tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn toán

Trường……………………………… Khoa………………………… Lý thuyết luyện thi đại học mơn tốn LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam KHẢO SÁT HÀM SỐ S x  x  x   Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC I Tam thức bậc hai:   x  , ax  bx  c  0 a  a    b  c0    a     x2 S  x1  x2  a b ; P  ca x  Pt có nghiệm phân biệt   a 0   Pt có nghiệm kép   a 0    Pt vô nghiệm   a   b  0c  a   0  Pt có nghiệm trái dấu  P0  Pt có nghiệm dấu    a 2 3 III.Đạo hàm: BẢNG ĐẠO HÀM x u u2 (kx) '  k x (ku) '  k.u '    (x  ) '  .x 1 (u  ) '  .u '.u 1 x)' '  1( u)' u' ( x '    u 1  u '   (sin x) '  cos x (cos x) '  sin x   (sin u) '  u '.c os u (cos u) '  u '.sin u (tan  x) ' (tan u) ' a a   cos2 u' x  Pt có nghiệm phân biệt dương   P  S  II  Cho phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = Đ a Giả sử phương trình có nghiệm x1 ; x ; th x thì: ứ c b ậc d   0P    P   S   Pt có nghiệm phân biệt âm  x x  x x  P  x x x  c   x  , ax  bx  c      a   0   a b 0 0   Cho phương trình : ax2 + bx + c=00 Giả sử phương trình có nghiệm x1 ; x thì: b ; x x c; a (cot x) '  cos u (cot u) '  u ' sin u 1 (ex ) ' sin x  ex (ln x) '  (eu ) '  u '.eu (ln u) '  x u' u log x '  x ln a  log u  '  u' u ln a Trang(a1 x ) '  a x ln a (a u ) '  u '.a u ln a Quy tắc tính đạo hàm LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hoàng Nam Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ y‟ = vô nghiệm  Các bƣớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Xét biến thiên hàm số: oTính y oTìm điểm đạo hàm y khơng xác định oTìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có) oLập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số  Vẽ đồ thị hàm số: o Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm y D‟ = b2 – 3ac < a>0 I I 0 x x – Tính y y  ax  bx  c (a  0) :  Tập xác – Tìm điểm y = xét dấu y định D = R oVẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng thị oXác định số điểm đặc biệt đồ  Các dạng đồ thị: y‟ = thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ có nghiệm y‟ = cóphân nghiệm biệt phân  biệt y a0 y D‟ = b2 – 3ac > a0 a0 a ad – bc < tâ m đ ối x ứ n g c ủax  bx  Hàm số hữu tỷ y ac a'x b đ ' ( a.a '  0, tử không chia hết cho mẫu) th CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0 x ; f Khi phương trình tiếp tuyến (x )(C)  điểm M0 y0 0=)f (x0).(x x ;y f– (x là: – (y0 = x0) f(x0)) Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng cong (C): y = f(x) Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y =f(x) điểm M0 x 0x0; ythì0 tìm y0 = f(x0)  Nếu cho  ị a' Tập xác định D = R h\   Đồ thị có tiệm cận đứng x  b ' a' m mộtlà tâm tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm cận số đối xứng đồ thị hàm số b'  Các dạng đồ thị:  Các dạng đồ thị: y = có nghiệm phân biệt a0 a0  Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f(x) = y0   Tính y= f(x) Suy y(x0) = f(x0)  Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f(x0).(x – Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến  x0) (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước y = vơ nghiệm a0 y Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm a0  Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Tính f(x0) y   có hệ số góc k  f(x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 = f(x0) Từ viết phương trình  Cách 2:trình Dùngđường điều kiện xúc  Phương thẳngtiếp  có dạng: x y = kx + m x   tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x)  (*)  f '(x)   kx  m  Giải hệ (*), ktìm m Từ viết phương trình  Trang LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến  cho gián tiếp sau:  tạo với chiều dương trục hồnh góc  k = tan   song song với đường thẳng