Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Đề thi số 1 Bài 1: (2 điểm) a. Giải hệ phương trình: =− =+ 1 y 3 x 4 xy5y6x6 b. Rút gọn: 33 27 847 6 27 847 6 −++ . Bài 2: (1,5 điểm) Cho Parabol (P): y= –x 2 và đường thẳng (D): y=2x +m. Với m là tham số. a. Vẽ đồ thò Parabol (P) : y= –x 2 . b. Tìm m để (P) và (D) tiếp xúc. Tính toạ độ tiếp điểm của (P) và (D) trong trường hợp này. Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình ( ) 03aax2x 2 =+−− . Tìm tất cả các giá trò nguyên của a sao cho phương trình có nghiệm nguyên. Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác với các trung tuyến, phân giác, đường cao dựng từ một đỉnh chia góc ở đỉnh đó thành 4 phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác? Bài 5: (1,5 điểm) Cho ba đường tròn (O;R) ; (O 1 ;R 1 ) ; (O 2 ; R 2 ) cùng tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc với nhau từng đôi một. Nếu R là bán kính của đường tròn nhỏ nhất thì 21 R 1 R 1 R 1 += . Bài 6: (2 điểm) 1. Cho hàm số ( ) 2 x1 x xf + = . Tính f(f(x)) ; f(f(f(x))). Từ đó suy ra f(f(f(…f(x)))…) với 2004 chữ f. 2. Cho a, b ∈ R, a > 0. Chứng minh rằng tồn tại hàm số y = f(x), x ∈ R sao cho f(f(x)) = ax +b. Trang 1Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Đề thi số 2: Bài 1: (2 điểm) Giải hệ phương trình: a. 0) z y, x, với( 2 3 xz xz 5 12 zy yz 3 4 yx xy ≠ = + = + = + b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++ =+++ =+++ 24zyxxz 30zyxzy 18zyxyx Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: 5y16x3y2yxx41x4 4222 +−−=−−++++− Bài 3: (1,5 điểm) a. Hãy xác đònh hàm số y = f(x) với x ∈ R, Biết rằng f(x–1)=x 2 – 3x + 3. b. Chứng minh rằng đồ thò hàm số y = mx + m – 1 luôn luôn đi qua một điểm cố đònh với bất kỳ giá trò nào của m ∈ R. Bài 4: (2 điểm) Cho phương trình: ( ) ( ) 1 2mmx1mx 22 −+−−− a. Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm số trái dấu với mọi giá trò của m ∈ R. b. Tìm m để 2 2 2 1 xx + đạt giá trò nhỏ nhất. Tính giá trò nhỏ nhất đó. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, gọi O là tâm của một đường tròn tiếp xúc với AB; AC, O nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng một đoạn thẳng EF có hai đầu mút nằm trên cạnh AB; AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) khi và chỉ khi 4 BC CF.BE 2 = . Bài 6: (1,5 điểm) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến AB; AC với đường tròn. Vẽ cát tuyến AEF; từ E kẻ đường vuông góc với OB cắt BC và BF tại M và N. Chứng minh EM = MN. Đề thi số 3 Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức sau: a. 24923013 +++ ; b. 322 32 322 32 −− − + ++ + Bài 2: (1,5 điểm) Trang 2 Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng a. Giả sử x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình: x 2 – 3x + 1 = 0. Hãy lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của phương trình đó là 1x x ; 1x x 1 2 2 1 ++ . b. Cho phương trình: ( ) .09m8x2m4x4 2 =++++ Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn: ( ) 21 21 xx 2 1 x 1 x 1 +=+ Bài 3: (1,5 điểm) a. Cho 3 số a, b, c thỏa điều kiện 1cba 222 =++ . Chứng minh rằng 31cabcabcba +≤+++++ . b. Cho biểu thức: 1x2y3xy2xA +−+−= . Tìm giá trò nhỏ nhất mà A có thể đạt được. Bài 4: (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A, B. Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax, By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp được. b. Chứng minh AI.BK = AC.CB. c. Chứng minh tam giác APB vuông. d. Giả sử A, B, I cố đònh. Hãy xác đònh vò trí của điểm C sao cho hình thang vuông ABKI có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là trung điểm BC. AD là đường cao. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. Bài 6: (1,5 điểm) a. Tìm số có hai chữ số mà số ấy là bội của tính hai chữ số của chính nó. b. