Hoc sinh gioi 3 - Luyện thi 10 Chuyên

Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Đề 1 Bài 1: Tìm 8 chữ số tận cùng của số 1994 5 . Bài 2: Giải phương trình sau: 18 1 42x13x 1 30x11x 1 20x9x 1 222 = ++ + ++ + ++ Bài 3: Cho ∆ABC các trung tuyến m a ; m b ; m c thỏa mãn m a : m b : m c = 5 : 4 : 3. Chứng minh rằng góc ACB ≠ 90 0 . Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích lớn hơn 2 1 chứa trong hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng mà hai đầu của nó trên biên tứ giác, song song với cạnh hình vuông có độ dài lớn hơn 2 1 . Đề 2 Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên x để 25x + 46 là tích của hai số nguyên liên tiếp. Bài 2: Chứng minh rằng: ( ) 2 1 1nn 1 . 25 1 13 1 5 1 2 2 < ++ ++++ Bài 3: Cho đa giác đều A 1 A 2 .A 2003 ; đặt một đa giác đều B 1 B 2 .B 2003 sao cho tâm hai đa giác đều đó trùng nhau. Gọi C 1 , C 2 , . , C 2003 lần lượt là trung điểm của A 1 B 1 ; A 2 B 2 , ., A 2003 B 2003 . Chứng minh rằng đa giác C 1 C 2 .C 2003 là đa giác đều. Bài 4: Trên trang giấy có một số vết mực có tổng diện tích bé hơn 1. Chứng minh rằng có thể chia trang giấy thành các hình vuông đơn vò sao cho không có đỉnh nào của hình vuông rơi vào vết mực nào cả. Đề 3 Bài 1: Với 1003 số nguyên dương khác nhau tùy ý nhỏ hơn 2004. Chứng minh rằng trong các số ấy bao giờ cũng tìm được ba số sao cho một trong chúng bằng tổng hai số còn lại. Bài 2: Cho hai số a, b thỏa mãn : 1ba 22 =+ . Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 66 ba + . Bài 3: Cho ∆ABC ( A = 90 0 ). Kẻ AD⊥BC ; DE ⊥AC, DF⊥AB. Chứng minh rằng CE BF AC AB 3 3 = Bài 4: Mỗi một điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong ba màu. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1. Đề 4 Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c biết rằng abccabcab ≥++ . Bài 2: Tìm tất cả các đa thức P(x) có tất cả các hệ số nguyên không âm nhỏ hơn 6 thỏa mãn P(6) = 2003. Bài 3: Cho hình thoi ABCD. Đường chéo AC và BD cắt nhau ở O. Đường trung trực của AB cắt BD và AC lần lượt tại O 1 và O 2 . Biết rằng O 1 B = a, O 2 A = b. Tính diện tích hình thoi theo a và b. Bài 4: Khi phân bố n điểm trên một mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong số n điểm đó là 3 đỉnh của một tam giác vuông thì số n lớn nhất là bao nhiêu? Đề 5 Bài 1: Tìm x ∈ Q để 1991xx 2 ++ là số chính phương. Trang 1 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 2: Cho các số n21 a, .,a,a thỏa mãn: 1n 1nn 1 121 a 1 aa, ., a 1 aa,1a − − +=+== . Chứng minh rằng: 63<a 2003 < 78. Bài 3: Cho xOy = 90 0 , A và B là hai điểm di động trên Ox và Oy sao cho AO + OB = a (a là hằng số, a > 0). C là điểm trên AB sao cho OB 2 = AC.AB. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với AB tại C luôn luôn đi qua một điểm cố đònh. Bài 4: Cho sáu điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn luôn có thể chọn được ba điểm sao cho có ba đỉnh tại ba điểm này có ít nhất là một góc không lớn hơn 30 0 . Đề 6 Bài 1: Tìm x, y ∈ Z sao cho : a. 332 yxxx1 =+++ . b. 4y12z5x 3 =−+ . Bài 2: Chứng minh rằng a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì: c 1 b 1 a 1 cba 1 bca 1 acb 1 ++≥ −+ + −+ + −+ Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 3 1 BC. Xác đònh vò trí điểm N trên CD sao cho MA là phân giác góc BMN. Bài 4: Cho 6 hình tròn trên mặt phẳng được sắp xếp sao cho