BoiDuong HSG daiso 8

1 Chuyªn ®Ị : §a thøc Bài 1: Tính giá trò biểu thức: a A = x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 x = 16 b B = x − 15x + 16 x − 29 x + 13x x = 14 c C = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 x = d D = x15 − 8x14 + 8x13 − 8x12 + − x + 8x − x = Bài 2: Tính giá trò biểu thức: 1 650 4 − − + 315 651 105 651 315.651 105 546 b N = − − 547 211 547 211 547.211 a M = Bài 3: Tính giá trò biểu thức: a A = x ( x − y ) + y ( x − y ) với x = 2; y = b M.N với x = Biết rằng:M = −2 x + 3x + ; N = x − x + Bài 4: Tính giá trò đa thức, biết x = y + 5: a x ( x + ) + y ( y − ) − xy + 65 b x + y ( y − x ) + 75 Bài 5: Tính giá trò đa thức: x (1 + y ) − y ( xy − 1) − x y biết x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = ab + bc + ca − x ; biết 2x = a + b +c b 2bc + b2 + c2 − a2 = p ( p − a ) ; biết a + b + c = 2p Bài 7: a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia hết cho b Cho số tự nhiên a b số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hỏi tích ab có chia hết cho không? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M = a ( a + b )( a + c ) ; N = b ( b + c )( b + a ) ; P = c ( c + a )( c + b ) Bài 9: Cho biểu thức: M = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) + x Tính M 2 theo a, b, c, biết x = a + b + c Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13 Bài 11: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a Rút gọn biểu thức 7A – 2B http://kinhhoa.violet.vn b Chứng minh rằng: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17 Bài 12: Chứng minh rằng: a 817 − 279 − 913 chia hết cho 405 b 122 n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Bài 13: Cho dãy số 1, 3, , 10, 15,…, n ( n + 1) ,… Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy số phương Chuyªn ®Ị ®Ị: BiĨn ®ỉi biĨu thøc nguyªn I Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = = a12 + a 22 + + a 2n + 2(a1a + a1a + + a1a n + a a + + a a n + + a n −1a n ); (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II B¶ng çc hƯ sè khai triĨn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh Dßng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm çc sè ; dßng k + ®−ỵc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triĨn (x + y)n thµnh tỉng th× çc hƯ sè cđa çc h¹ng tư lµ çc sè dßng thø n cđa b¶ng trªn Ng−êi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th−êng ®−ỵc sư dơng n kh«ng qu¸ lín Ch¼ng h¹n, víi n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 http://kinhhoa.violet.vn II Çc vÝ dơ VÝ dơ §¬n gi¶n biĨu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z ] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dơ Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cđa çc biĨu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) VÝ dơ Chøng minh çc h»ng ®¼ng thøc : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) b) c) d) a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dơ Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 Mµ x + y = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T−¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) http://kinhhoa.violet.vn Bµi tËp: Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Cho a2 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a b a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c th× = x y 2 2 2 b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) a b c vµ x, y, z kh¸c th× = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Chøng minh çc h»ng ®»ng thøc sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Cho çc sè a, b, c, d tháa m n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : C = a2 + b9 + c1945 11 Hai sè a, b lÇn l−ỵt tháa m n çc hƯ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H y tÝnh : D = a + b 12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H y tÝnh : E = a2 + b2 13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cđa çc biĨu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyªn ®Ị: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư http://kinhhoa.violet.vn I- Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tư thµnh nhiỊu h¹ng tư kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư a, x2 − 5x + d, x2 − 13x + 36 b, 3x2 − x + e, x + x − 18 c, x + x + f, x − x − g ,3x2 − 16 x + h, 8x2 + 30 x + i, x − x − k, 6x2 − x − 20 Bµi 2: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 1, x − x + x − 2, x + x − 3, x + x + x + 4, x − x + 5, x − x + x + 16 6, x − 13 x + x − 18 7, x − x − x + 8, − x − x + x + 9, x − x − 486 x + 81 10, x − x − 11, x − x + 12, x − x + x + 13, x + x + 17 x + 10 14, x + x + x + 15, x − x − 16, x − 12 x + 17 x − 17, x + x + 18, x + x + x + 19, x + x + 26 x + 24 20, x − x + x − 21, x − 14 x + x + 22, x + x + x + x + (§a thøc ® cho cã nhiƯm nguyªn hc nghiƯm h÷u tØ) II- Ph−¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tư 1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc hiƯu cđa hai b×nh ph−¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 1, (1 + x2 )2 − 4x(1 − x2 ) 2, ( x2 − 8) + 36 3, x4 + 4, x4 + 64 5, 64x4 + 6, 81x4 + 7, 4x4 + 81 8, 64x4 + y 9, x4 + y 10, x4 + x2 +1 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xt hiƯn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư: http://kinhhoa.violet.vn 1, x7 + x2 +1 2, x7 + x5 +1 3, x5 + x4 +1 4, x5 + x +1 5, x8 + x7 +1 6, x5 − x4 −1 7, x5 + x −1 8, x10 + x5 +1 III- Ph−¬ng ph¸p ®ỉi biÕn Bµi 1:Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư 1, x( x + 4)( x + 6)( x +10) +128 2, (x +1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3, ( x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 4, ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x −12 5, x2 + 2xy + y2 + 2x + y −15 6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + 4a) + a4 7, 6x4 −11x2 + 8, ( x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 9, x2 − 2xy + y2 + 3x − y −10 10, ( x2 + 2x)2 + 9x2 +18x + 20 11, x2 − 4xy + y2 − 2x + y − 35 12, (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) +16 Bµi 2: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư 1, x + x + x − x + 2, ( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) IV- Ph−¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Ph−¬ng ph¸p: Tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng çc thõa sè chøa biÕn cđa ®a thøc, råi g¸n cho çc biÕn çc gi¸ trÞ thĨ ®Ĩ x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i VÝ dơ: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư: a, P = x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y) b, Q =a(b + c − a)2 +b(c + a −b)2 + c(a +b −c)2 + (a +b −c) (b + c − a)(c + a −b) Gi¶i a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = y ( y − z ) + y ( z − y ) = Nh− vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®ỉi(ta nãi ®a thøc P cã thĨ ho¸n vÞ vßng quanh bëi çc biÕn x, y, z) Do ®ã nÕu P ® chóa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc ®èi víi tËp hỵp çc biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bËc ba ®èi víi tËp hỵp çc biÕn x, y, z V× ®¼ng thøc x2 ( y − z) + y2 (z − x) + z2 (x − y) = k(x − y)( y − z)(z − x) ®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho çc biÕn x, y, z çc gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = ta ®−ỵc k = -1 http://kinhhoa.violet.vn VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) Çc bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư: M = a (b + c − a ) + b(c + a − b) + c(a + b − c) + (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) N = a (m − a )2 + b(m − b)2 + c(m − c) − abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư: a ) A = (a + b + c)(ab + bc + ca ) − abc b) B = a (a + 2b)3 − b(2a + b)3 c)C = ab(a + b) − bc(b + c) + ac( a − c) d ) D = (a + b)(a − b ) + (b + c)(b − c ) + (c + a )(c − a ) e) E = a (c − b ) + b3 ( a − c ) + c (b − a ) + abc( abc − 1) f ) f = a (b − c)3 + b(c − a )3 + c(a − b)3 g )G = a 2b (a − b) + b c (b − c) + a c (c − a) h) H = a (b − c) + b (c − a ) + c ( a − b) V-Ph−ong ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh Bài 1: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư: a ) A = x − x + 12 x − 14 x + b) B = x + x + x + x + c)C = x + 22 xy + 11x + 37 y + y + 10 d ) D = x − x + 14 x − x + e) E = x − x + 63 Bµi tËp: VÝ dơ Ph©n tÝch biĨu thøc sau thµnh nh©n tư : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Ỉt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tư : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; http://kinhhoa.violet.vn e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Chuyªn ®Ị: X¸c ®Þnh ®a thøc * §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dơng: 1) §Þnh lÝ BªZu: D− phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cđa f(x) t¹i x = a): f ( x) = ( x − a)q( x) + f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HƯ qu¶: NÕu a lµ nghiƯm cđa ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a ¸p dơng: §Þnh lÝ BªZu cã thĨ dïng ®Ĩ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư Thùc hiƯn nh− sau: B−íc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a nµo ®ã vµ thư xem x = a cã ph¶i lµ nghiƯm cđa f(x) kh«ng B−íc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã: f ( x) = ( x − a) p( x) §Ĩ t×m p(x) thùc hiƯn phÐp chia f(x) cho x - a B−íc 3: TiÕp tơc ph©n tÝch p(x) thµnh nh©n tư nÕu cßn ph©n tÝch ®−ỵc Sau ®ã viÕt kÕt qu¶ ci cïng cho hỵp lÝ D¹ng 1: T×m ®a thøc th−¬ng b»ng ph−¬ng ph¸p ®ång nhÊt hƯ sè(ph−¬ng ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh), ph−¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc *Ph−¬ng ph¸p1: Ta dùa vµo mƯnh ®Ị sau ®©y : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× çc h¹ng tư cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng VÝ dơ: P( x) = ax + 2bx − ; Q ( x) = x − x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hƯ sè cđa lòy thõa 2) 2b = - (hƯ sè cđa lòy thõa bËc 1) - = - p (hƯ sè h¹ng tư bËc kh«ng hay h¹ng tư tù do) *Ph−¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th−¬ng vµ d− phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l−ỵt lµ M(x) vµ N(x) Khi ®ã ta cã: P( x ) = Q( x).M ( x) + N ( x) (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I) V× ®¼ng thøc (I) ®óng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× : x = α ( α lµ h»ng sè) Sau ®ã ta ®i gi¶i ph−¬ng tr×nh hc hƯ ph−¬ng tr×nh ®Ĩ t×m çc hƯ sè cđa çc h¹ng tư çc ®a thøc ( §a thøc th−¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d−) VÝ dơ: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dơng) Gäi th−¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã: a x + 3ax − x − 2a = ( x + 1).Q( x ) http://kinhhoa.violet.vn Vì đẳng thức với x nên cho x = -1 ta dược: a = −2 − a + 3a + − 2a = ⇒ −a + a + = ⇒   a=3 Với a = -2 A = x − x − x + 4, Q( x) = x − 10 x + Với a = A = x + x − x − 6, Q( x) = x − *Ph−¬ng ph¸p 3:Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc (nh− SGK) Bµi tËp ¸p dơng Bài 1: Cho đa thức A( x) = a x + 3ax − x − 2a(a ∈ Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) = x − x − x − thµnh nh©n tư, biÕt r»ng mét nh©n tư cã d¹ng: x + dx + Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cđa a vµ b th× ®a thøc : x + ax + x + b chia hÕt cho ®a thøc: x + x + H y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiỊu çch kh¸c Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ĩ ®a thøc: f ( x ) = x − x + 21x + x + k chia hÕt cho ®a thøc: g ( x) = x − x − Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k đa thức: f (k ) = k + 2k + 15 chia hết cho nhị thức: g (k ) = k + Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f ( x ) = x − 3x + 3x + ax + b chia hết cho đa thức: g ( x) = x − 3x + Bài 7: a) Xác định giá trị a, b c để đa thức: P( x) = x + ax + bx + c Chia hết cho ( x − 3)3 b) Xác định giá trị a, b để đa thức: Q ( x) = x − x + ax + 3x + chia hết cho đa thức M ( x) = x − x + b c) Xác định a, b để P( x) = x + x − x + a chia hết cho M ( x) = x + x + b Bài 8: Hãy xác định số a, b, c để có đẳng thức: x − ax + bx − c = ( x − a )( x − b )( x − c ) (ðể học tốt ðại số 8) Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x − x + a chia hết cho x − b) x + ax + chia cho x − dư c) ax + x − chia hết cho x − Bài 10: Xác định số a b cho: a) x + ax + b chia hết cho x − x + b) ax + bx + x − 50 chia hết cho x + 3x + 10 c) ax + bx + chia hết cho ( x − 1) d) x + chia hết cho x + ax + b Bài 11: Tìm hăng số a b cho x + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x − dư -5 Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax + bx + c chia hết cho x + , chia cho x − dư x + (Một số vấn đề phát triển ðại số 8) http://kinhhoa.violet.vn Bài 13: Cho đa thức: P( x) = x + x − x + ax + b Q ( x) = x + x − Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a b cho đa thức P( x) = ax + bx + chia hết cho đa thức Q ( x) = ( x − 1) Bài 15: Cho đa thức P( x) = x − x + ax + x + Q ( x) = x − x + b Xác định a b để P(x) chia hết cho Q(x) (23 chun đề tốn sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: ðể tìm đa thức P(x) bậc khơng q n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C , L , C n +1 ta biểu diễn P(x) dạng: P ( x) = b0 + b1 ( x − C1 ) + b2 ( x − C1 )( x − C ) + L + bn ( x − C1 )( x − C ) L ( x − C n ) Bằng cách thay x giá trị C1 , C , C3 , L, C n +1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 , b1 , b2 , L, bn Bµi tËp ¸p dơng Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = −9 Giải ðặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) (1) b0 = 25 Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: = 25 + b1 ⇔ b1 = −18 − = 25 − 18.2 + b2 2.1 ⇔ b2 = Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P ( x) = 25 − 18 x + x( x − 1) ⇔ P ( x) = x − 19 x + 25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0) = 10, P (1) = 12, P (2) = 4, P(3) = Hướng dẫn: ðặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) + b3 x ( x − 1)( x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x − 1), ( x − 2), ( x − 3) dư P(-1) = - 18 Hướng dẫn: ðặt P( x) = b0 + b1 ( x − 1) + b2 ( x − 1)( x − 2) + b3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P ( −1) = P ( x) − P ( x − 1) = x( x + 1)( x + 1), (1) a) Xác định P(x) b) Suy giá trị tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + K + n(n + 1)(2n + 1), (n ∈ N * ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P(−1) − P(−2) = ⇔ P(−2) = 0, P(0) − P(−1) = ⇔ P(0) = P(1) − P(0) = 1.2.3 ⇔ P (1) = P(2) − P (1) = 2.3.5 ⇔ P(2) = 36 ðặt P( x) = b0 + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) x + b3 ( x + 1) x( x − 1) + b4 ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) (2) Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: http://kinhhoa.violet.vn 10 = b0 = b1 ⇔ b1 = 0, = b2 2.1 ⇔ b2 = 3, 36 = 3.3.2 + b3 3.2.1 ⇔ b3 = = 3.(−1)(−2) + 3.(−1)(−2)(−3) + b4 (−1)(−2)(−3)(−4) ⇔ b4 = Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 1 P( x) = 3( x + 1) x + 3( x + 1) x( x − 1) + ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) = x( x + 1) ( x + 2) 2 (Tuyển chọn thi HSG Tốn THCS) Bài 5: cho đa thức P( x) = ax + bx + c, (a, b, c ≠ 0) Cho biết 2a + 3b + 6c = 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) 2 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) khơng thể âm dương 2 P(0) = 19 Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: P(1) = 85 P(2) = 1985 Chuyªn ®Ị: BiĨn BiĨn ®ỉi ph©n thøc h÷u tØ VÝ dơ a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n + lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ; 5n + n2 + (n∈N) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 n+ cho ph©n sè A ch−a tèi gi¶n TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ çc sè tù nhiªn ®ã Lêi gi¶i a) §Ỉt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay Μ d ⇒ d = 3n + VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n 5n + 29 29 §Ĩ A ch−a tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i