1 Trần Trung Hiếu – SV Đại học Bách khoa Hà Nội hieuvghy@gmail.com M M ạ ạ n n đ đ à à m m c c â â u u V V I I . . 2 2 0 0 1 1 3 3 Đề bài: Cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn 2 ( )( ) 4 a c b c c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 3 3 32 32 ( 3 ) ( 3 ) a b a b T b c a c c . Nhận xét: Bài toán có tính đẳng cấp đồng bậc => Chia cho 1 đại lượng rồi đặt ẩn phụ Bài toán đối xứng với a và b => Ta nên chia cho c rồi đặt tổng tích Đường lối là quy về 1 biến Đi tìm lời giải: Đặt ; ( , 0) a b x y x y c c Khi đó: Giả thiết là 1 1 4 x y và 3 3 2 2 3 3 32 32 3 3 x y T x y y x Đặt ; x y S xy P ta được 1 1 4 3 x y S P . Tiếp tục sử dụng 2 4 S P và , 0 S P ta được 2;3 S , 1;2 P Công đoạn xử lý biến đã xong, còn biểu diễn T theo nó như thế nào đây? Em 2 2 x y rất dễ dàng biểu diễn về 2 2 2 2 6 S P S S , vấn đề là ở cái hàng khủng 3 3 3 3 3 3 x y y x -Hướng 1: Không cần nghĩ ngợi gì cứ thế mà phang thẳng vào :D 3 3 3 3 3 3 x y y x có dạng tổng 2 lập phương lại cần đem đến cho nó hơi thở đối xứng nên ta sẽ dùng HDDT quen mặt từ lớp 8 nhé. 3 3 3 ( ) 3 ( ) A B A B AB A B với 2 2 2 2 3( ) 2 3 5 6 1 3 3 ( 3)( 3) 3 9 2 12 2 x y x y x y S P S S S S A B y x x y P S S 3 . 3 3 3 9 2 12 x y P S AB y x S P S Cuối cùng thu được 2 2 2 4 1 1 6 6 3 6 6 S S S S S S 3 24 3 4 1 6 S S S Việc khảo sát hàm 1 biến S chắc hẳn học sinh lớp 12 nào cũng biết rồi nhỉ. :D 2 Trần Trung Hiếu – SV Đại học Bách khoa Hà Nội hieuvghy@gmail.com -Hướng 2: Ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức phụ để đơn giản hóa đại lương mũ 3 kia đi. Bằng kinh nghiệm của mình, tôi có 4 cách đánh giá: 1. 3 3 3 1 4 A B A B 2. 3 3 ( ) A B AB A B 3. 3 3 3 1 3 4 4 cauchy A B AB 4. 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1 1 3 3 1 4 4 16 1 1 3 16 4 4 4 16 cauchy cauchy A A A B A B B B Hiện tại trên mạng rất phổ biến 2 lời giải sử dụng các hướng 1 và 4. Đầu tiên là đáp án của bộ 3 Trần Trung Hiếu – SV Đại học Bách khoa Hà Nội hieuvghy@gmail.com Còn đây là lời giải trên diễn đàn k2pi Các bạn có thể thử các hướng còn lại xem nhé. Chắc hẳn là đầy thú vị đó. *Tuy nhiên sẽ có hướng không ra thì đừng trách mình nhé. :D* Đánh giá: Tư tưởng của bài toán này xuất hiện trong đề thi đại học đã quá nhiều. Tôi không nghĩ rằng đề năm nay lại có sự trùng lặp “khó tin” như vậy. Mở rộng: Với những bài toán dạng tương tư như thế này, mình đã viết khá đầy đủ trong bài “Xoay quanh bài toán “xoáy” “ khi đánh giá câu V đề khối A năm 2011. http://www.mediafire.com/download/it3yk2ztrlo6gsv/V_2011.rar Về riêng bài toàn trên, có lẽ một