Bất đẳng thức dạng hermite hadamard cho hàm tựa lồi

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI DNG BCH HNG BT NG THC DNG HERMITE-HADAMARD CHO HM TA LI LUN VN THC S TON HC H Ni - 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI DNG BCH HNG BT NG THC DNG HERMITE-HADAMARD CHO HM TA LI LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 NGI HNG DN KHOA HC PGS.TS T DUY PHNG H Ni - 2016 LI CM N Sau mt thi gian c ti liu v dt nghiờn cu khoa hc, lun ca tụi ó c hon thnh Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n thy giỏo PGS TS T Duy Phng ó tn tỡnh ch bo, hng dn, to iu kin cho tụi thi gian lm lun Tụi xin chõn thnh cm n s giỳp quý bỏu ca cỏc thy cụ giỏo b mụn Toỏn Gii tớch núi riờng v khoa Toỏn, trng i hc S phm H Ni núi chung Tụi xin cm n s ng viờn, giỳp ca gia ỡnh v bn bố ó dnh cho tụi quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun H Ni, ngy 05 thỏng 07 nm 2016 Tỏc gi lun Dng Bớch Hng LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun ny l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca PGS TS T Duy Phng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n Cỏc kt qu trớch dn lun ny ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 05 thỏng 07 nm 2016 Tỏc gi lun Dng Bớch Hng i Mc lc Li M u Chng Bt ng thc Hermite-Hadamard cho lp hm ta li 1.1 1.2 1.3 Hm li v mt s c trng c bn ca hm li kh vi Bt ng thc Hermite-Hadamard Bt ng thc Hermite-Hadamard cho hm ta li 1.3.1 Hm ta li 1.3.2 15 15 Bt ng thc Hermite-Hadamard cho hm ta li 22 Chng Mt s m rng bt ng thc Hermite-Hadamard cho hm ta li 25 2.1 Bt ng thc Hermite-Hadamard cho lp hm cú o 2.2 2.3 hm l ta li Bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho o hm bc hai l ta li Bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho cú cú 26 o hm bc ba l ta li 58 Ti liu tham kho lp lp hm hm 49 64 Li M u Lý chn ti Gii tớch li ó v ang úng mt v trớ quan trng toỏn hc Gii tớch li liờn quan n rt nhiu ngnh ca toỏn hc nh gii tớch, gii tớch hm, gii tớch s, hỡnh hc, toỏn kinh t, ti u phi tuyn, Mt kt qu kinh in cho hm li l Bt ng thc Hermite-Hadamard (H-H Inequality), c phỏt biu nh lớ di õy nh lớ (Hermite, 1883, [14]; Hadamard, 1893, [13]) Nu f : R R l hm li trờn on [a; b] thỡ ta cú b f a+b ba f (t)dt f (a) + f (b) (1) a Bt ng thc trờn cú th vit di dng b (b a)f a+b f (t)dt (b a) f (a) + f (b) a í ngha hỡnh hc ca bt ng thc ny l: Nu f : R R l hm li trờn on [a; b] thỡ din tớch hỡnh thang cong chn bi trc honh v th hm s y = f (x) (cựng vi hai ng thng x = a v x = b) luụn ln hn din tớch hỡnh ch nht cú cnh l b a v f a+b , v luụn nh hn hỡnh thang vuụng chiu cao l b a, hai ỏy l f (a) v f (b) Tc l din tớch hỡnh thang cong khụng ln hn din tớch hỡnh thang vuụng ABCD v khụng nh hn din tớch hỡnh ch nht ABMN T õy ta cng suy din tớch hỡnh tam giỏc cong NDP bao gi cng nh hn din tớch tam giỏc cong MCP Hỡnh 1: í ngha hỡnh hc ca bt ng thc Hermite-Hadamard Trong [15], Fejer ó m rng bt ng thc (1) thnh bt ng thc (2), m sau ny c gi l bt ng thc Fejer nh lớ Nu f : R R l li trờn [a, b] v g : [a, b] R l mt hm a+b khụng