d: y = ax + b k = a   vng góc với đường thẳng Cao Hồng Nam Dạng 3: Tìm điểm đƣờng thẳng d mà từ vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = M(xM; yM)  d Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM  tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: f d: y = ax + b (a  0) k =  a d: y = ax +   tạo với đường thẳng b mộtk   tan  góc  a ka 1 (1)  f '(x)  k Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y = f(x), biết  qua điểm A(x A ; y A ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm  Gọi M(x0; y0) tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0)  Phương trình tiếp tuyến  M: y – y0 = f (x0).(x – x0)  qua A(x A ; y A ) nên:  yA – y0 = f(x0).(xA – x0)  Phương trình đường thẳng  qua (1) A(x A ; y A ) có hệ số góc k: y – yA = k(x –  Giải phương trình (1), tìm xA) x0 Từ viết phương trình   tiếp xúc với (C)  hệ phương Cách 2: Dùng điều kiện tiếpxúc trình sau có  nghiệm: f (x)  k(x (*)  f '(x)   x A )  yA  Giải hệk(*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến  Dạng 2: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc (x)  k(x  x M )  yM Dạng 4: Tìm điểm (2) mà từ vẽ đƣợc tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tiếp tuyến vng góc với k từ yM) (2) vào (1) ta được: Thế Gọi M(xM; = (x – xM).f + yM Phươngf(x) trình đường thẳng(x)  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) +(3) yM  tiếp vớicủa (C)(C) khivẽ hệtừsau nghiệm: tiếpxúc tuyến Mcó = Số nghiệm Số x (3)f (x)  k(x  x M )  yM (1)  f '(x)  k (2) Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3) Qua M vẽ tiếp tuyến với (C)  Điều kiện cần đủ để hai đường (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: (3) có GIAO nghiệm phân Vấn đề SỰ TƢƠNG CỦA biệt x1, x2 CÁC ĐỒ THỊ Hai tiếp tuyến vng góc với Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x)  f (x)  f (x1).f (x2) = –1 Để tìm hồnh độ giao điểm (C1 ) (C2 )   f '(x)  g '(x) Từ tìm M g(x) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi Nghiệm hệ (*) hồnh Chú ý: trình Qua hồnh M vẽ tiếp tuyến với (C) (*) phương độ giao điểm) độ tiếp điểm hai đường cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh Số nghiệm phương trình (*) số giao (3) có2 nghiệm phân biệt Trang  f(x1 ).f(x2 ) < LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH điểm hai đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d (a  0) cắt trục hoành điểm phân biệt Phương trình ax3  bx  cx  d  có nghiệm phân biệt Hàm số y  ax3  bx  cx  d có cực đại, cực tiểu yCÑ yCT  Vấn đề BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ  Cơ sở phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Số nghiệm phương trình (1) = Số giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x) Nghiệm phương trình (1) hoành độ giao điểm (C1): y = f(x) (C2): y = g(x)  Để biện luận số nghiệm phương trình ta biến đổi (*) về(1) Dạng 1:= (*)F(x, F(x, m) bằngm)đồ= thị f(x) =làmphương trình hồnh Khi (1) có cácđódạng sau:thể xem độ giao điểm hai đường: (C): y = f(x) d: y =m d đường thẳng phương với Ox Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao yđiểm (C) (C) d Từ suy số nghiệm (1) yCĐ yCT m (d) : y=m A xA x Cao Hoàng Nam Bài tốn 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc  Trƣờng hợp 1: (1) có nghiệm   f có cực (h.1b) (C)  CĐ y CT >0  chung Ox có 1trị điểm y  f cực trị  (h.1a)  Trƣờng hợp 2: (1) có nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox f có cực (h.2) y CĐ.yCT =0 trị  Trƣờng hợp 3: (1) có nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox điểm phân biệt f có cực trị  y CĐ y CT 0, xCT > a.f(0) Đặc biệt: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc ba đồ thị  Cơ sở phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3  bx  cx  d  (a  0) (1) có đồ thị (C)  Số nghiệm (1) = Số giao điểm (C) với trục hoành (h.3) < (hay ad < 0)  Trƣờng hợp 2: (1) có nghiệm có âm phân Trang LÝ THUYẾT TỐN LTĐH biệt  phân biệt có hồnh độ âm Cao Hồng Nam (C) cắt Ox điểm y CT <  yfCĐcó cực trị  xCĐ < 0, xCT < a.f(0) Dạng 1: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b Cơ sở phƣơng pháp: A, B đối xứng qua d  d trung trực đoạn AB Phương trình đường thẳng  vng góc > (hay ad > 0) Vấn đề HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Đồ thị hàm số y = f  x số Gọichẵn) (C) : y  f (x) (C1 ) : y  f Vấn đề ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ với d: y = ax + b có dạng: : y   x  ma  Phương trình hồnh độ giao điểm  f(x) =  x  m (1) a Tìm điều kiện m để  cắt (C) điểm phân biệt A, B Khi xA, xB nghiệm (1)  Tìm toạ độ trung điểm I AB  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  (C): (hàm  x ta thực Bƣớc Vẽ đồ thị (C) giữ lại phần đồ thị bước nằm sau: phía bên phải trục tung Bƣớc Lấy đối xứng phần đồ thị bước qua trục tung ta đồ thị (C1) Đồ thị hàm số y = f(x) Gọi (C) : y  f (x) (C2 ) : y  f ta thực (x) bước sau: Giữ Vẽ đồ (C).đồ thị (C) nằm phía Bƣớc lạithị phần trục hoành Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía trục hồnh (C) qua trục hồnh ta đồ thị (C2) I d, ta tìm m  xA, xB  yA, yB  A, B Chú ý:  A, B đối xứng qua trục hoành  Gọi (C1 ) : y  f  x  , (C2 ) : x y(C3 )f :(x) y  f  x  Dễ thấy để vẽ (C3) bước vẽ (C1) (C2) (hoặc (C2) Đồ thị hàm số y = f  x A xB   y yA ta thực (C1)) B  A, B đối xứng qua trục tung Trang x A  x B y  y  A LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Dạng 2: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở phƣơng pháp: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y  k(x  a)  b Phương trình hoành độ giao điểm (C) d: f(x) = k(x  a)  b (1) Cao Hoàng Nam LƢỢNG GIÁC Vấn đề 1: ƠN TẬP I Góc cung lƣợng giác: Giá trị lượ ng giác củ a số góc:    Α Sinα Tìm điều kiện để d cắt (C) điểm phân biệt A, B xA, xB nghiệm (1)  Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I trung điểm AB, ta tìm k  xA, xB Chú ý: Dạng 3: Khoảng cách AB = A B A (x  x )2  (y  y)2 A B 3.Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường  yA  yB thẳng : ax + by + c = 0: ax  by  c d(M, ) = Nhận xét: Ngoài phương pháp nêu, tập phần này0thường kết hợp với phần hình học a  ý xem lại giải tích, định lý Vi-et nên cần b tính chất hình học, cơng cụ giải tốn 5.Diện tích tam giác hình học giải tích, ápABC: dụng thành thạo định lý Vi-et tam thức bậc1hai S=   AB.AC.sin A  AB2 AC2  2 3 3 2  3 Cotα  Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) Tanα  x x Kiến thức bản: A, B đối xứng qua gốc toạ độA,OB:  1.Khoảng cách hai điểm B Cosα  –x  –x Sin –sinx sinx Cos Tan Cot cosx –cosx –tanx –tanx –cotx –cotx  –x +x cosx sinx cotx tanx  –sinx – cosx cosx –sinx –cotx –tanx tanx cotx II Công thức lƣợng giác: Công thức bản: sin a  cos2 a  tan a.cot a  11 1 tan a cos2 a  1 cot a sin a Công1thức cộng: cos(  )  cos .cos   sin .sin  cos(  )  cos .cos   sin .sin  sin(  )  sins .cos   cos .sin  sin(  )  sins  AB.AC 1 .sin tan .tantan( .cos   cos  tan(  )  tan )  tan 1  tan tan.tan   tan   Trang +x  LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Công thứ c nh ân đôi, n h ân ba: 2  cos2   sin   cos    1 cos 2sin   (cos   sin  )(cos   sin  ) s in2  2sin .cos  cos 3  cos   3cos  sin 3  3sin   sin  Công thứ  12 cos 2x  ccos hạ2 xbậc: 1 sin x  (1 cos x)(1 cos x)  cos x)(1 sin x) sin(1 x 1 cos thứcos c biến 2xCông  1 x đ ổi tổng thành tích: cos x  cos y  cos x  y cos x y cos x  cos y   sin2 x  y2 sin x  y sin x  sin y   sin 2x  y 2cos x y sin x  sin y  cos 2x  y 2sin Công x thứyc biến đ ổi tích thành tổng: Cao Hồng