ĐHCN giáo trình lý thuyết trường điện từ võ xuân ân, 108 trang

LỜI NÓI ĐẦU Kể từ Hertz thực nghiệm chứng tỏ lượng điện xạ không gian tồn trường điện từ mở đầu kỷ nguyên ứng dụng sóng điện từ thông tin liên lạc, truyền số liệu, giải trí đa phương tiện, điều khiển từ xa Hệ thống thông tin vô tuyến ngày trở nên quan trọng thiết yếu xã hội đại Do việc hiểu biết chất sóng điện từ, tính chất lan truyền trường điện từ ứng dụng cần thiết Để tích luỹ phần kiến thức người học cần phải có kiến thức tảng giải tích vector, phép tính tensor, phương trình vi phân đạo hàm riêng, giải tích hàm biến hàm nhiều biến Toán học cao cấp; quang học sóng điện học Vật lý đại cương Giáo trình Lý thuyết trường điện từ biên soạn khuôn khổ chương trình hoàn thiện sách giáo trình dùng để giảng dạy học tập Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, bao gồm nội dung trình bày chương sau: Chương Một số công thức toán học Chương Các định luật nguyên lý trường điện từ Chương Tích phân phương trình Maxwell Chương Sóng điện từ phẳng Chương Nhiễu xạ sóng điện từ Do thời gian tài liệu tham khảo nhiều hạn chế, chắn giáo trình nhiều thiếu sót Rất mong có đóng góp, phê bình bạn đọc để giáo trình hoàn thiện Tác giả Võ Xuân Ân MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương Một số công thức toán học Chương Các định luật nguyên lý trường điện từ Chương Tích phân phương trình Maxwell 32 Chương Sóng điện từ phẳng 60 Chương Nhiễu xạ sóng điện từ 90 Tài liệu tham khảo 107 Chương MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC Vector • • r r r r a = {a x , a y , a z } = i a x + j a y + ka z r r r r b = {b x , b y , b z } = i b x + j b y + kb z r r r r c = {c x , c y , c z } = i c x + j c y + kc z rr a.b = a x b x + a y b y + a z b z r r r i j k r r r r r a × b = a x a y a z = i (a y b z − a z b y ) + j(a z b x − a x b z ) + k (a x b y − a y b x ) bx by bz rr rr r r • a.b = a b cos(a , b ) r r r • a×b = c r r r Phương: c ⊥ (a, b ) Chiều: theo qui tắc vặn nút chai r rr r r Độ lớn: c = a b sin (a , b ) r r r ( ) r rr r rr ( ) • a × b × c = b.(a.c ) − c a.b Toán tử nabla ∂ ∂ ∂ ∇= , ,   ∂x ∂y ∂z  Gradient r ∂U r ∂U r ∂U gradU = ∇.U = i +j +k ∂x ∂y ∂z Divergence ∂a y ∂a z r r ∂a diva = ∇.a = x + + ∂x ∂y ∂z Rotary r i r r ∂ rota = ∇ × a = ∂x ax r j ∂ ∂y ay r k ∂ r  ∂a z ∂a y  r ∂a x ∂a z  + j = i  − − ∂z ∂ y ∂ z ∂ z ∂x    az  r  ∂a y ∂a x   −  + k ∂y    ∂x Số phức Hàm mũ e z = e x +iy = e x (cos y + i sin y ) Hàm mũ hàm tuần hoàn có chu kì 2πi Thực vậy, ta có e kπi = cos 2kπ + i sin 2kπ = Suy e z + kπi = e z e kπi = e z Công thức Euler eiy = cosy +isiny Khi số phức z = r eiϕ = r(cosϕ +isinϕ) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa biết đạo hàm nó: y′′ + a y′ + a y = f ( x ) (1) Trong đó: a1, a2 f(x) hàm biến độc lập x f(x) = ⇒ (1) gọi phương trình tuyến tính f(x) ≠ ⇒ (1) gọi phương trình tuyến tính không a1, a2 ≡ const ⇒ (1) gọi