ch−a tèi b) Ta cã A = n - + n+ n+ gi¶n Suy n + ph¶i chia hÕt cho mét çc −íc d−¬ng lín h¬n cđa 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + Μ 29 ⇒ n + =29k (k ∈ N) hay n=29k – Theo ®iỊu kiƯn ®Ị bµi th× ≤ n = 29k – < 2009 ⇒ ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} b) Cho ph©n sè A = http://kinhhoa.violet.vn 11 VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m n ®iỊu kiƯn ®Ị bµi Tỉng cđa çc sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 1 1 + + = a b c a+ b+ c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã hai sè ®èi Tõ ®ã suy r»ng : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 Ta cã : + + = ⇔ + + =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab ⇔ + = ⇔ (a + b) =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa = - b éa + b = ê ê ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ êb + c = ⇔ êb = - c ⇒ ®pcm ê ê êc = - a êc + a = ë ë 1 1 1 Tõ ®ã suy : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 2009 a b c a + b + c2009 VÝ dơ §¬n gi¶n biĨu thøc : ư ỉ ỉ ỉ çç + ÷ çç + ÷ çç1 + ÷ A= + + ÷ ÷ ÷ ÷ (a + b)4 çèa b ø ÷ (a + b)5 çèa b ø ÷ ça b ø (a + b)3 è Lêi gi¶i §Ỉt S = a + b vµ P = ab Suy : a + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a+ b S 1 a + b S - 2P ; = ; 2+ 2= = Do ®ã : + = a b ab P a b a2b2 P2 1 a + b S - 3SP + = = a b3 a 3b3 P3 S - 3SP S - 2P S + + Ta cã : A = S P3 S P2 S P = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S P3 S4P2 S4P S4P3 S 4P3 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dơ Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m n ®iỊu kiƯn http://kinhhoa.violet.vn 12 VÝ dơ Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biƯt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau kh«ng phơ thc vµo gi¸ trÞ cđa x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i Çch x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca = Ax2 – Bx + S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) C 1 + + ; víi : A = (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a ; + + B= (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca + + C= (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c Ta cã : A = = 0; (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) b - a + c2 - a + a - c2 = =0 B= (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) ; ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1∀x (®pcm) Çch §Ỉt P(x) = S(x) – th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng v−ỵt qu¸ Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiƯm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = ⇒ a, b, c lµ ba nghiƯm ph©n biƯt cđa P(x) §iỊu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = ∀x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm VÝ dơ Cho x + = TÝnh gi¸ trÞ cđa çc biĨu thøc sau : x 1 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; d) D = x + x x x x Lêi gi¶i ỉ 1ư ÷ ç a) A = x + = çx + ÷ ÷ - 2= 9- = ; çè x xø C= http://kinhhoa.violet.vn 13 ỉ 1ư ỉ 1ư ççx + ÷ b) B = x + = ççx + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷= 27 - = 18 ; ç çè è x xø xø ỉ 1ư ÷ ç c) C = x + = çx + ÷ ÷ - = 49 - = 47 ; çè x x ø ỉ ưỉ ÷ççx + ÷= x + + x + = D + ⇒ D = 7.18 – = 123 d) A.B = ççx + ÷ ÷ ÷çè ÷ ç è x ø x ø x x5 ax + b c = + (x + 1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i VÝ dơ X¸c ®Þnh çc sè a, b, c cho : Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x + 1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) + = = x2 + x - (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1) §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®−ỵc : (x + 1)(x - 1) ìï a + c = ìï a = - ï ï - x- 1 ïí b - a = Û ïí b = - VËy = + ïï ïï (x + 1)(x - 1) x + x - ïỵï c - b = ïỵï c = Chuyªn ®Ị: Gi¶i ph−¬ng tr×nh I/Phương trình ax+b=0 (1) phương trình đưa dạng (1) *Cách giải: (Biến đổi đưa hết vế sau rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 b ≠ phương trình (1)vơ nghiệm b=0 phương trình (1) vơ số nghiệm TH2:a ≠ phương trình (1) có nghiệm x= −b a http://kinhhoa.violet.vn 14 *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: x= −12 =3 −4 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) ⇔ 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 ⇔ x+3,8=0 ⇔ x= -3,8 *Các tập tương tự: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0 g) x − = b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0 h) i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x −5 x + = x − 10 k)5-3x=6x+7 m)2(1-1,5x)+3x=0 o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) x −3 − 2x = 6− 3x − − 2( x + 7) w) −5 = 5( x − 1) + x − 2(2 x + 1) y) − = −5 p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 13 v)  x +  = −  + x  5  5  7x 20 x + 1,5 s) − 5( x − 9) = II/Phương trình tích: A = B = *Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒  (A=0 (1) B=0 (2) ) Ta có pt (1),(2) phương trình bậc cách giải tương tự phần (Chú ý phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0  x − 10 = (1) ⇔  24 + x = (2) 10 Từ (1) x= = (2) ⇒ x= −24 Vậy phương trình có nghiệm x= 10 −24 = x= b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) http://kinhhoa.violet.vn 15 ⇔ (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 ⇔ (x-1)(2x+11)=0 ⇔ x =1  x −1 =  ⇔  x + 11 = ⇔ x = −11  *Các tập tương tự: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 x + 2(1 − x)  + =0   2( x + 3) x −  − =0   b)(3x-2)  c)(3,3-11x)  d) ( − x 5)(2 x + 1) = e) (2 x − )( x 10 + 3) = g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 n)x3+1=x(x+1) p)x3+x2+x+1=0 r)4x2-12x+5=0 t)2x2+5x+3=0 f) (2 − 3x 5)(2,5 x + 2) = h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 q)x2-3x+2=0 s)-x2+5x-6=0 y) ( x − ) + 3( x − 2) = http://kinhhoa.violet.vn 16 [...]... (1) cú nghim duy nht x= b a http://kinhhoa.violet.vn 14 *Vớ d: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (bin ủi v chuyn v mt v) b2: -4x+12=0 (rỳt gn v dng ax+b=0) b3: x= 12 =3 4 b)1,2-(x-0 ,8) = -2(0,9+x) 1,2-x+0 ,8+ 1 ,8+ 2x=0 x+3 ,8= 0 x= -3 ,8 *Cỏc bi tp tng t: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0 4 3 5 6 g) x = b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0 1 2 h) i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x 5 2 x + 1 = x... x + 1) x( x 1)( x 2) = x( x + 1) 2 ( x + 2) 2 2 (Tuyn chn bi thi HSG Toỏn THCS) Bi 5: cho ủa thc P( x) = ax 2 + bx + c, (a, b, c 0) Cho bit 2a + 3b + 6c = 0 1 1) Tớnh a, b, c theo P(0), P , P(1) 2 1 2) Chng minh rng: P(0), P , P(1) khụng th cựng õm hoc cựng dng 2 P(0) = 19 Bi 6: Tỡm mt ủa thc bc hai, cho bit: P(1) = 85 P(2) = 1 985 5 Chuyên đề: Biển Biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dụ 1 a) Chứng minh... + ữ ữ - 2= 9- 2 = 7 ; ỗố x xứ C= http://kinhhoa.violet.vn 13 3 ổ 1ử 1 ổ 1ử ỗỗx + ữ 3 b) B = x + 3 = ỗỗx + ữ ữ ữ ữ ữ= 27 - 9 = 18 ; ỗ ỗố ố x xứ xứ 2 1 ổ 1ử 4 2 ữ ỗ c) C = x + 4 = ỗx + 2 ữ ữ - 2 = 49 - 2 = 47 ; ỗố x x ứ ổ 1 ửổ ữỗỗx 3 + 1 ử ữ= x 5 + 1 + x + 1 = D + 3 D = 7. 18 3 = 123 d) A.B = ỗỗx 2 + 2 ữ ữ 3 ữỗố ữ ỗ ố x ứ x ứ x x5 3 2 ax + b c = 2 + (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 Lời giải Ví dụ 5 Xác định... 9) = 8 6 II/Phng trỡnh tớch: A = 0 B = 0 *Cỏch gii: Pt:A.B=0 (A=0 (1) B=0 (2) ) Ta cú pt (1),(2) l phng trỡnh bc nht cỏch gii tng t phn trờn (Chỳ ý cỏc phng trỡnh cha cú dng A.B=0 ta ủa v dng A.B=0 bng cỏch phõn tớch thnh nhõn t ) *Vớ d: a)(4x-10)(24+5x)=0 4 x 10 = 0 (1) 24 + 5 x = 0 (2) 10 5 T (1) x= = 4 2 (2) x= 24 5 Vy phng trỡnh cú 2 nghim x= 10 5 24 = hoc x= 4 2 5 b)(x-1)(5x+3)=(3x -8) (x-1)... a)(4x-10)(24+5x)=0 4 x 10 = 0 (1) 24 + 5 x = 0 (2) 10 5 T (1) x= = 4 2 (2) x= 24 5 Vy phng trỡnh cú 2 nghim x= 10 5 24 = hoc x= 4 2 5 b)(x-1)(5x+3)=(3x -8) (x-1) http://kinhhoa.violet.vn 15 (x-1)(5x+3)-(3x -8) (x-1)=0 (x-1)(2x+11)=0 x =1 x 1 = 0 2 x + 11 = 0 x = 11 2 *Cỏc bi tp tng t: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 7 x + 2 2(1 3 x) + =0 3 5 2( x + 3) 4 x 3 =0 5 7 b)(3x-2) c)(3,3-11x) d) ( 3 x 5)(2