tâm của mỗi hình tròn nằm ngoài các hình tròn còn lại. Chứng minh rằng tất cả 6 hình tròn không có điểm chung. Đề 7 Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 01z4x3zx2zyx 2222444 =+++++− . Bài 2: Cho ba số khác 0 là a, b, c thỏa mãn: ( ) 1 c 1 b 1 a 1 cba =       ++++ . Tính số trò của biểu thức: ( )( )( ) 2003200303032020 cacbba +++ Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R’) tiếp xúc trong tại A. Qua một điểm tùy ý D thuộc đường tròn (O’;R’) kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó cắt đường tròn (O;R) tại A và C. Chứng minh rằng : AB.DC=AC.BD. Bài 4: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 2n + 1 cạnh (n ≥ 3, n ∈ N) bằng một màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn có ba đỉnh là ba đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu cùng một màu. Đề 8 Bài 1: Chứng minh rằng có vô số số chia hết cho 1994 5 19 mà trong biểu diễn thập phân của các số đó không có các chữ số 0; 1; 2. Bài 2: Giải phương trình sau: ( )( ) 6y4y1x2x27y4x2yx 2222 ++++−=++++− . Bài 3: Cho điểm M ở trong đường tròn (O; r). Qua M hãy dựng hai dây AB và CD vuông góc với nhau sao cho AB + CD lớn nhất. Bài 4: Về phía trong của tứ giác lồi ABCD dựng các nửa hình tròn đường kính là các cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tứ giác ABCD hoàn toàn bò phủ kính. Đề 9 Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm nguyên: 19931975z1890519 30 4xx +=++ . Trang 2 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 2: Cho x, y thỏa mãn: 4 4 y x 1 x2 2 2 2 =++ . Xác đònh x, y để xy đạt giá trò nhỏ nhất. Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I. Đường vuông góc với OI tại I cắt AB tại E, cắt DC tại F. Chứng minh rằng I là trung điểm của EF. Bài 4: Chứng minh rằng trong một đường tròn có bán kính bằng 1 không thể chọn nhiều hơn 5 điểm có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng đều lớn hơn 1. Đề 10 Bài 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N các số n 5 , n 9 , n 1993 có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 2: Giải hệ phương trình :      = ++=++ 1xyz zyxzyx 444 . Bài 3: Cho tứ giác ABCD có góc A, C tù. Chứng minh rằng AC < BD. Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M và K là điểm giữa các cạnh CD và DE; L là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng S ABL = S MDKL . Tính độ lớn của góc giữa AM và BK. Đề 11 Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 73x y3 += . Bài 2: Chứng minh rằng: ( )( ) ( )( ) ( )( ) tzyxtytxzyzx 22222222 ++≥+++++ với x, y, z, t dương. Bài 3: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’,R’) cắt nhau tại A và B. Hai điểm C và D chạy cùng một lúc từ A theo thứ tự trên hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) với vận tốc không đổi và theo cùng một chiều. Sau một vòng cả hai điểm lại trở về A cùng một lúc. Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố đònh M trong mặt phẳng sao cho ở mọi lúc, các khoảng cách từ M đến hai điểm C và D bằng nhau. Bài 4: Một số cung của một đường tròn được sơn đỏ và xanh tổng số đo độ dài của các cung được sơn đỏ nhỏ hơn 5 1 đường tròn đó, tổng số đo độ dài của các cung được sơn xanh nhỏ hơn 11 3 đường tròn đó. Chứng minh rằng trên đường tròn đó luôn luôn tìm được đường kính mà hai đầu mút của nó không bò sơn. Đề 12 Bài 1: Trong hệ thập phân tổng các chữ số của số 2 3456 là x, tổng các chữ số của số x là y, tổng các chữ số của số y là z, tổng các chữ số của số z là t. Tìm t. Bài 2: Với a, b, c là ba số khác nhau. Hãy tính: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) bcac bxax c cbab cxax b caba cxbx a KKK −− −− + −− −− + −− −− với K = 0; 1; 2. Trang 3 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 3: Cho đoạn thẳng AB, M là điểm bất kỳ trên đoạn AB ( M ≠ A, M ≠ B), kẻ tia Mx ⊥ AB, trên tia Mx lấy hai điểm C, F sao cho K MB MF MC MA == (K > 0). Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AMC và BMF cắt nhau tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố đònh khi M chạy trên đoạn thẳng AB. Bài 4: Có 1994 học sinh thi đấu bóng bàn theo thể thức đấu vòng tròn. Chứng minh rằng khi kết thúc giải có thể xếp 1994 học sinh trên theo một hàng sao cho người đứng trước thắng người đứng kề sau. Đề 13 Bài 1: Khi viết trong hệ thập phân số 100 2 có bao nhiêu chữ số? Bài 2: Giải phương trình sau: 16x8x12x8x 8x4x 2 1 14x8x 2424 24 24 73.182925225 +−+− +− +− −−=         + Bài 3: Cho ∆ ABC (AB = AC). Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng trung điểm của PQ là tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC. Bài 4: Trong mặt phẳng cho n điểm ( n ∈ N, n ≥ 3) không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua 3 trong các điểm đã cho và không chứa bất kì điểm nào trong các điểm còn lại xem là điểm trong. Đề 14 Bài 1: Tìm m, n là các số tự nhiên để: ( ) 43A 61n6m3 2 += −+ là số nguyên tố. Bài 2: Giải phương trình : ( )( ) ( )( )( ) 42x13x20x9x12x11x31x11x30x11x36 22222 ++++++=++++ Bài 3: Cho đường thẳng a nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ OA ⊥ a (A ∈ a). Kẻ các tuyến ABC, ADE. Gọi M, N lần lượtc là giao điểm của BE, DC với a. Chứng minh rằng ∆ OMN cân. Bài 4: Cho mặt phẳng chứa 1995 điểm và trong ba điểm bất kỳ đã cho bao giờ cũng tìm được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính là 1 chứa không í hơn 998 điểm trên. Đề 15 Bài 1: Cho ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 2700zyx 222 =++ . Chứng minh rằng: zyx 1890519 ++ không thể là số chính phương. Bài 2: Giải phương trình : 13x4x 19941995 =−+− Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy 1994 điểm D 1 , D 2 , ., D 1994 ; trên AC lấy 1994 điểm E 1 , E 2 , ., E 1994 sao cho BD 1 = CE 1 , BD 2 = CE 2 , ., BD 1994 = CE 1994 . Chứng minh rằng các đường trung trực của các đoạn thẳng D 1 E 1 , D 2 E 2 , ., D 1994 E 1994 đồng quy. Trang 4 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 4: Trên mặt phẳng có 4 điểm; trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng diện tích của một tam giác bất kỳ với các đỉnh là những điểm đã cho không vượt quá 1. Chứng minh rằng toàn bộ điểm đã cho có thể đặt trong một tam giác diện tích 4. Đề 16 Bài 1: Chứng minh rằng số 178.19 n + là hợp số với n ∈ N. Bài 2: Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác có ba đường cao tương ứng là h a , h b , h c . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 c 2 b 2 a 2 hhh4cba ++≥++ Bài 3: AD là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Chứng minh rằng: DC.DBAC.ABAD 2 −= Bài 4: Trong mặt phẳng kẻ 1995 đường thẳng đôi một không song song với nhau. Qua giao điểm của hai đường thẳng bất kì ( trong số những đường thẳng đã kẻ) ít ra có một đường thẳng nữa (trong số những đường thẳng đã cho) đi qua. Chứng minh rằng tất cả những đường thẳng đã kẽ cùng đi qua một điểm. Đề 17 Bài 1: Tìm các số xyz biết rằng: ( ) n 1994 3 zyxxyz ++= . Bài 2: Cho ba số tự nhiên a< b < c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên d > a, ta có : ddd cba <+ Bài 3: Cho tam giac ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Vẽ MD ⊥ AC, ME ⊥ BC ( D thuộc AC, E thuộc BC). I và K là trung điểm của AB và DE. Chứng minh IKM = 90 0 . Bài 4: Tìm tất cả các số n ∈ N sao cho trong ba mệnh đề sau có hia mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a. n + 4 là số chính phương. b. 4n – 5 là số chính phương. c. n – 3 chia hết cho 20. Đề 18 Bài 1: Tìm các số tự nhiên n. Biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 024n1995n 2 =+− . Bài 2: Xác đònh m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 07mxx 2 =++ và 0my7y 2 =++ . Tìm nghiệm chung đó. Bài 3: Cho đường tròn (O;R) dây AB, I là điểm chính giữa cung AB nhỏ. Kẻ các dây IC, ID cắt AB lần lượt tại E và F. a. Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ACE và ADF tiếp xúc nhau. b. Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp được. Bài 4: Trong một hình tròn bán kính bằng 1, đặt hai tam giác sao cho diện tích của mỗi tam giác đó lớn hơn 1. Chứng minh rằng các tam giác này cắt nhau. Trang 5 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Đề 19 Bài 1: Cho số .79 .99999A 9 số chữ 1994   = . Tính tổng các chữ số của số A 2 . Bài 2: a. Các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện gì để với mọi n ∈ N các số nnn c , b,a là độ dài các cạnh của một tam giác. b. Cho phương trình ( ) 0mx2mx 22 =−−− . Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm (nếu có) của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 và x 2 độc lập đối với m. Bài 3: Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) ngoài nhau. Vẽ AB, CD là các tiếp tuyến chung ngoài (A và C trên (O 1 ); B và D trên (O 2 ), AD cắt (O 1 ) và (O 2 ) tại M và N. Chứng minh rằng AM = ND. Bài 4: Thầy giáo viết lên bảng một số trong các số 5, 9, 1994. Thầy đưa ra quy tắc có thể loại bỏ hai số khác nhau và thay chúng bởi số thứ 3. Bạn Toàn: nói sau một lần loại bỏ kết quả trên bảng chỉ còn một số 1994. Bạn Trinh nói : sau một lần loại bỏ kết quả trên bảng chỉ còn một số 9. Thầy giáo khẳng đònh ít nhất một trong hai bạn nói sai. Hãy chứng minh khẳng đònh của Thầy. Đề 20 Bài 1: Chứng tỏ rằng tổng sau đây là một hằng số: !n 2n . !4 11 !3 7 !2 2 !n 2n A 2 n − +++++ + = Bài 2: Giải phương trình sau: ( ) ( ) 11x91x31x3 3 2 3 2 3 2 =−+−++ Bài 3: Cho đường tròn tâm O và dây cung AB. Qua trung điểm I của AB kẻ hai dây cung DC và FE của đường tròn. Các đường thẳng CE, DF lần lượt cắt AB tại M và N. Chứng minh rằng : IM = IN. Bài 4: Một tờ giấy hình tròn bán kính 100 cm có 9800 lỗ kim châm. Chứng minh rằng có thể cắt ra ở tờ giấy ấy một hình tròn bán kính 1cm không có lỗ kim châm nào. Đề 21 Bài 1: Tìm 1000 chữ số tận cùng của số 9992 50 .50501 ++++ . Bài 2: Tính phần nguyên của 3 3 3 6 .666 .66 +++++++ Bài 3: Từ điểm P nằm trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; Vẽ PK, Pl, PM lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, AC và AB tại K, L, M. Chứng minh rằng: PM AB PL AC PK BC += Bài 4: Trong mặt phẳng cho 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm này được nối