Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích 3 Nguyễn Xuân Thảo. Đại học Bách Khoa Hà Nội.Tổng hợp tài liệu các môn đại cương trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.Năm nhất đại học.Toán Cao cấp. Toán đại cương.Uploader: Thu TrangK59.Chúc các bạn học tốt, đạt điểm cao.TG.
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI §2 Phương trình vi phân cấp (TT) Phương trình vi phân phân li biến số a) Định nghĩa f(y) dy = g(x) dx b) Cách giải f y dy g x dx F y g x dx dy y2 dx dx , |y| < 1, x > x Ví dụ 1/ x +) dy y2 +) dy y2 dx x +) y sin x C +) sin1y = x C +) y = nghiệm kỳ dị 2/ y' = + x + y + xy dy 1 x 1 y dx x2 dy +) C x dx , y 1, ln y x 1 y +) y = 1 nghiệm kì dị 3/ xy x dx y x y dy (1 y C 1 x ) 4/ tan x sin2 y dx cos2 x cot y dy ( cot y tan2 x C ) Cx 5/ y xy a x y (y a ) ax 6/ x xy y y xy ( x y ln C( x 1) ( y 1) ) 7/ y ( x y )2 ( arctan x y x C ) +) y' = (1 + x)(1 + y) +) 8/ (2 x y )dx (4 x 2y 3)dy 9/ y ( x 10 y C ln 10 x y ) x 2y ( x 2y ln x 2y x C ) 10/ xy x dx 2y 2x y dy ( x2 C y ) c) Một số ứng dụng 1/ Sinh trưởng tự nhiên thoái hoá dP Sự tăng dân số: P , tỉ lệ sinh, tỉ lệ chết dt dA 2/ Lãi luỹ tiến rA dt A lượng đô la quỹ tiết kiệm thời điểm t, tính theo năm 44 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn r tỉ lệ lãi luỹ tiến tính theo năm dN 3/ Sự phân rã phóng xạ kN , k phụ thuộc vào loại đồng vị phóng xạ dt dA 4/ Giải độc A , số giải độc thuốc dt dx kx 5/ Phương trình tăng trưởng tự nhiên dt dT 6/ Quá trình nguội nóng lên k A T , k số dương, A dt nhiệt độ môi trường Ví dụ Một miếng thịt 4-lb có nhiệt độ ban đầu 500 F, cho vào lò 3750 F vào lúc chiều Sau 75 phút người ta thấy nhiệt độ miếng thịt 1250 F Hỏi tới miếng thịt đạt nhiệt độ 1500 F (vừa chín tới)? dT k (375 T ) , T (0) 50 , T (75) 125 dt dT kdt 375 T Be kt 375 T Thay T(0) = 50, T(75) = 125 B = 325, k 0,0035 t 105 phút tức vào lúc khoảng 6h45’ dy 7/ Quy luật Torricelli A y a 2gy , v thể tích nước thùng, dt A(y) diện tích tiết diện thẳng nằm ngang bình độ cao y so với đáy, 2gy tốc độ nước thoát khỏi lỗ hổng Ví dụ Một bát dạng bán cầu có bán kính miệng bát 4ft chứa đầy nước vào thời điểm t = Vào thời điểm này, người ta mở lỗ tròn đường kính inch đáy bát Hỏi sau không nước bát? A(y) = r2 = (8y y2), dy (8y y ) dt 24 2.32y ; 16 y2 y2 t C 72 448 y(0) = C 15 t 2150 (s ); tức khoảng 35 phút 50 giây xy xy Ví dụ y sin sin , y ( ) 2 x xy y ( y xy ) Phương trình (đẳng cấp) a) Đặt vấn đề 45 Tháo nước từ bát bán cầu ( C 2, ln tan y x sin ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nhiều ứng dụng dẫn đến phương trình vi phân không phân li Chẳng hạn, máy bay xuất phát từ điểm (a ; 0) đặt phía Đông nơi đến, sân bay đặt gốc tọa độ (0 ; 0) Máy bay di chuyển với vận tốc không đổi v0 liên quan đến gió, mà thổi theo hướng Nam với vận tốc không đổi w Như thể Hình vẽ, ta giả thiết phi công giữ hướng bay phía gốc tọa độ Máy bay hướng gốc Đường bay y = f(x) máy bay thỏa mãn phương trình vi phân dy v 0y w x y dx v x x dy dx y F (hoặc G ) dx dy x y b) Định nghĩa (1) c) Cách giải y dy dv Đặt v v x x dx dx Biến đổi (1) thành phương trình phân ly: x dv F (v ) v dx Ví dụ 1/ Giải phương trình: dy