de thi hsg toan lop 6

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán S I Thi gian lm bi 120 phỳt Cõu : (2 im) Cho biu thc A = a + 2a a + 2a + a + a, Rỳt gn biu thc b, Chng minh rng nu a l s nguyờn thỡ giỏ tr ca biu thc tỡm c ca cõu a, l mt phõn s ti gin Cõu 2: (1 im) Tỡm tt c cỏc s t nhiờn cú ch s abc cho abc = n v cba = ( n 2) Cõu 3: (2 im) a Tỡm n n2 + 2006 l mt s chớnh phng b Cho n l s nguyờn t ln hn Hi n2 + 2006 l s nguyờn t hay l hp s Cõu 4: (2 im) a Cho a, b, n N* Hóy so sỏnh b Cho A = 1011 ; 1012 B= a +n a v b+n b 1010 +1 So sỏnh A v B 1011 +1 Cõu 5: (2 im) Cho 10 s t nhiờn bt k : a 1, a2, ., a10 Chng minh rng th no cng cú mt s hoc tng mt s cỏc s liờn tip dóy trờn chia ht cho 10 Cõu 6: (1 im) Cho 2006 ng thng ú bt kỡ ngthng no cng ct Khụng cú ng thng no ng qui Tớnh s giao im ca chỳng P N S I Cõu 1: Ta cú: A = (a + 1)(a + a 1) a + a a + 2a = = a + 2a + 2a + (a + 1)(a + a + 1) a + a + iu kin ỳng a -1 ( 0,25 im) Rỳt gn ỳng cho 0,75 im b.Gi d l c chung ln nht ca a2 + a v a2+a +1 ( 0,25 im) Vỡ a2 + a = a(a+1) l s l nờn d l s l Mt khỏc, = [ a2+a +1 (a2 + a 1) ] d Nờn d = tc l a2 + a + v a2 + a nguyờn t cựng ( 0, im) Vy biu thc A l phõn s ti gin ( 0,25 im) Cõu 2: (1) abc = 100a + 10 b + c = n2-1 cba = 100c + 10 b + a = n 4n + (2) (0,25 im) T (1) v (2) 99(a-c) = n 4n 99 (3) (0,25 im) Mt khỏc: 100 [ n2-1 [ 999 101 [ n2 [ 1000 11 [n[31 39 [4n [ 119 (4) ( 0, 25 im) T (3) v (4) 4n = 99 n = 26 Vy: abc = 675 ( , 25 im) Cõu 3: (2 im) a) Gi s n2 + 2006 l s chớnh phng ú ta t n + 2006 = a2 ( a Z) a2 n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 im) + Thy : Nu a,n khỏc tớnh cht chn l thỡ v trỏi ca (*) l s l nờn khụng tha (*) ( 0,25 im) + Nu a,n cựng tớnh chn hoc l thỡ (a-n) v (a+n) nờn v trỏi chia ht cho v v phi khụng chia ht cho nờn khụng tha (*) (0,25 im) Vy khụng tn ti n n2 + 2006 l s chớnh phng (0,25 im) b) n l s nguyờn t > nờn khụng chia ht cho Vy n chia ht cho d ú n + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia ht cho Vy n2 + 2006 l hp s ( im) Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Bi 4: Mi cõu ỳng cho im Ta xột trng hp TH1: M a +n b +n a b =1 cú phn tha so vi l cú phn tha so vi l TH3: a b = a=b thỡ ba ++nn thỡ ba ++nn > a>b a+m > b+n a b a b TH1: a b a b Khi ú a b b +n a b b , vỡ = >1 a b a b < (0,5 im) =1 (0 , vỡ ,5 im) a b b +n a b b < nờn a +n b +n < a b (0,25 im) x=0; y-5=12 => y=17 hoc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25) vy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25) b.