Bài giảng toán kinh tế

Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế Bài giảng toán kinh tế

Bài giảng toán kinh tế Giới hạn vô hạn hàm số: lim f ( x) = +∞ x → x0 ∀N > lớn tuỳ ý, δ∃ > 0: < |x – x0| < δ ⇒ f(x) > N lim f ( x) = −∞ x → x0 ∀N < nhỏ tuỳ ý, δ∃ > 0: < |x – x0|< δ ⇒ f(x) < N Ví dụ: chứng minh = +∞ x→a ( x − a ) lim Các tính chất giới hạn hàm số: Định lý: lim f(x) = L1 lim g(x) = L2 • Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2 • Lim [f(x)g(x)] = L1L2 • Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0) • Lim [f(x)]m = L1m (L1m ∈ R) • Lim C = C • Lim [Cf(x)] = CL1 Ghi chú: Nếu gặp dạng vô định 0/0, 0.∞, ∞ - ∞, 1∞ phải biến đổi để khử chúng Ví dụ: Tìm sin x x→ x + x + a ) limπ b) lim x →1 x −1 x −1 c) lim x →2 x −8 x−2 Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) x thuộc lân cận x0 Nếu lim g ( x) = lim h( x ) = L => x → x0 x→ x0 lim f ( x) = L x → x0 Định lý: Trong trình, lim u(x) = L f hàm sơ cấp xác định lân cận L, lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] Ví dụ: Tìm  πx +   lim sin  x →∞  2x − x  Một số giới hạn đặc biệt: x ax −1  1 sin x lim = ln a lim + = e   lim = x→∞ x →0 x x→0  x x lim(1 + x ) x →0 www.nguyenngoclam.com 1/ x =e lim x →0 ln(1 + x) =1 x Bài giảng toán kinh tế Ví dụ: Chứng minh: tgx =1 x →0 x lim Ví dụ: Tìm:x 3+ x lim  x →∞  x  arctgx =1 x →0 x arcsin x =1 x →0 x lim lim  x + 2 lim  x →∞ x −   x +3 So sánh vô bé Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi vô bé trình limf(x) = Định nghĩa: Cho f(x), g(x) hai VCB trình: • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) VCB bậc cao g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞, f(x) VCB bậc thấp g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) hai VCB bậc • Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) hai VCB tương đương Ký hiệu f(x)~g(x) • Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) hai VCB không so sánh Định lý: Nếu f(x), g(x) hai VCB, Nếu f(x)~f1(x), g(x)~g1(x) lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) VCB bậc cao f(x) trình f(x) + g(x) ~ f(x) Ví dụ: Chứng minh sin x + arcsin x − arctg x lim = x →0 3x sin x x ~ x + x Khi x →0 So sánh vô lớn: Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi vô lớn trình lim F(x) = ∞ • Trong trình, f(x) CVB 1/f(x) VCL • Ngược lại, F(x) VCL 1/F(x) VCB Định nghĩa: Cho F(x), G(x) hai VCL trình: • Nếu lim[F(x)/G(x)] = ∞, F(x) VCL bậc cao G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) VCL bậc thấp G(x) • Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ∞), ta nói F(x), G(x) hai VCL bậc www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế • Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) hai VCL tương đương Ký hiệu F(x)~G(x) Định lý: Nếu F(x), G(x) hai VCL trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G1(x) lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) VCL bậc thấp F(x) trình F(x) + G(x) ~ F(x) Ví dụ: Tìm x3 − x5 + x x →∞ 12 x + x − x lim Định nghĩa: Hàm số f gọi liên tục x0 nếu: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 f ( x) = f ( x0 ) Nếu cóxlim →x + lim f ( x) = f ( x0 ) x→ x − f gọi liên tục bên phải (bên trái) x0 Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi gián đoạn x không liên tục x0 Vậy x0 điểm gián đoạn hàm số f(x) nếu: - Hoặc f(x) không xác định x0 - Hoặc f(x) xác định x0 lim f(x) ≠ f(x0) x → x0 - Hoặc không tồn lim f(x) x → x0 Ví dụ: Xác định tính liên tục x0 =  x + x ≤ f ( x) =   x − x > f ( x) = x Định nghĩa: f gọi liên tục khoảng mở (a,b) liên tục điểm thuộc khoảng đó, • f gọi liên tục khoảng đóng [a,b] liên tục điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải a liên tục bên trái b Định lý: Nếu f, g hàm số liên tục x hàm số sau liên tục x0: kf (k số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0) Định lý: Trong trình limu(x) = u f liên tục u0 Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0) Định lý: Nếu f liên tục (a,b) f(a)f(b) < ∃x0 ∈ (a,b): f(x0) = Định lý: Nếu f liên tục [a,b] f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ [a,b] Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế ξ1 ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định (a,b) x0 ∈ (a,b) Nếu tồn lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số f(x) x Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt ∆x = x – x0, ta có x = x0 + ∆x ∆y đặt ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) thìy ' = ∆lim x →0 ∆x Ký hiệu dy/dx, df/dx ∆y Đạo hàm bên phải:y ' = ∆lim x →0+ ∆x ∆y Đạo hàm bên trái: y ' = ∆lim x → − ∆x - Hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) có đạo hàm điểm khoảng đó, - f(x) có đạo hàm đoạn [a,b] có đạo hàm điểm khoảng (a,b), có đạo hàm phải a đạo hàm trái b Ví dụ: Tìm đạo hàm y = x2, y = sinx Đạo hàm tổng thương tích hai hàm số: Nếu hàm số u, v có đạo hàm x thì: • u + v có đạo hàm x (u + v)’ = u’ + v’ • u.v có đạo hàm x (u.v)’ = u’v + v’u '  u  u ' v − v' u   = u/v có đạo hàm x\V(x)≠0 v2 v • Đạo hàm hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x y’(x) = y’(u).u’(x) Đạo hàm hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x, f’(x) ≠ có hàm số ngược x -1 = f (y) hàm số x = f-1(y) có đạo hàm y = f(x): ( f −1 )' ( y ) = 1 = f ' ( x ) f '[ f −1 ( y )] Ví dụ, tìm đạoA hàm y = arcsinx Đạo hàm hàm số sơ cấp bản: www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế (c)’ = (xα)’ = αxα-1 (ax)’ = axlna (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx (tgx)' = cos x (log a x)' = x ln a (arcsin x)' = (cot gx)' = − (ln x)' = 1− x sin x (arc cot gx )' = − x (arccos x)' = − (arctgx )' = 1 − x2 1+ x2 1 + x2 Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) gọi đạo hàm cấp Đạo hàm, có, đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2y d2 f , dx dx Tương tự, đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) đạo hàm cấp n Ký hiệu: f(n) (x), y(n)(x) dny dn f , dx n dx n Ví dụ: Cho y = xα (α ∈ R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n Khi ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv )( n ) = ∑ Cnk u ( n−k ) v k k =0 u(0) = u, v(0) = v ξ2 VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) gọi vi phân cấp hàm vdu − udv  u số f d  = Vi phân tổng, tích, thương: v  v2 d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) gọi vi phân cấp n hàm số f ξ3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế Định lý Rolle: Nếu f hàm số liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a) = f(b) tồn c ∈ (a,b) cho f’(c) = Định lý Lagrange: Nếu f hàm số liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c ∈ (a,b) cho f (b) − f ( a) = f ' (c ) b−a Nhận xét: Định lý Rolle trường hợp đặc biệt định lý Lagrange trường hợp f(b) = f(a) Định lý Cauchy: Nếu f , g liên tục [a,b], khả vi khoảng (a,b) g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a,b) tồn c ∈ (a,b) cho f (b) − f ( a) f ' (c) = g (b) − g (a ) g ' (c ) Nhận xét: Định lý Lagrange trường hợp đặc biệt định lý Cauchy trường hợp g(x) = x Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) lân cận D x ∀x ∈ D, x ≠ x0 tồn cf nằm ' ( x ) x vàf "x(0xsao ) cho: f ( x) = f ( x0 ) + + f 1! ( x − x0 ) + 2! ( x − x0 ) + ( n +1) (n) ( x0 ) f (c ) ( x − x0 ) n + ( x − x0 ) n +1 n! (n + 1)! Số hạng cuối gọi phần dư Lagrang Rn ( x) = • Đa thức Taylor: n Pn ( x) = ∑ k =0 f ( n +1) (c ) ( x − x0 ) n +1 (n + 1)! f k ( x0 ) ( x − x0 ) k k! Khi x0=0 công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ' (0) f " (0) f ( n ) (0) n f ( n +1) (c ) n +1 f ( x) = f (0) + x+ x + + x + x 1! 