Nam Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I Phƣơng trình bản: x   k  x k2      k2 k  cos x  cos    x     x   k2 k2 k   tan x  tan   x k     k Trường hợp đặc biệt: cot x  cot    sin x  x  k , k   x    k  k  k2  sin x  x    sin x    k  x     k2  k 22  k   cos cos xx 1 0   x  k2 II Phƣơng trình bậc hai hay bậc n    k hàm lƣợngx giác:  a sin x  bs inx  c   (1)  a cos2 x  b cosx  c   sin x  sin  (2)  a cot x  a cot x  c  a tan x  b tan x  c  cos  cos2   cos( (4) Cách giải: (3)  )  cos(  )  - Đặt t hàm lượng giác sin  sin     cos( Giải phương trình theo t dễ dàng tìm  )  cos(  )  nghiệm phương trình cho 2sin  cos   III.Phƣơng trình a.sin x  b.cos x  c  Một số Cách giải:  sin(  ) sin x  cosý4cần x   2.sin x.cos x - Nếu a  b2  c2 : phương trình vơ thiết:  sin(  )  - nghiệm sin x  cos6 x   3.sin x.cos x  b2a 2c2b2: Ta Ptchia trở hai vế phươngNếu trìnhacho sin x  cos8 x  (sin x  cos x)  sin thành: a b c x.cos x sin x  cos x  2 2 2 a b a b a b c  8(1 sin x.cos2 x)2  sin cos .sin x  sin .cos x  x.cos x a2  Trong số phương trình lượng giác, đơi b2 ta phải sử dụng cách đặt sau: c sin(x  )  Đặt t  tanx1 sin 2x  sin 2x 1 a2  b2 1 2t   a Khi đó: sin 2x  cos 2x  t ; ; cos  1 t 1 t L 2 2  a b b  a b ƣ  u ý: Trang  si LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Biến thể: a.sin x  b.cos x  csin y  d cos y Cao Hồng Nam VI Phƣơng trình A.B  0Cách giải: - Dùng công thức biến đổi đưa dạng A.B  Trong đó: a  b2  c2  d a.sin x  b.cos x  csin y (có thể c.cos y) a.sin x  b.sin x.cos x  c.cos x  Trong d đó: a  b2  c IV Phƣơng trình Cách 1:Cách giải: A.B    A   0B  Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT  Xuất nghĩ đến phương trình III Xét cos x   x    k2 , k   Pt trở thành: a = d.(kiểm tra sai két luận có nhận nghiệm cos x  hay khơng?) - Xét cos x   x    k2 , k   Chia hai vế phương trình cho cos2 x Phương trình trở thành: - a.tan x  b.tan x  c  d(1 tan x) Đặt thức t  tan ta đưa dễ dàng giải Dùng công hạ xbậc phương trình III phương trình Chú ý: Đối với dạng phƣơng trình Cách 2: bậc hay bậc sin cos ta có cách giải hồn tồn tương tự V Phƣơng trình a(sin x  cos x)  b.sin x.cos x  c  Đặt t Cách sin xgiải:  cos x Điều kiện: t    Do t  sin  4x      có: t Ta  sin x  cos2 x  2sin  x.cos x t2  sin x.cos x   t2 Pt trở thành: a.t  b  c  Xuất góc lượng giác lớn nghĩ đến  dạng biến thể phương trình III  Xuất góc lớn dùng cơng thức tổng thành tích để đưa góc nhỏ  Xuất góc có cộng thêm   k , k , k dùng cơng thức tổng thành tích, tích2thành tổng cung liên kết, công thức cộng để làm k 4 ,2k   Xuất nghĩ đến phương trình III , k có khả vế cịn lại nhóm (sin x  cos x) để triệt   t  sin x  cos  4 x sin    Khi đơn giản góc, mà chưa đưa x phương trình quen thuộc nghĩ đến khả “nhóm nhà, nhóm cửa” Lưu ý, khả tách phương trình bậc hai theo sin (hoặc cos) tích hai phương trình bậc  nhất. Chú ý: Góc lớn góc có số đo lớn 2x Ta sử dụng công thức nhân ba đưa toán sinx, sin x cosx, cos2 x Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC Ta dễ dàng giải Chú ý: Đối với dạng phương trình a(sin x  cos x)  b.sin x.cos x  c 0 Bằng cách đặt t  sin x  cos x 2 sin  x   4 ta giải  với cách  tự  giải hồn tồn tương I Cơng thức sin, cos tam giác: Do A  B  C   nên: a sin(A  B)  sin C b cos(A  B)   cos C Do Trang   nên: C 2 A2 B a sin(  )  cos 2 ABC LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam SỐ PHỨC Vấn đề 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT I Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b  R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2  =z–1) số thực  phần ảo z  (b = 0) z ảo  phần  thực  z (a = 0) a  bi  a ' b 'i a  (a, b, a ', b '  Số vừa số thực vừa số ảo  ab'  b R) Hai số phức ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + nbi (a, b R) biểu diễn điểm M(a; b)hhay  u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức) a u : Một cách tổng quát: Chọn trước hệ trục Oxy nằm mặt phẳng đáy dựa tính chất vng góc (O nằm góc vng) Sau dựng tia Oz vng góc với Oxy O Cộng trừ số phức:   a  bi    a ' b 'i    a  a  '  đối  b  Số z =b a'  + ibi –z = –a – bi     u biểu diễn z, u ' biểu diễn z'  a  bi    a ' b 'i   a  a u  u ' biểu diễn z + z‟ u  u ' biểu – z‟   b  b ' i z'diễn Nhân   a  bi  a ' b 'i  aa ' bb '   hai số phức:  ab ' ba ' i Số phức liên hợp số phức z = a + bi z  a k(a bi  bi)  ka  kbi (k  R)  Trang 41 zz; z z'z ; z' LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam  z  r(cos   i sin  ) (r > 0) dạng lương  r  a 2 b  giác z = a + bi (z  0)   r  cos   a b   sin  r   acgumen z,   (Ox,  OM) z 1 z  cos z.z '  z.z   z1 z2 ';  z z1  z.z  a  b  z số thực  z số ảo  z của z ; số phức: z = a + bi Môđun  z  z OM  z  a  b2 zz     z  0,  z z 0  C , z0  z.z '  z z   chia  i sin  (dƣới  R)dạng lƣợng giác: 11 Nhân, số phức z  r(cos   i sin  ) , z '  r '(cos  ' i sin  ')  z.z '  rr ' cos(  z i sin(  ')')  ')r  cos(   z' r'  i sin(   ') 12 Công thức Moa–vrơ: 'z z  z' z'  z  z' z z' z z' Chia hai số phức:    z z z (z  0)  z '  z ' z 1  z '.z  z '.z z zz '  w  1 2  z z.z  z ' số  wz Căn bậc hai phức:  z  x  yi bậc hai số phức x  y   a 2xy  b  w z 2= 0 w có bậc hai z =  w  có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a >   Hai bậc hai a <  a Az2 + Bz + C = Phƣơng trình bậc hai a.isố phức cho trước, A  ) (*) (A, B, C   B2  4AC    : (*) có hai nghiệm phân biệt bậc hai ) z1,2  B  2A   : (*) có1 ,nghiệm kép: B z1 (z2  2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) thìlƣợng z0 số nghiệm 10 Dạng giác phức:của (*) w  a  bi  n r(cos    r (cos n n ) , i sin  )  n cos ( ni sin    cos n N* ) n  i sin  sin n 13 Căni bậc hai số phức dƣới dạng lƣợng giác:  Số phức z  r(cos  i sin  ) (r > 0) có bậchai hai là:     r  cos  r  cos2 2  2    i sin  i sin       i   cos2  r  2   Mở rộng: Số phức z   r(cos  i sin sin        ) (r > 0) có n bậc n là:   cos  n  k 2n  isin   k 2  , k  0,1, , n 1 n r  Vấn đề 2: CÁC DẠNG TOÁN I Thực phép toán cộng trừ, nhân chia số phức –Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức –Chú ý tính chất giao hốn, kết hợp phép toán cộng nhân phức: II Giải phƣơng trình - hệ phƣơng trình số - Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Giải phương trình bậc hai tập số phức, kết hợp với định lý Vi-et Trang 42 LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH - Chú ý: Cao Hoàng Nam độ lớn số phức trị tuyệt đối (trị tuyệt đối trường hợp riêng độ lớn định nghĩa trục số thực) III.Tập hợp điểm - Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y - Chú ý: Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn, conic IV Dạng lƣợng giác - Áp dụng công thức nêu Chú ý: Việc kết hợp khai triển nhị thức Newton tập số phức để chứng minh đẳng thức hay sử dụng ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP V Quy tắc đếm, cộng nhân: Quy tắc đếm: a Quy tắc: Với điều kiện khoảng cách khoảng số cách số liền kề b Các dấu hiệu chia hết: (cách đều), ta có: – Chia hết cho 2: số có chữ số tận 0, số  số lớn  số 2, 4, 6, số – Chia hết1 cho 3: số có tổng chữ số nhỏ chia hết cho – Chia hết cho 4: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho – Chia hết cho 5: số có chữ số tận 0, – Chia hết cho 6: số chia hết cho – Chia hết cho 8: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho – Chia hết cho 9: số có tổng chữ số chia hết cho – Chia hết cho 10: số có chữ số tận – Chia hết cho 11: số có hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 (VD: 1345729 (1+4+7+9) – (3+5+2) = 11) – Chia hết cho 25: số có chữ số tận 00, 25, 50, 75 Quy