Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích 3 Nguyễn Xuân Thảo. Đại học Bách Khoa Hà Nội.Tổng hợp tài liệu các môn đại cương trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.Năm nhất đại học.Toán Cao cấp. Toán đại cương.Uploader: Thu TrangK59.Chúc các bạn học tốt, đạt điểm cao.TG.
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số Định nghĩa Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề: n 2 Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải? + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an Định nghĩa: Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 chuỗi số, ký hiệu an , n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn S ta bảo chuỗi n an S hội tụ, có tổng S viết: n 1 Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi an phân kỳ n 1 Ví dụ Xét hội tụ tính Sn q q q n qn n 0 n 1 1 q , q 1 1 q , q 1 n 1 q Phân kỳ q lim Sn qn 1 q , q n 0 Ví dụ Xét hội tụ tính n n 1 n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 n n 1 n 1 n n 1 lim Sn lim 1 n n n Sn n n 1 n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ 1 1 n (Chuỗi điều hoà) Sn n n 1 Lấy n 2m 1 có 1 1 1 1 Sn m 1 m m 1 2 3 4 5 8 2 1 1 1 2m m 1 m 1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn n Chuỗi cho phân kỳ Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: n2 n 1 Sn 1 1 1 1 1 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 n 1 n 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n 1 n Sn tăng dương lim Sn S n n2 S n 1 Nhận xét: an (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) an hội tụ nlim n 1 Chứng minh: Có an Sn Sn 1 ; lim an lim Sn Sn 1 n Nếu lim an không tồn chuỗi n n an phân kỳ n 1 Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn n n 1 n 1 Ví dụ n 1 n n n phân kỳ n n 1 lim Ví dụ 1 n 1 1 n 1 1 n Có lim 1 n 1 n =2k,k n =2k+1 Không tồn lim 1 n n 1 n phân kỳ n 1 Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 2n 36 n n 1 (ĐS: 1) n 1 Ví dụ n n 1 n (PK) Tính chất Giả sử an S1, bn S2, n 1 n 1 ( an bn ) an bn S1 S2 n 1 n 1 n 1 §2 Chuỗi số dương Định nghĩa Các định lí so sánh Định nghĩa: an , an n 1 Nhận xét an hội tụ S n bị chặn n 1 Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý từ lúc trở bn hội tụ an n 1 hội tụ n 1 an phân kỳ bn n 1 phân kỳ n 1 Chứng minh a1 a2 an b1 b2 bn Sn Tn Rút khẳng định Ví dụ Ví dụ 3n n 2 n 1 Chuỗi dương ln n n Chuỗi dương 3n n 3n 3n 1 n ln n phân kỳ n n 2 0 3n hội tụ n 1 1 Chuỗi cho hội tụ Ví dụ a), ln n n 2 n 1 sin 2n n 1 ln n phân kỳ n7 2n3 , ; (HTTĐ) a Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim n k n bn an bn hội tụ n 1 phân kì Nhận xét Đối với chuỗi số dương an n bn 1/ Nếu lim a 2/ Nếu lim n n bn Ví dụ an bn : n 1 n 1 bn hội tụ an hội tụ n 1 n 1 bn phân kì an phân kì n 1 n 1 n2 2n3 n 1 Chuỗi dương n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 n2 n n n 3 2n 2n 2n 2n 2n n2 lim : 1 n 2n 2n 1 2n hội tụ n 1 n2 2n3 hội tụ n 1 Ví dụ np , p0 n 1 1 Khi p có n n p , n n p phân kỳ nên n n 1 np phân kỳ n 1 Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m cho n 2m , có Sn S m 1 2 p 1 1 p p p p 1 m 1 4 2 4 p 2m 1 2m 1 p 1 p 1 2p 1 am 1 , a p 1 1 a 1 a Dãy Sn bị chặn np hội tụ n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p Ví dụ n 1 n3 Chuỗi