với nhau bằng một đoạn hoặc xanh hoặc đỏ sao cho không có 3 đoạn nào tạo nên một tam giác cùng một màu. 1. Chứng minh rằng: a. Tại mỗi điểm có vừa đúng hai cạnh xanh và hai cạnh đỏ. b. Các đoạn đỏ tạo nên một đường kín đi qua tất cả 5 điểm đã cho (các cạnh xanh cũng thế). Trang 6 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 2. Phải nối năm điểm đã cho bằng các đoạn xanh và đỏ như thế nào để các điều kiện bài toán được thỏa mãn? Đề 22 Bài 1: Tìm các số nguyên tố dạng 172 n 1994 + (n ∈ N) Biểu diễn được dưới dạng hiệu các lập phương của hai số tự nhiên. Bài 2: Các số dương x, y, z liên hệ bởi hệ thức xy + xz + yz = 1. Tính giá trò biểu thức: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 22 2 22 2 22 z1 y1x1 z y1 z1x1 y x1 z1y1 xA + ++ + + ++ + + ++ = Bài 3: Hai động tử chuyển động phát xuất từ A và B trên hai đường thẳng giao nhau tại ) với cùng một vận tốc không đổi. Chứng minh rằng trên mặt phẳng có một điểm cố đònh M mà tại mọi thời điểm bất kì nó cách đều A và B. Bài 4: Hai người cùng chơi một trò chơi như sau: trước mặt họ có một đóng sỏi. Mỗi người đến lượt mình được bóc nhiều nhất 19 hòn sỏi và ít nhất là 5 hòn sỏi. Ai bốc đước hòn sỏi cuối cùng là thắng cuộc. Hỏi người đi trước hay người đi sau chắc chắn thắng? và chơi như thế nào? Biết : a. Đống sỏi co 1890 hòn sỏi. b. Đống sỏi có 1200 hòn sỏi. Đề 23 Bài 1: Chứng minh rằng số N bằng tổng bình phương của 1995 số nguyên thì số 1995 N bằng tổng bình phương của 1995 . 997 + 1 số nguyên. Bài 2: Giải phương trình sau: ( ) ( ) 0x642x2xx202x2x 4 2 22 4 2 =++−−+− . Bài 3: Từ giao điểm O của các đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ các đường vuông góc với BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Kẽ các đường vuông góc với BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Kẻ BB 1 , AA 1 vuông góc với OA, OB ( A 1 ∈ OA ; B 1 ∈ OB). Chứng minh A 1 , B 1 , D, E thẳng hàng. Bài 4: Các cạnh của một đa giác tùy ý được sơn từ phía ngoài. Kẻ một số đường chéo của đa giác. Mỗi đường chéo đó cũng được sơn một phía, tức là từ một phía của đoạn thẳng kẻ một dải màu hẹp. Chứng minh rằng ít nhất là một đa giác do các đường chéo chia đa giác ban đầu, được sơn hoàn toàn từ phía ngoài ( cho phép tại đỉnh đa giác sơn đi vào phía trong). Đề 24 Bài 1: Cho m, n ∈ N thỏa mãn: 1992 1 . 3 1 2 1 1 n m ++++= Chứng minh rằng m chia hết cho 1993. Bài 2: Giải phương trình: ( )( ) 2y4y3x2x 2 1 y2x 2 y 2 x 22 22 −+−++=+++− Bài 3: Cho tứ giác ABCD có A + C = 180 0 . Chứng minh rằng : AB.DC + AD.BC = BD. AC. Trang 7 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 4: Trên mặt phẳng có 1994 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Người ta tô xanh 996 điểm tùy ý, còn lại tô đỏ. Hỏi có thể tìm được 996 điểm để tô vàng sao cho mỗi điểm vàng là trung điểm của một và chỉ một đoạn thẳng nối một điểm xanh với một điểm đỏ không, tại sao? Đề 25 Bài 1: a. Chứng minh rằng hệ phương trình sau vô nghiệm nguyên :      = =+ 1994 1994519 1993xy 1995yx . b. Cho 2n số tự nhiên liên tiếp 1, 2, ., 2n và dãy a 1 , a 2 , . , a n là một hoán vò của nó có Q 1 = 1. Chứng minh rằng tồn tại i ≠j sao cho jaia ji −=− . Bài 2: Chứng minh rằng 410x6x34x6x 22 ≤+−−+− Bài 3: Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm di động trên hai tia Bx và Cy (Bx và Cy lần lượt là tia đối của BA và CA) sao cho BM = CN. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN. Bài 4: Trong một hình tròn có diện tích bằng 1, ta lấy 1995 điểm bất kì. Chứng minh rằng ít nhất có ba điểm tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 0,0011 Đề 26 Bài 1: a. Tìm tất cả các số nguyên n để 7nn2n2n 234 ++++ là số chính phương. b. Cho a, b, c > 0 và 1cba ≤++ . Chứng minh rằng 9 ab2c 1 ac2b 1 bc2a 1 222 ≥ + + + + + . Bài 2: Cho a là tổng các chữ số của ( ) 1945 9 2 ; b là tổng các chữ số của a. Tìm tổng các chữ số của b. Bài 3: Cho tam giác ABC. Giả sử đường phân giác trong và ngoài của A cắt đường thẳng BC tại D và K tương ứng. Chứng minh rằng nếu AD = AL thì 222 R4ACAB =+ trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 4: Trong mặt phẳng kẻ 1992 đường thẳng sao cho không có 2 đường nào song song và không có 3 đường nào đồng quy. Tam giác tạo bởi 3 đường thẳng trong số các đường thẳng đã cho gọi là “tam giác xanh” nếu nó không bò đường nào trong số các đường thẳng còn lại cắt. a. Chứng minh rằng số tam giác xanh không ít hơn 664. b. Chứng minh kết luận mạnh hơn : số tam giác xanh không ít hơn 1328. Bài 5: Có 41 thành phố được nối với nhau bằng các đường chỉ đi được một chiều. Biết rằng từ mỗi thành phố có đúng 16 đường đến thành phố khác và đúng 16 đường từ các thành phố khác đến nó. Giữa hai thành phố bất kì A dđều có thể đi đến một thành phố bất kỳ B mà chỉ qua nhiều nhất hai thành phố trung gian. Trang 8 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Đề 27 Bài 1: Hãy chứng minh rằng số 778777776 778777776 ++ không chia hết cho 3. Bài 2: Chứng minh rằng phương trình : 1 y 1 xy 1 x 1 22 =++ không có nghiệm nguyên dương đối với x và y. Bài 3: Có bốn quả cầu khối lượng là 101g, 102g, 103g, 104g. Dùng một chiếc cân đóa, chỉ bằng hai lần cân hãy xác đònh khối lượng từng quả cầu. ( Mỗi lần cân là một làn đặt vật cần cân lên hai đóa cân, thêm hay bớt đi những quả cân thích hợp để điều chỉnh cho kim cân ở vò trí cân bằng). Bài 4: Tính diện tích của tam giác ABC biết ba đường cao của tam giác đó có độ dài lần lượt là 12 cm, 15cm, 20 cm. Bài 5: Trên cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm M, N, P tương ứng sao cho: k PB AP NA CN MC BM === (trong đó k là số đã cho thỏa mãn điều kiện k > 0 và k ≠ 1) và kẻ các đoạn AM, BN, CP. Hãy tính diện tích của tam giác tạo nên bởi các đường thẳng AM, BN, CP biết rằng diện tích tam giác ABC bằng S cho trước. Đề 28 Bài 1: a. Chứng minh số ( ) 19 .992A 19921993 ++++= không phải là số chính phương. b. Tìm số tự nhiên z biết rằng nếu ta bỏ đi 3 chữ số cuối cùng của z thì sẽ được căn bậc 3 của z. Bài 2: a. Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 01pxx 2 =+− , trong đó p là một số nguyên lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì tổng n 2 n 1n xxS += bao giờ cũng là một số nguyên và không chia hết cho p –1. b. Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) ( ) 0bd8acccaa >−+−+− thì hai phương trình 0baxx 2 =++ và 0dcxx 2 =++− có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: Cho góc xAy và một điểm M chuyển động trong góc đó sao cho: MH + MK = 1 (1 là độ dài cho trước) trong đó H, K là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống Ax và Ay. Hãy chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHK đi qua một điểm cố đònh thứ 2 khác A. Bài 4: Một hôm bạn Việt lấy 4 màu : xanh, đỏ, tím, vàng để tô các