õm, kh tớch v i xng qua im x = thỡ a+b f b b g(t)dt a a f (a) + f (b) f (t)g(t)dt b g(t)dt (2) a Khi g(x) thỡ Bt ng thc Fejer tr thnh Bt ng thc HermiteHadamard Sau ú, nhiu tỏc gi ó m rng cỏc bt ng thc Hermite-Hadamrd v s dng chỳng c trng v nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm li Xem thớ d cun sỏch chuyờn kho [6], [7] v cỏc Ti liu tham kho khỏc Nhiu bi toỏn thc t mụ t bi cỏc hm khụng nht thit l li Vỡ vy, cn phi m rng khỏi nim hm li v nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm li suy rng, nhm ỏp dng vo cỏc bi toỏn ti u ny sinh thc t Mt bi toỏn hin nhiờn c t l phỏt biu v chng minh cỏc bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho cỏc lp hm li suy rng Vn ny ó c nhiu nh toỏn hc nghiờn cu v phỏt trin Thớ d, bt ng thc Hermite-Hadamard ó c m rng cho cỏc lp hm ta li, lp hm log-li, lp hm r - li, Mt nhng cỏch xõy dng v nghiờn cu lp hm li suy rng, l gi li mt (mt s) tớnh cht c trng ca hm li Thớ d, ta ó bit, hm li cú mc di l li v hm li liờn tc trờn compact t giỏ tr ln nht ti biờn Hai tớnh cht ny cũn ỳng cho lp hm ta li Do ý ngha toỏn hc v ý ngha thc t, cú th núi, s cỏc lp hm li suy rng, lp hm ta li c nghiờn cu y hn c Mc ớch chớnh ca Lun ny l trỡnh by tng quan v Bt ng thc Hermite-Hadamard cho cỏc lp hm ta li Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho cỏc lp hm ta li Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu chng minh cỏc bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho cỏc lp hm ta li v mt s liờn quan 4 i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Cỏc bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho cỏc lp hm ta li Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc sỏch bỏo liờn quan n bt ng thc Hermite-Hadamard cho cỏc lp hm ta li Phng phỏp nghiờn cu Thu thp ti liu, cỏc sỏch bỏo v cỏc bt ng thc dng HermiteHadamard cho cỏc lp hm ta li Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc kin thc v bt ng thc HermiteHadamard cho cỏc lp hm ta li D kin úng gúp ca lun vn: C gng xõy dng lun thnh mt bn tng quan tt v Bt ng thc Hermite-Hadamard cho hm ta li H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Dng Bớch Hng Chng Bt ng thc Hermite-Hadamard cho lp hm ta li Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s c trng c bn ca hm li, chng minh cỏc bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho hm li mt bin v mt s m rng ca Bt ng thc Hermite-Hadamard, Bt ng thc Hermite-Hadamar cho hm ta li Ni dung Chng ch yu theo Ti liu [11], [6], [7] v tham kho thờm mt s ti liu khỏc 1.1 Hm li v mt s c trng c bn ca hm li kh vi nh ngha 1.1 Tp X Rn c gi l li nu vi mi [0; 1] v x1 X , x2 X ta cú x := x1 + (1 )x2 X Ngha l, li X cha mi on thng ni hai im bt k ca nú nh ngha 1.2 Hm f : X Rn R c gi l hm li nu X l li v vi mi [0; 1], x1 X , x2 X ta cú f (x ) f (x1 ) + (1 )f (x2 ) 52 Vỡ |f | l ta li trờn [a, b] nờn ta cú |f (ta + (1 t)b)| max{|f (a)|, |f (b)| v |f (tb + (1 t)a)| max{|f (b)|, |f (a)| Suy b a+b f (x)dx f ba a 1/2 (b a)2 t2 max{|f (a)|, |f (b)|}dt (1 t)2 max{|f (b)|, |f (a)|}dt + 1/2 = (b a) max{|f (a)|, |f (b)|} 24 Ta cú iu phi chng minh nh lý 2.14 ([10], Theorem 7) Gi s a, b I R ,v a < b, hm f : [a, b] R kh vi trờn (a, b) Nu f L[a, b] v |f |q vi q l ta li trờn [a, b] thỡ: b a+b f (x)dx f ba a 2 (b a) (max{|f (a)|q , |f (b)|q })1/q , 1/p 8(2p + 1) ú q = p p1 Chng minh T B 2.4 ta cú b a+b I= f (x)dx f ba a (b a)2 = m(t)[f (ta + (1 t)b) + f (tb + (1 t)a)]dt 53 (b a)2 |m(t)|[|f (ta + (1 t)b)| + |f (tb + (1 t)a)|]dt p dng Bt ng thc Hoălder ta c 1/p (b a)2 I 1/q p q |m(t)| dt |f (ta + (1 t)b| dt 0 1/q |f (tb + (1 t)a)|q dt + Vi 1/2 p |m(t)| dt = 2p (1 t)2p dt = t dt + 1/2 4p (2p + 1) Suy 1/q (b a)2 I 16(2p + 1)1/p q q max{|f (a)| , |f (b)| }dt 1/q q q max{|f (b)| , |f (a)| dt + = (b a)2 (max{|f (a)|q , |f (b)|q })1/q 1/p 8(2p + 1) Ta cú iu phi chng minh nh lý 2.15 ([10], Theorem 8) Gi s a, b I R ,v a < b, hm f : [a, b] R kh vi trờn (a, b) Nu f L[a, b] v |f |q vi q l ta li trờn [a, b] thỡ: ba b a a+b f (x)dx f (b a)2 (max{|f (a)|q , |f (b)|q })1/q 24 Chng minh T B 2.4 v tớnh cht b b f (x)dx a ta cú: I ba b f (x)dx f a a+b |f (x)|dx a 54 (b a)2 = (b a)2 (b a)2 = m(t)[f (ta + (1 t)b) + f (tb + (1 t)a)]dt |m(t)|[|f (ta + (1 t)b)| + |f (tb + (1 t)a)|]dt |m(t)|1/p |m(t)|1/q [|f (ta + (1 t)b)| + |f (tb + (1 t)a)|]dt D dng tớnh c 1/2 t2 dt + |m(t)|dt = (1 t)2 dt = 1/2 12 p dng Bt ng thc Hoălder ta c 1/p (b a)2 I 1/q q |m(t)|dt |m(t)||f (ta + (1 t)b)| dt 0 1/q q |m(t)||f (tb + (1 t)a)| dt + 1/2 (b a)2 (12)1/p t2 max{|f (a)|q , |f (b)|q }dt 1/q q q (1 t) max{|f (a)| , |f (b)| }dt + 1/2 1/2 t2 max{|f (b)|q , |f (a)|q }dt + 1/q q q (1 t) max{|f (b)| , |f (a)| }dt + 1/2 (b a)2 = (max{|f (a)|q , |f (b)|q })1/q 1/p 1/q (12) (12) Ta cú iu phi chng minh Trong [3] cng ó chng minh mt s bt ng thc tng t dng Hermite-Hadamard cho lp hm cú o hm bc hai l hm ta li Ta cú: B 2.5 ([3], Lemma 1) Gi s a, b I R, a < b, hm f : [a, b] R kh vi trờn (a, b), f L[a, b] y f (a) + f (b) ba b f (x)dx = a (b a)2 t(1 t)f (ta + (1 t)b)dt 55 nh lý 2.16 ([3], Theorem 3) Gi s a, b I R, a < b, hm f : [a, b] R kh vi trờn (a, b) Nu f L[a, b] v |f | l ta li trờn [a, b] thỡ: f (a) + f (b) ba b a (b a)2 max{|f (a)|, |f (b)|} f (x)dx 12 Chng minh T B 2.5 ta cú b f (a) + f (b) I= f (x)dx ba a (b a)2 t(1 t)f (ta + (1 t)b)dt = (b a)2 t(1 t)|f (ta + (1 t)b)|dt Vỡ |f | l ta li nờn |f (ta + (1 t)b)| max{|f (a)|, |f (b)|} (b a)2 I t(1 t) max{|f (a)|, |f (b)|}dt (b a)2 t(1 t)dt ) max{|f (a)|, |f (b)|} (b a)2 = ) max{|f (a)|, |f (b)|} Ta cú iu phi chng minh nh lý 2.17 ([3], Theorem 5) Gi s a, b I R ,v a < b, hm f : [a, b] R kh vi trờn (a, b) Nu f L[a, b] v |f |q vi q l ta li trờn [a, b] thỡ: f (a) + f (b) ba b a (b a)2 f (x)dx max{|f (a)|q , |f (b)|q } 12 1/q 56 Chng minh T B 2.5 ta cú b f (a) + f (b) I= f (x)dx ba a (b a)2 t(1 t)f (ta + (1 t)b)dt = (b a)2 t(1 t)|f (ta + (1 t)b)|dt (b a)2 = (t t2 )1/p (t t2 )1/q |f (ta + (1 t)b)|dt p dng Bt ng thc Hoălder ta cú (b a)2 I 11/q 1/q 2 (t t )dt q (t t )|f (ta + (1 t)b)| dt 0 Vỡ |f |q l ta li nờn |f (ta + (1 t)b)|q max{|f (a)|q , |f (b)|q } 11/q 1 (b a)2 ã ã max{|f (a)|q , |f (b)q } I 