x y dx 2xy dy x 3y y dy dv x v , y = vx v x 2 x dx dx dx v y y 2 x dv dv v v vx v x ; dx v dx v 2v 2v dv dx ln(v 4) ln x ln C x v 4 v2 C x y2 C x y x kx x 2/ Giải: xy y' = x + y3 +) y 0; y +) y = không nghiệm 46 x2 y2 y x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y y = xu y' = u + xu' x +) u3 = ln |x| + C y3 = x3 (3 ln |x| + C) 3/ (x + 2y)dx x dy = (x + y = Cx2) +) u +) u xu u u2 x Ce y ) 4/ (x y)y dx = x dy (x 5/ x y y x y ( x y ln Cx ) xy 6/ xy y ( x y ) ln ( y x ln ln Cx ) x 2 7/ (3y + 3xy + x )dx = (x + 2xy)dy 3x 3y 8/ y 1 x y 9/ y y x ((x y )2 x x y Cx e ) ( (3 x y ln x y ) ( xy Cx (2 xy ), xy 2 ) Ví dụ 1/ xy y y (ln y ln x ) , y(1) = e ( x ln y ) x x y , đẳng cấp) 2y x Cy , y 0, x ) 2/ ( x y )dy xydx ( y 0, x 3/ y 2dx ( xy x )dy ( ey / x 4/ ( x y )ydx x 2dy ( y x ln Cx 5/ xy y x y , y (1) 6/ (2 x y 4)dx ( x 2y 5)dy ( y x y Cx 2, C 1) ( ( x y 1)3 C( x y 3) ) (C y x y x 1) 7/ (2 x y 1)dx ( x 2y 3)dy 8/ yy y 1 , y 0, x ) x3 Phương trình tuyến tính a) Đặt vấn đề Phương trình đại số tuyến tính cấp ax = b giải Liệu xây dựng cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hay không? dy b) Định nghĩa + p(x) y = q(x) x p( y ) x q( y ) (1) dx c) Phương pháp giải : Có phương pháp giải : Sử dụng công thức nghiệm tổng quát, thừa số tích phân biến thiên số Dưới phương pháp thừa số tích phân : p ( x )dx Tính thừa số tích phân ( x ) e , Nhân hai vế phương trình vi phân với (x), 47 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Đưa vế trái phương trình xét dạng đạo hàm tích: Dx ( x )y ( x ) ( x )q( x ) Tích phân phương trình ( x )y ( x ) ( x )q( x )dx C, giải theo y để nhận nghiệm tổng quát phương trình vi phân Ngoài giải phương pháp khác : Sử dụng công thức ngiệm tổng quát (3), phương pháp biến thiên số) dy 11 Ví dụ 1/ Giải toán giá trị ban đầu y e x / 3, y (0) 1 dx ( 1)dx 11 x / Có p(x) = –1 q(x) = e , thừa số tích phân ( x ) e e x dy 11 Nhân hai vế phương trình cho với e–x e x e x y e 4 x / dx d x 11 (e y ) e x / dx 11 4 x / 33 e x y e dx e 4 x / C, 32 33 x / y ( x ) Ce x e 32 Thay x = y = –1 vào ta có C = 1/32, nghiệm riêng cần tìm x 33 x / x y(x) e e (e 33e x / ) 32 32 32 3x 2/ Giải phương trình y' + 3y = 2x.e 3dx +) e = e3x d y e3 x 2x +) dx +) p = 3, q = 2x.e3x +) e3x (y' + 3y) = 2x +) y.e3x = x2 + C y = (x2 + C)e3x dy 3/ Giải: x y e y 1 dx dx +) x y e y dy dy +) e e y +) ey(x' x) = y +) d y xe y dy 1 y C x y C ey 2 4/ y (2 x 1) x 2y ( y (2 x 1)(C ln x 1) 5/ y x( y x cos x ) ( y x(C sin x ) ) +) xe y 6/ ( x y )dy y dx ( x y Cy ) 48 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 7/ y 2dx (2 xy 3)dy ( x Cy 8/ (1 y )dx ) y y sin y xy dy ( x y cos y C ) 9/ (2 x y )dy y dx ln y dy ( x ln y y Cy ) ĐỊNH LÝ Phương trình tuyến tính cấp Nếu hàm p(x) q(x) liên tục khoảng mở I chứa điểm x0, toán giá trị ban đầu dy + p(x)y = q(x), y(x0) = y0 (2) dx có nghiệm y(x) I, cho công thức p( x )dx p( x )dx ) dx C (3) y(x) e ( q ( x ) e với giá trị C thích hợp Chú ý: Định lý cho ta biết nghiệm phương trình (1) nằm nghiệm tổng quát cho (3) Như phương trình vi phân tuyến tính cấp nghiệm kì dị Giá trị thích hợp số C–cần để giải toán giá trị ban đầu với phương trình (2) – chọn “một cách tự động” cách viết x t p( t ) dt x p(u ) du x0 x0 y(x) e y0 e q(t ) dt x0 Các cận x0 x nêu đặt vào tích phân bất định (3) đảm bảo trước cho (x0) = y(x0) = y0 Ví dụ Giả sử hồ Erie tích 480 km3 vận tốc dòng chảy vào (từ hồ Huron) dòng chảy (vào hồ Ontario) 350 km3/năm Giả sử thời điểm t = (năm), nồng độ ô nhiễm hồ Erie – mà nguyên nhân ô nhiễm công nghiệp giảm bớt – lần so với hồ Huron Nếu dòng chảy hoà tan hoàn toàn với nước hồ, sau nồng độ ô nhiễm hồ Erie gấp lần hồ Huron? dx r Phương trình vi phân cấp 1: rc x dt V dx Ta viết lại theo dạng tuyến tính cấp 1: px q dt với hệ số p r / V , q rc nhân tử tích phân e pt x(t ) cV 4cVe rt / V Để xác định x(t)=2cV, ta cần giải phương trình: 49 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn V 480 ln ln 1,901 (năm) r 350 Ví dụ Một bình dung tích 120 gallon (gal) lúc đầu chứa 90 lb (pao-khoảng 450g) muối hoà tan 90 gal nước Nước mặn có nồng độ muối lb/gal chảy vào bình với vận tốc gal/phút dung dịch trộn chảy khỏi bình với vận tốc gal/phút Hỏi có muối bình bình đầy? dx Phương trình vi phân : x 8 dt 90 t Bình đầy sau 30 phút, t = 30 ta có lượng muối bình : cV 4cVe rt /V 2cV ; t x(30) 2(90 30) 904 1203 202 (lb) Ví dụ a) 1/ (2 xy 3)dy y 2dx 0, y (0) ( x y2 2/ 2ydx ( y x )dy 0, y (1) (x b) 1/ ydx ( x y sin y )dy 2/ (1 y )dx (arctan y x )dy y c) 1/ y x cos x, y x 2 ex 2/ y y , y (1) e x ex y 3/ y x 1 x 1 y 4/ y x ( x 1) d) 1/ 2ydx (6x y )dy 0, y(1) y2 (1 y ) ) ( x (C cos y )y , y ) ( x arctan y Ce arctan y ) ( y x x sin x ) ( y (1 ln x )e x ) 2/ xy ex C ) x 1 x (y ( x ln x C ) ) x 1 y2 (1 y ) ) 1 ( x ln y ( y 2) ) 3 ex e ) x x x ln x ) (y x 1 y3 c ; y 0) y y3 c ; y 0) y (y (x 2/ ( y 2)dx ( y x 2)dy 0, y (1) e) 1/ xy y ex 0, y (1) 1 ) y (y y x 0, y (1) x 1 f) 1/ ydx 12x y dy (x 2/ 2ydx x 2y dy (x Phương trình Bernoulli 50 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo a) Định nghĩa thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dy p( x )y q( x )y , 0, x p( y )x q( y ) x , dx (2) b) Cách giải Với y 0, đặt v y 1 Biến đổi phương trình (2) thành phương trình tuyến tính: dv (1 ) p( x )v (1 )q( x ) dx dy 2x Ví dụ 1/ y dx 2x y Là phương trình Bernoulli với p(x) = 3/(2x), q(x) = 2x, = 1 = yy y 2x 2x dv Đặt: v y ta thu phương trình tuyến tính: v 4x dx x ( 3 / x )dx +) Nhân tử tích phân e x 3 4 +) Dx ( x 3v ) x 3v C x 3 y C x x x 2 y 4 x Cx 2/ y y y 2e x ( y (e x Ce x ) 1; y ) 3/ xy2y = x2 + y3 (y3 = Cx3 3x2) 4/ y y cos x y tan x ( y 3 C cos3 x sin x cos2 x; y ) 5/ ( x 1)( y y ) y ( y ( x 1)(ln x C ) 1, y ) 6/ x dy y (1 x sin x y sin x ) dx Ví dụ ( y (3 cecos x ) x, x 0, y ) ( y 2 (Ce2 x x 1), y ) 1/ y 2xy x y y y2 x 1 3/ xy y x cos x y ( y 1 (1 x )(ln x C ), y ) 2/ y (y x( x sin x cos x C ) 1 ( y 0, y x 1 ln x C ) 5/ a) xy 2y x y ( y x3 c ) x b) xy y x y ( y c x ) x 40 Phương trình vi phân toàn phần a) Định nghĩa Phương trình P(x, y)dx + Q(x, y)dy = (1) 4/ ( x 1)( y y ) y 51 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn gọi phương trình vi phân toàn phần hàm P(x, y) Q(x, y) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền đơn liên D có P Q (2) y x có tích phân tổng quát x y y P t, y0 dt Q x, t dt C x0 