tắc cộng: 1) Nếu q trình (bài tốn) thực hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m kết cách thứ hai cho n kết Khi việc thực q trình cho m + n kết 3) Nếu q trình (bài tốn) thực k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết Khi việc thực Trang 43 trình cho m1 + m2 + … + mk kết LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH 1) Nếu q trình (bài tốn) thực theo hai giai đoạn (bước) liên tiếp cho có m cách thực giai đoạn thứ nhất, đồng thời ứng với cách có n cách để thực giai đoạn thứ hai Khi có mn cách thực trình 3) Nếu trình (bài tốn) thực theo k giai đoạn (bước) liên tiếp cho có m1 cách thực giai đoạn thứ nhất, với cách có m2 cách để thực giai đoạn thứ hai, …, có mk cách thực giai đoạn thứ k Khi đó, tồn q trình có m1.m2…mk cách thực VI Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp: Hoán vị: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt n   Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Số hoán vị n phần tử = n! = 1.2…n ký hiệuPn Pn Chỉnh hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử n   Mỗi cách chọn k 0  k  n  phần tử phân biệt X xếp theo thứ tự A n gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký n! hiệu A kn  (n  k)! k Tổ hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử n   Mỗi cách chọn k 0  k  n  phần tử phân biệt Cao Hoàng Nam VII Phƣơng pháp giải toán đếm: Phƣơng pháp Bƣớc Đọc kỹ yêu cầu số liệu đề Phân toán trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bƣớc Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bƣớc Đáp án tổng kết trường hợp Phƣơng pháp Đối với nhiều toán, phương pháp dài Do ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A  A  X  A  X \ A Bƣớc 1: Chia yêu cầu đề thành phần yêu cầu chung X (tổng quát) gọi loại yêu cầu riêng A Xét A phủ định A, nghĩa không thỏa yêu cầu riêng gọi loại Bƣớc 2: Tính số cách chọn loại loại Bƣớc 3: Đáp án số cách chọn loại trừ số cách chọn loại 1) ChúCách ý: phân loại loại có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải 3) Giải phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót tính số lượng loại 3*) Thường ta xử lý điều kiện trước, đơn giản điều kiện giải toán VIII Phƣơng pháp phƣơng trình, phƣơng trình, hệ đại số tổ hợp: bất Bƣớc 1: Đặt điều kiện cho toán - Px có điều kiện x   k k - A n , C n có điều kiện k,n    k  n X ký hiệu Cnk gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử n! Ckn  k!(n  k)! Bƣớc 2: Áp dụng công thức tính để đưa tốn phương trình, hệ phương trình quen thuộc Bƣớc 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình so điều kiện chọn nghiệm Nhận xét: Chú ý: Do tính đặc biệc nghiệm số tự 1) Điều kiện để xảy hốn vị, chỉnh hợp tổ nhiên nên đơi số ta phải nhẩm hợp n phần tử phải phân biệt nghiệm, bất phương trình 3) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ ta cần liệt kê nghiệm sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự cịn tổ hợp khơng Trang 44 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hoàng Nam  Tiếp tục đạo hàm vế (2) ta (3): Vấn đề 2: NHỊ THỨC NEWTON I Định nghĩa: Nhị thức Newton khai triển tổng lũy thừa có dạng: b  C Ck2 aannk2bbk 2  n C n bn  n n k 0 k b n k k  Số hạng thứ k+1 Tk1  thường gọi số hạng tổng quát C a b n k nk k n k 1) Cn  (0  k  n) Cn k k 1 k 2) Cn  Cn  Cn1 (1  k  n)  Khai triển a  b n a  b n n a Đạo hàm cấp 1:  Cộng trừ hai vế khai triển  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng hàm: trước Dạng tổ hợpđạo lũy thừa tăng dần từ đến n (hoặc giảm dần từ n đến 1)  Xét khai triển (1): 2 3 n  n ) ( n 1 n n n1  Cn x  1 x  C0n  1Cn x 2 C2n x   Cn x n  Lấy tích phân vế (1) x từ a đến b ta được: ) đến  Xét khai triển (1): II Phƣơng pháp giải toán: Các hệ số đứng Dạng khai triển: trước tổ hợp lũy thừa – xen kẽ  Dấu hiệu nhận biết: 1 x C0n n Dạng tích phân: (  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) phân số giảm  1 n dần từ dần từ đến tăng n 1 n 1 x  Các hệ số Cn k tính theo cơng thức tổ hợp chập dựa vào tam giác Pascal sau: Tính chất k n 2 n(nNhân 1)(1 x)n2 x vào vế (2) ta (4): C a n Cn x  2Cn x  3Cn x   nCn x   nx 1 n x  Đạo hàm vế (4) ta (5): 12 Cn1  22n C2 x  n32 C3 x  n  n Cn x n 1  a  b nn  Cn a n  nC1 a n 1 1.2Cn2  2.3C n x  3.4Cn x   (n 1)nCn x k k n  Cn x  Cn x   Cn x  n  Cn x n  Đạo hàm vế (1)  Thay số thích hợp vào (1) sau đạo hàm b Đạo hàm cấp 2:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa  tăng (giảm) dần n 1 n 1 2 n n n  Cn x  Cn x   Cn x  1 x từ C1.2 đến (n– Cn x n 1).n tăng(1) ta (2):  Đạo hàm vế (giảm) dần n n 1 từ 12 Cn  2Cn x  3Cn x   nCn x  n đến n2 n 1 x Xét khai triển (1):   b b b n dx  C1n x n dx n b 1 x n dx  C0b  x   x b 1  C  C1 n 1 Cn x n1 x a   b  a C0  C1   a C n 1 2a b b (1 b) n1  (1 a b n 1 b a n a n n 1 n a a a n xdx n Cn 2 n n 1 n 1 a nn  a) n1 n 1 Chú ý: Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị n Để nhận biết cận a b ta nhìn vào b n 1  an 1 số hạng n Cnn 1 Tìm số hạng khai triển nhị thức Newtơn: a Dạng tìm số hạng thứ k:  Số hạng thứ k khai triển (a  b)n k1 n(k1) k 1 Cn b a b Dạng tìm số hạng chứa xm:  Số hạng tổng quát khai triển (a  k nk k Cnb) a n b  M(k).x f (k ) (a, b chứa x)  Trang 45 LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam a Khái niệm: Cho phép thử T  Giải phương trình f (k)  m  k , số hạng - Biến cố A liên quan đến phép thử T cần tìm Cnk0 a nk0 hệ số số hạng chứa kiện mà việc xảy hay không xảy A xm phụ thuộc vào kết phép thử T b k0 M(k0) Chú ý: Số hạng không chứa x m = - Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy c Dạng tìm số hạng hữu tỉ: gọi kết thuận lợi cho A Tập  Số hạng tổng quát khai triển (a  b) n hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu : m A Khi ta nói biến cố A mô tả k n k k k q C n a b  Cn p r  ( ,  hữu tập A tỉ) b Chú ý: B , C , cố D… , Athử 2, … - Biến củahoặc A phép ta hay kí hiệu : A ,  m p - Ta ln có : A     ,  k  n)  Giải hệ    (k k0 - Biến cố chắn biến cố xảy    r thực phép thử T Biến cố chắn mô  tả tập  không gian mẫu phép thử T cần tìm Ckn a nk  Số hạng  - Biến cố biến cố không bk q d Dạng tìm hệ số lớn khai xảy thực phép thử T Biến cố triển Newton: mô tả tập rỗng   Xét khai triển (a  bx)n có số hạng II Xác suất biến cố tổng quát Cnk a nk bk Định nghĩa: xk k nk k - Cho phép thử T với không gian mẫu   Đặt u k  Cn a b ,  k  n ta có dãy hệ tập hữu hạn phần tử kết số phép thử T đồng khả - Gọi A biến cố liên quan đến phép u k Để  tìm số hạng lớn dãy ta giải hệ thử T A tập hợp kết thuận u  u lợi cho A  u kphương  uk 1 trình  bất - Khi xác suất A số , kí hiệu Hệ số lớn C k a nk  P(A) , n A k bk P(công A) thức xác định  : k 1  k Vấn đề 3: XÁC XUẤT Trong I Phép thử ngẫu nhiên khơng gian mẫu + A số phần tử A Phép thử ngẫu nhiên: +  số phần tử  a Khái niệm: Phép thử ngẫu nhiên Vậy để tính xác suất biến cố A (phép thử ) thí nghiệm hay hành động phép thử T ta làm theo bƣớc sau : mà: - Xác định không gian mẫu  đếm số - Kết khơng đốn trước phần tử - Có thể xác định tập hợp kết (số kết xảy phép sảy phép thử thử T ) b Kí hiệu: - Xác định số kết thuận lợi cho A ( Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu : T số phần tử  A) Không gian mẫu phép thử: - Áp dụng công thức a.Khái niệm : Tập hợp tất Chú ý: kết xảy phép phép 0  P(A)  thử gọi không gian mẫu phép P() = , P( ) = thử Xác suất số dương nhỏ b.Kí hiệu 1, xác suất biến cố chắn Khơng gian mẫu kí hiệu :  1, xác suất biến cố không Biến cố phép thử: thể Trang 46 III.Biến cố đối LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Định