SƯU TẦM BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN DIỄN ĐÀN

NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 SƯU TẦM BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN DIỄN ĐÀN a2 + b2 1) Bài toán 1: Cho a, b, c > :( a + b)( b + c) = 5bc va a ≥ 2c Tim Min, MaxP Voi : P = ac a b b b a 1 a, b > : ( a + b)(b + c ) = 5bc, a ≥ c ⇔ ( + )( + 1) = , ≥ ⇔ ( x + y )( y + 1) = y, x ≥ c c c c c 2  7 − 10 ≥ x ≥ ⇔ 1 ≤ y ≤  a b2 1 x= ( )2 + 2 2 2  a +b 1 16 x c = x + y = x + y ≥ x + ( x + ) ≥ + = ⇒ P = ⇔  P= = c ⇔ x = ;y =  a ac x x 4 16 x 8 y = ; x =  c 2 y 1 1 5 P=x+ ≤ x + (do y ≤ 1) Mat khac : ≤ x ≤ − 10 < ⇒ ( x − )(2 − x ) ≥ ⇔ x − x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇒ P ≤ x x 2 x 2  x = ⇒ max P = ⇔  2  y = 2) Bài toán 2: Cho x, y, z > :( x + y )( xy − z ) = xyz Tim Min P = x + y ( z + xy ) − z + z2 xyz2 + T.co : xy > z va( x + y )( xy − z ) = xyz ≥ xy ( xy − z ) ⇔ z xy ≥ 2(1 − z2 ) ⇔ 2t + 3t − ≥ 0, t = xy z xyz ( x + y) xy z xy 3z ≥ Mat ≠: x + y = ⇒P= − + + − +2 = 2 xy xy z xy ( xy − z ) z z 3) Bài toán 2 xy ⇔t≥ z2 z2 − , t = ⇒1> t ≥ xy xy z (1 − )2 xy 18 1 63 63 f (t ) = − t ⇒ f '(t ) = − > 0, ∀ ≤ t < ⇒ f (t ) dong bien ⇒ f (t ) = P ≥ f ( ) = ⇒ MinP = t = ⇔ xy = z 2 4 4 (1 − t ) (1 − t ) Vay > z NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 1 1 chox, y, z > 0; ≤ x ≤ 1; y, z ≥ va xyz = : Tim MinP voi P = + + 1+ x 1+ y 1+ z LG T.co BDTco ban : Do zy ≥ ⇒ 1 1 + ≥ ; a, b ≥ va ab ≥ 1; ≤ x = ≤ ⇔ ≤ yz ≤ + a + b + ab yz 1 2 yz t2 + ≥ ⇒P≥ + = = = + / t = yz, t ∈ [1;2] + y + z + yz + x + yz + yz + yz + t + t   yz =  22 22 f'(t) ≤ ⇒ f(t) ≥ f(2)= ⇒ MinP = ⇔ y = z ⇔ y = z = 2; x = 15 15  1 x = = yz  4) Bài toán Cho x, y > : x + y = Tim max P voi P = x y + x y LG T.co : 2( x y + x y ) = x y 2 xy( x + y ); x y ≤ [ xy ( x + y ) ≤ ( x + y + xy ( x + y )4 ( x + y )4 ( x + y ) ( x + y ) ) = ⇒ 2( x y + x y ) ≤ = 16 64 ⇒ P = x y3 + x y5 ≤ 5) Bài toán ( x + y )2 ( x + y ) ] = 16 ( x + y )4 1 = ( x + y = 1) ⇒ MaxP = khix = y = 128 128 128 NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 Cho x, y, z > : z( x − z) + z( y − z) = xy Tim Min P voi P = x y x + y + 30 z + + y+z z+x x + y + 12 xy Nhan xet : Do tinh doi xung cua x , y → du doan dau " = " x = y hoac don bien theo