HUYỉNH ẹệC KHANH LP CC BI TON S DNG TNH CHT HèNH HC PHNG VO HèNH HC Oxy QUY NHN - 2015 Lời nói đầu Những năm gần đề tuyển sinh Đại học Bộ giáo dục, câu hình học Oxy thờng gây khó dễ cho học sinh không mang tính truyền thống nh xa Nó phát triển nhờ vận dụng hình học phẳng để chứng minh tính chất hình học giải đợc toán Đặc biệt đề thi khối D năm 2014, điều nói lên đợc phá cách nghiên cứu giáo dục Nó đòi hỏi ngời dạy ngời học nhìn nhận vấn đề tổng quát hơn, kiến thức sâu lớp dới cho toán hình học phẳng, đề đặt sẵn câu hỏi cần chứng minh Trong Hình học Oxy không nh mà đòi hỏi ta phải phát đợc vấn đề, chứng minh vấn đề cuối sử dụng Ví dụ (trích đề thi Khối D năm 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đờng phân giác góc A điểm D (1; 1) Đờng thẳng AB có phơng trình x + y = , tiếp tuyến A đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phơng trình x + y = Viết phơng trình đờng thẳng BC x + y = x = Lời giải Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ A (1;3) x + y = y = Gọi tiếp tuyến A đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC E giao điểm với đờng thẳng BC (do AD không vuông góc với nên E tồn ta giả sử EB < EC ) Ta có EAB = ACB (cùng sd AB ); BAD = DAC (do AD phân giác) A Suy EAD = EAB + BAD = ACB + DAC = ADE Do đó, tam giác ADE cân E nên E thuộc đờng trung trực đoạn AD Phơng trình đờng trung trực đoạn AD là: y = x + y = x = Tọa độ điểm E thỏa mãn hệ E (5;1) y = y = E B D Đờng thẳng BC qua E có VTCP DE = (4;2) nên có phơng trình BC : x y = C A TAM GIAC Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , đỉnh B (4;1) phơng trình cạnh AC : x y 17 = Trên BC lấy điểm E cho BC = BE , từ E kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC M N ( M khác A phía so với BC ) Đờng trung trực đoạn AM cắt AN K Tìm tọa độ điểm C , biết NK = 10 Sáng tác Huỳnh Đức Khánh Phân tích Tam giác ABC vuông A , có đỉnh B phơng trình cạnh AC nên ta hoàn toàn tìm đợc tọa độ điểm A Do C thuộc phơng trình cạnh AC nên để tìm tọa độ điểm C ta cần thêm kiện C thuộc đờng C cách điểm cố định khoảng cho trớc Để ý thấy toán cho khoảng cách NK = 10 điểm A cố định nên chắn ta theo hớng thứ hai Lời giải Tam giác BMI cân I có ME vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến nên tam giác BMI Suy MAK = MIN = 600 Do tam giác MAK nên MA = MK (1) Hơn nữa, tam giác CMN nên MC = MN (2) Lại có AMC = KMN (3) (do cộng góc CMK 600 ) Từ (1) , (2) (3) suy AMC = KMN A M K B C E I nên AC = NK = 10 Đờng thẳng AB qua B vuông góc với AC nên có phơng trình x + y + = x y 17 = Tọa độ điểm A thỏa mãn A (5; 2) x + y + = Do C thuộc AC nên C ( c;3c 17) N Từ AC = 10 ( c 5) + (3c 15) = 10 c = c = Với c = , ta đợc C (4; 5) Với c = , ta đợc C (6;1) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , đỉnh B (4;1) Trên BC lấy điểm M cho BM = AC Qua M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt phân giác góc C ( ) ( ) I , đờng thẳng AI cắt BC N 5;1 Tìm tọa độ đỉnh A , biết M 5;1 đờng thẳng AC qua điểm E (5;3) Sáng tác Huỳnh Đức Khánh Phân tích Thờng toán cho phân giác ta nghĩ đến lấy đối xứng Nhng đề không cho phơng trình đờng phân giác nên ta dự đoán chứng minh tính chất hình học Để ý thấy toán lại cho BM = AC ta chắn chứng minh tính chất hình học phẳng giải đợc toán Lời giải Tam giác ACN có CI phân giác nên Tam giác ABN có MI AB nên CA IA = CN IN IA MB = IN MN (1) (2) CA MB = CN MN Mà BM = AC nên suy CN = MN hay N trung điểm MC Do C (6;1) Từ (1) (2) , suy A E Đờng thẳng AC qua hai điểm C E nên có phơng trình x y + 13 = Đờng thẳng AB qua B vuông góc với AC nên có phơng trình x + y = I B C Do A = AB AC nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ x y + 13 = A (4;5) x + y = M N Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , đỉnh C (4; 3) , M trung điểm BC Kẻ tia Mx vuông góc với BC (tia Mx A nằm khác phía BC ) Trên tia Mx lấy điểm E cho ME = MB Tìm tọa độ đỉnh B , biết AE = , đờng thẳng AE có phơng