Chuong 2 1

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN 2.1 Hệ thống liên tục • Phương trình vi phân hệ thống LTI liên tục • Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Mô hình biến trạng thái Phương trình vi phân hệ thống LTI • Phương trình vi phân loại mô hình toán học sử dụng phổ biến để biểu diễn hệ thống nhiều lĩnh vực khác • Đối với hệ thống vật lý, phương trình vi phân biểu diễn hệ thống thiết lập từ phương trình định luật vật lý mà hoạt động hệ thống tuân theo • Các hệ thống LTI biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính hệ số Một ví dụ hệ thống biểu diễn phương trình vi phân hệ số Phương trình vi phân hệ thống LTI • Dạng tổng quát phương trình vi phân tuyến tính hệ số biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến: N d i y(t) M d j x(t)   bj  i j dt dt i 0 j 0 với x(t) tín hiệu lối vào, y(t) tín hiệu lối hệ thống • Giải phương trình vi phân tuyến tính nói cho phép xác định tín hiệu y(t) theo tín hiệu vào x(t) Phương trình vi phân hệ thống LTI • Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính hệ số có dạng sau: y(t)  y 0(t)  y s(t) y0(t): đáp ứng khởi đầu, gọi đáp ứng kích thích, nghiệm phương trình d i y(t) 0  i dt i 0 N (1) ys(t): đáp ứng trạng thái không, nghiệm đặc biệt phương trình tín hiệu vào x(t) Phương trình vi phân hệ thống LTI • y0(t) đáp ứng hệ thống điều kiện hệ thống thời điểm khởi đầu (t=0), không xét tới tín hiệu vào x(t) • Phương trình (1) có nghiệm dạng est với s biến phức, thay vào phương trình ta có: N i st a s  i e 0 i 0 → s nghiệm phương trình đại số tuyến tính bậc N sau: N i a s  i 0 i 0 (2) Phương trình vi phân hệ thống LTI • Phương trình (2) gọi phương trình đặc trưng hệ thống • Gọi nghiệm (2) {sk|k=1…N}, nghiệm tổng quát phương trình (1) có dạng sau nghiệm {sk} nghiệm đơn: N y0(t)   cke sk t k 1 Giá trị hệ số {ck} xác định từ điều kiện khởi đầu Phương trình vi phân hệ thống LTI • Trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội nghiệm tổng quát phương trình (1) có dạng sau: pk 1 y0(t)   (ckeskt  ti) k pk bội nghiệm sk i 0 Phương trình vi phân hệ thống LTI • ys(t) đáp ứng hệ thống tín hiệu vào x(t) điều kiện khởi đầu • ys(t) gọi nghiệm đặc biệt phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn hệ thống • Để xác định ys(t), thông thường giả thiết ys(t) có dạng tương tự tín hiệu vào x(t) với vài hệ số chưa biết, sau thay vào phương trình để xác định hệ số Phương trình vi phân hệ thống LTI • Chú ý giả thiết dạng ys(t): ys(t) phải độc lập với tất thành phần y0(t) • Ví dụ: x(t)=eαt, ta gặp số trường hợp sau: • Nếu eαt thành phần y0(t), ta giả thiết ys(t) có dạng ceαt • Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (2) → eαt thành phần y0(t)→ys(t) phải có dạng cteαt • Nếu α nghiệm bội bậc p phương trình đặc trưng (2) → eαt, → teαt,…, → tp-1eαt thành phần y0(t)→ys(t) phải có dạng ctpeαt Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Định nghĩa tích chập hai tín hiệu: f(t) g(t), ký hiệu f(t)*g(t), định nghĩa sau:  f (t) * g(t)    f ( )g(t   )d Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Các tính chất tích chập: • Tính giao hoán: f(t)*g(t)=g(t)*f(t) • Tính kết hợp: [f(t)*g(t)]*h(t)=f(t)*[g(t)*h(t)] • Tính phân phối: [f(t)+g(t)]*h(t)=f(t)*h(t)+g(t)*h(t) Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Tính dịch thời gian: x(t)=f(t)*g(t) x(t-t0) = f(t-t0)*g(t) = f(t)*g(t-t0) • Tính nhân chập với tín hiệu xung đơn vị f(t)*δ(t)=f(t) • Tính nhân quả: f(t) g(t) tín hiệu nhân f(t)*g(t) tín hiệu nhân Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Đáp ứng xung hệ LTI: • Cho hệ thống LTI biểu diễn mối quan hệ y(t) = T[x(t)] Ta biến đổi biễu diễn sau:   y(t)  Τ[x(t)* (t)]=T   x( ) (t   )d        x( )T[ (t   )]d  x(t) * h(t)  h(t) = T[δ(t)] gọi đáp ứng xung hệ LTI biểu diễn