(1) Ta cú 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25) 4n-5 chia ht cho2n-1 => chia ht cho2n-1 (0,25) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25) vy n=1;2 (0,25) c (1) Ta cú 99=11.9 B chia ht cho 99 => B chia ht cho 11v B chia ht cho 99 (0,25) *B chia ht cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia ht cho (x+y+3) chia ht cho 9=> x+y=6 hoc x+y =15 B chia ht cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia ht cho11=> (13+x-y)chia ht cho 11 x-y=9 (loi) hoc y-x=2 (0,25) y-x=2 v x+y=6 => y=4; x=2 (0,25) y-x=2 v x+y=15 (loi) vy B=6224427 (0,25) Cõu2: a Gi dl c ching ca 12n+1v 30n+2 ta cú 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia ht cho d (0,5) vy d=1 nờn 12n+1 v 30n+2 nguyờn t cựng 12n +1 l phõn s ti gin 30n + 1 1 b Ta cú < = 2.1 2 1 1 < = 2 3 ú (0,5) 1 1 < = 99.100 99 100 100 Vy (0,5) 1 1 1 1 + + + < + + + 2 2 99 100 100 1 1 99 + + + p2 +1 (0,25) - p > nờn p cú dng: + p = 3k +1 > p = 3k + = 3k > p4 + p = 3k + > p + = 3k + + = 3k +3 > p4 -1 (0,25) - Mt khỏc, p cú th l dng: + P = 5k +1 > p = 5k + - = 5k > p4 - + p = k+ > p2 + = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 > p4 - (0,25 ) + p = 5k +3 > p2 +1 = 25k2 + 30k +10 > p4 + p = 5k +4 > p + = 5k +5 > p4 (0,25) Vy p4 hay p4 240 Tng t ta cng cú q4 - 240 (0,25) Vy: (p4 - 1) (q4 1) = p4 q4 240 Cõu 2: (2) 8n + 193 2(4n + 3) + 187 187 = = 2+ 4n + 4n + 4n + A N thỡ 187 4n + => 4n +3 {17;11;187} (0,5) a A = + 4n + = 11 -> n = + 4n +3 = 187 > n = 46 + 4n + = 17 -> 4n = 14 -> khụng cú n N (0,5) Vy n = 2; 46 b.A l ti gin 187 v 4n + cú UCLN bng -> n 11k + (k N) -> n 17m + 12 (m N) (0,5) 77 ; c) n = 156 -> A = 19 89 n = 165 -> A = 39 139 n = 167 -> A = (0,5) 61 Cõu 3: (2) Do = 12 (- 4) = 22.(-1) nờ cú cỏc trng hp sau: (x = 1) x = 12 x= y 3= y= y= a (0,5) 30 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán hoc (x 2) = x = 22 x= y 3= y= y= x = x = y = y = (0,5) 22 b hoc (0,5) x = x = y= y= (0,5) A Cõu 4: (3) a M, B thuc tia i CB v CM -> C nm gia B v M ->BM = BC + CM = (cm) (0,5) B b C nm gia B,M -> Tia AC nm gia tia AB, AM -> c Cú xAy = x AC = + CAy ( BAC + = CAM) = d + Nu K tia CM -> C nm gia B v K1 -> BK1 = BC + CK1 = (cm) (0,5) + Nu K tia CB -> K2 nm gia B v C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) (0,5 ) Cõu 5: (1) Ta cú CAM = BAM - BAC + 2 BAM = K C x BAC = 200 (0,75) M y CAM 80 = 400 (0,75) 1 1 2 1 2 1 2 1 = ( ) = ( ) = ( ); = ( ); 4 4 4.7 7.10 10 ; 2 1 = ( ) (0,5) 97.100 99 100 31 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 1 1 1 1 ( + + + + ) 4 7 10 99 100 1 99 33 )= = B= ( (0,5) 100 100 50 B= -P N S XX Cõu a) 510* ; 61*16 chia ht cho thỡ: + + + * chia ht cho 3; t ú tỡm c * = 0; 3; 6; (1) b) 261* chia ht cho v chia d thỡ: * chn v + + + * chia d 1; t ú tỡm c * = (1) Cõu S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 (0,5) Cõu Thi gian i t A n C ca Hựng l: 11 - = (gi) Thi gian i t B n C ca Dng l: 11 - = (gi) 0,5 Quóng ng AB l 30 km ú c gi khong cỏch ca Hựng v Dng bt i 10 km Vỡ vy lỳc gi Hựng cũn cỏch Dng l 20 km, lỳc ú Ninh gp Dng nờn Ninh cng cỏch Hựng 20 km n gi 24 phỳt, Ninh gp Hựng ú tng tc ca