :    x  a b c ; y  ;c  b c a b c a    a c a b b c a c b a c b     b b c c a a Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: x=y=z=1 Ví Dụ 2:Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng: (Bất đẳng thức Nesbit) a b c a  b2  c  bc ca ab        3 3 a b c  (NguyenDungTN) bc ca ab  x;  y; z b c Lời giải :Từ ta đặt: a Từ ta cần chứng minh: xy  yz  zx x  y  z  3 Bất đẳng thức ứng dụng    Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xy  yz  zx  x  y  z  ( Đây dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z > , abc=1 Chứng minh :   a b 1    b c 1    c a 1  (Sưu tầm) a Lời giải : Từ abc=1 ta đặt  x y z ;b  ; c  y z x , : 1 yz zx xy       x y y z z x xy  zx yz  xy zx  yz (  1) (  1) (  1) y z z x x y (Nesbit) VT Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy : a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Chứng minh rằng:  1 1 1  a    b     c     b c  a  (IMO 2000) a Lời giải :Từ abc=1 ta đặt VT  Ta có: x y z ;b  ; c  y z x (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y ) 1 xyz  (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y )  xyz (Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5: Cho a,c>0 b  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 c2 a b T    2a a  c b2  c (Nguyễn Phúc Tăng) a2 c2 a b Lời giải : T  a  c  b2  c  2a  1 1 b      a c2 b2  1 1 a c Bất đẳng thức ứng dụng Đặt : x  Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng c b ;y  a c Ta được: T  1  xy   2 1x 1y Từ ta sử dụng bất đẳng thức phụ: 1   2  xy 1x 1y 1  xy  xy     2 2  xy 1x 1y  T  Vậy giá trị nhỏ T x=y=1 Ví Dụ 6:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: abc=1 Chưng minh rằng: 1a b 1 Lời giải: Đặt: a  x ;b  y ; c  z , ta được: 1x  y6 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1x y   z4  x  1  x y2  1  y z  x   y      z4  x  x y2  y2  z2   x  x  x 2yz  z 2x  y2  z2 Vậy ta cần chứng minh: x  y2  z2   x  y z 2     xyz x  y  z   x y  y z  z x  xyz x  y  z 2 1  xy  yz  yz  zx  zx  xy 2 2  2  2     0 Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 7:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng: 1   1 a a 1 b b 1 c c 1 (Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) Lời giải: Vì a,b,c nên ta đặt: a  xy yz zx ;b  ; z  2 z x y Khi bất đẳng thức cho trở thành:   Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 4 x y z  2  2 1 4 y z  x yz  x z x  xy z  y x y  xyz  z 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 4  x y z  2  2  4 y z  x yz  x z x  xy z  y x y  xyz  z 2 x x2  y2  z2     y z  xyz x  y  z 2 Vậy ta cần chứng minh: x  y2  z2   x  y z 2     xyz x  y  z    x 2y  y 2z  z 2x  xyz x  y  z 2 1  xy  yz  yz  zx  zx  xy  2 Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng:      1   1 2 2  c  bc  a  ca  b  ab2 (Lê Việt Hưng) x y y z Lời giải: Vì abc=1 nên ta đặt: a  ;b  ; c  z x Bất đẳng thức viết lại thành: x2 y2 z2   1 x  z  yz y  x  zx z  y  xy x4 y4 z4    1 x  x 2z  x 2yz y  x 2y  xy 2z z  y 2z  xyz Chứng minh bất đẳng thức tương tự ví dụ Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho a, b, c > Chứng minh : 1 1    3. a b c a  2b (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) Lời giải :  1 1 1    ;    ;    (Cauchy-Swcharz) a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a  1 1  1  3     9    a b c   a  2b b  2c c  2a  10  Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a  b  Bài 21:Cho x,y,z >0 Chứng minh rằng: x3  y3  z3  x y z a   (Nguyễn Việt Hùng) Bài 22: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng:  a  bc (Romania 2005) Bài 23: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  2a)  2a  (b  c)2  (USA MO 2003) Bài 24: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn (x - y)(x - z) = 1; y minh rằng: 4  cyc ( x  y )  z Chứng (ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017) Bài 25: Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng:   ( xy  yz  xz )   2   x  y   (Iranian Mathematical Olumpiad 1996) 2 Bài 26 : Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2a  abc  a  b cyc (Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017) Bài 27: Chứng minh với a, b, c, d > ta ln có : 1 1 abcd  3 3 3 a b