phương trình tuyến tính có hệ số không đổi Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai có dạng: y′′ + a y′ + a y = (2) a1, a2 hàm biến x Định lí Nếu y1 = y1(x) y2 = y2(x) nghiệm (2) y = C1y1 + C2y2 (trong C1, C2 số tuỳ ý) nghiệm phương trình Hai hàm y1(x) y2(x) độc lập tuyến tính y1 (x ) ≠ const , ngược lại phụ y (x ) thuộc tuyến tính Định lí Nếu y1(x) y2(x) nghiệm độc lập tuyến tính phương trình vi phân từ trường cấp hai (2) y = C1y1 + C2y2 (trong C1, C2 số tuỳ ý) nghiệm tổng quát phương trình Định lí Nếu biết nghiệm riêng y1(x) phương trình vi phân từ trường cấp hai (2) tìm nghiệm riêng y2(x) phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) cách đặt y2(x) = y1(x).u(x) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không Phương trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa biết đạo hàm nó: y′′ + a1 y′ + a y = f ( x ) (3) Trong đó: a1 a2 hàm biến độc lập x; f(x) ≠ Định lí Nghiệm tổng quát phương trình không (3) nghiệm tổng quát phương trình (2) tương ứng nghiệm riêng phương trình không (3) Định lí Cho phương trình không y′′ + a1 y′ + a y = f1 ( x ) + f ( x ) (4) Nếu y1(x) nghiệm riêng phương trình y′′ + a y′ + a y = f1 ( x ) (5) y2(x) nghiệm riêng phương trình y′′ + a1 y′ + a y = f ( x ) y(x) = y1(x) + y2(x) nghiệm riêng phương trình (4) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi (6) Phương trình vi phân từ trường cấp hai có dạng: y′′ + py′ + qy = (7) p, q số Giả sử nghiệm riêng (7) có dạng (8) y = e kx Trong đó: k số xác định Suy y′ = ke kx , (9) y′′ = k e kx Thay (8) (9) vào (7) ta có e kx (k + pk + q ) = (10) k + pk + q = (11) Vì ekx ≠ nên Nếu k thoả mãn (11) y = ekx nghiệm riêng phương trình vi phân (7) Phương trình (11) gọi phương trình đặc trưng phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) phương trình bậc có nghiệm k1 k2 sau - k1 k2 số thực khác nhau, nghiệm riêng phương trình vi phân (7) y1 = e k x , y2 = ek x (12) Hai nghiệm riêng (12) độc lập từ trường y1 = e ( k −k y2 )x ≠ const (13) Do nghiệm tổng quát phương trình vi phân (7) y = y1 + y = C1e k x + C e k x (14) - k1 k2 số thực trùng nhau: k1 = k2 Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: y1 = e k x , y = xe k x Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (7) y = C1e k x + C xe k x = (C1 + C x )e k x 1 (15) - k1 k2 số phức liên hợp: k1 = α + iβ β k2 = α - iβ β Hai nghiệm riêng phương trình vi phân (7) • y1 = e (α+iβ )x = eαx eiβx • y2 = e (α −iβ )x αx =e e (16) −i β x Theo công thức Euler ta có eiβx = cos βx + i sin β x e −iβx = cos βx − i sin βx (17) Suy • y1 = e αx eiβx = e αx (cos β x + i sin β x ) • αx y2 = e e • −i β x =e αx (cos βx − i sin βx ) (18) • Nếu y1 y nghiệm phương trình vi phân (7) hàm • • • • y +y y1 = = e αx cos β x y2 = (19) y1 + y = e αx sin β x 2i nghiệm phương trình vi phân (7) độc lập từ trường y1 = tgβx ≠ const y2 (20) Do nghiệm tổng quát phương trình