T • Một hệ thống LTI xác định đáp ứng xung hệ thống xác định Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Phân tích đáp ứng xung hệ LTI: • Hệ thống tĩnh: đáp ứng xung có giá trị khác không t =0 • Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung tín hiệu nhân • Hệ thống ổn đinh: điều kiện sau đáp ứng xung thỏa mãn:   | h(t) | dt    Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Đáp ứng xung hệ thống ghép nối • Ghép nối tiếp hai hệ thống Đáp ứng xung tổng hợp: h(t) = h1(t)*h2(t) • Ghép song song hai hệ thống Đáp ứng xung tổng hợp: h(t) = h1(t) + h2(t) Biến trạng thái hệ thống • Trạng thái hệ thống mô tả tập hợp biến trạng thái • Mô hình biến trạng thái hệ thống tuyến tính bất biến tập hợp phương trình vi phân biến trạng thái, cho phép xác định trạng thái tương lai hệ thống biết trạng thái thời tín hiệu vào, hệ thống hoàn toàn xác định trạng thái khởi đầu hệ thống xác định • Mô hình biến trạng thái thuận tiện để biểu diễn hệ thống đa biến Biến trạng thái hệ thống • Gọi {u1(t), u2(t),…,} tín hiệu vào, {y1(t), y2(t),…,} biến {q1(t), q2(t),…,} biến trạng thái hệ LTI • Phương trình trạng thái hệ thống phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất: dqi(t)   aijq j(t)  kikuk(t) dt j k (i  1, ) • Các tín hiệu xác định từ biến trạng thái tín hiệu vào sau: yi(t)   cijq j(t)  dikuk(t) j k (i  1, ) Biến trạng thái hệ thống • Mô hình trạng thái hệ thống tuyến tính bất biến thường biểu diễn dạng ma trận sau: dq(t)  Aq(t)  Bu(t) dt y(t)  Cq(t)  Du(t) đó: u(t), y(t), q(t) vecto cột với phần tử tín hiệu vào, tín hiệu biến trạng thái hệ thống A,B,C,D ma trận hệ số Biến trạng thái hệ thống • Thiết lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân biểu diễn hệ thống LTI sau đây: d i y(t) M d j x(t)   bj  i j dt dt i 0 j 0 N • Đặt uj(t) = djx(t)/dtj (j=0…M) tín hiệu vào hệ thống viết lại phương trình dạng: d i y(t) M   bju j(t)  i dt i 0 j 0 N Biến trạng thái hệ thống • Chọn biến trạng thái sau: dy(t) d N 1 y(t) q1(t)  y(t), q2(t)  , , qN (t)  dt dt N 1 • Các phương trình trạng thái dq1(t) dq2(t) dqN 1(t)  q2(t),  q3(t), ,  qN (t) dt dt dt M  dqN (t)  N 1    aiqi 1(t)   bju j(t)  dt aN  i 0 j 0  [...]... ai   bju j(t)  i dt i 0 j 0 N Biến trạng thái của hệ thống • Chọn các biến trạng thái như sau: dy(t) d N 1 y(t) q1(t)  y(t), q2(t)  , , qN (t)  dt dt N 1 • Các phương trình trạng thái dq1(t) dq2(t) dqN 1( t)  q2(t),  q3(t), ,  qN (t) dt dt dt M  dqN (t) 1  N 1    aiqi 1( t)   bju j(t)  dt aN  i 0 j 0  ... Gọi {u1(t), u2(t),…,} là các tín hiệu vào, {y1(t), y2(t),…,} là các biến ra và {q1(t), q2(t),…,} là các biến trạng thái của hệ LTI • Phương trình trạng thái của hệ thống là các phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất: dqi(t)   aijq j(t)  kikuk(t) dt j k (i  1, 2 ) • Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái và các tín hiệu vào như sau: yi(t)   cijq j(t)  dikuk(t) j k (i  1, 2 ) Biến...   | h(t) | dt    Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung • Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối • Ghép nối tiếp hai hệ thống Đáp ứng xung tổng hợp: h(t) = h1(t)*h2(t) • Ghép song song hai hệ thống Đáp ứng xung tổng hợp: h(t) = h1(t) + h2(t) Biến trạng thái của hệ thống • Trạng thái của một hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái • Mô hình biến trạng thái của một hệ thống tuyến... phải là một thành phần của y0(t), ta có thể giả thiết ys(t) có dạng ceαt • Nếu α là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) → eαt là một thành phần của y0(t)→ys(t) phải có dạng cteαt • Nếu α là một nghiệm bội bậc p của phương trình đặc trưng (2) → eαt, → teαt,…, → tp-1eαt là các thành phần của y0(t)→ys(t) phải có dạng ctpeαt Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung • Định nghĩa tích chập của hai