Chuong 3 1

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN FOURIER CỦA TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI GV: ThS Đinh Thị Thái Mai 3.1 Hệ thống liên tục • Tín hiệu dạng sin hệ thống LTI • Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn • Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn Tín hiệu dạng sin hệ LTI • Đáp ứng hệ thống LTI với tín hiệu dạng sin • Xem xét hệ thống LTI có đáp ứng xung h(t) tín hiệu vào x(t)=ejωt Đáp ứng hệ thống tính sau: ∞ ∞ − jωτ jω(t −τ ) jωt jωt (t) * x(t) ∫ h(τ )e= y(t) h= dτ e ∫ h(τ )= e dτ H (ω)e −∞ −∞ H(ω) đáp ứng tần số: H (ω) = ∞ − jωτ h ( τ ) e dτ ∫ −∞ đặc trưng cho đáp ứng hệ thống với tần số ω tín hiệu vào dạng sin Tín hiệu dạng sin hệ LTI • Tín hiệu có tần số với tần số tín hiệu vào dạng sin • Sự thay đổi biên độ pha tín hiệu so với tín hiệu vào đặc trưng đáp ứng tần số H(ω) với hai thành phần sau đây: = H (ω) Re[H (ω)]2 + Im[H (ω)]2 gọi đáp ứng biên độ ϕ(ω) = a tan Im[H (ω)] Re[H (ω)] gọi đáp ứng pha hệ thống Tín hiệu dạng sin hệ LTI • Khi ta biểu diễn tín hiệu dạng sau đây: y(t) H (ω) e jϕ(ω)e jωt H (ω) e j[ωt +ϕ(ω)] = = nghĩa so với tín hiệu vào tín hiệu có biên độ lớn gấp |H(ω)| lần lệch pha góc φ(ω) Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hoàn • Một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T biểu diễn cách xác chuỗi Fourier đây: x(t) = ∞ jkωot c e ∑ k k = −∞ ω0=2π/T tần số tín hiệu x(t) • Nói cách khác, tín hiệu tuần hoàn biểu diễn tổ hợp tuyến tính tín hiệu dạng sin phức có tần số số nguyên lần tần số Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn Điều kiện hội tụ • Điều kiện để sai số bình phương trung bình x(t) biểu diễn chuỗi Fourier x(t) không x(t) phải tín hiệu công suất, nghĩa là: T x ( t ) dt < ∞ ∫ T0 • Điều kiện hội tụ điểm (điều kiện Dirichlet): • x(t) bị chặn • Số điểm cực trị chu kỳ x(t) hữu hạn • Số điểm không liên tục chu kỳ x(t) hữu hạn Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn Biểu diễn đáp ứng hệ LTI • Đáp ứng hệ LTI có đáp ứng tần số H(ω) với thành phần ejkω0t H(kω0)ejkω0t → đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào x(t) biểu diễn sau: ∞ y(t) = ∑ ck H (kω0)e jkω0t k = −∞ Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn • Tính trực giao thành phần ejkω0t • Hai tín hiệu f(t) g(t) tuần hoàn với chu kỳ T gọi trực giao điều kiện sau thỏa mãn: T * f ( t ) g (t)dt = ∫ • Hai tín hiệu ejkω0t ejlω0t với tần số ω0 = 2π/T trực giao k≠l: T ∀k ≠ l : ∫ e jkω0te− jlω0tdt = 0 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn • Tính hệ số chuỗi Fourier • Các hệ số chuỗi Fourier tín hiệu tuần hoàn x(t) tính cách sử dụng tính chất trực giao tín hiệu thành phần {ejkω0t } sau: ∞ T T 0 l = −∞ − jkω0t = x ( t ) e dt ∫ T jlω0t − jkω0t = c e ∫ ∑ l e dt → ck =∫ x(t)e− jkω0tdt T0 ∞ T l = −∞ jlω0t − jkω0t = c e ∑ l ∫ e dt ckT Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn • Tính đạo hàm: ∞ dx(t) jkω0t x(t) ∑ cke = → = dt k = −∞ ∞ jkω0t ( ) jk c e ω ∑ 0k k = −∞ • Tính tích phân: x(t) = ∞ ∑ce k = −∞ k jkω0t → t ∞ −∞ k = −∞ ∫ x(τ )dτ = ∑ ck jkω0t e jkω0 Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn • Công thức Parseval: ∞ 2 x(t) dt = ∑ ck ∫ T0 k = −∞ T Giá trị |ck|2 coi đại diện cho công suất tín hiệu thành phần ejkω0t tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn giá trị |ck|2 theo tần số ωk = kωk (k Є Z) cho ta biết phân bố công suất tín hiệu x(t) gọi phổ mật độ công suất x(t) Chú ý: phổ mật độ công suất