cạnh của hai hình vuông bằng nhau sao cho : a. Trong mỗi hình vuông, các cạnh đôi một khác màu. b. Khi chồng khít vuông đó lên nhau bao giờ cũng có ít nhất một cặp cạnh cùng màu chồng khít nhau. Hỏi bạn Việt có thể thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện (a) và (b) hay không , tại sao? Đề 29 Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng các ước số của số p 4 là một số chính phương. Trang 9 Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 2: Chứng minh rằng nếu P(x) là một đa thức với hệ số nguyên, thêm vào đó P(0) và P(1) là các số lẻ thì đa thức P(x) không thể có nghiệm số nguyên. Bài 3: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 224 4 2 1xxx6x51xx +−=++− Bài 4: Cho tam giác ABC cố đònh; xét các hình chữ nhật có hai đỉnh ở trên cạnh BC của tam giác và hai đỉnh kia ở trên hai cạnh còn lại của tam giác. a. Tìm tập hợp các tâm của các hình chữ nhật. b. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Bài 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H; P là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (ABC) (với P khác A, B, C). Gọi N, L, M là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng chứa có cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng đường thẳng MNL ( đường thẳng SIMSON) đi qua trung điểm của PH. Đề 30 Bài 1: Trên màn hình có 15 viên bi màu xanh, 17 viên bi màu đỏ, 22 viên bi màu vàng. Một học sinh điều khiển các viên bi đi theo luật trò chơi sau đây: cho hai viên bi khác màu chạm nhau thì cả hai đổi sang cùng màu thứ ba ( chỉ trong các màu trên : xanh, đỏ, vàng). Hỏi có khả năng nào để học sinh ấy chuyển toàn bộ các viên bi trên màn hình sang cùng màu. Bài 2: Giải hệ phương trình: với 4 ẩn x, y, z, t:          =+ =+ = =+++ 18 5 t 1 z 1 12 7 y 1 x 1 648xyzt 22tzyx Bài 3: Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) : 3x4xy 2 −+−= và đường thẳng (D) : 4x + 2y –17 = 0. 1. Vẽ (P) và (D). 2. Tìm vò trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. Bài 4: Cho hình vuông ABCD; I là một điểm bất kỳ trên cạnh AB (I khác A và B). Tia DI cắt CB tại E. Đường thẳng CI cắt AE tại M. Chứng minh DE vuông góc với BM. Bài 5: Cho 3 đường tròn có bán kính R, R 1 , R 2 tiếp xúc ngoài lẫn nhau đôi một và cùng tiếp xúc với một đường thẳng, trong đó R là bán kính có độ dài nhỏ nhất. Tìm giá trò nhỏ nhất của tích R 1 , R 2 theo độ dài cho trước R. Đề 31 Bài 1: a. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 1820y13x7 22 =+ b. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng của tất cả các ước số tự nhiên của số 4 p là một số chính phương. Bài 2: Trang 10 [...].. .Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng a Cho biểu thức S = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd trong đó ad – bc = 1 1 Chứng minh S ≥ 3 2 Tính giá trò của tổng ( a + c) 2 + ( b + d ) 2 khi cho biết S = 3 b Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây: xy yz zx x2 + y2 + z2 ( trong đó a, b, c là các số cho trước) + + = 2 ay + bx bz + cy xc + za a + b 2 + c 2 Bài 3: Cho tam giác . để: ( ) 43A 61n6m3 2 += −+ là số nguyên tố. Bài 2: Giải phương trình : ( )( ) ( )( )( ) 42x13x20x9x12x11x31x11x30x11x36 22222 ++++++=++++ Bài 3: Cho đường. hằng số: !n 2n . !4 11 !3 7 !2 2 !n 2n A 2 n − +++++ + = Bài 2: Giải phương trình sau: ( ) ( ) 11x91x31x3 3 2 3 2 3 2 =−+−++ Bài 3: Cho đường tròn tâm O