Ninh v Hựng l: 20 : 24 20.60 = = 50(km / h) 60 24 Do tc ca Ninh bng 1/4 tc ca Hựng nờn tc ca Hựng l: [50 : (1 + 4)] = 40 (km/h) T ú suy quóng ng BC l: 40 - 30 = 90 (km) ỏp s: BC = 90 km 11 0,5 0,5 Cõu 4: (2) Trờn on thng AB cú cỏc im A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B ú, tng s im trờn AB l 2006 im suy cú 2006 on thng ni t M n cỏc im ú Mi on thng (vớ d MA) cú th kt hp vi 2005 on thng cũn li v cỏc on thng tng ng trờn AB to thnh 2005 tam giỏc Do ú 2006 on thng s to thnh 2005 2006 = 4022030 tam giỏc (nhng lu ý l MA kt hp vi MA1 c tam giỏc thỡ MA1 cng kt hp vi MA c tam giỏc v hai tam giỏc ny ch l 1) Do ú s tam giỏc thc cú l: 4022030 : = 2011015 Cõu 5: (1) 56 Thờm n v vo phõn s th nht thỡ tớch mi l suy tớch mi 15 15 56 48 48 12 hn tớch c l = õy chớnh l ln phõn s th hai Suy phõn s th hai l :4= 15 15 15 15 15 = T ú suy phõn s th nht l: : = 15 Tớch ca hai phõn s l P N S XXI Cõu 1: 32 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 2525 25.101 25 = = 5353 53.101 53 252525 25.10101 25 = = 535353 53.10101 53 25 2525 252525 = = 53 5353 535353 Vy (0.5) (0.5) (0.5) Cõu 2: 300 300 300 30 30 300 > = > m (1) 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 = = Ta cú : v (2) 67 67 677 677 377 37 > T (1) v (2) 677 67 (0.5) (0.5) (0.5) Cõu 4: Gi s i ngh cú n ngi Tng s tui i ngh tr ngi ch huy l m Ta cú: m + 17 m = 11 (1) v =10 (2) n n (1) T (1) m = 11n 17 (3) (2) m = 10n 10 (4) T (3) v (4) 11n 17 = 10n 10 n =7 ỏp s: S ngi i ngh l: Cõu 5: a.Tớnh c yOn = 150 ; mOy = 750 Ch cỏch v v v ỳng b.Tớnh c mOn = 900 (1) (1) (1) (0.5) (0.5) m y P N S XXII x CU I : 1) 1,5 636363.37 373737.63 + + + + 2006 37.63.(10101 10101) =0 + + + + 2006 A = = O 63.(10101.37) 37.(10101.63) + + + + 2006 n z = 12 12 12 4 12 + 4+ + + 124242423 19 37 53 17 19 2006 : 2) B = 3 5 237373735 41 5+ + + 3+ 37 53 17 19 2006 1 1 12.1 + 41 + + + 47 19 37 53 17 19 2006 41.3.1010101 : = 1 1 47.5.1010101 41 51 + 31 + 17 19 2006 19 37 53 = 47 41.3 ( ) = (1,5) 41 47.5 CU 2: b=0 => 9+a => a = 33 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán B =5 => 14+a => a = CU III: 2007 3A =32+33 +34+ .+ 32007 3A A = 32007 -3 A = a) A = 31 +32+33 + .+ 32006 (1) b) Ta cú : 2007 +3 = 3x => 32007 -3 +3 = 3x => 32007 = 3x => x = 2007 (1) CU IV: A= 2004 + 1) 2005 2004 + 2005 2005 + 2005 2005 + + 2004 2005(2005 < = = = B Vy A < B 2005 + 1) 2005 2005 + 2005 2006 + 2005 2006 + + 2004 2005(2005 CU V : Gi x l s trang sỏch, x N x trang Ngy c c l x = x trang S trang cũn li l x5 3 x = x trang Ngy c c l 5 25 xx = x trang S trang cũn li l 25 25 24x x 80% +30 = Ngy th c c l : + 30 25 125 24x x+ x+ Hay : + 30 =x => x =625 trang 25 125 S 625 trang P N S XXIII Bi (1,5): a 308; 380; b 380 c 803 Bi (2): a) (1) 830 830 (0,5) (0,5) 333 3 x 00 { { - 33 { - 1ữ= 33 300 (0,5) { 50 chu so 50 chu so 50 chu so 50 chu