tín hiệu tuần hoàn hàm theo tần số rời rạc Biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu liên tục tuần hoàn • Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu diễn chuỗi Fourier x(t) = ∞ jkω0t c e ∑ k k = −∞ phổ mật độ công suất x(t) hàm chẵn, 2 c−k Ngoài ra: nghĩa là: ∀k : ck = c−*k • Nếu x(t) tín hiệu thực: ∀k : ck = c−k • Nếu x(t) tín hiệu thực chẵn: ∀k : ck = • Nếu x(t) tín hiệu thực lẻ: ∀k : ck = −c−k Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier • Vì ω0 →0 nên ω = kω0 biến liên tục, ta viết lại biểu thức phần trước sau: ∞ x(t) ∞ c(ω) jωt jωt lim= = ∫ c(ω)e dω lim ∫ e dω ω0 →0 ω0 −∞ ω0 →0 −∞ ω0 đó, c(ω) hàm theo tần số liên tục xác định sau: π /ω0 ω0 − jωt c (ω ) = lim x ( t ) e dt ∫ ω0 →0 2π −π /ω0 Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Biến đổi Fourier • Đặt X(ω) = 2πc(ω)/ω0, có công thức biến đổi Fourier tín hiệu x(t): = X (ω) F= [x(t)] ∞ ∫ x(t)e− jωtdt −∞ • Công thức biến đổi Fourier nghịch: −1 x(t) = F [X(ω)]= 2π ∞ ∫ −∞ X (ω)e jωtdω Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Cách biểu diễn khác biến đổi Fourier tín hiệu x(t), với biến số f thay cho tần số góc ω: ∞ = X ( f ) F= [x(t)] ∫ x(t)e− j2π ftdt −∞ • Công thức biến đổi Fourier nghịch tương đương ∞ x(t) = F −1[X(f )]= ∫ X ( f )e j2π ftdf −∞ Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Hàm X(ω) gọi phổ (Fourier) tín hiệu x(t) theo tần số • Hàm biểu diễn = X (ω) Re[ X (ω)]2 + Im[ X (ω)]2 gọi phổ biên độ tín hiệu x(t) theo tần số • Hàm  Im[ X (ω)]   Re[ X ( ω )]   ϕ(ω) = arctan  gọi phổ pha tín hiệu x(t) theo tần số Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Điều kiện hội tụ • Điều kiện để biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu x(t) tồn x(t) phải tín hiệu lượng, nghĩa là: ∞ ∫ x(t) dt < ∞ −∞ • Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi Fourier tín hiệu x(t) hội tụ x(t) thời điểm, ngoại trừ điểm không liên tục (Điều kiện Dirichlet): • ∫ x(t) dt < ∞ ∞ −∞ • Số điểm cực trị x(t) hữu hạn • Số điểm không liên tục x(t) hữu hạn Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Các tính chất biến đổi Fourier • Tính tuyến tính: F[α x1(t) + β x2(t)] = α X1(ω) + β X 2(ω) • Dịch thời gian • Dịch tần số − jωt0 F[x(t − t0)] = X (ω)e jγ t F[x(t)e= ] X (ω − γ ) Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Co giãn trục thời gian: ω F[x(at)] = X( ) |a| a • Đạo hàm dx(t) F[ ] = jω X (ω) dt • Tích phân t  X (ω) F  ∫ x(τ )dτ  = jω  −∞  Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Biến đổi Fourier tích chập: F[ f (t) * g(t)] = F (ω)G(ω) • Biến đổi Fourier tích thường (điều chế) F[ f (t)g(t)] = F (ω) * G(ω) 2π Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Công thức Parseval: ∞ ∫ −∞ x(t) dt = 2π ∞ ∫ X (ω) dω −∞ Giá trị |X(ω)|2 coi đại diện cho lượng tín hiệu thành phần ejωt tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn |X(ω)|2 theo tần số ω cho ta biết phân bố lượng tín hiệu x(t) gọi phổ mật độ lượng x(t) Chú ý: phổ mật độ lượng tín hiệu không tuần hoàn hàm theo tần số liên tục Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Tính đối xứng: • Phổ mật độ lượng x(t) hàm chẵn, nghĩa là: ∀ω : X (ω) = X (−ω) • Nếu x(t) tín hiệu thực: ∀ω : X (ω) = X *(−ω) • Nếu x(t) tín hiệu thực chẵn: X(ω) hàm chẵn, nghĩa là: ∀ω : X (ω) = X (−ω) 2 • Nếu x(t) tín hiệu thực lẻ: X(ω) hàm lẻ, nghĩa là: ∀(ω) : X (ω) = − X (−ω) Tính đối ngẫu: X(ω) biến đổi Fourier tín hiệu x(t) thì: F[ X= (t)] 2π x(−ω) • Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Chu