Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích 3 Nguyễn Xuân Thảo. Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tổng hợp tài liệu các môn đại cương trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Năm nhất đại học. Toán Cao cấp. Toán đại cương. Uploader: Thu TrangK59. Chúc các bạn học tốt, đạt điểm cao. TG.
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 11 §3 Phương trình vi phân cấp hai (TT) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi c) Phương trình Euler x y axy by 0, a, b Cách giải Đặt x et t ln x dy dy dt dy dy y xy dx dt dx x dt dt d d dy dy d dy dt y y dx dx x dt x dt x dt dt dx dy d 2y d y dy d y dy 2 2 x y dt x dt x dt x dt dt dt dy dy d 2y dy a by ( a 1) by phương trình 2 dt dt dt dt dt vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Ví dụ Giải phương trình vi phân Thay vào có d 2y a) x y xy 6y (1) b) x y xy 21y d) x y xy 2y x x c) x y xy y x e) y y y x x x Giải a) x et t ln x dy dy d 2y dy d y dy y , y , x y xy x dt dt dt dt x dt dt Thay vào ta có d 2y dt dy dy d 2y dy 2 6y 6y dt dt dt dt (2) Phương trình đặc trưng r r r 2, r 3 (2) có nghiệm tổng quát y c1e2t c2e 3t (1) có nghiệm tổng quát y c1e2ln x c2e 3ln x c1x c2 x3 Ví dụ a) Giải phương trình vi phân x y xy 2y x 2, x cách đặt x et ( y C1x C2 x ln x ) 71 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) 1) x 2y xy y x, x thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( C1 cosln x C2 sinln x x ) ( x C1 cos ln x C2 sin ln x x ) §4 Hệ phương trình vi phân 2) x y xy y 2x, x Đặt vấn đề Các quy luật tự nhiên không diễn đơn lẻ mà gồm nhiều trình đan xen Hệ phương trình vi phân tuyến tính giải nhiều toán nêu trên, chẳng hạn : 1/ Ví dụ Xét hệ hai khối lượng hai lò xo Hình 1, với lực tác động từ bên f (t ) bên phải khối lượng m2 Ta kí hiệu x(t ) hàm vị trí (sang phải) khối lượng m1 từ trạng thái cân (khi hệ bất động cân với f (t ) ) y (t ) vị trí khối lượng m2 từ trạng thái tĩnh m x " k1x k2 ( y x ) Có mô hình toán m2 y " k2 ( y x ) f (t ) 2/ Ví dụ Xét hai thùng nước muối nối với Hình Thùng chứa x(t) pounds muối 100 gallon nước biển thùng chứa y (t ) pounds muối 200 gallon (gal = 4,54 lit Anh = 3,78 lít Mỹ) nước biển Nước biển thùng giữ nguyên vòi bơm nước biển thùng sang thùng khác với tốc độ Hình Thêm nước nguyên chất chảy vào thùng với tốc độ 20gal/phút nước muối thùng chảy với tốc độ 20gal/phút x 10 x 20 y Có mô hình toán y x y 10 20 3/ Ví dụ Xét mạch điện Hình 3, I1 (t) kí hiệu dòng điện chạy qua cảm biến L I2 (t) kí hiệu dòng điện chạy qua điện trở R2 Dòng điện chạy qua điện trở R1 I I1 I2 theo hướng dI1 dt 25I1 25I2 50 Có mô hình toán 2 dI1 dI2 5I dt dt 72 Hình Hệ khối lượng lò xo Ví dụ Hình Hai thùng nước biển Ví dụ Hình Mạng điện Ví dụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Đại cương Định nghĩa Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp có dạng y1 f1( x, y1, y 2, , y n ) y f2 ( x, y1, y 2, , y n ) y n fn ( x, y1, y 2, , y n ) Định lí Giả sử hàm fi ( x, y1, y 2, , y n ) fi ( x, y1, y 2, , y n ) liên tục D n 1 y j (1) đạo hàm riêng Cho ( x0 , y10 , y 20 , , y n0 ) D , U ( x0 ) để (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện y i ( x0 ) y i0 , i 1, n Định nghĩa Ta bảo ( y1, , y n ) , y i i ( x, c1, c2, , cn ) nghiệm tổng quát hệ (1) thoả mãn hệ (1) c1, c2, , cn ( x0 , y10 , y 20 , , y n0 ) thoả mãn định lí ci ci0 cho hàm số y i i ( x, c10, c20 , , cn0 ) thoả mãn điều kiện y i x x0 y i0 , i 1, n Nghiệm riêng (1) nhận từ nghiệm tổng quát cho ci , i 1, n giá trị xác định Cách giải Phương trình vi phân cấp n : y n f ( x, y , y , , y n 1 ) đưa hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1: Đặt y y1, có y1 y y2 y3 y y n n 1 y n f ( x, y1, y 2, , y n ) Ngược lại, hệ PTVP chuẩn tắc đưa phương trình cấp cao cách khử hàm số chưa biết từ phương trình hệ, gọi phương pháp khử y2 y y y 4z y y z y z z Ví dụ a) b) c) d) z 4y 5z z y z x z y z y y z y C1 cos x C2 sin x e) ( ) z y z C2 cos x C1 sin x 73 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x y e (C1 cos x C2 sin x ) y y 5z f) ( ) x z y z z e ( C C )cos x ( C C )sin x 1 2 x y 3 y z y (C1 C2 C1x )e g) ( ) 2 x z y z z ( C x C ) e Giải a) Từ phương trình thứ y y 4z Thay z y 5z vào phương trình có y y 16 y 20z Từ phương trình z ( y y ) , thay vào ta có y 10 y x Nghiệm tổng quát y c1e c2e9 x y c1e x 9c2e9 x , thay vào phương trình đầu có z c1e x c2e9 x 2C1 c) +) zz 2z2 +) z +) y C1x C2 (C1x C2 )2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số dy1 dx a11y1 a12 y a1n y n dy a y a y a y 21 22 2n n a) Định nghĩa dx (1) dy n a y a y a y n1 n2 nn n dx aij dy1 dx a11y1 a12 y b) Cách giải Để đơn giản ta xét hệ (2) dy a21y1 a22 y dx a a12 Giải phương trình đặc trưng 11 (3) 0 a21 a22 Nếu (3) có nghiệm thực phân biệt 1, 2 (2) có nghiệm tổng quát ( y1, y ) y1 c1y11 c2 y12 ; y c1y 21 c2 y 22 y11 p11e1x , y 21 p21e1x , y12 p12e2 x , y 22 p22e2 x , ( p1k , p2k ) vectơ riêng ứng với giá trị riêng k , k 1, y y 2z Ví dụ Giải hệ sau a) z y 3z y y 5z b) z 2y z 74 y y z c) z y 3z PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Giải a) Cách Phương pháp khử: y y 2z với z y 3z y y y y C e x C e5 x z (y y ) x 5x z ( y y ) z C1e 2C2e Cách Phương pháp toán tử L x L2 y f1(t ) Hệ , Li toán tử tuyến tính L x L y f ( t ) L1 L2 f (t ) L2 L1 L2 L f (t ) x ; y 1 L3 L4 f2 (t ) L4 L3 L4 L3 f2 (t ) (D 1)y 2z d ,D dx y (3 D )z D 2 Ta có (D 1)(3 D) D 4D 3D y y 5y Hệ z 4z 5z Phương trình đặc trưng k 4k k1 1, k2 Ta có y c1e x c2e5 x ; z c3e x c4e5 x Thay y , z vào phương trình ta có y y 2z c1e x c2.5e5 x c1e x c2e5 x 2(c3e x c4e5 x ) (2c1 2c3 )e x ( 4c 2c )e 5 x , x 2c 2c3 c c1 4c2 2c4 c4 2c2 Nghiệm tổng quát ( y , z ) , y c1e x c2e5 x ; z c1e x 2c2e5 x Cách 1 3 4 1 5, 2 1 (1 5)p11 p21 1 : p11 p21 p (3 5) p 11 21 Chọn p11 1, p21 1 1 p12 p22 2 1: p12 p22 p p 12 22 Chọn p12 1, p22 1 Hệ nghiệm y1 e5 x ; z1 2e5 x ; y e x ; z2 e x Nghiệm tổng quát: y ; z , y c1e5 x c2e x ; z 2c1e5 x c2e x 75 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ dx t 5t dt x y x C1et C2e5t x C1e C2e a) ( ) t 5t dy y C e t C e 5t x 4y y C1e 3C2e dt dx x et (C1 cos3t C2 sin3t ) y et (C1 cos3t C2 sin3t ) dt x 3y b) ( ) t t dy x y y e (C1 sin3t C2 cos3t ) x e (C1 sin3t C2 cos3t ) dt Chú ý Phương pháp toán tử giải hệ phương trình tuyến tính không với hệ số số HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 76