so 50 chu so 33 33 00 00 33 33 33 32 66 { 36 (0,25) = (0,25) Vy A = 49 chu so 49 chu so 33 32 66 { 36 A = 49 chu so 49 chu so = + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101(2) Ly (2) tr (1) ta c: 2B = 3101 - Do ú: 2B + = 3101 Theo bi 3B + = 3n Vy n = 101 Bi (1,5): a) (0,75) b) (1 ) B (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) 34 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán C= Ta cú: *, *, 101 + (100 + 99 + + + + 1) =101 + 101.100 : = 101 + 5050 = 5151 101 - 100 + 99 - 98 + + - + = Vy C = (0,25) (101 - 100) + (99 - 98) + + (3 - 2) + 1 4 4 42 4 4 43 = 50 + = 51 50 cap 5151 = 101 51 b) (0,75) B= Ta cú: 101 + 100 + 99 + 98 + + + + 101 100 + 99 98 + + + (0,25) (0,25) 3737.43 4343.37 + + + + 100 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = (0,5) Vy B = ( vỡ = + + + 100 0) (0,25) Bi ( 1,5): Ta cú: 210 = 1024 100 = (2 ) 10 10 10 = 1024 = ( 1024 ) (0,25) (0,75) =( 76)5 = 76 (0,5) Vy hai ch s tn cựng ca 2100 l 76 Bi (1,5): Nu i t A n D bng ng a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5) i t A n D bng ng a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5) i t A n D bng ng a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5) Vy hp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bi ( 2): Chn mt im Qua im ú v tng im 99 im cũn li, ta v c 99 ng thng (0,5) Lm nh vy vi 100 im ta c 99.100 ng thng (0,5) Nhng mi ng thng c tớnh ln, ú tt c cú 99.100 : = 4950 ng thng (1) P N S XXIV Bi 270.450 + 270.550 270(450 + 550) 270000 = = = 3000 a S = (2 + 18).9 90 90 a a a+n 20062006 + 20062006 + + 2005 < thỡ < (n N * ) A = b Ta cú nu < b b b+n 20062007 + 20062007 + 2005 + 20062006 + 2006 2006(20062005 + 1) 20062005 + = = = =B 20062007 + 2006 2006(20062006 + 1) 20062006 + Vy A < B Bi a C = + 22 + 23 + + 299 + 2100 = 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + + 22+ 23+ 24)++ (1 + + 22+ 23+ 24).296 35 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán = 31 + 26 31 + + 296 31 = 31(2 + 26 ++296) Vy C chia ht cho 31 b C = + 22 + 23 + + 299 + 2100 2C = 22 + 23 + 24 + + 2100 + 2101 Ta cú 2C C = 2101 2101 = 22x-1 2x = 101 2x = 102 x = 51 Bi 3: Gi s cn tỡm l A: A = 4q1 + = 17q2 + = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 thuc N) A + 25 = 4(q1 +7) = 17(q2 +2) = 19(q3 + 2) A + 25 chia ht cho 4; 17; 19 A + 25 =1292k A = 1292k 25 = 1292(k + 1) + 1267 chia A cho 1292 d 1267 Bi Tng s im ca 10 lp 6A l (42 - 39) + (39 - 14) + (14 - 5) + = 100(im 10) Bi 5: Cú 24 ì 25 n(n 1) = 300 ng thng Vi n im cú ng thng 2 -P N S XXV Cõu : Tớnh giỏ tr biu thc : a) Tng : S =1 +2 +3 + +100 cú 100 s hng S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) cú 50 cp = 50 10 = 5050 3 4 ) 4+ + + 37 53 : 17 19 2003 b) A = 3 5 5 (3 + ) 5+ + + 37 53 17 19 2003 1 4(1 + + + ) 17 19 2003 = - : = 4.5 = Ta cú : A = - : 