2! n! (n + 1)! L’Hospital khử dựng vô định tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi (a,b), g’(x) ≠ với x ∈ (a,b) lim f ( x) = lim g ( x) = x→a x →a lim x →a f ' ( x) f ' ( x) = lim =L g ' ( x) x→a g ' ( x) www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế Nhận xét: Qui tắc L’Hospital nếu: lim f ( x ) = lim g ( x) = x →∞ x →∞ lim f ( x) = lim g ( x) = ∞ x →a x →a lim f ( x) = lim g ( x ) = ∞ x →∞ x →∞ • Qui tắc L’Hospital áp dụng nhiều lần Dạng 0/0, ∞/∞ Ví dụ:3 Tìm giới hạn sau (dạng 0/0) lim x →3 x − 27 x − 4x + lim x →0 tgx − x x − sin x lim x →0 x − sin x x3 Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞) xn x → +∞ e x ln x x → +∞ x n ln x x →0+ cot gx lim π − arctgx lim x →∞ x lim lim Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Chuyển chúng dạng 0/0, ∞/∞ Ví dụ: lim ( lim( − x )tg (πx / 4) lim x ln x x →0+ x →π / x →2 cos x − tgx ) Dạng vô định: 00, 1∞, ∞0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: lim x x x →0 + lim x1− x x→1 lim(cot gx) ln x x→1 CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f gọi đạt cực đại (cực tiểu) x tồn lân cận x0 cho f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) Chiều biến thiên hàm số: Định lý: Cho f khả vi (a,b): Nếu f’(x) > với x ∈ (a,b) f tăng Nếu f’(x) < với x ∈ (a,b) f giảm Điều kiện cần cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị điểm x = x có đạo hàm điểm f’(x0) = Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = x = hàm số không đạt cực trị Hàm số y = x đạt cực tiểu x = f’(0) không tồn www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau gọi chung điểm tới hạn f: a) Không tồn f’(x) b) f’(x) = Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = gọi điểm dừng f Điều kiện đủ cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương f(x) đạt cực tiểu x0 c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu f(x) không đạt cực trị x0 Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm x0 f’(x) = a) Nếu f”(x0) > f(x) đạt cực tiểu b) Nếu f”(x0) < f(x) đạt cực đại Giá trị lớn bé hàm số đoạn: Tính giá f điểm tới hạn điểm hai đầu mút Giá trị lớn (nhỏ nhất) giá trị tính giá trị lớn (nhỏ cần tìm) Ví dụ: tìm giá trị lớn bé hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 đoạn [-1/2, 4] Biến kinh tế: Q QS QD P C TC R TR Pr K L FC Quantity Quantity Supplied Quantity Demanded Price Cost Total Cost Revenue Total Revenue Profit Capital Labour Fix Cost Sản lượng Lượng cung Lượng cầu Giá Chi phí Tổng chi phí Doanh thu Tổng doanh thu Lợi nhuận Tư Lao động Định phí www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế VC Variable Cost Biến phí Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu : TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) • Hàm lợi nhuận : π = TR - TC Ví dụ: Một quán bún bình dân, tính ngày bán tô có lời với giá bán 5.000đ/tô chi phí sau: Thuê mặt bằng, 50.000đ/ngày điện nước Bún 300đ/tô Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo 2.000đ/tô Nhân viên 500đ/tô Ý nghĩa đạo hàm kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường thay đổi sản lượng tăng lao động hay vốn lên đơn vị Q=5 L • Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên doanh nghiệp cho nhận xét L=100 cho hàm sản xuất sau: • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC đại lượng đo lường thay đổi chi phí sản lượng tăng lên đơn vị • Ví dụ: Tìm MC MC Q = 50 cho nhận xét TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ • Nếu: Q thị trường định, giá doanh nghiệp định MR đại lượng đo lường thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị • Nếu: Q doanh nghiệp định, giá thị trường định MR đại lượng đo lường thay đổi doanh thu giá tăng thêm đơn vị • Ví dụ: Một sản phẩm thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR p = 40 p = 30 www.nguyenngoclam.com Bài giảng toán kinh tế • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên đại lượng đo lường thay đổi lợi nhuận giá hay sản lượng tăng thêm đơn vị • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = Px – TC(x)  dπ  d (TR − TC ) = =0  dx  dx ⇔  d π   d (TR − TC ) < [...].. .Bài giảng toán kinh tế www.nguyenngoclam.com 11