số bạn mới tiếp cận với BĐT sẽ băn khoăn 4 hướng đánh giá lấy đâu ra, tại sao lại sử dụng con số 3 1 4 . Câu trả lời thật cặn kẽ sẽ được trả lời trong bài viết về BĐT Cauchy và Kĩ thuật chọn điểm rơi. http://www.mediafire.com/download/g7a5a3g9w6b66ba/%5Bhttp%3A%2F%2Fmathisthinking.t k%5DCS.pdf & http://www.mediafire.com/download/bzudckbd56dm6hj/%5Bhttp%3A%2F%2Fmathisthinking.t k%5DDiem_roi.pdf Khái quát: Chỉ xét riêng đề đại học khối A các năm thì ta thấy: 2009: Cho , , 0, ( ) 3 x y z x x y z yz .CMR 3 3 3 ( ) ( ) 3( )( )( ) 5( ) x y z x x y y z z x y z Đối xứng với 2 biến y,z. Có tính đẳng cấp => Cách giải giống hệt năm nay 4 Trần Trung Hiếu – SV Đại học Bách khoa Hà Nội hieuvghy@gmail.com 2010: Giải hệ 2 2 2 4 1 ( 3) 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x => Đưa về hàm đặc trưng f(a)=f(b) 2011: Cho , , [1;4] x y z và , x y x z . Tìm GTNN của 2 3 x y z P x y y z z x Có tính đẳng cấp, sử dụng thêm BĐT phụ Jen-sen. 2012: Cho , , 0, 0 x y z x y z .Tìm iá trị nhỏ nhất của | | | | | | 2 2 2 3 3 3 6 6 6 x y x y x y P x y z . Sử dụng đánh giá kiểu tiếp tuyến. 2013: Câu V giống 2009 nhưng câu 3 sử dụng thẳng tư tưởng hàm đặc trưng của năm 2010. Vậy tiếp đến đề sẽ đi về đâu. Một số bài viết hay để các bạn hiểu sâu: Ứng dụng của hàm lồi (lõm) trong chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Tất Thu. http://www.mediafire.com/download/60brt6i2002db04/%5BVNMATH.COM%5D-DUNG- HAM-LOI-LOM-CM-BDT.rar Chứng minh BĐT bằng cách đưa về một biến. http://www.mediafire.com/download/ea355qi5f69aztu/BDT+dua+ve+mot+bien.pdf 1 link tổng hợp tài liệu đã giới thiệu http://www.mediafire.com/?ll9h2sbdnvf4ff9 P/S: Vì bài viết này mà tối qua không học để sáng nay thi trượt . Gạch đá xin m.n gửi về http://blog.zing.vn/jb/u/ebooktoan . http://www.mediafire.com/download/g 7a5 a3g9w6b66ba/%5Bhttp% 3A% 2F%2Fmathisthinking.t k%5DCS.pdf & http://www.mediafire.com/download/bzudckbd56dm6hj/%5Bhttp% 3A% 2F%2Fmathisthinking.t k%5DDiem_roi.pdf Khái quát: Chỉ xét riêng đề đại học khối A các năm. đâu ra, tại sao lại sử dụng con số 3 1 4 . Câu trả lời thật cặn kẽ sẽ được trả lời trong bài viết về BĐT Cauchy và Kĩ thuật chọn điểm rơi. http://www.mediafire.com/download/g 7a5 a3g9w6b66ba/%5Bhttp% 3A% 2F%2Fmathisthinking.t k%5DCS.pdf & http://www.mediafire.com/download/bzudckbd56dm6hj/%5Bhttp% 3A% 2F%2Fmathisthinking.t k%5DDiem_roi.pdf Khái. đã viết khá đầy đủ trong bài “Xoay quanh bài toán “xoáy” “ khi đánh giá câu V đề khối A năm 2011. http://www.mediafire.com/download/it3yk2ztrlo6gsv/V_2011.rar Về riêng bài toàn trên, có lẽ