1 5 5 5(1 + + + ) 17 19 2003 1 1 c) B = + + + + + 3.4 5.6 99.100 1 1 1 1 99 Ta cú : B = + + + + =1= 2 3 99 100 100 100 4(3 + 2) Cõu2 So sỏnh a) Ta cú : 3200 =(32)100 = 9100 2300 =(23)100 =8100 100 Vỡ > 8100 Nờn 3200 > 2300 121212 404 121212 : 10101 404 : 101 + + + 171717 17 1717 171717 : 10101 17 1717 : 101 12 12 + A= + = 17 17 17 17 10 10 Vy A = hay A =B = 17 17 b) A = 3) Bi s cú ch s *26* , 4ch s khỏc m ch s *26* chia ht cho c s 2; 5;3;9 Ta cn tho mn : S ú m bo chia ht cho nờn s ú l s chn S ú chia ht cho nờn s ú phi cú ch s tn cựng l s hoc 5.S ú va chia ht cho v9 Nờn s ú phi cú tng cỏc ch s chia ht cho Vy : Ch s tn cựng ca s ú l *260 Ch s u l s Do ú s ó cho l 1260 ) Bi Tỡm s t nhiờn n M 1! +2!+3! + +n! l bỡnh phng ca mt s t nhiờn Xột : n = 1! = 12 36 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán n = 1! +2! = n=3 1! + 2! + 3! = =32 n = 1!+ 2! +3! + 4! =33 Vi n >4 thỡ n! = 1.2.3 .n l mi s chn Nờn 1!+2!+ +n! =33 cng vi mt s chn bng scú ch s tn cựng ca tng ú l ch s Nờn nú khụng phi l s chớnh phng Vy ch cú hai giỏ tr n=1 hoc n=3 thỡ 1! +2! + 3! +4! + .+n!l s chớnh phng 5) Gii gi xe th nht i c qung ng AB qung ng AB 1 gi c xe i c + = qung ng AB 1 1 Sau 10 phỳt = gi : Xe th nht i c = qung ng AB 6 12 gi xe th i c Qung ng cũn li l: 1- 11 = 12 12 (ca AB) Thi gian hai xe cựng i qung ng cũn li l: 11 11 : = gi = gi phỳt 12 10 Hai xe gp lỳc gi 10 phỳt + gi phỳt = gi 16 phỳt ỏp ỏn : gi 16 phỳt (0,25) 6) Hỡnh hc (t v hỡnh) (2) ã = 1200 , xOy ã Ta cú : xOA = Vỡ : ã = 750, im A nm gúc xOy nờn tia OA nm gia hai tia Ox v Oy AOy ã ã im B cú th hai v xOy - AOy =1200 - 750 = 450 trớ : B v B (0,75) +, Ti B thỡ tia OB nm ngoi hai tia Ox, OA nờn ã ã BOx + xOA = 1350 + 450 = 1800 Do ú ãBOA = BOx ã ã + xOA =1800 Nờn im A,O,B thng hng (0,75) ã ã ã ã +, Cũn ti B thỡ : xOB' = 1350 < 1800, AOB' = xOB' - xOA = 1350 - 450 = 900 Nờn im A,O, B khụng thng hng.(0,5) HNG DN GII S XXVI Cõu 1: Ta cú 3A = + 1/3 + 1/32 + + 1/399 vy: 3A-A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399)-(1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 suy A= (3100-1) )/ 2.3100 Cõu 2: Ta cú 12/21= 4/7, cỏc phõn s 3/5, 4/5, 6/11 ti gión nờn tn ti cỏc s t nhiờn k, l, m cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m T cỏc ng thc 5k=4n, v 7k = 6m ta cú 4n5 v 7n m (4,5)=1; (7,6)=1 nờn n5, n mt khỏc (5,6) =1 ú n 30 cỏc s t nhiờn a, b, c, d nh nht v phi khỏc , ta chn n nh nht bng 30 suy ra: k =24, m=35 vy a=72, b=120, c=210, d=385 cõu 3: Gi a v b l hai s bt kỡ thuc dóy 1, 2, 3, , 50 Gi s a>b a.Gi d thuc C(a,b) thỡ a-b d ta s chng minh d 25 tht vy gi s d>25 thỡ b>25 ta cú a 50 m b>25 nờn 0< a-b < 25, khụng th xy a-b d ; d=25 xy a=50; b=25 vy hai s cú CLN t giỏ tr ln nht l 50 v 25 b BCNN(a,b) a.b 50.49=2450 vy hai s cú BCNN t giỏ tr ln nht l 50 v 49 cõu 4: (Hc sinh t v hỡnh) 37 