Học sinh Giỏi (Bình Định)

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT …………………… CẤP TỈNH, NĂM HỌC 2005-2006 ----------------------------- Đề chính thức Môn : TOÁN ( Vòng 2 ) ( Bảng A ) Thời gian làm bài :180 phút ( Không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 19 – 11 – 2005 ------------------------------------------------------------------ Câu 1 : (5 điểm). Xét dãy số thực a 1 , a 2 , a 3 , …… thỏa mãn các điều kiện: 0 < a n < 1 và a n+1 (1 – a n ) ≥ 4 1 với mọi n = 1, 2, 3, ……. Chứng minh rằng 2 1 - n2 1 < a n ≤ 2 1 với mọi n = 1, 2, 3, …… Câu 2 : (5 điểm). Tìm tất cả các hàm số thực f(x), g(x) thỏa mãn: f(x) – f(y) = cos(x – y) . g(x – y) với mọi số thực x , y. Câu 3 : (5 điểm). Cho hai đa thức f(x) = x 4 – (1 + e 2 )x 2 + e 2 và g(x) = x 4 – 1 ( e là cơ số của lôgarit tự nhiên). Chứng minh rằng với các số dương a, b phân biệt thỏa mãn a b = b a thì f(a) . f(b) < 0 và g(a) . g(b) > 0. Câu 4 : (5 điểm). Cho 5 điểm phân biệt A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 không đồng phẳng nhưng cùng nằm trên một mặt cầu. Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt đi qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh là 3 trong 5 điểm nói trên và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại, thì đồng quy. -------------------------Hết------------------------ . SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT …………………… CẤP TỈNH, NĂM HỌC 2005-2006 ----------------------------- Đề chính