c d abcd (Đề thi Austrian MO 2005) Bài 28 :Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: 32 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a  b5  c  d abcd  abcd (Collection) Bài 29:Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:      a b c b c a c a b   a b b c c a  (Lê Việt Hưng) Bài 30:Cho a,b,c > thỏa mãn x+y+z = Chứng minh rằng:  4xyz  x  yz cyc (Lê Việt Hưng) Bài 31:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng:  xyz x y 1 cyc (Lê Việt Hưng) Bài 32: Cho a, b, c số thực không âm khơng có hai số đồng thời Chứng minh : a (b  c)  b2  bc  c  (Darij Grinberg) Bài 33: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng:  4b cyc a 1    a ,b , c a a  (Đề thi Greece MO 2002) Bài 34:Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:   cyc a ( a  c ) (Đề thi Zhaukovty 2008) Bài 35: Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác Chứng minh :  x     y  z     (Tạp chí toán học tuổi trẻ, T4, Số 42, Tháng 7/2012) Bài 36: Cho x, y, z số thực dương có tích 1.Chứng minh rằng: 33 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng x 3  (1  y)(1  z)  ( IMO Shortlist 1998) Bài 37:Cho x,y,z >0 thỏa mãn  x  y y  z z  x   Chứng minh rằng:    4 xy  yz  zx    x y    (Trần Nam Dũng, VMO 2008) Bài 38:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:     a b c   1 1      a b c     b c a  a b c    (British MO 2005) Bài 39:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: b c c a a b 1      2 a b c a  bc b  ca c  ab (Sưu tầm) Bài 40:Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng: a a b  b b c c  c a  (Phạm Hữu Đức) Bài 41:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = xyz Chứng minh rằng: 1  x2  1  y2   z2  (Korean MO 1998) Bài 42:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: bc a  bc  ca b  ca ab  c  ab  (Sưu tầm) Bài 43:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:       a  b  c ab  bc  ca  a  b b  c c  a (Sưu tầm) Bài 44:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: 34  Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a 2b b2c c 2a   1 2a  b 2b  c 2c  a (Sưu tầm) Bài 45:Cho a,b,c,d số thực dương thỏa mãn abcd=1 Chứng minh rằng: a b  a  ab  (Nguyễn Việt Hùng) Bài 46:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh a b c 9abc    4 b c a a  b  c ab  bc  ca    (Lê Việt Hưng) 1   Chứng minh rằng: a b c Bài 47: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a  b  c  a b c   a  b  c abc (Peru TST 2007) Bài 48:Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng: a  b2   a  b  c a  b  c b  c  a c  a  b  (British National MO 2007) Bài 49:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: 1  ab  bc  ca a  b  c (Macedonia TST 2007) Bài 50:Cho a,b,c,d số thực dương a+b+c+d=1 Chứng minh rằng:   a  b  c  d  a  b2  c  d  (France TST 2007) Bài 51:Cho x,y,z số thực dương a+b+c=1 Chứng minh rằng:  xy xy  yz  (China TST 2006) Bài 52:Cho a,b,c số thực dương abc=1 Chứng minh rằng: 35 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a3   b c  a b c (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 53:Cho a,b,c số thực không âm ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng: 1    a b b c c a (MOSP 2000) Bài 54:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a  b4  c  ab  bc  ca  bc cyc (Trần Hữu Thiên) Bài 55: Cho a,b,c số thực không âm Chứng minh rằng: a  b  c  a b c   a b (Trần Quốc Anh) Bài 56:Cho x, y, z > thoả mãn 1    12 x y yz zx Chứng minh rằng:  x  y  3z  (Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017) 2 Bài 57: Cho x, y, z > x  y  z  Chứng minh rằng:   xy  cyc (ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 ) Bài 58: Cho a, b, c > a + b +c =3 Chứng minh : a 1 b cyc  (Bulgarian TST 2003) Bài 59: Cho x, y, z >0 Chứng minh rằng: x x 1 ( x  y)( x  z ) (Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math) Bài 60: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh : 36 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xyz ( x  y  z  x  y  z )   ( x  y  z )( xy  yz  zx) (Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015) Bài 61: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 1 x  y  z  xy  yz  zx (Tạp chí tốn học tuổi