Chuong 3 3

CHƯƠNG 3: BIỄU DIỄN FOURIER CỦA TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI 3.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC • Lấy mẫu tần số • Biến đổi Fourier rời rạc • Định lý lấy mẫu Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc • Phổ Fourier 𝑋(Ω) tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ 2π  lấy mẫu tín hiệu với chu kỳ sau: ∞ 2𝜋 2𝜋 −𝑗 𝑁 𝑘𝑛 𝑋 𝑘 = 𝑥(𝑛)𝑒 𝑁 𝑛=−∞ Trong đó, N số lượng mẫu đoạn 0,2𝜋 → chu kỳ lấy 2𝜋 mẫu 𝑁 2𝜋 • Bây giờ, sử dụng 𝑋(𝑘) thay cho 𝑋( 𝑘) biểu diễn phổ Fourier 𝑁 rời rạc 𝑥(𝑛) Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc • 𝑋(𝑘) biến đổi sau: ∞ 𝑙𝑁+𝑁−1 𝑋 𝑘 = 𝑥(𝑛)𝑒 2𝜋 −𝑗 𝑁 𝑘𝑛 𝑙=−∞ 𝑛=𝑙𝑁 = = ∞ 𝑙=−∞ 𝑁−1 𝑛=0 𝑥(𝑛 𝑁−1 𝑛=0 𝑥𝑝 (𝑛)𝑒 Trong đó, −𝑗 − 𝑙𝑁)𝑒 2𝜋 𝑘𝑛 𝑁 ∞ 𝑥𝑝 𝑛 = 𝑥(𝑛 − 𝑙𝑁) 𝑙=−∞ −𝑗 2𝜋 𝑘(𝑛−𝑙𝑁) 𝑁 Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc • 𝑥𝑝 𝑛 tín hiệu tuần hoàn theo chu kỳ N  𝑥𝑝 𝑛 biểu diễn chuỗi Fourier sau: 𝑥𝑝 𝑛 = 𝑁−1 𝑘=0 𝑐𝑘 𝑒 2𝜋 𝑗 𝑁 𝑘𝑛 đó, hệ số 𝑐𝑘 | 𝑘 = 0, … , 𝑁 − tính toán sau: 𝑐𝑘 = 𝑁 𝑁−1 𝑥𝑝 (𝑛)𝑒 𝑘=0 2𝜋 −𝑗 𝑁 𝑘𝑛 → 𝑐𝑘 = X(k) 𝑁 Lấy mẫu phổ Fourier tín hiệu rời rạc • Từ phổ Fourier rời rạc tín hiệu 𝑥(𝑛), khôi phục lại tín hiệu tuần hoàn 𝑥𝑝 𝑛 sau: 𝑥𝑝 𝑛 = 𝑁 • 𝑁−1 𝑋(𝑘)𝑒 𝑘=0 2𝜋 𝑗 𝑁 𝑘𝑛 Có thể khôi phục 𝑥 𝑛 từ 𝑋 𝑘 ?  Có: Nếu độ dài 𝑥 𝑛 không lớn N tất giá trị khác không nằm đoạn [0, N1], đó: 𝑥𝑝 𝑛 (0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1) 𝑥 𝑛 = 𝑛ế𝑢 𝑘ℎá𝑐 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) tín hiệu tuần hoàn rời rạc • Tín hiệu tuần hoàn rời rạc 𝑥 𝑛 có lượng vô hạn  không tồn biến đổi Fourier liên tục 𝑥 𝑛 • Do đó, định nghĩa biến đổi Fouirer rời rạc 𝑥 𝑛 dựa biểu diễn chuỗi Fourier tín hiệu tuần hoàn rời rạc Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) tín hiệu tuần hoàn rời rạc • Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) tín hiệu 𝑥 𝑛 tuần hoàn rời rạc có chu kỳ N định nghĩa là: 𝐷𝐹𝑇 𝑥(𝑛) = 𝑋 𝑘 = 𝑁−1 −𝑗2𝜋𝑘𝑛/𝑁 𝑥(𝑛)𝑒 𝑛=0 𝑋 𝑘 tuần hoàn với chu kỳ N • DFT ngược định nghĩa sau: 𝑥 𝑛 = 𝐷𝐹𝑇 −1 𝑋(𝑘) = 𝑁 𝑁−1 𝑋(𝑘)𝑒 𝑗2𝜋𝑘𝑛/𝑁 𝑘=0 Các tính chất DFT tín hiệu tuần hoàn • Dịch thời gian 𝐷𝐹𝑇 𝑥(𝑛 − 𝑛0 ) = 𝑋 𝑘 𝑒 −𝑗2𝜋𝑘𝑛0/𝑁 • Tích chập tuần hoàn hai tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N: Định nghĩa: 𝑥1 𝑛 ∗𝑁 𝑥2 𝑛 = Do đó: 𝐷𝐹𝑇 𝑥1 𝑛 ∗𝑁 𝑥2 𝑛 𝑁−1 𝑘=0 𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑛 − 𝑘) = 𝑋1 (𝑘)𝑋2 (𝑘) Các tính chất DFT tín hiệu tuần hoàn • Tương quan hai tín hiệu tuần hoàn thực có chu kỳ tuần hoàn: 𝑟𝑥1 𝑥2 = 𝑁−1 𝑘=0 𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑛 − 𝑘) Do đó: 𝑅𝑥1 𝑥2 = 𝑋 ∗1 𝑘 𝑋2 𝑘 = 𝑋1 𝑘 𝑋 ∗ 𝑘 DFT tín hiệu có độ dài hữu hạn rời rạc theo thời gian • Xét tín hiệu thời gian rời rạc 𝑥(𝑛) có độ dài hữu hạn L, tạo tín hiệu tuần hoàn 𝑥𝑝 (𝑛) có chu kỳ 𝑁 ≥ 𝐿 sau: +∞ 𝑥𝑝 𝑛 = 𝑥(𝑛 − 𝑙𝑁) 𝑙=−∞ • Biến đổi Fourier rời rạc có độ dài N tín hiệu 𝑥(𝑛) định nghĩa DFT tín hiệu tuần hoàn 𝑥𝑝 (𝑛): 𝑁−1 𝑥(𝑛)𝑒 −𝑗2𝜋𝑘𝑛/𝑁 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥(𝑛) = 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥𝑝 (𝑛) = 𝑛=0 Các tính chất DFT tín hiệu có độ dài hữu hạn • Dịch vòng: 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥(𝑛 − 𝑛0 )𝑁 = 𝐷𝐹𝑇 𝑥(𝑛) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑘𝑛0 /𝑁 • Tích chập vòng hai tín hiệu có độ dài hữu hạn: Định nghĩa: 𝑥1 𝑛 ⊛𝑁 𝑥2 𝑛 = Do đó: 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥1 (𝑛) ⊛𝑁 𝑥2 𝑛 𝑁−1 𝑘=0 𝑥1 (𝑘) 𝑥2 (𝑛 − 𝑘)𝑁 = 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥1 (𝑛) 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥2 (𝑛) Định lý lấy mẫu: Lấy mẫu tín hiệu có băng tần hữu hạn • Xét tín hiệu lượng thời gian liên tục 𝑥 𝑡 → phổ hữu hạn → tồn tần số lớn 𝜔𝑎 tín hiệu, tức là, ∀ 𝜔 > 𝜔𝑎 : 𝑋 𝜔 = • Lấy mẫu tín hiệu 𝑥(𝑡) với tốc độ lấy mẫu 𝜔𝑠 để thu tín hiệu thời gian rời rạc 𝑥(𝑛) Nếu 𝜔𝑠 = 2𝜔𝑎 , tín hiệu liên tục 𝑥 𝑡 khôi phục xác từ tín hiệu rời rạc 𝑥 𝑛 cách sử dụng công thức sau: +∞ 𝑥 𝑡 = 𝑛=−∞ sin(𝜔𝑎 𝑡 − 𝑛𝜋) 𝑥(𝑛) 𝜔𝑎 𝑡 − 𝑛𝜋 Định lý lấy mẫu: Định lý lấy mẫu Shannon • Một tín hiệu băng tần hữu hạn có tần số không lớn băng tần 𝜔𝑎 khôi phục xác từ tín hiệu lấy mẫu tốc độ lấy mẫu 𝜔𝑠 ≥ 2𝜔𝑎 • Tốc độ lấy mẫu 𝜔𝑠 = 2𝜔𝑎 gọi tốc độ Nyquist Định lý lấy mẫu: Định lý lấy mẫu Shannon • Nếu 𝜔𝑠 = 2𝜔𝑎 : x(n) có phổ tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 dạng phổ đoạn −𝜋, 𝜋 tương tự với dạng phổ 𝑥(𝑡) đoạn −𝜔𝑎 , +𝜔𝑎 • Nếu 𝜔𝑠 > 2𝜔𝑎 : 𝑥(𝑛) có phổ tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 dạng phổ 𝑥(𝑡) đoạn −𝜔𝑎 , +𝜔𝑎 nén vào phần thuộc −𝜋, 𝜋 phổ 𝑥(𝑛) Định lý lấy mẫu: Định lý lấy mẫu Shannon • Nếu 𝜔𝑠 < 2𝜔𝑎 : Xảy tượng sai lệch chồng lấn → 𝑥 𝑛 có phổ tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 dạng phổ −𝜋, +𝜋 tạo cách xếp chồng dạng phổ 𝑥(𝑡) đoạn −𝜔𝑎 , +𝜔𝑎 xung quanh tần số chồng lấn (hay gọi tần số Nyquist, tốc độ lấy mẫu) → việc khôi phục xác 𝑥 𝑡 từ 𝑥(𝑛)  Sai lệch: Các tần số khác 𝑥(𝑡) xuất vị trí phổ 𝑥(𝑛)  Chồng lấn: dạng đặc biệt sai lệch tần số bị xếp chồng lên vị trí xung quanh tần số chồng lấn