kỳ hiệu dụng tín hiệu x(t) định nghĩa 1/2 ∞   sau: 2  ∫ t x(t) dt   Td =  −∞∞    ∫ x(t) dt   −∞  • Băng thông hiệu dụng tín hiệu x(t) định 1/2 nghĩa là: ∞   ∫ ω X (ω) dω   Bω =  −∞∞   ω ω X ( ) d  ∫   −∞  • Tích băng thông với thời gian tín hiệu bị chặn dưới: TdBω≥1/2 Biến đổi Fourier tín hiệu không tuần hoàn • Tần số cộng hưởng băng thông hệ thống • Tần số cộng hưởng ωr hệ thống có đáp ứng tần số H(ω) tần số |H(ω)| cực đại • Để xác định ωr, giải phương trình d|H(ω)|/dω=0 • Giá trị |H(ωr)| gọi đỉnh cộng hưởng hệ thống • Băng thông tần số hệ thống dải tần số độ suy giảm hệ thống không lớn 1/√2 (băng thông 3-dB) [...]... x(t)e− jωtdt −∞ • Công thức của biến đổi Fourier nghịch: 1 1 x(t) = F [X(ω)]= 2π ∞ ∫ −∞ X (ω)e jωtdω Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn • Cách biểu diễn khác của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t), với biến số f thay cho tần số góc ω: ∞ = X ( f ) F= [x(t)] ∫ x(t)e− j2π ftdt −∞ • Công thức của biến đổi Fourier nghịch tương đương ∞ x(t) = F 1[ X(f )]= ∫ X ( f )e j2π ftdf −∞ Biến đổi Fourier của... đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn • Các tính chất của biến đổi Fourier • Tính tuyến tính: F[α x1(t) + β x2(t)] = α X1(ω) + β X 2(ω) • Dịch thời gian • Dịch tần số − jωt0 F[x(t − t0)] = X (ω)e jγ t F[x(t)e= ] X (ω − γ ) Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn • Co giãn trục thời gian: 1 ω F[x(at)] = X( ) |a| a • Đạo hàm dx(t) F[ ] = jω X (ω) dt • Tích phân t  X (ω) F  ∫ x(τ )dτ  = jω... • Chu kỳ hiệu dụng của tín hiệu x(t) được định nghĩa 1/ 2 ∞   như sau: 2 2  ∫ t x(t) dt   Td =  −∞∞   2  ∫ x(t) dt   −∞  • Băng thông hiệu dụng của tín hiệu x(t) được định 1/ 2 nghĩa là: ∞ 2  2  ∫ ω X (ω) dω   Bω =  −∞∞   2 ω ω X ( ) d  ∫   −∞  • Tích của băng thông với thời gian của bất kỳ tín hiệu nào là bị chặn dưới: TdBω 1/ 2 Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn • Tần... Fourier của tín hiệu không tuần hoàn • Biến đổi Fourier của tích chập: F[ f (t) * g(t)] = F (ω)G(ω) • Biến đổi Fourier của tích thường (điều chế) 1 F[ f (t)g(t)] = F (ω) * G(ω) 2π Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn • Công thức Parseval: ∞ ∫ −∞ 1 x(t) dt = 2π 2 ∞ ∫ X (ω) dω 2 −∞ Giá trị |X(ω)|2 có thể coi như đại diện cho năng lượng của tín hiệu thành phần ejωt trong tín hiệu x(t) → hàm biểu... ωr, giải phương trình d|H(ω)|/dω=0 • Giá trị |H(ωr)| được gọi là đỉnh cộng hưởng của hệ thống • Băng thông tần số của hệ thống là dải tần số trong đó độ suy giảm của hệ thống là không lớn hơn 1/ √2 (băng thông 3- dB) ... −c−k Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn • Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier • Vì ω0 →0 nên ω = kω0 là một biến liên tục, ta có thể viết lại các biểu thức ở phần trước như sau: ∞ x(t) ∞ c(ω) jωt 1 jωt lim= = ∫ c(ω)e dω lim ∫ e dω ω0 →0 ω0 −∞ ω0 →0 −∞ ω0 trong đó, c(ω) là một hàm theo tần số liên tục và được xác định như sau: π /ω0 ω0 − jωt c (ω ) = lim x ( t ) e dt ∫ ω0 →0 2π −π /ω0 Biến đổi Fourier... jkω0t ( ) jk c e ω ∑ 0k k = −∞ • Tính tích phân: x(t) = ∞ ∑ce k = −∞ k jkω0t → t ∞ −∞ k = −∞ ∫ x(τ )dτ = ∑ ck jkω0t e jkω0 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn • Công thức Parseval: ∞ 1 2 2 x(t) dt = ∑ ck ∫ T0 k = −∞ T Giá trị |ck|2 có thể coi như đại diện cho công suất của tín hiệu thành phần ejkω0t trong tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn giá trị |ck|2 theo tần số ωk = kωk (k Є Z) cho