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 và độ dài các đường cao là các số nguyên thì tam giác ABC là tam giác đều. Đề thi số 4: Bài 1: (1,5 điểm) Giải phương trình: x 14 x 5 3 3 x 5 − − − = + − Bài 2: (1,5 điểm) Tìm mọi số thực x, y, z thoả phương trình: x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = − + − + − Bài 3: (2 điểm) Cho Parabol ( ) 2 x P : y 4 = và đường thẳng ( ) D : y ax b= + qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (P) của hàm số trên. b. Viết phương trình của (D) . c. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng với hoành độ [ ] x 2,4∈ − ) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Trang 3 Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 4: (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O; vẽ đường thẳng (d) quay quanh O, cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại E và F (E và F không trùng với các đỉnh hình vuông). Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với DB và AC; chúng cắt nhau tại I. a. Tìm tập hợp điểm I. b. Từ I vẽ đường vuông góc với EF tại H. chứng tỏ H thuộc về một đường cố đònh và đường thẳng IH đi qua một điểm cố đònh. Bài 5: (1,5 điểm) Tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O; R) cho trước. Bài 6: (2 điểm) a. Tìm một số có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng tích các chữ số. b. Tìm một số có ba chữ số biết tổng các chữ số bằng tích các chữ số. Đề thi số 5: Bài 1: (2,5 điểm) Cho Parabol ( ) 2 x P : y 4 = − và điểm M (1; – 2 ) a. Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc m. b. Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi. c. Gọi x A , x B lần lượt là hoành độ của A, B. Xác đònh m để 2 2 A B A B x x x x+ đạt giá trò nhỏ nhất. Tính giá trò đó. d. Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA’B’B. Tính S theo m. Xác đònh m để ( ) 2 2 S 4 8 m m m 2= + + + Bài 2: (2 điểm) BC là một dây cung của đường tròn tâm O bán kính R ( BC 2R≠ ). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng qui tại H. a. Chứng minh rằng AEF∆ đồng dạng với ABC∆ . b. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh: AH = 2 A’O. c. Gọi A 1 là trung điểm của EF. Chứng minh : 1 R.AA AA'.OA '= d. Chứng minh ( ) ABC R. EF FD DE 2S+ + = . Suy ra vò trí của A để tổng EF FD DE+ + đạt giá trò lớn nhất. Bài 3: (1 điểm) Tính độ dài đường chéo của ngũ giác đều cạnh a. Bài 4: (1,5 điểm) Giả sử phương trình 2 ax bx c 0+ + = có hai nghiệm phân biệt làx 1 và x 2 . Đặt: a. Chứng minh n 2 n 1 n aS bS cS 0 + + + + = b. p dụng tính: 5 5 1 5 1 5 A 2 2 + − = + ÷ ÷ ÷ ÷ Trang 4 Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 5: (1,5 điểm) a. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 A x x 1 x x 1= + + + − + b. Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1. tìm giá trò lớn nhất của M = xy + yz + zx Bài 6: (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho tổng của mỗi số với 1thì chia hết cho số kia. Đề thi số 6: Bài 1: (1,5 điểm) Chứng minh tồn tại duy nhất một cặp số (x, y) thỏa phương trình: 2 x 4x y 6 y 13 0− + − + = Bài 2: (2 điểm) a. Giải phương trình: x 1 2 x 2 7 x 6 x 2 2− + − + + + − = b. Gọi a, b là nghiệm của phương trình 2 x px 1 0+ + = và b, c là nghiệm của phương trình 2 x qx 2 0+ + = . Chứng minh hệ thức: ( ) ( ) b a b c pq 6− − = − Bài 3: (1,5 điểm) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (P) của hàm số 2 x y 2 = b. Đònh m để đường thẳng ( ) m D : y mx 1 2 = − − tiếp xúc với (P). c. Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố đònh khi m thay đổi. Bài 4: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(– 2; 1) và B(2; 3). Tìm trên trục hoành toạ độ điểm M sao cho MA + MB bé nhất. Bài 5: (2 điểm) a. Hãy dựng hình bình hanh khi biết trung điểm của ba cạnh của nó. b. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). các đường cao AA’; BB’ cắt đường tròn (O) tại I và K. chứng minh rằng nếu A’I = B’K thì tam giác ABC cân. Bài 6: (1,5 điểm) Cho các số a, b, c không đồng thời bằng 0 thoả mãn 2 2 2 a b c 2+ + = và ab bc ca 1+ + = . Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của a, b, c. Đề thi số 7: Bài 1: (1,5 điểm) a. Rút gọn biểu thức: A x 2 x 1 x 2 x 1= + − + − − b. Tìm x, y biết rằng: 2 2 5x 5y 8xy 2x 2y 2 0+ + + − + = Bài 2: (2 điểm) Cho phương trình: 2 x mx n 0+ + = a. Tìm m, n biết rằng phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa 2 2 1 2 x x+ 1 2 3 3 1 2 x x 1 x x 7 − = − = Trang 5 Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng b. Cho biết n = m – 2. Tìm m, n để đạt giá trò nhỏ nhất. Bài 3: (1,5 điểm) Cho hàm số 2 y ax= có đồ thò (P) trong mặt phẳng toạ độ Oxy. a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi 1 a 4 = b. Tìm a trong trường hợp đồ thò (P) của hàm số 2 y ax= tiếp xúc với đường thẳng d có hệ số góc bằng 1 tại điểm có hoành độ bằng 2. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). lấy một điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ AB. a. Tìm vò trí của M để MA + MB lớn nhất. b. Kéo dài AM về phía ngoài (O) một đoạn MN = MB. Tìm tập hợp điểm N khi M chạy trên cung nhỏ AB. Bài 5: (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a; (d) là đường thẳng tuỳ ý đi qua tâm O của hình vuông. Chứng minh rằng tổng của bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến d là một hằng số. Bài 6: (1,5 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình x 2 2 1 y+ = Đề thi số 8: Bài 1: (1,5 điểm) Cho phương trình 2 x px q 0+ + = . Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 1 2 3 3 1 2 x x 5 x x 35 − = − = Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) y x 1 x 2 x 3 x 4= + + + + a. Tìm giá trò nhỏ nhất của y. b. Giải phương trình y = 3 Bài 3: (1,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn điều kiện a b c 0 ab bc ca 0 + + = + + = . tính giá trò của biểu thức: ( ) ( ) 1999 2001 2000 T a 1 b c 1= − + + + Bài 4: (2 điểm) a. Chứng minh: 2 2 2 x y z xy yz zx+ + ≥ + + với mọi số thực x, y,z. b. Chứng minh: nếu có x y z 1+ + = thì 2 2 2 1 x y z 3 + + ≥ Bài 5: (1,5 điểm) Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Giả sử bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác OAB, OBC và OCA bằng nhau. Chứng minh rằng khi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì tam giác ấy là tam giác đều. Trang 6 Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 6: (1,5 điểm) a. Chứng minh rằng: “Nếu a và b là hai số lẻ thì 3 3 n a b 2− M khi và chỉ khi n a b 2− M ” b. Chứng minh rằng: với mọi n thì n 4 15n 1 9+ − M Đề thi số 9: Bài 1: (2 điểm) a. Giải phương trình: x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + − + − − − = b. Giải hệ phương trình: 2 2 2 xy 2y 3x 0 y x y 2x 0 3 − + = + + = Bài 2: (1,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ hai bán kính OC, OD vuông góc với nhau (điểm X nằm trên cung AD). Gọi C’; D’ lần lượt là hình chiếu của C, D trên AB. a. Chứng tỏ rằng giao điểm P của hai đường phân giác của hai góc OCC’ và ODD’ là một điểm cố đònh. b. Gọi I là giao điểm của BC và DF. Tìm tập hợp điểm I khi C di động. Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy C’; A’; B’ tương ứng sao cho: AC' C'B= ; BA' 1 A'C 2 = ; CB' 1 B'A 3 = . Giả sử AA’ cắt BB’ ở M, BB’ cắt CC’ ở N và cắt AA’ ở P. tính diện tích tam giác MNP theo S. Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn. Lấy một điểm D trên cung BC (không chứa A) của đường tròn đó. Hạ DH vuông góc với BC, DI vuông góc với CA và DK vuông góc với AB. Chứng minh rằng: BC AC AB DH DI DK = + Bài 5: (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 2n + 1 chia hết cho m. Bài 6: (1,5 điểm) Tính kích thước của một hình chữ nhật khi số đo của chu vi bằng số đo diện tích của nó. Đề thi số 10: Bài 1: (1,5 điểm) Tìm các giá trò của a để hệ phương trình sau đây vô nghiệm x ay 1 ax 3ay 2a 3 + = − = + Bài 2: (2 điểm) Cho: y f(x) x 2 x 1 x 2 x 1= = + − + − − a. Giải phương trình f(x) = 2 b. Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = f(x) Bài 3: (1,5 điểm) Trang 7 Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Tìm các giá trò của m để phương trình sau đây có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m: 2 x x 2x m 0+ − + = Bài 4: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy một điểm C cố đònh nằm ngoài đoạn AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF đến đường tròn đã cho E và F là hai tiếp điểm. Gọi I là giao điểm của AB và EF. Qua C kẻ cát tuyến tuỳ ý cắt đường tròn tại M và N. Chứng minh: · · AIM BIN= Bài 5: (1,5 điểm) Trên dây AB của đường tròn (O) ta lấy một điểm C. Gọi D là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC. Chứng minh CB = CD. Bài 6: (1,5 điểm) Chứng minh rằng nếu bốn số dương a, b, c, d thoả mãn hai trong ba hệ thức sau đây thì cũng thoả mãn hệ thức còn lại: a c b d = (1) 2 2 2 a b c= + (2) 2 2 2 111 d b c = + (3) Đề thi số 11: Bài 1: (1,5 điểm) a. Giải phương trình: 2 1 2x x 1− = − b. Tính: 13 160 53 4 90− − + Bài 2: (2 điểm) Cho (P) là đồ thò hàm số y = ax và điểm A( – 2;– 1 ) trong cùng một hệ trục. a. Tìm a sao cho A (P)∈ ; vẽ (P) với giá trò a tìm được. b. Gọi B (P)∈ có hoành độ là 4. viết phương trình đường thẳng AB. c. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB. Bài 3: (2 điểm) Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố đònh không đi qua tâm. A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. a. Chứng tỏ rằng A chỉ thuộc một cung A 1 A 2 chỉ rõ A 1 ; A 2 là điểm nào trên hình vẽ. b. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC khi A di động trên cung A 1 A 2 . c. Đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (0) cắt hai cạnh AB và AC tại E và F. Chứng tỏ B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. d. Tìm vò trí của A để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn(O). Một đường tròn thứ hai đi qua A, B, O và tiếp xúc với AC tại A. chứng minh tam giác ABC cân tại A. Bài 5: (1,5 điểm) Trang 8 Luyệnthi vào 10Chuyên Toán ––ooO Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Cho phương trình 2 y my p 0+ + = có hai nghiệm số là y 1 và y 2 . Tìm m và p khi 111 y+ và 2 11 y+ cũng là nghiệm của phương trình này. Bài 6: (1,5 điểm) Tổng các chữ số của một số có hai chữ số cộng với bình phương của tổng hai chữ số ấy cho ta chính số ấy. Tìm số đã cho. Đề thi số 12: Bài 1: (1,5 điểm) a. So sánh hai số: a 1999 2001= + ; b 2 2000= b. Giải phương trình 11 x x 1 x x = − + − Bài 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 2x my 3 mx 3y 4 − = − + = a. Giải hệ phương trình khi m = 2. b. Với giá trò nguyên nào của m thì nghiệm của hệ thỏa x < 0 và y > O. Bài 3: (2 điểm) Cho parabol (P): 2 1 y x 2 = − và đường thẳng (D): 2y – 1 = 0. a. Vẽ (P) và (D). b. Cho điểm 0 M (D)∈ có hoành độ x 0 . Viết phương trình tương đương đường thẳng (d) qua M 0 có hệ số góc k. c. Chứng tỏ rằng qua M 0 có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (P) và hai tiếp tuyến ấy không vuông góc nhau. Bài 4: (1,5 điểm) Tìm giá trò nhỏ nhất của ( ) ( ) 2 2 y x 2000 x 2001= − + − Bài 5: (1,5 điểm) Cho điểm M trên đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng 2R. Kẻ đường phân giác OD trong tam giác OAM. Qua D kẻ đường thẳng song song với OM cắt OA tại I a. Tính tỉ số IA IO và độ dài IO theo R. b. Tìm tập hợp điểm D khi M di động trên (O; R) Bài 6: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với H là trực tâm tam giác ABC. M là một điểm ở trong tam giác. Chứng minh MA.BC MB.CA MC.AB HA.BC HB.CA HC.AB+ + ≥ + + Trang 9 . 2 2 2 a b c= + (2) 2 2 2 1 1 1 d b c = + (3) Đề thi số 11 : Bài 1: (1, 5 điểm) a. Giải phương trình: 2 1 2x x 1 = − b. Tính: 13 16 0 53 4 90− − + Bài 2: (2. rằng phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa 2 2 1 2 x x+ 1 2 3 3 1 2 x x 1 x x 7 − = − = Trang 5 Luyện thi vào 10 Chuyên Toán ––ooO Ooo––