6 (b a)2 1/q = max{|f (a)|q , |f (b)q } 1/q Ta cú iu phi chng minh nh lý 2.18 ([3], Theorem 5) Gi s a, b I R ,v a < b, hm p f : [a, b] R kh vi trờn (a, b) Nu f L[a, b] v |f | p vi p > l ta li trờn [a, b] thỡ: f (a) + f (b) ba 1/p (b a)2 ú q = p p1 b f (x)dx a (1 + p ( + p) 1/p (max{|f (a)|q , |f (b)|q })1/q , 57 Chng minh T B 2.5 ta cú b f (a) + f (b) I= f (x)dx ba a (b a)2 t(1 t)f (ta + (1 t)b)dt = (b a)2 t(1 t)|f (ta + (1 t)b)|dt p dng Bt ng thc Hoălder ta cú (b a)2 I 1/p 1/q p q (t t ) dt |f (ta + (1 t)b)| dt Hm Beta v hm Gamma c xỏc nh nh sau tx1 (1 t)y1 dt, B(x, y) = x, y > 0 v (x) = et tx1 dt, x > 0 Ta cú 1 p (1 t)p dt = (p + 1, p + 1) (t t ) dt = 0 S dng tớnh cht ca hm Beta B(x, x) = 212x B( , x) v B(x, y) = (x)(y) , (x + y) ta cú ( )(p + 1) 12(p+1) 2p1 B(p + 1, p + 1) = B ,p + = ( + p) 58 Vỡ ( ) = nờn ta cú (p + 1) B(p + 1, p + 1) = 212(p+1) B , p + = 22p1 ( + p) Vỡ |f |q l ta li nờn |f (ta + (1 t)b)|q max{|f (a)|q , |f (b)|q } Suy (b a)2 212p (1 + p) I ( + p) 1/p (b a) (1 + p = ( + p) 2.3 1/p ã (max{|f (a)q |, |f (b)|q })1/q 1/p (max{|f (a)|q , |f (b)|q })1/q Bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho lp hm cú o hm bc ba l ta li Trong [4] ó chng minh mt s bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho lp hm cú o hm bc ba l ta li Ta cú: nh lý 2.19 ([4], Lemma 1) Gi s a, b I R v a < b, hm f : [a, b] R l liờn tc tuyt i trờn (a, b) Nu f L[a, b] l ta li trờn [a, b] thỡ: b f (x)dx a a+b (b a) f (a) + 4f = (b a) p(t)f (ta + (1 t)b)dt, + f (b) 59 ú 1 t2 (t ), p(t) = 1 (t 1)2 (t ), t [0, ]; t [ , 1] Chng minh Ta cú: I= 1/2 f (ta + (1 t)b)dt p(t)f (ta + (1 t)b)dt = t t 1 (t 1)2 t f (ta + (1 t)b)dt + 1/2 Tớch phõn tng phn ta c 1 f (ta + (1 t)b) I = t2 t ab + t f (ta + (1 t)b) (a b)3 1/2 1/2 f (ta + (1 t)b) t(3t 1) (a b)2 1/2 0 1 f (ta + (1 t)b) + (t 1)2 t (a b) f (ta + (1 t)b) (3t 2)(t 1) (a b)2 1/2 f (ta + (1 t)b) dt (a b)3 1/2 1/2 f (ta + (1 t)b) f (ta + (1 t)b) dt (a b)3 (a b)3 1/2 1/2 a+b a+b f f 1/2 f (b) f (ta + (1 t)b) 2 = + + dt 24 (a b)2 (a b)3 (a b)3 (a b)3 a+b a+b f f 1 f (a) f (ta + (1 t)b) 2 + + + dt 24 (a b)2 (a b)3 (a b)3 (a b)3 1/2 + t Thay x = ta + (1 t)b, v dx = (a b)dt,ta c b (b a)4 I = f (x)dx a Ta cú iu phi chng minh (b a) a+b f (a) + 4f + f (b) 60 nh lý 2.20 ([4], Theorem 2) Gi s a, b I R v a < b, hm f : [a, b] R l liờn tc tuyt i trờn (a, b) Nu f L[a, b] l ta li trờn [a, b] thỡ: b (b a) a+b f (a) + 4f a (b a) a+b max |f (a)|, f 1152 a+b + max f , |f (b)| f (x)dx + f (b) Chng minh T nh lý 2.19 ta cú: b f (x)dx I= a a+b (b a) f (a) + 4f + f (b) = (b a) p(t)f (ta + (1 t)b)dt (b a)4 |p(t)||f (ta + (1 t)b)|dt (b a)4 = (b a)4 + 1/2 t2 t |f (ta + (1 t)b)|dt (t 1)2 t 1/2 |f (ta + (1 t)b)|dt Vỡ |f | l ta li nờn 1/2 |f (ta + (1 t)b)|dt max f a+b , |f (b)|q , |f (ta + (1 t)b)|dt max f a+b , |f (b)|q v 1/2 Suy (b a)4 (b a)4 + 1/2 t2 t I ã max |f (b)|, f (1 t)2 t 1/2 ã max f a+b dt a+b , |f (a)| dt 61 (b a)4 a+b max |f (a)|, f = 1152 a+b + max f , |f (b)| Ta cú iu phi chng minh nh lý 2.21 ([4], Theorem 3) Gi s a, b I R v a < b, hm f : [a, b] R