trẻ, T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012) Bài 62: Cho a, b, c >0 Chứng minh : a 1   b  abc abc (Đề thi USA MO 1997) Bài 63: Cho a,b,c > Chứng minh : a ab 1  b5  ab (ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Bài 64:Cho a,b,c số thực dương ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng: a b c    abc  b c a (Lê Việt Hưng) Bài 65:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz  xy  yz  xz Chứng minh rằng:  xyz  x  y  z  (India 2001) Bài 66:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a b a c b c a b c      a c b c a b b c a (Mathlinks Contests) Bài 67:Cho a,b,c,d >0 a  b2  c  d  Chứng minh rằng: a 3bc  b3cd  c 3da  d 3ab  (Trần Quốc Anh) Bài 68:Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh rằng: a   2a  a  (Trần Hữu Thiên) 37 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 69: Cho x,y,z>0 a,b  R Chứng minh rằng: x2 y2 z2    (ay  bz )(az  by ) (ax  bz )(az  bx ) (ax  by )(ay  bx ) (a  b)2 (Olympiad 30-4) Bài 70:Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: 4(a  b  c ) b c  a  (a  b)(b  c )(c  a ) (Darij Grinberg) Bài 71:Cho a,b,c  a+b+c=2 Chứng minh rằng: ab bc ca   1 2 1c 1a  b2 (Phạm Kim Hùng) Bài 72: Cho a,b,c số thực đôi khác Chứng minh rằng: 2  a   b   c        1 a  b  b  c  c  a  (IMO 2008) Bài 73:Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh : a  (b  c)  4(a  b  c) (Darij Grinberg) Bài 74: Cho a,b,c > thõa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   8a b c 2 (Nguyễn Việt Hùng) Bài 75:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a      b2  c   a  b  c  (APMO 2004) Bài 76: Cho a,b,c có số thực khơng âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c    b3  16 c  16 a  16 (Trần Quốc Anh) Bài 77: Cho a,b,c số thực dương a  b2  c  Chứng minh rằng: a b3 c    abc  b c a (Nguyễn Phúc Tăng) 38 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 78:Cho a,b,c số thực đôi khác Chứng minh rằng: 2  a   b   c        2 b  c  c  a  a  b  Bài 79: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a a bc  bc Bài 80: Chứng minh với số thực a, b, c không âm ta ln có: a a  abc a  2b  cyc Bài 81: Chứng minh với số thực a, b, c khơng âm ta ln có: a  b  3c  Bài 82: Cho a, b, c  0; a + b + c = Chứng minh rằng: a   b  bc  Bài 83: Cho a, b, c  Chứng minh rằng:  2a  ab  bc  2a  b  c Bài 84: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a 6a  b3  c Bài 85: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a   1  b3  c Bài 86:Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng:   abc 4a  bc Bài 87:Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:  a  a b c bca Bài 88:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn 1    Chứng minh rằng: a b c a b2 c     a b c bc ca ab (Lê Việt Hưng) 39 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 89:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a      cyc  b  c  (Việt Nam MO 2005) Bài 90:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z=3 Chứng minh rằng:  x3   xy  yz  zx  27 cyc y   (Iranian National Olympiad 3rd Round 2008) Bài 91:Cho x,y,z >0 thỏa mãn xyz=1.Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  2y  cyc (Lạng Sơn TST) Bài 92:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:   a  b2  c a  b  c a b3 c    b c a ab  bc  ca  (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 93:Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: a b  1  a  b  2ab   3  ab  a  ab   a  b   a  b ab    (Báo toán học tuổi trẻ) Bài 94:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc Chứng minh rằng: a3  b  b3  c   c3  a (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Bình) Bài 95:Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=8.Chứng minh rằng:  cyc a a2    b3   (APMO 2005) Bài 96:Cho a,b,c số thực khác 0.Chứng minh rằng:  x2  3 y2 (Azerbaijan Junior MO) Bài 97:Cho x,y, số thực dương thỏa mãn x  y  z  3xyz 40 Bất đẳng thức ứng dụng Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng x2 y2 z2   1 y 2 z 2 x 2 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Bài 98:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  ab c c a    bc a a b    ca b b c  a b c   c a a b b c  Bài 99:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  b a b    c b c    a c a   27  a b c  Bài 100:Cho x,y,z số thực dương Chứng minh rằng:     x  y  z   x1  y1  z1    x 1  1 1  y2  z2     y z  x  Bài 101:Cho a,b,c >0 a+b+c=1 Chứng minh rằng: a  b b2  c c  a   2 b c c a a b Bài 102:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a2  b2  c  a b c (Vasile Cirtoaje) Bài 103:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng:  a b c    b c a    c a b   (IMO 1995) Bài 104:Cho a,b,c >0 a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca    1c 1a 1b Bài 105:Cho a,b,c số thực dương Chưng minh rằng:  a3  a3  b  c  1 Bài 106:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a b3 c    a b c bc ca ab 41 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng (Canada TST 2002) Bài 107:Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện a  b2  c  Chứng minh rằng: 1     ab  bc  ca (Belarus TST 1999) Bài 108: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Chứng minh rằng: x 2y  y 2z  z 2x  27 (Canada TST 1999) Bài 109:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:   a  b2  c a  b  c a2 b  ab  bc  ca  Bài 110:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc Chứng minh rằng: a  a  bc  (Lê Việt Hưng) Bài 111:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a     ab  b2 b2  bc  c  a  b  c  Bài 112:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh rằng: a2   b2  ca  (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 113: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng: 1   1 2x 2y 2z Bài 114:Cho a,b số thực dương thỏa mãn a+b=1 Chứng minh rằng: a2 b2   a 1 b 1 (Hungary 1996) Bài 115:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a a  8bc (IMO 2001) 42 1 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Bài 116: Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz Chứng minh rằng:  xy  yz  zx  x  y  z  (Belarus 1996) Bài 117:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  a  b2  c  2abc   ab  bc  ca  Bài 118:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:  a b2 c    a  b2  c b c a  (Junior Balkan TST 2006) Bài 119:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:   a  b  c a b c   1   1   1    1  b  c  a abc    (APMO 1998) Bài 120:Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: b  c  a  b  c   a 2 c  a  b   a  b  c   c  a   b a  b   c 2 2  (Japan 1997) * Các kí hiệu viết tắt thường dùng : n  a k 1   a1  a2   an k a b  a b b c c a 2 2 (Sigma cyclic: Tổng hoá vị) cyc   a b  a b  b c  c a  ab 2 k  a1a2 an 2  bc  ca (Sigma Symmetric: Tổng đối xứng ) sym n  a k 1  R -Tập số thực R -Tập số thực dương  N* - Tập số tự nhiên bỏ qua phần tử  Q - Tập số hữu tỉ  [a, b] - Đoạn (khoảng đóng) hai đầu mút a, b  (a, b) - Đoạn mở hai đầu mút a, b Chú thích: 43 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng  MO - National Mathematical Olympiad  IMO - International Mathematical Olympiad  TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad  VMEO - Viet Nam Mathematical EOlympiad  VMO - Viet Nam Mathematical Olympiad  S.O.S - Sum of Square  MV - Mixing Variables hay dồn biến  SMV - Stronger Mixing Variables hay dồn biến mạnh  THTT - Mathematical and Youth Magazine hay tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ  APMO - Asian Pacific Mathematical Olympiad  R.M.M - Rumanian Mathematical Magazine V)Các tài liệu tham khảo: [1] Inequality III Group/ Facebook [2] Solving Inequality*****/ Facebook [3] Mathematical Inequality Group/ Facebook [4] Imad Zak Group/ Facebook [5] Diendantoanhoc.net [6] http://www.ssmrmh.ro/ [7] mathlinks.ro [8] http://math.stackexchange.com/ [9] Crux Mathematicorum [10] Mathematical and Youth Magazine [11] Romanian Magazine [12] Kalva.demon.co.uk [13] Mathnfriend.net [14] k2pi.com [15] Mathlinks Inequality Forum [16] Vaslie Cirtoaje [17] Daniel Sitaru [18] Leonard Giugiuc [19] Mathematical Reflections [20] Hojoo Lee - Topics in Inequalities [21] Kavant Magazine [22] IMO Shortlist [23] Ha Noi Mathematical Open Compertion [24] Blog Solving Inequality***** 44 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 45 Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 46