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Ta thy : ã ã ã AOB + BOC + AOD >1800 ã = AOB 0 ã ã ã ã ta cú: AOB + BOC + AOD + COD = 360 +3+5+6=360 = 24 ã ã ã ã Vy: AOB = 240 ; BOC =720 ; COD = 1200 ; DOA = 1440 vỡ nu trỏi li thỡ gúc AOD cú im chung vi ba gúc t -P N S XXVII Cõu 1: (3) a V c s cho (1,5) - S hc sinh thớch ỳng mụn búng ỏ v bi: 14 10 = (hs) - S hc sinh thớch ỳng hai mụn bi v búng chuyn: 13 10 = (hs) - S hc sinh thớch ỳng hai mụn búng ỏ v búng chuyn: 15 10 = (hs) - S hc sinh ch thớch búng ỏ: 20 (4 + 10 + 5) = (hs) - S hc sinh ch thớch bi: 17 (4 + 10 + 3) = (hs) - S hc sinh ch thớch búng chuyn: 36 (5 + 10 + 3) = 18 (hs) Vy: S hc sinh ca lp l: + + 18 + + 10 + + + 12 + = 53 (hs) b (1,5 ) A = 10 11 12 58 59 60 * T n cú : ch s T 10 n 60 cú: 51 = 102 ch s Vy: S A cú + 102 = 111 ch s (0,5) * Nu xúa 100 ch s s A thỡ s A cũn 11 ch s Trong s A cú ch s nhng cú ch s ng trc cỏc ch s 51 52 53 58 59 60 Trong s nh nht cú ch s ng trc s nh nht l s cú ch s S nh nht l 00000123450 = 123450 (0,5) * Trong s A cú ch s Nu s ln nht cú ch s ng lin thỡ s ú l: 99999960 S ny ch cú ch sú khụng tha S ln nht ch cú ch s lin s ú cú dng 99999 Cỏc ch s cũn li 78 59 60 Vy s ln nht: 99999785860 Cõu 2: (2,5) a.(1,5) A = + 52 + + 596 5A =52 + 53 + + 596 + 597 5A A = 597 - A = 597 - Tacú: 597 cú ch s tn cựng l 597 cú ch s tn cựng l Vy: Ch s tn cựng ca A l b (1) Cú: 6n + = 2(3n + 6) 6n + chia ht 3n + 2(3n + 6) chia ht 3n + chia ht 3n + 3n + = ; ; 3n + -9 -3 -1 n -5 -3 - 7/3 - 5/3 Vy; Vi n = thỡ 6n + chia ht cho 3n + Cõu 3: (2,5) a (1) Gi s t nhiờn cn tỡm l a (a > 0, a N) Theo bi ta cú: - a chia cho d a chia ht cho - a chia cho d a chia ht cho - a chia cho d a chia ht cho - a chia cho 10 d a chia ht cho 10 -1 38 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60 b.(1,5) 11n + + 122n + = 121 11n + 12 144n =(133 12) 11n + 12 144n = 133 11n + (144n 11n) 12 Tacú: 133 11n chia ht 133; 144n 11n chia ht (144 11) 144n 11n chia ht 133 11n + + 122n + Cõu 4: (2) S ng thng v c qua n im: n ( n 1) = 105 n (n 1) = 210 = = 10 14 n (n 1) = 35 = 15 14 Vỡ n v n l s t nhiờn liờn tip nờn: n = 14 Vy n = 14 P N S XXVIII Bi 1:(2,25 im) a) x= = 25 25 ; b) x= 45 + 44 89 = = ; 11 99 99 c) x = 32 Bi 2:(2,25 im) Tớnh tng sau bng cỏch hp lý nht: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b)B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144 c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152 Bi 3:(2,25 im) Tớnh: a) b) c) 1 1 1 1 1 + + + + = = 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 1 1 1 1 1 1 B= + + + + + = = 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2006 C = + + + + + = = 2 1989 1990 2006 2007 2007 2007 A= Bi 4:(1 im) 102002 + 10 (1) = + 2002 2002 10 + 10 + 102003 + 10 Tng t: 10B = (2) = + 2003 2003 10 + 10 + 9 10A > 10B A > B T (1) v (2) ta thy : > 2003 2002 10 + 10 + Ta cú: 10A = Bi 5:(2,25 im) A a) Trờn tia BA ta cú BK = cm BA = 7cm nờn BK< BA ú im K nm gia A v B Suy AK + KB = AB hay AK + = AK = cm Trờn tia AB cú im I v K m AI < AK (v n+2 ( 18) = {1;2;3;6;9;18} (0,25 im) n + 2= n= - (loi) n + 2= n= n + 2= n= n + 2= n= n + 2= n= n + 2= 18 n= 16 Vy n {0;1;4;7;16} thỡ B N (0,25im ) c (1 im) Ta cú 55 =5.11 m (5 ;1) = (0,25 im) +, +, +, +, +, +, Do ú C = x1995 y C C 11 55 (1) => y = hoc y = +, y= : (2) => x+ 9+5 ( 1+9 +0) 11 => x = +, y =5 : (2) = > x+9 +5 (1+9+5 ) 11 => x = ( 1) ( 2) (0.25 im) (0,25 im) (0,25 im) Baỡ (2 im) a( 1im) 10 10 10 10 5 5 + + + + + + + + = 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 1 1 1 1 + + + = + ( 0, 25 im) 7 10 10 13 25 28 1 = = ( 0,5 im) = 28 28 14 M= (0,25 im) b (1 im) 3 3 3 3 3 15 + + + + > + + + + => S > = (1) ( 0,5im) S= 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 15 20 + + + + < + + + + < = (2) ( 0,5 im) => S < 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10 S= T (1) v (2) => < S < Bi 3: Gi giỏ go np l a (ng/kg) ; lng go np ó mua l b (kg) (0,25 im) Suy giỏ go t l 80 120 a ; lng go t ó mua l b 10 100 S tin ngi th nht phi tr l a.b (ng) ( 0,25 im) (0,25 im) 80 120 96 a .b = S ting ngi th hai phi tr l a.b 100 100 100 (0.75im) Vy ngi th hai tr ớt tin hn ngi th nht T l % ớt hn l: 40 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 96 a.b : a.b = 4% a.b 100 (0,5 im) BI V hỡnh chớnh xỏc (0,5 im) a Bn im A,B, M, N thng hng vỡ chỳng cựng nm trờn ng thng MN (0,5 im) b (1 im) BM = AB AM = (cm) (0,25im) M,N tia AB m BM > BN ( > 1) => N nm gia B v M ( 0,25 im) MN = BM BN = cm = BN.=> N l ng trung im ca BM (0,5 im) c ng trũn tõm N i qua B nờn CN = NB = cm (0,25 im) ng trũn tõm A i qua N nờn AC = AN = AM + MN = cm (0.25 im) Chu vi CAN = AC + CN = NA = + 4+1= (cm) (0,5 im) 41 [...]... A = b Ta cú nu < b b b+n 20 062 007 + 1 20 062 007 + 2005 + 1 20 062 0 06 + 20 06 20 06( 20 062 005 + 1) 20 062 005 + 1 = = = =B 20 062 007 + 20 06 20 06( 20 062 0 06 + 1) 20 062 0 06 + 1 Vy A < B Bi 2 a C = 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 = 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26( 1 + 2 + 22+ 23+ 24)++ (1 + 2 + 22+ 23+ 24).2 96 35 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 6 = 2 31 + 26 31 + + 2 96 31 = 31(2 + 26 ++2 96) Vy C chia ht cho 31 b C =... P N S XXII x CU I : 1) 1,5 63 6 363 .37 373737 .63 1 + 2 + 3 + + 20 06 37 .63 .(10101 10101) =0 1 + 2 + 3 + + 20 06 A = = O 63 .(10101.37) 37.(10101 .63 ) 1 + 2 + 3 + + 20 06 n z = 12 12 12 4 4 4 12 + 4+ + + 124242423 6 19 37 53 17 19 20 06 : 2) B = 1 1 3 3 5 5 5 237373735 41 5+ + + 3+ 3 37 53 17 19 20 06 1 1 1 1 1 1 12.1 + 41 + + + 47 19 37 53 17 19 20 06 41.3.1010101 : = 1 1... 