l liờn tc tuyt i trờn (a, b) Nu f L[a, b] v |f |q vi q l ta li trờn [a, b] thỡ b f (x)dx a (b a) a+b f (a) + 4f 21/p (b a)4 (p + 1)(2p + 1) 48 (3p + 2) + max f 1/p max q , |f (b)| , |f (a)| max q a+b f 1/q q q 21/p (b a)4 = (B(p + 1, 2p + 1))1/p 48 + max f a+b 1/q q a+b + f (b) f a+b 1/q q , |f (b)| 1/q q , |f (a)| Chng minh T nh lý 2.19 ta cú b f (x)dx I= a a+b (b a) f (a) + 4f + f (b) = (b a) p(t)f (ta + (1 t)b)dt (b a)4 |p(t)f (ta + (1 t)b)|dt (b a)4 = (b a)4 + 1/2 t2 t |f (ta + (1 t)b)|dt (t 1)2 t 1/2 q |f (ta + (1 t)b)|dt 62 p dng Bt ng thc Hoălder ta cú 1/2 (b a)4 I t p t 1/p (b a) (t 1)2 t 1/2 q |f (ta + (1 t)b)| dt 1/p p dt 1/q q ì 1/q 1/2 dt + |f (ta + (1 t)b)| dt 1/2 Khi |f |q l ta li, theo Bt ng thc Hermite-Hadamard ta cú: 1/2 q |f (ta + (1 t)b)| dt max f a+b f a+b q , |f (b)|q , v q |f (ta + (1 t)b)| dt max 1/2 q , |f (b)|q Hm Beta v hm Gamma c xỏc nh nh sau tx1 (1 t)y1 dt, B(x, y) = x, y > 0 v (x) = et tx1 dt, x>0 Kt hp cỏc bt ng thc trờn ta thu c: b f (x)dx a 1/p (b a) a+b f (a) + 4f (b a)4 (p + 1)(2p + 1) 48 (3p + 2) + max f a+b q + f (b) 1/p max 1/q q , |f (a)| Ta cú iu phi chng minh f a+b q 1/q q , |f (b)| 63 Kt lun Lun trỡnh by c mt s kt qu sau: - Mt s c trng c bn ca hm li kh vi v hm ta li - Chng minh cỏc Bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho hm li mt bin - Chng minh cỏc Bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho hm ta li mt bin - Mt s m rng Bt ng thc dng Hermite-Hadamard cho hm cú o hm cp mt, o hm cp hai, o hm cp ba l ta li 64 Ti liu tham kho Ting Anh [1] M Alomari, M Darus, Some Ostrowski type inequalities for quasiconvex functions with applications to special means, RGMIA13 (2) (2010), article No Preprint [2] M Alomari, M Darus and U S Kirmaci, Refinements of Hadamardtype inequalities for quasi-convex functions with applications to trapezoidal formula and to special means, Comput Math Appl., 59, (2010), 225-232 [3] M Alomari, M Darus and S S Dragomir, New inequalities of Hermite Hadamard for functions whose second derivatives absolute values are quasi-convex, Tamkang Journal of Mathematics, Volume 41, No 4, 2010, 353-359 [4] M Alomari, S Hussain, Two Inequalities of Simpson type for Quasiconvex and Applications, Applied Mathematics E-Notes, 11, (2011), 110-117 [5] Peter Bullen, Dictionary of Inequalities, Second Edition, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA 65 [6] P Cerone, Sever S Dragomir, Mathematical Inequalities: A perspective, (2011), CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [7] S S Dragomir, Charles E M Pearce, Selected Topics on HermiteHadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000 [8] D A Ion, Some estimates on the Hermite Hamdamard inequalities through quasi convex functions, Annals of University of Craiova, Math Comp Sci Ser., Volume 34, 2007, 82-87 scan, On new general integral inequalities for quasi-convex [9] Imdat Iá functions and their applications, Palestine Journal of Mathematics, Vol 4(1), 2015, 21-29 [10] M Z Sarikaya, A Saglam, and H Yildirim, New