Tu gia thiet ⇒ x, y > z : z( x − z ) + z( y − z ) = xy ⇔ x −1 + z y −1 = z x+y z z hoac + ? z x y x y x y z= z ,b= z ¬  → a − + b − = ab ⇔ a + b − + z z ( a − 1) ( b − ) ⇔ ( ab + − a − b ) = 4(a − 1)(b − 1) ⇔ ( P + − S ) = ( P − S + 1) ⇔ S = P ⇔ a + b = ab ⇒ a + b = ab ≥ ab ⇔ ab ≥ ⇔ t = ab ≥ Bien doi P : P = ( ab ) = − ab ab + + ( ) a2 + b2 + ( a + b ) a b a + b + 30 a + b + 30 (a + b)2 − 2ab + (a + b) a + b + 30 + + = + = + 2 b +1 a +1 ab + ( a + b ) + ( a + 1) ( b + 1) 4a + b + 12ab 4( a + b) + ab 4(a + b)2 + ab ab + 30 ( ab ) +t = t2 − t t + 30 + = f (t ) / [ 4; +∞ ] 2t + t + t 6) Bài toán 6: (1 − a)(1 − b) abc − (a + b) + ab c + ab 1 4 T.co P = = = + ≥ + = + ⇒ f (c ) = + / (0;1) 2 abc abc ab c (a + b) c (1 − c) c (1 − c) c Cho a, b, c > : a + b + c = ⇒ < a, b, c < Tim Min P voi P = f '(c) = −8 8c + (c − 3c + 3c − 1) c + 5c + 3c − (c + 1)(c + + 5)(c − + 2) − = = = (c − 1)3 c c (1 − c)3 c (1 − c )3 c (1 − c)3 ⇒ f '(c ) = ⇒ c = − ∈ (0;1) va f (c) nb / (0; − 2), db / ( − 2;1) c = − 72 − 25 72 − 25  ⇒ P = f (c ) ≥ f ( − 2) = + = ⇒ Max P = ⇔ 3− 29 29 14 − 5 −2 a = b =  7) Bài tập = ab NGUYỄN VĂN HÀ Cho x, y > : x + y + GDTX PÁC NẶM BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 6y x + xy + 10 y ≤ Tim gia tri nho nhat cua bieu thuc P = + y x + 3y 26 y Cach + T.co x + y + + P= x +3 y + x x x ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ ≤ − ( − + = − ( − 2)2 ≤ ⇒ P don bien theo y y y y y y y y y x2 x + + 10 t + 6t + 10 (t + 3)2 + x y y = + = + , t = ∈ (0;2] 26 t +3 26 t +3 26 y u2 + u −6 u + Xet f(u) = + , u = t + ∈ (3;5] ⇒ f'(u) = − + ≤ + = − 2≤ 2 u 26 u 26(u + 1) u 26 u 26u < 25 − 6 52 + 11 = − < ⇒ f (t ) nghich bien ⇒ f (u) = P ≥ f (5) = + = 25 10 25 26 x x = y = 11   ⇒ Max P =  ⇔  −2 =  y =  y a a+c ≤ (*)( voi c > 0;0 < a ≤ b) b b+c x x + T.co x + y + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ ≤ − ( − + = − ( − 2)2 ≤ ( hay x ≤ y ) y y y y y y y y Cach De y rang :   6y x + 3y  ⇒P≥ +  x + 3y 5y ( x + y )2 + y ( x + y )2  Do x ≤ y ⇒ x + 3y ≤ y ⇒ Ap dung (*) : ≥ 25 y + y 25 y  t x + 3y x + Xet ham f (t ) = + , t = = + ⇒ t ∈ (3;5] ⇒ Ta cung suy duoc MinP t y y 6y x + xy + 10 y 6y ( x + y )2 + y +P = + = + x + 3y 26 y x + 3y 25 y + y Bài tập NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM Cho a, b, c > 0.Tim gia tri nho nhat P = BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 a2 + c a2 b2 c3 + + 8ac bc(ab + c) a + bc a c a2 + b2 t2 + t2 b2 c2 P= c a+ + = + + a 8t b t+b t +b b(b + 1) a3 + b c c t2 b2 2t + ≥ Khi P co the xet ham b t + b t + b t +1 t2 b2 2t t (t + b)(t + 1) + b (b t + b)(t + 1) − 2t (b t + b)(t + b) That vay xet hieu : + − = b t + b t3 + b t + (t + 1)(b t + b )(t + b) + Nhin nhan chu quan co the du doan t = b ⇒ Khi chung minh : = (t − b)2 (b2 t + b2 t + bt + bt + b + y + t ) t2 b2 2t ≥ ⇒ + ≥ 2 3 b(t + 1)( bt + 1)(b + t ) b t + b t + b t +1 ⇒P≥ t2 + 2t + ≥ ⇒ " = " ⇔ t + = 4t ⇔ t = 8t t +1 Bài tập Cho a, b, c > : a + b + c = Chung minh rang P = ab bc ac 1 1 15 + 2 + 2 + ( + + )≥ (*) a +b b +c a +c a b c ab bc ac 1 + 2+ 2 = + + ≥ (*) a b b c c a a+c b+c b+a a +b b +c a +c + + + + + b a c b a c b a c 1 a+b+c a+b+c a+b+c a+c b+c b+a + Mat ≠: + + = + + = + + +3 (**) a b c a b c b a c + T.co : a+c b+c b+a 15 + ( + + )] + ≥ + = a+c b+c b+a b a c 4 4 + + b a c a + b + c = 1  Dau " = " ⇔  a + c b + c b + a ⇔a=b=c=  b + a + c = + (*)(**) ⇒ P ≥ [ NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 Bài tập 10 Cho a, b ∈ (0;1) : a + b2 = a − b + b − a Tim cua P = 8(1 − a) 1− b +9 a +1 1+ b + Binh luan : Tu P va dieu kien nhan thay a, b co tinh chat dx ⇒ du doan a = b ⇒ a = − a ⇔ a = + a + b = a − b2 + b − a ⇔ a(a − − b ) + b(b − − a ) = ⇔ ⇔ a2 + b2 = ⇔ b = − a ⇒ P = = a(a + b − 1) 2 a 1− b + b(a + b − 1) 2 b − a2 =0 8(1 − a) (1 − b)2 8(1 − a) − − a2 +9 = + = 1+ a − b2 1+ a a 16 9a −16 9(1 + a)2 − 16 − a (1 + − a ) + − / (0;1) ⇒ P '(t ) = + = + a + − a2 (1 + a)2 − a2 (1 + − a2 ) − a2 (1 + − a )(1 + a)2 ⇒ P '(t ) = ⇔ 9(1 + a)2 − 16 − a2 (1 + − a ) ⇔ 9(1 + − b2 ) − 16 b − 16 b = ⇔ ⇔ 25b + 16 b − 18 − b − 18 = Xet g(b) = 25b + 16 b − 18 − b − 18 ⇒ g '(b) = 50 b + 16 + 18 − b2 > 0, ∀b ∈ (0;1) 4 ⇒ g(t ) dong bien ⇒ g(b) = co khong qua 1no ∈ (0;1) Ta lai co g( ) = ⇒ b = la nghiem nhat 5 3 ⇒ a = − b2 = la nghiem nhat P '(t ) = 0, he so cao nhat P '(t ) bang > ⇒ a = la cuc tieu 5 3 ⇒ P = P(t ) ≥ P( ) = ⇒ Min P = ⇔ a = ; b = 5 Bài tập 11 Cho x, y, z > Chung minh x +1 y +1 z +1 x y z x +y + + ≤ + + ,t = y +1 z +1 x +1 y z x NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 