Chuong 2 2

2.2 Hệ thống rời rạc • Phương trình sai phân hệ thống LTI rời rạc • Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung Phương trình sai phân hệ LTI rời rạc • Mô hình hệ thống LTI rời rạc thu cách rời rạc hóa hệ thống liên tục • Phiên rời rạc phương trình vi phân gọi phương trình sai phân • Ví dụ: hệ thống liên tục miêu tả phương trình sau: dy(t)  ay(t)  bx(t) dt • Sử dụng xấp xỉ dy(nT )  y(nT )  y(nT  T ) dt T Chúng ta thu phương trình sai phân hệ thống rời rạc với chu kỳ lấy mẫu T sau: (1  aT ) y[n]  y[n  1]  bTx[n] Phương trình sai phân hệ LTI rời rạc • Hệ thống LTI rời rạc biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số • Dạng chung phương trình sai phân tuyến tính hệ số là: N M  a y[n  i]   b x[n  j] i 0 i j 0 j đó: x[n] tín hiệu vào, y[n] tín hiệu • Giải phương trình sai phân trên, tìm tín hiệu lối y[n] biết tín hiệu lối vào x[n] Phương trình sai phân hệ LTI rời rạc • Nghiệm chung phương trình sai phân tuyến tính hệ số có dạng sau: y[n]  y0[n]  y s[n] y0[n]: đáp ứng ban đầu hay đáp ứng tự nhiên, xác định từ phương trình sau: N  a y[n  i]  i 0 i (1) ys[n]: đáp ứng trạng thái hay đáp ứng cưỡng nghiệm đặc biệt phương trình với tín hiệu lối vào x[n] Phương trình sai phân hệ LTI rời rạc • y0[n] đáp ứng hệ thống với điều kiện ban đầu (n=0) tín hiệu lối vào • Phương trình (1) có nghiệm dạng zn z biến phức, thay y[n] phương trình (1) thu N N i a z  i 0 i 0 (2) Đây gọi phương trình đặc trưng hệ thống Phương trình sai phân hệ LTI rời rạc • Giả sử nghiệm phương trình (2) {zk|k=1…N}, dạng chung phương trình (1) có dạng sau nghiệm đơn phân biệt: N y0[n]   ck zkn k 1 Giá trị hệ số ck xác định từ điều kiện ban đầu Phương trình sai phân hệ LTI rời rạc • Trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội dạng chung phương trình là:  n pk 1 i  y0[n]    ck zk  n  k  i 0  Trong nghiệm zk lặp lại pk lần Phương trình sai phân hệ LTI rời rạc • ys[n] đáp ứng hệ thống với tín hiệu lối vào x[n] tất cac điều kiện ban đầu • ys[n] gọi nghiệm đặc biệt phương trình sai phân tuyến tính biểu diễn hệ thống • Để xác định ys[n], thông thường giả thiết ys[n] có dạng tương tự tín hiệu vào x[n] với vài hệ số chưa biết, sau thay vào phương trình để xác định hệ số Phương trình vi phân hệ thống LTI • Chú ý giả thiết dạng ys[n]: ys[n] phải độc lập với tất thành phần y0[n] • Ví dụ: x[n]=αn, ta gặp số trường hợp sau: • Nếu αn thành phần y0[n], ta giả thiết ys[n] có dạng cαn • Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (2) → αn thành phần y0[n]→ys[n] phải có dạng cnαn • Nếu α nghiệm bội bậc p phương trình đặc trưng (2) → αn, → nαn ,…, →np-1αn thành phần y0[n]→ys[n] phải có dạng cnpαn Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Định nghĩa tích chập hai tín hiệu rời rạc f[n] g[n], ký hiệu f[n]*g[n], định nghĩa sau: f [n]* g[n]    k  f (k)g(n  k) Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Các tính chất tích chập: • Tính giao hoán: f[n]*g[n]=g[n]*f[n] • Tính kết hợp: {f[n]*g[n]}*h[n]=f[n]*{g[n]*h[n]} • Tính phân phối: {f[n]+g[n] }*h[n]=f[n]*h[n]+g[n]*h[n] Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Tính