inequalities of Hermite-Hadamard type for functions whose second derivatives absolute values are quasi-convex [11] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, In Serie Nonconvex Optimization and Its Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1998 Ting Phỏp [12] J L W V Jensen, Sur les fonctions convexes et les inộgalitộs entre les valeurs moyennes, Acta Math, 30 (1906), 175-193 [13] Hadamard J (1893), "Rộsolution dune question relative aux dộterminants", Bull des Sciences math 17(2), pp 240-248 [14] Hermite C (1883), Sur deux limites dune intộgrale dộfini, Mathesis 66 Ting Hungary [15] Fejộr L (1906) , Uber die Fourierreihen, Math Naturwiss Anz Ungar Akad Wiss, in Hungarian, 24, pp 369390 [...]... ta được bất đẳng thức cần chứng minh 25 Chương 2 Một số mở rộng bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho hàm tựa lồi Có thể sử dụng Bất đẳng thức Hermite- Hadamard trong việc ước lượng giá trị trung bình của một hàm lồi liên tục f : [a, b] → R như sau Ta có Bất đẳng thức Hermite- Hadamard a+b f 2 1 ≤ b−a b f (t)dt ≤ a f (a) + f (b) 2 Vế trái của bất đẳng thức trên có thể được đánh giá bởi Bất đẳng thức Ostrowski... mình Chứng minh tương tự cho hai phần còn lại 1.3.2 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho hàm tựa lồi Ta có định lí Hermite- Hadamard cho hàm J -tựa lồi dưới đây Định lý 1.10 ([6], p 76-78) Giả sử a, b ∈ I ⊆ R và a 0 i=1 và a+b 2 n n f (xi )xi ≥ i=1 pi f (xi )xi , i=1 thì ta có bất đẳng thức 1 b−a b a 1 f (x)dx ≥ Pn n pi f (xi ) i=1 Vế thứ hai của Bất đẳng thức Hermite- Hadamard được mở rộng như sau Định lý 1.5 ([6], p 59) Giả sử a, b ∈ I ⊆ R với a < b, f : R → R là hàm lồi trên I Khi đó với mọi t ∈ [a, b] ta có bất đẳng thức 1 b−a b f... thực p > 1, theo [8] 2.1 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard cho lớp hàm có đạo hàm là tựa lồi Định lý 2.1 ([8], Theorem 1) Giả sử p ∈ R, p > 1; a, b ∈ I ⊆ R và a ≤ b, hàm f : [a, b] → R khả vi trên (a, b) Nếu |f | là hàm tựa lồi trên [a, b] thì 1 f (a) + f (b) − 2 b−a b f (x)dx ≤ a b−a max{|f (a)|, |f (b)|} 4 Định lý 2.2 ([8], Theorem 2) Giả sử p ∈ R, p > 1; a, b ∈ I ⊆ R và p a ≤ b, hàm f : [a, b] → R khả... (a,b) là hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm của nó là một hàm không giảm trên (a,b) Hàm f(t) khả vi hai lần trên tập mở (a,b) là hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm cấp hai của nó không âm trên toàn khoảng (a,b) Hệ quả này gợi ý mở rộng tiêu chuẩn hàm lồi cho hàm nhiều biến Ta có Định lý 1.2 (Proposition, [11], p.44) Hàm f(x) hai lần khả vi trên tập lồi mở C ⊆ Rn là hàm lồi nếu và chỉ nếu ma trận Hessian Qx... b] Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên trên [a, b] theo x, ta được b a+b −t 2 b a+b 1 f (x)dx ≥ f (t) + λ −t b−a a 2 f (x)dx − (b − a)f (t) ≥ λ(b − a) a ⇔ Ta có điều phải chứng minh a+b Với t = ta có vế thứ nhất của Bất đẳng thức Hermite- Hadamard 2 trong Bất đẳng thức (1.5) Ngoài ra ta có các trường hợp cụ thể sau đây Nhận xét 1.1 ([6], p 58) Giả sử hàm f được cho như trên và 0 ≤ a < b √ (i)