y0 x Q x0, t dt P t, y dt C y0 x0 Chú ý Có hai cách giải phương trình VPTP : Sử dụng công thức tích phân tổng quát nêu trên, Định lý mệnh đề tương đương học Giải tích Ví dụ 1/ Giải phương trình vi phân (6xy – y3)dx + (4y + 3x2 – 3xy2)dy = P(x, y) = (6xy – y3) ; Q(x, y) = (4y + 3x2 – 3xy2) Q P = 6x – 3y2 = Phương trình vi phân toàn phần x y F P x, y F(x, y) = (6 xy y )dx = 3x2y – xy3 + g(y) x F F = 3x2 – 3xy2 + g'(y) = 4y + 3x2 – 3xy2, Q x, y y y g'(y) = 4y g(y) = 2y2 + C1 , F(x, y) = 3x2y – xy3 + 2y2 + C1 Tích phân tổng quát 3x2y – xy3 + 2y2 = C 2/ (2x + 3y)dx + (3x + 2y)dy = +) P = 2x + 3y; Q = 3x + 2y Qx = Py = +) F 2x 3y dx = x + 3xy + g(y) +) Fy(y) = 3x + 2y 3x + g'(y) = 3x + 2y g(y) = y2 +) x2 + 3xy + y2 = C y2 2y 3/ dx dy ( (4 x y ) Cx ) x x 4/ e y dx (1 xe y )dy ( y xe y C ) y 5/ dx ( y ln x )dy ( y ln x y C ) x 2x y 3x 6/ dx dy ( x y Cy ) y y x dy y dx y arctan y C ) 7/ x dx y dy ( x x2 y x 8/ x cos2 y dx (2y x sin 2y )dy ( x cos2 y y C ) ( x 1) cos y x 9/ dx dy sin y cos y 10) 52 ( x 2(C 2x ) sin y ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo a) 2x y 3x dx dy y3 y4 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( x2 C) y3 y y y4 dx ( y ln x )dy ( y ln x C ) x y y4 c) sin x dx ( y ln x )dy ( cos x y ln x C ) x y2 y2 y d) sin x ( cos x sin y C) dx cos y dy x x2 x 11) y2 2y y2 a) sin x dx dy ( cos x C) x x x y2 2y y2 b) cos x dx dy ( sin x C) x x x c) xy x dx y x y dy ( x x 1 y C ) b) ( x x 1 y C ) d) xy x dx y x y dy 2x y 3x e) dx dy y y4 b) Thừa số tích phân Phương trình vi phân P ( x, y )dx Q( x, y )dy với Qx Py đưa phương trình vi phân toàn phần tìm ( x ) (hoặc ( y ) ) cho phương trình Pdx Qdy có ( Q ) ( P ) Khi hàm ( x ) ( ( y )) x y gọi thừa số tích phân, tính sau Qx Py Nếu ( x ) ( x ) e ( x )dx Q Qx Py Nếu ( y ) ( y ) e ( y )dy P Ví dụ 1/ ( x y )dx 2xydy (1) dx Qx Py 4 y +) +) ( x ) e x Q 2 xy x x +) x nghiệm x y2 2y +) x : (1) dx dy phương trình vi phân toàn phần x2 x x +) 1 dt t y 2t dt C x +) ln x 53 y2 C tích phân tổng quát x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 2/ ( x y )dx x dy ( thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y , x C, x ) x2 x ( cos y , x sin y 3/ x tan y dx ( x sin y )dy cos 2y C ) 4/ (e2 x y )dx y dy ( e 2 x , y (C x )e2 x ) 5/ (1 x sin y )dx x cot y dy ( Ví dụ a) 1/ e x (2 x y )dx 2e x ydy 2/ (2 xy x 2y )dx ( x x y )dy 3/ Tìm để phương trình h( x ) h( x ) ( y cos y )dx (1 sin y )dy 4/ Tìm để phương trình h( y ) h( y ) (1 sin x )dx (cos x x )dy x , x3 C) sin y sin y ( xe x e x y C ) ( x 2y x3 y C ) sau toàn phần sau giải ( h K1e x , e x ( y cos y ) C ) toàn phần giải ( h K1e y , e y ( x cos x ) C ) b) 1/ Tìm h( x ) để phương trình sau toàn phần giải h( x ) ( y ln x )dx xdy (h 2/ Tìm để phương h( y ) h( y ) y (1 xy ) dx xdy trình sau C 1 y , ln x C) x2 x x x toàn phần giải C x x2 (h , C) y y c) 1/ Tìm để phương h( y ) h(y ) (1 sin x ) dx (cos x x )dy trình 2/ Tìm để phương trình h( x ) h( x ) ( y cos y )dx (1 sin y )dy sau toàn phần giải sau ( h Ce y , e y ( x cos x ) C ) toàn phần giải ( h Ce x , e x ( y cos y ) C d) (1 x sin y )dx x cot ydy HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 54