Bài tập 12 1 Cho a, b, c ∈ [1;2].Ta luon co : ( a + b + c)( + + ) ≤ 10 ( vi du :1.4.6 STBDT − P.K Hung − Tr.49) a b c *Phan tich :Nhan thay a = b = 1; c = ( hoan vi) hoac a = b = 2; c = ( hoan vi) ⇒ dau " = " xay *Loi giai : 1 a a b b c c + (a + b + c)( + + ) ≤ 10 ⇔ + + + + + ≤ 7(*) a b c b c c a a b Gia su ≥ a ≥ b ≥ c ≥ b a a +1 ≥ +  a b b c a c c c b +(a − b)(b − c) ≥ ⇔ ab + bc ≥ b2 + ac ⇒  ⇒ + + + ≤ 2+ + b c a b c a 1 + c ≥ b + c   a a b a a b b c c a c a a ⇒ + + + + + ≤ + 2( + ) = + 2(t + ), t = ⇒ ≤ t = ≤ b c c a a b c a t c c (t − 1)(t + 1) 1 a a b b c c f '(t ) = − = ≥ ⇒ f (t ) = t + ≤ + = ⇒ + + + + + ≤ + = t t t 2 b c c a a b a c =  a = b = 2; c =  Dau " = " ⇔  ⇔ (hoan vi )  a = 2; b = c =  a = b    b = c Bài tập 13 NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM Cho a, b, c > 0.Tim Min P = T.co : BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 3a 4b 5c + + (vi du 1.2.13 − P.K Hung.Tr 25) b+c c+a a+b 3a 4b 5c 3(a + b + c) 4(a + b + c) 5(a + b + c) +3+ +4+ +5 = + + = ( a + b + c)( + + )= b+c c+a a+b b+c a+b a+b b+c c +a a+b ( + + 5)2 = [(b + c) + (c+ a) + (a + b)]( + + )≥ b+c c+a a+b 3a 4b 5c ( + + 5)2 ⇒P= + + ≥ − 12 ⇒ " = " ⇔ = = b+c c+a a+b b+c a+c a+b ⇒ Min P = ( + + 5)2 − 12 Bài tập 14 Cho a, b, c > : a + b + c = Tim Min P = b b 2a + b + c + c c 2b + c + a + a a 2c + a + b T.co : ( b(a + 3) + c(b + 3) + a(c + 3)) ≤ (a + b + c)(a + b + c + 9) = 36 = ⇒ 6P = b b a+3 + c c b+3 ≥ ( a + b + c )2 = ⇒ P ≥ + 3 ⇔a=b =c = BÀI TẬP 15 Min P = a a c +3 ≥ [ b(a + 3) + c(b + 3) + a(c + 3)]( b b a+3 + c c b+3 + a a c+3 )≥ NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM Cho x, y, z > : x + y + z = xy Tim Min P = BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 x y x + y3 + + y+z x+z 16 z x x +1 1 + = + − ≥ − = " = " ⇔ x = 3; z = 1+ x 1+ x 8 8 2 + Theo GT : xy + z ≤ x + y + z = xy ⇔ z ≤ xy *Phan tich : x = y ⇒ z = xy = x ⇒ P = x y x3 + y3 ( x + y )2 x3 + y3 xy xy( x + y ) + T.co : P ≥ + + ≥ + ≥ + = y + xy x + xy 16 xy x y + xy + xy 16 xy xy( x + y + 2) 16 xy =  x = y; z = xy x = y = x+y x +y+2 1 + ≥2 − = 1− = ⇒ " = " ⇔  ⇔ x +y+2 16 x +y +2 16 8 x + y + = z = + Vay Min P = ⇔ x =y= z=3 Bài tập 16 Cho a, b, c > : a + b + c =  abc ≤ a b c Tu a + b + c = ⇒  CMR : P = + + ≥  ab + bc + ca ≤ ab + bc + ac + a2 b b2 c c2 a a b c + P = ( a + b + c) − ( + + ) ≥ ( a + b + c) − ( + + ) = (a + b + c) − Q ab + bc + ac + 1+ c 1+ a 1+ b a b c + Ta CM : Q = + + ≤ (*) 1+ c 1+ a 1+ b That vay :(*) ⇔ 2( a + ab + a + a b + b + bc + b + b c + c + ca + c + c a) ≥ 3(1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ) ⇔ 2(a2 + b + c + a b + b c + c a) ≥ + ab + bc + ca + 3abc ⇔ 2(a + b + c )2 + 2(a b + b c + c a ) ≥ + 5(ab + bc+ ca) + 3abc ⇔ 12 + 2(a2 b + b c + c a) ≥ 5(ab + bc+ ca) + 3abc(**) T.Co : 12 + 2(a b + b c + c a) = (a b + b c + c a) + (a b + b) + (b c + c) + (c a + a) + ≥ 3abc + 2(ab + bc + ca) + ≥ 3abc + 2(ab + bc + ca) + 3(ab + bc 3 = 5(ab + bc + ca) + 3abc ⇒ (**) dung ⇒ P ≥ a + b + c − = − = ⇒Y 2 Bài tập 17 NGUYỄN VĂN HÀ GDTX PÁC NẶM BĐT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2015 a b c Cho a, b, c > : MinP = ( + )+ b+c c+a a+b a b a2 b2 ( a + b )2 ( a + b )2 a+b + Ta co : + = + ≥ ≥ = = b + c c + a ab + ac ba + bc 2ab + c(a + b) (a + b)2 + c(a + b) a + b + c a + b + 2 2c 1 c 8t + 4t + c ⇒P= + = + t = voi t = 2 + 2c a + b + 2t 9(1 + 2t ) a+b a+b + Du doan : Min P dat tai t = ⇒ P = ⇒ 8t − 14t + 4t + (4t + 1)(t − 1)2 ⇒ Xet hieuP − = = ≥ 0, ∀t > ⇒ P ≥ 2 9(2t + 1) 9(2t + 1) ⇒ Vay Min P = ⇔ a = b; c = 2a = 2b Co the khao sat f (t ) = f '(t ) = + t / (0; +∞) + 2t t = −4 t 4 −9t + 4t + 4t + 4(t − 1)(4 t + 4t + 8t − 1) + = = =0⇔ 2 2 2 (2t + 1) 9 (2t + 1) 9(2t + 1)  4t + 4t + 8t − = 0(*)  g(0).g(1) < ⇒ Xet g(t ) = 4t + 4t + 8t − :  ⇒ ∃ nhat x ∈ (0;1) :g(x ) =  g '(t ) = 12t + 8t + > 0, ∀ t > ⇒ (*) co nhat 1no x < ⇒ f '(t) = co n la x va ⇒ Bang bien thien : BÀI TẬP 18 ...  22 22 f'(t) ≤ ⇒ f(t) ≥ f(2)= ⇒ MinP = ⇔ y = z ⇔ y = z = 2; x = 15 15  1 x = = yz  4) Bài toán Cho x, y > : x + y = Tim max P voi P = x y + x y LG T.co : 2( x y + x y ) = x y 2 xy( x +... + y )4 ( x + y )4 ( x + y ) ( x + y ) ) = ⇒ 2( x y + x y ) ≤ = 16 64 ⇒ P = x y3 + x y5 ≤ 5) Bài toán ( x + y )2 ( x + y ) ] = 16 ( x + y )4 1 = ( x + y = 1) ⇒ MaxP = khix = y = 128 128 128 NGUYỄN... b) + ab 4(a + b)2 + ab ab + 30 ( ab ) +t = t2 − t t + 30 + = f (t ) / [ 4; +∞ ] 2t + t + t 6) Bài toán 6: (1 − a)(1 − b) abc − (a + b) + ab c + ab 1 4 T.co P = = = + ≥ + = + ⇒ f (c ) = + / (0;1)