nghĩa Cho A biến cố Khi biến cố “ xảy khơng A ”, kí hiệu A , gọi biến cố đối Cao Hoàng Nam BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Dạng toán dạng tốn khó thường nằm câu V đề thi đại học Ở xin nêu ngắn gọn phương pháp Bạn xem kĩ “Chuyên đề bất đẳng thức – cực trị” A Nhận xét:  Gọi  không gian mẫu  Gọi A tập kết thuận lợi cho A Vấn đề 1: Các tính chất Khi tập kết thuận lợi cho A :  A =  \ A I V Biến cố hợp: Q biến cố A B Biến cố “A Cho hai B xảy ra” gọiu biến cố hợp hai biến cố A B, kí hiệuylà A  B tắ Biến cố xung khắc: c Cho hai biến cố A B Hai biến cố A c B gọi xung khắc biến cố xảy ộ biến cố không xảy n Quy tắc g cộng xác suất: Nếu Ax B hai biến cố xung khắc, thì: Pá A  B  P c A   P B  Biến cốsgiao uV.biến Quy Cho hai cốtắc A B Biến cố “Cả A ất nhân xác B xảy ra” gọi làsuất biến cố giao hai biến cố A :B kí hiệu : AB Vậy AB biến cố: “Cả A B xảy ra” Hai biến cố độc lập a.Khái niệm: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố với A B ; A B; A B b Nhận xét: Nếu hai biến cố A B độc độc lập với lập tắc nhân xác xuất Quy  Nếu A B hai biến cố độc lập với : P(AB) = P(A).P(B)  Nếu A1 ; A2 ; A3 ba biến cố đơi độc lập với : P(A1 A3) Chú ý: Học kĩ côngA2 thức kết= hợp phương P(A1).P(A2).P(A3) pháp đếm phần đại số tổ hợp  a, b  R có ba quan hệ: a > b, a = b, a < b  a, b, c  R mà a > b, b > c a > c  a, b  R mà a > b a + c > b + c Nếu a > b c > d a + c > b + d ( Không trừ hai bất đẳng thức) Nếu a > b c > ac > bc ( c < ac < bc) Nếuaa>>bb>>00thì 0c d1> 01thì Nếu vàac > bd >  a n  b n  n a a n b b 20  A  Vấn đề 2: Bất đẳng thức Cauchy I Phát biểu:  Cho số a, b không âm: a + b  ab hay a2 + b2  2ab Dấu „=‟ xảy a = b  Cho số a, b, c không a + b âm: + c  3 abc Dấu „=‟ xảy a = b = c  Tổng quát: Cho n số x1, x2, x3, …, không âm: xn (trung bình cộng lớn trung bình nhân) x1  x2  x3   n  n 1x 2x n x n x x Dấu xảy x1 = x2 = x3 = …= xn II áp Một số lƣu Khi dụng ý: phương pháp cịn lại “tọa độ điểm rơi” phải đảm bảo Nếu đề yêu cầu: Cho a, b, c > Chứng minh ta xét miền a  b  c  1, (do bất đẳng thức với (a, b, c) với (ta, tb, tc)) Cố gắng chọn miền hợp lý để tốn đơn giản Trang 47 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hoàng Nam       a  b  a   b Đẳng thức xảy a, b Vấn đề 3: Bất đẳng thức B.C.S I Phát biểu:  Cho cặp số: 2 2  (a1  a )(b1  a1.b1  a b2 b2 ) Dấu „=‟ xảy a1  ba 12 b cần thêm điều kiện  0) (Nếu bỏ dấu  Cho cặp số: 2 2 2 a1.b1  a b2   (a1  a  a )(b1  b2 a b3  b3 ) Dấu „=‟ xảy a1  a b1 b2  b3 a cần thêm điều kiện  0) (Nếu bỏ dấu  Cho n cặp số: 2 2 a1.b1   a n  (a1   a n )(b1  bn  bn ) Dấu „=‟ xảy a1    ba 12 b2 bn an cần thêm điều kiện  0) (Nếu bỏ dấu    a   n  an2  a bn ab1  b2  2 bn Dấu “=” xảy a1    ba 12 b2 bn a n II Một số lƣu ý: Dùng nhập tổng bình phương thành Hệ B.C.S cho phép gộp mẫu Chú ý: kĩ thuật thêm bớt 2 n n n Chọn điểm có tọa độ thích hợp Thường dùng để đưa nhiều thức bậc hai thức bậc hai Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm hệ tìm max, Bài toán: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện G(x, y)  (hoặc G(x, y)  0;G(x, y)  ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) P  F(x, y) Cách Đặtgiải: F(x,y) = m Ta có hệ: Hệ quả: Cho số không âm: a a2 b1 b2 hướng       a  a    a        a  a a Đẳng thức xảy rakhi  a1 ,a1 , ,a   Trong Oxy : a  (a1 , a ); b  (b1 , hướng   b2 ) Trong Oxyz : a  (a1 , a ;a ); b  (b1 , bII.2 ; Một b3 ) số lƣu ý:  G(x, y) ( G(x, y) ;   F(x, y) y) m F(x, y)    G(x, 0F(x, y)   m Biện luận m để hệ m có nghiệm Từ suy giá trị lớn giá trị nhỏ P Lƣu ý: Các phương pháp giải hệ phương bất trình, phương hệtrình Vấn đề 6: Cơng cụ đạo hàm I Chứng minh bất đẳng thức: Phƣơng pháp: Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > I Phát biểu: (hoặc