1 1 1 1 1 + + + + + + 41 42 43 78 79 80 b, (1,5 im) Ta thy: Vy 24 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 6 = Vỡ 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + .+ + + 41 42 59 60 61 62 79 80 1 1 1 > > > 60 41 42 Ta cú v (1) 1 1 1 > >> 61 62 80 (2) 1 1 1 1 1 1 1 1 + + .+ + + + + +.+ 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 1 4 + 3 7 + = + = = = 60 80 3 4 12 12 (3) T (1) , (2), (3) Suy ra: 1 1 1 1 1 1 7 + + + + + + > 41 42 43... 703 ( loi) +) Vi n= 37 thỡ 2 36. 37 = 66 6 +) Vi n+1 = 37 thỡ ( tho món) 2 Vỡ s Vy n = 36 v a =6 Ta cú: 1+2+3+ + 36 = 66 6 Bi 4 : A, 1,5 im Vỡ mi tia vi 1 tia cũn li to thnh 1 gúc Xột 1 tia, tia ú cựng vi 5 tia cũn li to thnh 5 gúc Lm nh vy vi 6 tia ta c 5 .6 gúc Nhng mi gúc ó c tớnh 2 ln do ú cú tt c l B, 1 im T cõu a suy ra tng quỏt Vi n tia chung gc cú n( n 1 ) (gúc) 2 5 .6 = 15 gúc 2 ... + 53 + + 520 06) 4S = 52007-5 Vy S = 52007 5 4 b, S = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) + + (52003 +520 06) Bin i c S = 1 26. (5 + 52 + 53 ++ 52003) Vỡ 1 26 M 1 26 S M 1 26 Cõu 2 (3) Gi s phi tỡm l x Theo bi ra ta cú x + 2 chia ht cho 3, 4, 5, 6 x + 2 l bi chung ca 3, 4, 5, 6 BCNN(3;4;5 ;6) = 60 nen x + 2 = 60 .n Do ú x = 60 .n 2 (n = 1;2;3 ) Mt khỏc x M 11 ln lt cho n = 1;2;3 Ta thy n = 7 thỡ x = 418 M 11... 5353 53.101 53 252525 25.10101 25 = = 535353 53.10101 53 25 2525 252525 = = 53 5353 535353 Vy (0.5) (0.5) (0.5) Cõu 2: 300 300 300 30 30 300 > = > m (1) 67 0 67 7 67 0 67 67 67 7 37 30 377 300 = = Ta cú : 1 v 1 (2) 67 67 67 7 67 7 377 37 > T (1) v (2) 67 7 67 (0.5) (0.5) (0.5) Cõu 4: Gi s i vn ngh cú n ngi Tng s tui i vn ngh tr ngi ch huy l m Ta cú: m + 17 m = 11 (1) v =10 (2) n n 1 (1) T (1) m = 11n 17... S XXII Thi gian lm bi: 120 phỳt Cõu I : 3 11 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 6 Thc hin phộp tớnh bng cỏch hp lớ : 1) A = 63 6 363 .37 373737 .63 1 + 2 + 3 + + 20 06 12 12 12 4 4 4 12 + 4+ + + 124242423 6 19 37 53 17 19 20 06 : 2) B= 1 1 3 3 5 5 5 237373735 41 5+ + + 3+ 3 37 53 17 19 20 06 Cõu II : 2 Tỡm cỏc cp s (a,b) sao cho : 4a5b 45 Cõu III : 2 Cho A = 31 +32+33 + .+ 320 06 a, Thu... S XXVIII Thi gian lm bi: 120 phỳt (khụng k thi gian giao ) Bi 1:(2,25 im) Tỡm x bit 1 7 = 5 25 4 5 x- = 9 11 a) x+ b) c) (x-32).45=0 Bi 2:(2,25 im) Tớnh tng sau bng cỏch hp lý nht: a) A = 11 + 12 + 13 + 14 + + 20 b) B = 11 + 13 + 15 + 17 + + 25 c) C = 12 + 14 + 16 + 18 + + 26 Bi 3:(2,25 im) Tớnh: a) A= 5 5 5 5 + + + + 11. 16 16. 21 21. 26 61 .66 14 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 6 1 1 1 1 1... hng l l 0, chia ht cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1 +6+ (*+*+*)}= 18-12 -6= 0 ( 0,25 im ) Vy A 3 96 5(4 im ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = 2+ 3 4+ 5 6 (0,25 im ) 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2A= 1 + 2 3 + 4 5 (0,5 im ) 2 2 2 2 2 1 2 6 1 2A+A =3A = 1- 6 = (0,75 im )