vi phân (7) y = C1eαx cos β x + C eαx sin β x = e αx (C1 cos β x + C sin β x ) (21) Chương CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 1.1.1 Vector cường độ điện trường • Điện trường đặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trường r r F = qE (1.1) r r F E= q (1.2) Hay: r • Cđđt E điểm điện trường đại lượng vector có trị số lực tác dụng lên đơn vị điện tích điểm dương đặt điểm • Lực tác dụng đt điểm Q q r r Qq r0 F= 4πεε r (1.3) - ε = 8,854.10 −12 F / m - số điện - ε - độ điện thẩm tương đối r - r0 - vector đơn vị phương • Hệ đt điểm q , q , , q n r n r E = ∑ Ei = i =1 4πεε r q i r0 i ∑ i =1 ri n (1.4) r r0i - vector đơn vị phương • Trong thực tế hệ thường dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, đó: r El = r r ρ l dl ∫ 4πεε l r (1.5) r r ρ S dS ∫ 4πεε S r r r r EV = ρ V dV ∫ 4πεε V r r ES = (1.6) (1.7) 1.1.2 Vector điện cảm • Để đơn giản tính toán môi trường khác nhau, người ta sử r dụng vector điện cảm D r r D = εε E (1.8) 1.1.3 Vector từ cảm • Từ trường đặc trưng tác dụng lực từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz r r r (1.9) F = qv × B r • Từ trường phần tử dòng điện Id l tạo xác định định luật thực nghiệm BVL r r r µµ dB = Id l × r 4πr ( ) (1.10) - µ = 4π.10 −7 = 1,257.10 −6 H / m - số từ - µ - độ từ thẩm tương đối • Từ trường dây dẫn có chiều dài l r r µµ Id l × rr B= 4π ∫l r (1.11) 1.1.4 Vector cường độ từ trường • Để đơn giản tính toán môi trường khác nhau, người ta sử r dụng vector cường độ từ trường H r r  ∂E lim + ikE  = r →∞ ∂r   r r  ∂H lim + ikH  = r →∞  ∂r  (4.4) Vậy: toán nhiễu xạ sóng phẳng vật dẫn trụ tròn dài vô hạn qui việc xác định nghiệm phương trình (4.1) điều kiện (4.3) (4.4) 4.2.2 Trường thứ cấp Để tìm nghiệm phương trình (4.1) với điều kiện (4.3) (4.4), ta • • chuyển (4.1) sang dạng phương trình sóng Đặt giá trị H mr , H mϕ từ phương trình đầu vào phương trình cuối hệ (4.1) ta có: • • • • ∂ E mz ∂ E mz ∂ E mz + + + k E mz = ∂r r ∂r r ∂ϕ (4.5) Nghiệm (4.5) có dạng: • • E mz = − E mzt ∞ ∑ (− i ) m = −∞ m J m (ka ) (2 ) H m (kr )e imϕ (2 ) H m (ka ) • • H mr E mzt ∞ = (− i )m mJ(2m) (ka ) H (m2 ) (kr )e imϕ ∑ µµ ωr m = −∞ H m (ka ) (4.6) • • H mϕ (2 ) E mzt ∞ m J m (ka ) ∂H m (kr ) imϕ =− ∑ (− i ) H (2 ) (ka ) ∂r e µµ ωr m = −∞ m Trong đó: Jm(kr) hàm Bessel cấp m H (m2 ) (kr ) hàm Hanken cấp m loại 4.2.3 Giản đồ hướng Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn biểu diễn trực quan giản đồ hướng sau: 93 - Tìm cường độ trường thứ cấp vùng xa thoả mãn kr >> Áp dụng dạng tiệm cận hàm Hanken cấp m loại kr → ∞ bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao r 3/ so với r 1/ (4.6) ta có: • • • E mzt ≈ µµ εε E mz ≈ − E mzt • H mϕ  π − i  kr −  ∞ J m (ka ) imϕ e ∑ (2 ) e πkr m = −∞ H m (ka )  π − i  kr −  ∞ J m (ka ) imϕ e ∑ (2 ) e πkr m = −∞ H m (ka ) (4.7) • H mr ≈ Nhận xét: - Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn có thành phần • • E mz , H mϕ vuông góc với vuông góc với phương truyền sóng r - Theo (4.7) giản đồ hướng trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn hvẽ (xem tài liệu KKL, trang 97, hình 4.2) với tham số ka khác - Từ giản đồ hướng nhận thấy ka ≈ 1, a > 1, a >> λ trường thứ cấp bắt đầu xh cực đại phía đối diện với nguồn sóng tới làm méo trường sóng tới phía mạnh Khi ka → ∞, a → ∞ trường thứ cấp có cực đại quay phía sóng tới có vùng tối phía đối diện, cường độ trường vùng Để đánh giá tính chất trường xạ thứ cấp trường sơ cấp truyền qua vật chướng ngại, người ta đưa đại lượng diện tích phản xạ tương đương Đối với vật dẫn trụ tròn dài vô hạn diện tích phản xạ tương đương tính theo đơn vị chiều dài htrụ σ0 xác định theo công thức: Pbx = σ Π tbt (4.8) Trong đó: 94 Pbx công suất xạ trường thứ cấp tính theo đơn vị chiều dài Πtbt mật độ công suất xạ trung bình sóng tới • Π tbt = E mzt µµ εε (4.9) 2π Pbx = ∫ Π tb dS = ∫ Π tb rdϕ S (4.10) • •  µµ • Π tb = re E mz H ∗ mϕ  = H mϕ =   εε • E mz µµ εε (4.11) Từ biểu thức (4.7) – (4.11), diện tích phản xạ tương đương σ0 tính theo: 4a σ0 = 4ka J m (ka ) ∑ (2 ) m = −∞ H m (ka ) ∞ (4.12) 4.3 Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff Tìm nghiệm phương trình sóng hàm vô hướng ψ sau đây: (4.13) ∇ 2ψ − k 2ψ = điểm P thể tích V giới hạn mặt kín S Giả thiết hàm ψ, đạo hàm bậc bậc liên tục V S Áp dụng định lí Green ta có:  ∂φ ∂ψ  ∫ (ψ∇ φ − φ∇ ψ )dV = ∫  ψ ∂n − φ ∂n dS 2 V (4.14) S Trong hàm φ, đạo hàm bậc bậc liên tục V S Chọn hàm φ có dạng: φ= e − ikr r (4.15) Trong đó: r khoảng cách từ điểm P đến điểm thể tích V 95 Nhận xét: - Hàm φ dạng (4.15) thoả mãn định lí Green vị trí trừ điểm P, điểm P: φ → ∞ r → Để áp dụng định lí Green điểm P, bao điểm P mặt cầu đủ nhỏ S0 bán kính R0 Khi miền V giới hạn mặt S S0 Vì hàm φ dạng (4.15) thoả mãn phương trình sóng (4.13) nên vế trái (4.14) ta có:  ∂ψ  ∂φ  ∂φ ∂ψ  ∫  ψ ∂n − φ ∂n dS = − ∫  ψ ∂n − φ ∂n dS S0 (4.16) S - Các đạo hàm theo pháp tuyến r ∂ S S0 lấy theo pháp tuyến n ∂n hướng thể tích V Do mặt cầu S0 ta có: ∂φ ∂φ =− ; ∂n ∂r ∂ψ ∂ψ =− ∂n ∂r (4.17)    e − ikr  =  ik +  r r   (4.18) nên: ∂  e − ikr ∂φ = −  ∂n ∂r  r Suy ra:  ∂ψ   e − ikR e − ikR  ∂ψ    ∂φ    I0 = ∫  ψ −φ ψ tb + dS =   ik +    4πR  ∂n ∂n  R0  R0 R  ∂r  tb  S   0 (4.19) Trong đó:  ∂ψ  ψ tb   gtừ trườngb hàm ψ đạo hàm riêng  ∂r  tb mặt cầu S0 có giá trị hữu hạn Do xét trường hợp giới hạn cho mặt cầu S0 thu nhỏ thành điểm ta có: ψ tb → ψ (P ) I = 4πψ(P ) R0 → Theo (4.16) suy ra: 96 (4.20) ψ (P ) = −  ∂  e −ikr ψ  4π ∫S  ∂n  r  e − ikr ∂ψ  dS  −  r ∂ n   (4.21) Nhận xét: - (4.21) biểu thức nguyên lí Huyghens-Kirchhoff Từ biểu thức (4.21) tìm hàm ψ điểm thể tích V Nếu giá trị ψ ∂ψ mặt S coi phân bố nguồn nguyên tố, giá ∂n trị ψ điểm thể tích V chồng chất sóng cầu nguyên tố xạ mặt S bao quanh thể tích V S R0 V’ P r’ V V α P S0 S r R∞ S’ - (4.21) áp dụng