Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề số 21.3 Câu 1: (đ) a Tính giá trị biểu thức cách hợp lí A = + - - + + - - + + 10 - 11 - 12 + - 299 - 300 + 301 + 302 b Cho A = + + 42 + 43 + + 499, Chøng minh r»ng c Rót gän B = A< B = 4100 B 1 + + + 99 3 Câu 2: (2,5đ) a) Tìm hai số nguyªn tè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 601 b) Chøng tỏ 21n + phân số tối giản 14n + c) Tìm cặp số nguyên (x; y) biÕt: xy - 2x + 5y - 12 = Câu 3: (1,5đ) Hai lớp 6A; 6B thu nhặt mét sè giÊy vơn b»ng Líp 6A cã bạn thu đợc 26 kg lại bạn thu đợc 11kg Lớp 6B có bạn thu đợc 25 kg lại bạn thu đợc 10kg Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu đợc khoảng 200kg đến 300kg Câu 4: (2đ) Cho AOB tia phân giác Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB với bờ ®êng th¼ng OA ta vÏ tia Oy cho ∠ AOy > ∠ AOB Chøng tá r»ng: a Tia OB n»m gi÷a tia Ox, Oy b ∠ xOy = Câu 5a: (2 điểm) AOy + BOy 1) Chứng minh r»ng: 281 + 255 10 2) Cho 100 điểm điểm thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đờng thẳng Có tất đờng thẳng Câu 5b: (2 điểm) 1) Chøng minh r»ng tæng sau: P = + + 32 + 33 + + 361 + 362 không số phơng 2) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ tự từ A đến B A1, A2, A3, A4, A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A; A1; A2; ; A2004; B Tính số tam giác đợc tạo thành Đáp án đề I Phần chung (8đ) Câu 1: (2đ) a) A = + (2 - - + 5) + (6 - - + 9) + .+ (298 - 299 - 300 + 301) + 302 A = + 302 A = 303 (0,5®) b) Ta cã: 4A = + 42 + 43 + + 4100 (0,25®) B = 4100 => 4A = 4100 - < B => 3A < B => A < c) 3B = + B (0,75®) 1 1 + + 98 => 3B - B = - 99 => B = 1 − 99 2 3 (0,75®) Câu 2: (2,5đ) a) (0,75đ) Vì 601 số lẻ nên số nguyên tố phải có số chẵn mà số chẵn số nguyên tố cã thĨ b»ng VËy sè lµ 601 - = 599 b) Gäi d = ¦C (21n + 4; 14n +3) => 2(21n + 4) - 3(14n + 3) d => d => d = (0,25®) VËy (21n + : 14n + 3) = nên c) (0,25đ) 21 + phân số tối giản.(0,25đ) 14 + xy - 2x + 5y - 12 = x(y - 2) + 5(y - 2) + = (x + 5) (y - 2) = (0,5đ) Vì x, y Z => x + 5; y - ∈ ¦(2) = { ± 1; ± 2} => (x; y) = (-6; 0); (-4; 4); (-7; 1); (-3; 3) (0,5đ) Câu 3: (1,5đ) Gọi số giấy lớp thu đợc x (kg) (x - 26) 11 (x - 25) 10 Do ®ã (x - 15) ∈ BC (10; 11) 200 (0,25đ) 300 => x - 15 = 220 => x = 235 (0,5®) (0,25®) Sè HS líp 6A lµ (235 - 26) : 11 + = 20 HS (0,25đ) Số HS lớp 6B (235 - 25) : 10 + = 22 HS (0,25®) Câu 4(2đ) Vẽ hình đợc( 0,25đ) a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA Ta có tia Ox phân giác góc AOB y => AOx < ∠ AOB mµ ∠ AOB < ∠ AOy => ∠ AOx < ∠ AOB < ∠ AOy => OB nằm tia Ox Oy B (0,75đ) b) Theo a có Ox nằm tia OA Oy (1®) x ∠ xOy = ∠ xOB + ∠ Boy => ∠ xOy = ∠ Aoy - ∠ Aox O ∠ xOy = ∠ Aoy + ∠ Boy A ∠ Aoy + ∠ Boy => ∠ xOy = II Phần riêng.(2đ) Câu 5a.(2đ) CMR: 281 + 255 10 Cã 281 - (24)20 = (16)20 Có chữ số tận (0,25đ) 255 = (24)13 23 = (16)13 Cã ch÷ sè tận (0,25đ) => 281 + 255 có ch÷ sè tËn cïng = => 281 + 255 10 (0,5®) Chän mét ®iĨm Qua ®iĨm ®ã điểm 99 điểm lại, ta vẽ đợc 99 đờng thẳng (0,5đ) - Làm nh với 100 điểm ta đợc 99.100 đờng thẳng.( 0,25đ) - Nếu nh đờng thẳng đợc tính lần Nên số đờng thẳng là: 99.100 : = 4950 đờng thẳng (0,25đ) Câu 5b (2đ) P = (1 + + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + + (356 + 357 + 358 + 359) + 360 + 361 + 362 = (40 + 34 40 + + 356 40) + 360 + 361 + 362 (0,25đ) - Các số hạng ngoặc có tận - Số 360 = (32)30 = 930 => ch÷ sè tËn cïng - Số 361 = 3.360 => có chữ sè tËn cïng lµ - Sè 362 = 9.360 => có chữ số tận (0,5đ) Vậy tổng P có chữ số tận => P không số phơng (0,25đ) (1đ) Trên đoạn AB có điểm A; A1; A2; A3; ; A2004; B tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm - Mỗi đoạn thẳng (VD MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tơng ứng AB để tạo thành 2005 tam giác (0,5đ) - Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 - 2006 = 4022030 tam giác (lu ý kết hợp MA với MA1 hay MA1 với MA ta đợc tam giác nhng thực 1) => Số tam giác thực có 4022030 : = 2011015 (0,5đ)