[VNMATH.COM]-Binh luan cau 6 de thi dai hoc khoi A 2013 _1_

www.VNMATH.com BÌNH LUẬN CÂU ĐỀ THI TUYỂN SINH MÔN TOÁN KHỐI A VÀ KHỐI A1 NĂM 2013 Tác giả: Đỗ Thị Thúy Ngọc Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32a  b  3c  32b   a  3c  a2  b2  c Lời giải  a  b  Vì a, b, c số thực dương nên ta có  a  c  b  c   4c    1  1   c  c  Lại có P  32a3  b  3c   32b3  a  3c  a b 32   32   2 2 a b c c a b           3 c b a c c       3   3 c  c  a b Do đặt x  ; y  ( x, y  0) , toán cho trở thành “Cho số thực dương x, y c c thỏa mãn điều kiện P 32 x  y  3  32 y 3  x  3  x  1 y  1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x  y ” Ta giải tiếp sau Ta có  x  1 y  1   xy  x  y  Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 32 x3  y  3  1 6x ;   2 y3 32 y 3  x  3  x  3x  y  y  6x 6y 2 Vậy ta có P     x y   y3 x3  x  3 y  3  x  y    x  y   xy     xy   x  y   x  y  1 6y   2 x3  x  y  xy  xy Đặt t  x  y  xy   t   t  www.VNMATH.com Ta có  x  y  xy   t  4(3  t )   t  4t  12   t   ; 6   2;   Kết hợp với điều kiện  t  ta có t   2;3 Khi P2 t  3t    t    t  3t  t  3t    t    t  23  t    t  5t   2t  12  t  2t  P2  t  3t   t    t   3 t  1  t  2t  Xét hàm số f (t )   t  1  t  2t  với t   2;3 f '(t )   t 1 t  2t  ; f '(t )    t 1 t  2t   Dễ thấy phương trình f '(t )  nghiệm t   2;3 Ta có f (2)   2; f (3)   f (t )  f (2)    2;3 Vậy P     P   Dấu xảy x  y   a  b  c Vậy P   a  b  c Bình luận Đây toán khó, dành cho học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải có kĩ tốt độ tư nhạy bén, sắc sảo Trước tiên nhận thấy vai trò a b biểu thức điều kiện biểu thức P nên ta tìm cách “khử” bớt biến c Kĩ thuật toán chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật giảm biến” Một để tiến hành việc giảm biến bậc hai vế biểu thức điều kiện bậc tử mẫu phân thức biểu thức P Do ta nghĩ đến việc chia hai vế chia tử mẫu cho lũy thừa c mà bậc c với bậc hai vế bậc tử mẫu Khi giảm biến c, toán trở thành toán hai biến x, y mà biểu thức điều kiện biểu thức P biểu thức đối xứng x y www.VNMATH.com Đến đây, ta thấy biểu thức P thu cồng kềnh có bậc cao Dự đoán dấu xảy x  y  Khi Cauchy cho ba số dương 32 x3  y  3 32 x3  y  3 ,  32 y 3  x  3  Vì áp dụng bất đẳng thức 1 , , ta thu biểu thức cần đánh giá gọn 2 quan trọng dấu xảy x  y  Kĩ thuật toán chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật chọn điểm rơi” Một vấn đề khác Nhiều học sinh thấy có thức biểu thức P nên nghĩ đến việc “khử” thức cách đánh sau Sử dụng bất đẳng thức Cauchy2 Swarchz ta có  x  y    x  y   x  y  x y (*) (do x y hai số dương) 2  x  y    x  y   xy  x  y  Đây sai lầm, học sinh Do P    xy  3 x  y   quên trước x  y dấu trừ, bất đẳng thức (*) phải đổi chiều! Tất nhiên học sinh có kĩ tốt mắc phải lỗi này, không rèn cho khả tập trung cao chuẩn bị cho tinh thần tỉnh táo ngồi phòng thi với áp lực lớn, em dễ mắc phải sai lầm sơ đẳng Lúc cách khai thác điều kiện xy  x  y  ta chuyển toán hai ẩn x, y toán ẩn t Vấn đề mấu chốt hạn chế miền xác định ẩn t Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc  x  y   xy cộng với ý x, y hai số thực dương nên có tổng tích số dương ta suy miền xác định ẩn t t   2;3 Bài toán trở thành toán quen thuộc, tìm giá trị nhỏ hàm số biến nửa khoảng Đến đòi hỏi học sinh phải có kĩ tính toán tốt, sai bước toàn công sức “xoay xở” trở thành vô nghĩa! Vì vậy, ta khẳng định lại lần nữa, câu hỏi hay thực đòi hỏi kĩ tổng hợp học sinh Muốn làm tốt, không cần tư duy, mà đòi hỏi học www.VNMATH.com sinh phải luyện tập nhiều để có kĩ tốc độ tính toán tốt chinh phục trọn vẹn toán Một câu hỏi mà chắn thầy cô giáo chí em học sinh giỏi đặt “có thể tạo toán tương tự không?” Câu trả lời rõ ràng qua trình giải Thật ra, xuất phát từ toán tìm giá trị nhỏ biểu thức đối xứng hai biến x, y thỏa mãn biểu thức điều kiện đối a b xứng, cách đặt x  ; y  , ta thu toán ba biến a, b, c không c c đối xứng nữa! Bằng phương pháp này, ta tạo loạt toán từ toán quen thuộc biết Chẳng hạn ta xét toán sau (HSG 12 Hà Nội 2013) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  xy  Chứng minh 4x 4y   xy   3xy  y 1 x 1 Ta thấy biểu thức điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng x a b y Đặt x  ; y  , ta c c x  y  xy   a b a b     ac  bc  ab  3c   a  c  b  c   4c2 c c c c a b 4x 4y a b a b   xy   3xy   c  c     b a y 1 x 1 c c c c 1 1 c c 4a 4b 2ab 7c  3ab      b  c a  c c2 c Vậy ta có toán “Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Chứng minh 4a 4b 2ab 7c  3ab     ” bc ac c c Ta áp dụng cách thức cho toán gốc biến để tạo toán có biến sử dụng toán gốc biến để tạo toán có biến … Như vậy, qua việc nghiên cứu giảng dạy toán, ta giúp học sinh hệ thống lại phương pháp giải bài, sai lầm mà học sinh hay mắc phải chí tìm hiểu “cơ chế” để tạo toán từ toán quen www.VNMATH.com thuộc Nếu thường xuyên làm việc này, học trở nên thật hấp dẫn trình độ tay nghề giáo viên lực giải toán học sinh cải thiện đáng kể, tạo môi trường giảng dạy học tập động, phát huy tinh thần tự học sáng tạo giáo viên học sinh./