trường hợp mặt S giới hạn miền V’ bên ngoài, thực vậy: Miền V’ xem giới hạn mặt kín S mặt cầu S’ có tâm nằm V với bán kính R∞ → ∞, đó: ∂ψ   ∂φ I∞ = ∫  ψ −φ dS → ∂n ∂n  S′  (4.22) Vì R∞ >> r’, r’ khoảng cách từ tâm hình cầu S’ đến điểm P, nên xem R∞ // r, r khoảng cách từ điểm P đến điểm mặt cầu S’ rộng vô hạn, ta có: 1 ≈ , R∞ r r = R ∞ − r ′ cos α Nên: 97 (4.23) e − ikr −ikR ikr′ cos α φ= ≈ e e r R∞ ∞ (4.24) Trong đó: α góc R∞ r’ Đối với mặt cầu S’ ta có: ∂ ∂ = ∂n ∂r Do đó:    ∂ψ  e −ikR ikr ′ cos α  + I ∞ = − ∫   ψ ik + e dS   R ∞  ∂R ∞  R ∞ S′     ∞ (4.25) Trong trường hợp giới hạn, R∞ → ∞ I∞ → thoả mãn điều kiện sau:  ∂ψ    ψ  = lim  +  ik +  R → ∞ ∂R R ∞    ∞  (4.26) ∞ hay: ∂ψ ∂R ∞ R ∞ →∞   ψ = − ik + R ∞  R  (4.27) ∞ →∞ Nhận xét: - Điều kiện (4.26) (4.27) dễ dàng thoả mãn ψ thoả mãn điều kiện xạ vô cùng, tức hàm ψ vô có dạng: ψR ∞ →∞ = f (θ, ϕ) e − ikR R∞ ∞ (4.28) Vì hàm ψ dạng (4.15) thoả mãn phương trình (4.13) nên miền V’ - Phương trình (4.13) có dạng tương tự dạng phương trình sóng r r cho E H hệ toạ độ Decac Do áp dụng nguyên lí Huyghens-Kirchhoff để giải toán nhiễu xạ - Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff hàm vô hướng xem trường hợp riêng nguyên lí dòng tương đương 4.4 Nguyên lí dòng tương đương 98 Giả sử có nguồn q1, q2, , qn đặt miền V mặt kín S, xác định trường điểm P không gian V’ mặt S Theo nguyên lí H-K xác định trường P V’ nguồn cho qua nguồn xạ nguyên tố phân bố mặt S gọi nguồn dòng tương đương (dòng điện mặt dòng từ mặt) Trường nguồn dòng tương đương tạo điểm P V’ trùng với trường nguồn cho V tạo điểm P Còn trường nguồn dòng tương đương tạo miền V Do điều kiện biên cho trường nguồn dòng tương đương E′τ in S = H′τ in S = S q1 • q2 • V qn • (4.29) r n0 V’ P• r r E, H Theo định lí nghiệm nhất, muốn để trường nguồn cho trường nguồn dòng tương đương tạo điểm P V’ trùng phải có điều kiện là: E′τ out S = E τ out S ≠ H′τ out S = H τ out S ≠ (4.30) Nhận xét: Theo (4.29) (4.30) nhận thấy thành phần tiếp tuyến r r E H nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ sang khác qua mặt S Theo điều kiện biên tổng quát, biến đổi nhảy vọt thành phần tiếp tuyến E′τ , H′τ trường mặt S tương đương với tồn dòng điện mặt IS dòng từ mặt ISM chạy mặt S Sự phụ thuộc dòng r r điện mặt dòng từ mặt vào E H sau: 99 r r r IS = n × H out S r r r ISM = − n × E out ( ) ( ) (4.31) S r Trong đó: n vector đơn vị pháp tuyến mặt S Áp dụng phương pháp điện động ta xác định biểu thức cho r r chậm vector điện từ nguồn dòng tương đương IS ISM S tạo điểm P V’ theo (2.61), (2.62) (4.31) ta có: r• r• r µµ I S µµ r e −ikr AE = dS = n × H′out dS 4π ∫S r 4π ∫S r r• εε r• e −ikr εε r r e −ikr AM = I SM dS = − n × E′out dS 4π ∫S r 4π ∫S r ( ) ( (4.32) ) Nhận xét: - Trong (4.32) tham số điện từ ε, µ số sóng k phải tính môi trường miền V’ - Các biểu thức (4.31) (4.32) biểu thức nguyên lí dòng tương đương trường điện từ Nguyên lí ứng dụng để giải toán nhiễu xạ sóng điện từ tiện lợi - Trường nhiễu xạ tính dựa biểu thức nguyên lí H-K nguyên lí dòng tương đương có xác hay không tuỳ thuộc vào giá trị nguồn thứ cấp nguyên tố hay nguồn dòng tương đương phân bố bề mặt S Nói chung giải gần toán nhiễu xạ sóng điện từ 4.5 Nhiễu xạ sóng phẳng qua lỗ chắn phẳng rộng vô hạn Giả sử có sóng phẳng truyền theo phương trục z tới vuông góc với lỗ mặt phẳng dẫn điện lí tưởng rộng vô hạn, xác định trường nhiễu xạ sóng phẳng qua lỗ vùng bên chắn môi trường đồng đẳng hướng 10 y r Ht r Et x S0 r Πt O z S1 S Chọn hệ toạ độ Decac với trục z trùng với phương truyền sóng tới, mặt r phẳng chắn trùng với mặt xOy E t sóng tới hướng theo trục x Biểu thức cường độ trường sóng tới có dạng: r• r • r E mt = i E mt = i z c H mt e −ikz r • r H mt = j H mt e −ikz (4.33) Chia chắn phẳng làm phần phần lỗ S0 phần mặt kim loại S1 Áp dụng nguyên lí dòng tương đương để tính trường nhiễu xạ qua lỗ S0, tức phải xác định dòng điện dòng từ mặt chạy S0 S1 Một cách gần xem chắn S trùng với mặt sóng sóng tới Khi lỗ S0 cường r r độ vector E H nguồn dòng tương đương xem cường độ trường sóng tới mặt lỗ (z = 0) nên: r E′τ out r H′τ out S0 S0 r• r • = i E mt = i z c H mt r • = j H mt (4.34) Còn phần S1 chắn dẫn điện lí tưởng (σ → ∞) phía bên sóng tới thành phần tiếp tuyến điện trường từ trường nguồn dòng tương đương 10 r E′τ out = S r H′τ out = (4.35) S1 r Chọn n ≡ Oz áp dụng biểu thức (4.32) nguyên lí dòng tương đương ta chậm trường nhiễu xạ nửa không gian z > qua lỗ chắn sau: r µµ • r• µµ  r r •  e − ikr e − ikr A Em = dS = − i H mt ∫ dS  k × j H mt  4π S∫  4π r  r S 0 • r εε z c H mt r• εε  r r •  e −ikr A Mm = − k i z H dS j × = − mt   c 4π ∫S  4π  r Trong đó: r = ∫ S e (4.36) −ikr r dS (x − x ′)2 + (y − y′)2 + z khoảng cách từ điểm tính trường P(x, y, z) tới điểm lỗ S0 có toạ độ (x’, y’, 0) Gọi khoảng cách từ tâm O lỗ S0 đến điểm tính trường P R, ta có: r = R − 2(xx '+ yy′) + x ′ + y′ với R = x + y + z Trong trường hợp xét trường nhiễu xạ vùng xa, tức khoảng cách r, R lớn nhiều so với bước sóng λ kích thước lỗ S0 tương ứng với điều kiện R >> λ (4.37) R >> x ′, y′ 1 ≈ r R r ≈ R − (xx ′ + yy′) R (4.38) Áp dụng (4.38) tích phân theo mặt lỗ S0 biểu thức chậm (4.36) có dạng: e − ikr e −ikR ik xx ′R+ yy′ φ= ∫ dS = e dS r R S∫ S (4.39) Nhận xét: tích phân (4.39) xác định trường điện từ nhiễu xạ qua lỗ S0 10 r• r•   r•  1  ∇ ∇ A Em  − iω A Em −  ∇ × A Mm  iωεε µµ  εε    r•  r• r•   r•  Hm =  ∇ × A Em  + ∇ ∇ A Mm  − iω A Mm µµ   iωεε µµ   r• Em = (4.40) Xét trường hợp lỗ S0 có dạng chữ nhật kích thước a, b chắn phẳng rộng vô hạn dẫn điện lí tưởng Đối với trường nhiễu xạ vùng xa trường hợp điều kiện (4.37) viết lại: (4.41) R >> a, b >> λ Tích phân (4.39) lỗ dạng chữ nhật có dạng là: e −ikR φ= R a/2 b/2 ∫ ∫e −a / − b / ik xx ′+ yy′ R e −ikR R i kxRx dx ′dy′ = e R ikx ′ a/2 ′ b/2 R i kyRy e iky −a /  ka   kb  sin  x  sin  y e 2R   2R   = ab ka kb R x y 2R 2R = −b / (4.42) −ikR Các chậm vector điện từ có dạng r µµ • r• µµ • r A Em = − i H mt φ = − H mt φ E 4π 4π • • r εε Z H mt r• εε Z H mt r A Mm = − j φ=− φM 4π 4π (4.43) Trong đó: r r φ E = i φ, r r φM = j φ (4.44) Chuyển sang hệ toạ độ cầu ta có: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ r r r r i = r0 sin θ cos ϕ + θ cos θ cos ϕ − ϕ sin ϕ r r r r j = r0 sin θ sin ϕ + θ cos θ sin ϕ − ϕ cos ϕ Khi đó: 10 (4.45)  ka   kb  sin  sin θ cos ϕ  sin  sin θ sin ϕ  e  2R   2R  φ = ab ka kb R sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ 2R 2R − ikR y (4.46) x ϕ M S0 r θ b a x y Nhận xét: hàm φ chứa thừa số dạng z e − ikR nên từ biểu thức (4.40), R (4.43), (4.44) (4.46) cho thấy trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật vùng xa có dạng sóng cầu Khi bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao so với trường r vùng xa (r → ∞) biểu thức (4.43), (4.44) (4.46) biểu diễn theo toán tử grad, div rot hệ toạ độ cầu ta có: r r r ∇ ∇.φ E , M = − r0 k φ E , Mr r r r (4.47) r r ∇ × φ E , M = ik θ φ E , Mϕ − ϕ φ E , Mθ r r r r Trong đó: φ E ,Mr , φ E , Mϕ φ E , Mθ thành phần vector φ E ( ) ( ) r φ M theo phương bán kính, kinh tuyến vĩ tuyến hệ toạ độ cầu Trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật vùng xa theo (4.40), (4.43), (4.44), (4.46) (4.47) sau: r r• r zH E m = ik c mt φ(1 + cos θ ) θ cos ϕ − ϕ0 sin ϕ 4π r r• r H H m = ik mt φ(1 + cos θ) θ sin ϕ − ϕ0 cos ϕ 4π ( ( ) ) (4.48) Từ biểu thức (4.48) thấy trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có tính định hướng không gian theo toạ độ θ ϕ 10 Giản đồ hướng trường nhiễu xạ: vùng xa kích thước lỗ lớn nhiều so với bước sóng hàm φ biến đổi nhanh hàm cosθ nên cách gần giản đồ hướng trường xác định chủ yếu qua hàm φ Xác định hàm đặc trưng hướng trường mặt phẳng đặc biệt: - Tại mặt phẳng ϕ = (mặt phẳng E) giản đồ hướng có dạng  ka  sin  sin θ   FE (θ) =  ka sin θ - Tại mặt phẳng ϕ = (4.49) π (mặt phẳng H) giản đồ hướng có dạng  kb  sin  sin θ   FH (θ) =  kb sin θ (4.50) Nhận xét: Vì giản đồ hướng FE(θ) FH(θ) có dạng hoàn toàn giống nên cần vẽ đồ thị cho FE(θ) FH(θ) Đồ thị giản đồ hướng dạng FH(θ) vẽ hệ toạ độ Decac hệ toạ độ cực hình vẽ 2θ* F(θ) θ kb sin θ π Từ giản đồ hướng cho thấy trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có búp sóng nhiều búp phụ nhỏ khác Điều giải thích 10 giao thoa sóng xạ từ diện tích nguyên tố mặt S0 Độ rộng búp sóng góc 2θ* xác định từ điều kiện:  kb sin θ ∗   = sin   (4.51) Nếu lấy không điểm ta có: kb sin θ ∗ =π (4.52) Với góc θ* nhỏ θ* ≈ sinθ* độ rộng búp sóng 2θ∗ ≈ sin θ∗ = 2λ b (4.53) Nếu kích thước lỗ b tăng so với bước sóng λ λ → búp sóng hẹp lại thành tia giống quang hình 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, NXB Giáo Dục, 2006 Tôn Thất Bảo Đạt, Dương Hiển Thuận, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ SIÊU CAO TẦN, Học viện Công nghệ Bưu Viễn thông, 2007 Ngô Nhật Ảnh, Trương Trọng Tuấn Mỹ, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, NXB Đại học Quốc gia TPHCM, 1995 Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, NXB Giáo Dục, 1978 Bo Thidé, ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY, Uppsala University Press, 2000 Landau L.D., Lifshitz E.M., THE CLASSICAL THEORY OF FIELDS, Pergamon Press, 1975 Low F.E., CLASSICAL FIELD THEORY, John Wiley & Sons, Inc., 1997 10 [...]... ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện - Phương trình. .. dạng vi phân, cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không) r r thì do J = σE = 0 , ta có: r r ∂E r ∇ × H = ε0 = Jd0 ∂t 20 (1.52) Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra từ trường như dòng điện dẫn 1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến... Maxwell-Ampere Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II: Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường (Đã chứng minh bằng thực nghiệm) Lưu ý: điện trường nói chung có thể... gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác nhau 1.12 Nguyên lí đồng dạng điện động Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định mối quan hệ giữa trường điện từ Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ r r r r r r r r (1.82) H =... sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần • Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi Chất dẫn điện: σ > 104 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng Chất bán dẫn: 10-10 < σ < 104 12 Chất cách điện: ... phương trình Maxwell với nguồn ngoài 22 Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng cho r nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện. .. sự có mặt của điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !) Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công... xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điện trường tĩnh và là một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện r r không đổi tồn tại ngay cả trong vật dẫn J = σE , còn điện trường tĩnh thì không tồn tại bên trong vật dẫn 31 Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 2.1 Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường Lưu ý: - ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường. .. phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ khác nhau qua hệ số ci Hai hệ điện từ có các hệ số ci tương ứng bằng nhau gọi là 2 hệ đồng dạng điện động với nhau 1.13 Trường tĩnh điện Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi theo thời gian, ta có hệ phương trình Maxwell như sau r ∇×E = 0 r ∇.D = ρ r r D = εε 0 E (1.85) 1.14 Từ trường của dòng điện. .. đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere: 17 Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần: r Lưu số của vector cường độ từ trường