dương 1 an ; bn 3/2 n n n 3/2 3 n a lim n n bn p 2p 1 m 1 2 m p 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn bn hội tụ n 1 hội tụ n 1 n Ví dụ a1) ln 1 n 1 n2 (PK) a2) n 2 b1) n sin n 1 c1) d1) (PK); n (HT) c2) n 1 (PK) (HT) (PK) n 1 d2) n e (PK) 1 n sin n n n 1 n b2) n n 1 n 1 n 1 (PK) n 2 n 2 d3) n n 1 n 2 n cos n n 1 sin n 1 sin n7 2n3 (HT) n 1 e) Xét hội tụ 1) ln n n5 (HT) 2) n 1 3) n ln 1 arctan2 n 1 n3 1 n 1 arcsin ln n n (PK) (HT) f) Xét hội tụ 1) n ln n n 1 (PK) 2) n 1 3) sin n n n 1 (HT) 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert a lim n 1 l n an ln n 1 n (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn Khi l an hội tụ n 1 Khi l an phân kỳ n 1 Chứng minh an 1 a l , chọn > đủ bé để l + < n 1 < l + , n n0 n an an an 1 a a n n Mặt khác có an n n 1 an0 l an0 0, n an 1 an an0 l < 1: Từ lim Do lim an l n an 1 a l , chọn đủ bé để l > n 1 l an + > an n an an l > 1: Từ lim phân kì Nhận xét Khi l = kết luận Ví dụ 1 n! n 1 0 n! a 1 n! lim n 1 lim : lim lim 0 1 n an n n 1 ! n ! n n 1 ! n n an hội tụ n ! n 1 3n Ví dụ n! n 1 3n an 0 n! an 1 3n 1 3n : an n 1! n ! n a lim n 1 n an Chuỗi cho hội tụ Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi 1.3.5 2n 1 1.3 1.3.5 2.5 2.5.8 2.5.8 3n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo an Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn 1.3.5 2n 1 0 2.5.8 3n 1 an 1 1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 2n : an 2.5.8 3n 1 3n 2.5.8 3n 1 3n an 1 1 n an Chuỗi cho hội tụ Ví dụ lim a1) a3) (PK) nn n 1 n n !3n n 1 n ! c1) d1) n 1 (HT) nn b4) 3n 2n (PK) nn d2) n 1 b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an l n Nếu l an hội tụ n 1 an phân kỳ n 1 Nhận xét Nếu l = 1, kết luận 2n Ví dụ 3n n 1 nn (HT) (HT) (HT) n !3n Nếu l 2n !! n 1 2n 3n n 1 22n 1 b2) n n 1 ln n (PK) 2n 1!! n 1 (HT) b3) nn (HT) 32n 1 b1) n n 1 ln n n 2n n 1 a2) n !2n n 2n an 0 3n 2n na n 3n n ! n nn (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 n Chuỗi cho hội tụ lim na n n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kì n n 1 n2 (PK) Ví dụ 3n n a1) n cos n n 1 2n ln n n n 5n n 1 n n 1 n 2 b1) n n 1 n n 4 n3 b2) n n 1 n n 4 (HT) (PK) (HT) (HT) n2 c) (HT) 3n ln n a3) 2n n a2) n sin n n 1 n n 5n n 1 n n 1 (HT) n2 c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay không giữa: b f ( x ) dx f ( x ) dx blim a a k an klim an n 1 n 1 n n Hình 14.4 f ( x ) dx a1 a2 an a1 f ( x ) dx , 1 Nếu f(x) hàm liên tục, dương giảm với x lim f ( x ) , f(n) = an, x an f ( x ) dx hội tụ phân kỳ n 1 Ví dụ n ln n n 2 f (x) dương, giảm với x có lim f ( x ) x x ln x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b f ( x ) dx lim b d ln x ln x Email: thaon.nguyenxuan@hust.edu.vn b lim ln ln x lim ln ln b ln ln2 b n f ( x ) dx phân kỳ n ln n phân kỳ n 2 Tổng quát xét n ln n p hội tụ p > n 2 Ví dụ Chứng minh rằng: 1 ln2 1 1 1 1 1 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2n 2n 2n n 2 1 ln2n o(1) ln n o(1), víi lim ln n n n ln2 o(1) ln n Mặt khác ta có S2n 1 S2n 2n lim S2n 1 lim S2n ln S2n n 1n 1 ln2 n 1 n 1 1 ln2 Ví dụ 11 Xét hội tụ phân kì chuỗi số sau ln ln 1 n ln n n a) (HT); b) (HT) c) 2 n 1 n n 1 n n 3n Ví dụ 10 Tương tự nhận HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 10 (HT)