dịch thời gian: x[n]=f[n]*g[n] x[n-n0] = f[n-n0] *g[n] = f[n]* g[n-n0] • Tính nhân chập với tín hiệu xung đơn vị f[n]*δ[n]=f[n] • Tính nhân quả: f[n] g[n] tín hiệu nhân f[n]*g[n] tín hiệu nhân Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Đáp ứng xung hệ LTI rời rạc: • Cho hệ thống LTI biểu diễn mối quan hệ y[n]= T{x[n]} Ta biến đổi biễu diễn sau:    y[n]  Τ{x[n]*[n]}=T   x(k) (n  k)   k      x(k)T{[n  k]}  x[n]* h[n] k  h[n] = T{δ[n]} gọi đáp ứng xung hệ LTI rời rạc biểu diễn T Biểu diễn hệ thống đáp ứng xung • Phân tích đáp ứng xung hệ LTI rời rạc: • Hệ thống tĩnh: đáp ứng xung có giá trị khác không n=0 • Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung tín hiệu nhân • Hệ thống ổn đinh: điều kiện sau đáp ứng xung thỏa mãn:   | h[n] |  k  Biến trạng thái hệ thống LTI rời rạc • Gọi {u1[n], u2[n],…,} tín hiệu vào, {y1[n], y2[n],…,} biến {q1[n], q2[n],…,} biến trạng thái hệ LTI rời rạc • Phương trình trạng thái hệ thống biểu diễn bằng: qi[n  1]   aijq j[n]   bikuk[n] j (i  1, 2, ) k • Các tín hiệu xác định từ biến trạng thái tín hiệu vào sau: yi[n]   cijq j[n]  dikuk[n] j k (i  1, ) Biến trạng thái hệ thống • Mô hình trạng thái hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc thường biểu diễn dạng ma trận sau: q[n+1]  Aq[n]  Bu[n] y[n]  Cq[n]  Du[n] đó: u[n], y[n], q[n] vecto cột với phần tử tín hiệu vào, tín hiệu biến trạng thái hệ thống A,B,C,D ma trận hệ số Biến trạng thái hệ thống • Mô hình trạng thái hệ thống LTI rời rạc suy từ mô hình biến trạng thái hệ LTI liên tục Ví dụ với phương trình hệ thống liên tục: dq(t)  Aq(t)  Bu(t) dt y(t)  Cq(t)  Du(t) rời rạc phương trình với thời gian lấy mẫu T xấp xỉ dq(nT ) q(nT  T )  q(nT ) dt  T Chúng ta thu mô hình rời rạc: q[n+1]  (TA  I )q[n]  TBu[n] y[n]  Cq[n]  Du[n] Biến trạng thái hệ thống • Thiết lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân biểu diễn hệ thống LTI rời rạc sau đây: N M  a y[n  i]   b x[n  j] i 0 i j 0 j • Đặt uj[n] = x[n-j] (j=0…M) tín hiệu vào hệ thống viết lại phương trình dạng: N M  a y[n  i]   b u [n] i 0 i j 0 j j Biến trạng thái hệ thống • Chọn biến trạng thái sau: q1[n]  y[n-N], q2[n]  y[n  N  1], , qN[n]  y[n  1] • Các phương trình trạng thái q1[n  1]  q2[n], q2[n  1]  q3[n], , qN 1[n  1]  qN[n] M  1  N qN[n  1]   aiqN i 1[n]- bju j[n] a0  i 0 j 0  [...]... rạc • Gọi {u1[n], u2[n],…,} là các tín hiệu vào, {y1[n], y2[n],…,} là các biến ra và {q1[n], q2[n],…,} là các biến trạng thái của hệ LTI rời rạc • Phương trình trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng: qi[n  1]   aijq j[n]   bikuk[n] j (i  1, 2, ) k • Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái và các tín hiệu vào như sau: yi[n]   cijq j[n]  dikuk[n] j k (i  1, 2 ) Biến trạng thái... phương trình trên dưới dạng: N M  a y[n  i]   b u [n] i 0 i j 0 j j Biến trạng thái của hệ thống • Chọn các biến trạng thái như sau: q1[n]  y[n-N], q2[n]  y[n  N  1], , qN[n]  y[n  1] • Các phương trình trạng thái q1[n  1]  q2[n], q2[n  1]  q3[n], , qN 1[n  1]  qN[n] M  1  N qN[n  1]   aiqN i 1[n]- bju j[n] a0  i 0 j 0 