trình x y = đỉnh A có hoành độ âm Sáng tác Huỳnh Đức Khánh Phân tích Bài toán cho tọa độ điểm C phơng trình AE nên ta tìm mối liên hệ Lời giải Vì M trung điểm cạnh huyền BC tam giác vuông ABC nên MA = MB = MC Hơn nữa, ta lại có ME = MB Do tứ giác ABEC nội tiếp đờng tròn tâm M , đờng kính BC B Theo giả thiết ME BC nên suy tam giác BEC vuông cân E Ta có sd EC = EMC = 900 , suy EAC = sd EC = 450 E Gọi n AC = ( a; b) với a2 + b2 VTPT đờng thẳng AC ( Ta có cos 450 = cos ( AE, AC) = cos n AC , n AE ) M a = ab = b = 2 a2 + b2 A C Với a = , chọn b = Suy phơng trình AC : y + = x y = Do tọa độ điểm A thỏa mãn A (2; 3) y + = Đờng thẳng AB qua A (2; 3) có VTPT AC = (6;0) nên AB : x + = p dụng định lí hàm số cosin tam giác AEC , ta có EC = AE + AC AE AC cos 450 = Vì B thuộc AB nên B (2; b) Tam giác BEC vuông cân E nên suy B (2;5) b = BC = EC = 10 36 + (3 b) = 100 b = 11 B (2; 11) Do B C khác phía so với AE nên ta chọn B (2;5) Với b = , chọn a = Suy phơng trình AC : x = x y = Do tọa độ điểm A thỏa mãn A (4;3) : không thỏa mãn x = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông C ( AC > BC) , nội tiếp đờng tròn tâm I (2; 2) Gọi D điểm cung AB ( C D phía so với AB ) Trên tia AC lấy điểm M cho AM = BC Từ B kẻ đờng thẳng song song với CD cắt đờng tròn E Giả sử M (0; 1) , AE = đỉnh C có hoành độ dơng, tung độ Tìm tọa độ đỉnh A B Sáng tác Huỳnh Đức Khánh Phân tích Nếu nh ta tìm đợc tọa độ điểm C toán hoàn toàn đơn giản Giả thiết cho C ( x;1) , tọa độ hai điểm M (0; 1) I (2; 2) Điều định hớng cho ta xem ba điểm có mối quan hệ không? Cũng từ giả thiết cho khoảng cách AE = nên ta mạnh dạn tìm mối quan hệ khoảng D cách từ C đến M đến I đến đờng thẳng MI E Lời giải Do BE CD nên sd ED = sdCB ED = BC Ta có EAC = sd ED + sd DC 1 = sdCB + sd DC = sd DB = 450 2 Lại có DCA = sd AD = 450 Từ (1) (2) , suy ED AM ( ( ) ) C M (1) A (2) Hơn ED = AM (do BC ) Do tứ giác AEDM hình bình hành nên suy DM = AE = B I DCM = DCA = 450 Tam giác MDC có nên tam giác vuông cân, suy MC = MD = 10 DMC = EAC = 450 Gọi C ( x;1) với x > Từ MC = 10 x2 + (1 + 1) = 40 x = (loại) x = Với x = , suy C (6;1) Đờng thẳng MC qua hai điểm M (0; 1) C (6;1) nên MC : x y = Đờng thẳng BC qua C (6;1) có VTPT MC = (6;2) nên BC : x + y 19 = Do B thuộc BC nên B (t;19 3t) Vì I trung điểm AB nên A (4 t;3t 23) Ta có A MC nên (4 t) (3t 23) = t = Vậy A (3; 2) , B (7; 2) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc BCA nhọn, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác I (2;1) góc AIB = 900 Chân đờng cao kẻ từ A đến BC D (1; 1) Đờng thẳng AC qua M (1;4) Tìm tọa độ điểm A B , biết điểm A có hoành độ dơng Phân tích Bài toán cho tọa độ ba điểm I , D M nhng biết M thuộc đờng thẳng AC nên ta xét mối quan hệ hai điểm I , D đờng thẳng AC Lời giải Từ giả thiết suy BCA = sd AB = 450 Tam giác vuông ADC có DCA = BCA = 450 nên vuông cân D , suy DA = DC Mà IA = IC nên D I nằm đờng trung trực AC Do DI AC A C M D B I Đờng thẳng AC qua M (1;4) có VTPT ID = (1; 2) nên AC : x y + = Do A AC nên A (2a 9; a) Suy AD = (8 2a; a) Tam giác ADC vuông cân D nên 2 AD = 2.d ( D, AC) (8 a) + (1 a) = 40 a = a = Với a = , suy A (7;1) : không thỏa mãn Với a = , suy A (1;5) Đờng thẳng BD qua D (1; 1) có VTPT AD = (2; 6) nên BD : x + y + = Đờng thẳng BI qua I (2;1) có VTPT AI = (3; 4) nên BI : x + y + = x + y + = Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ B (2; 2) x + y + = Vậy A (1;5) , B (2; 2) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC , G trọng tâm tam giác ABM , D điểm thuộc đoạn MC cho GA = GD Giả sử D (7; 2) đờng thẳng AG có phơng trình x y 13 = Tìm tọa độ đỉnh A B , biết A có hoành độ nhỏ Phân tích Bài toán cho tọa độ điểm D phơng trình đờng thẳng AG nên ta xét mối quan hệ chúng góc khoảng cách Bằng kiện giả thiết ta chứng minh đợc AG GD nên tam giác AGD vuông cân Lời giải Từ giả thiết suy tam giác AMB vuông cân M nên MG đờng trung trực AB , suy GB = GA = GD Do G tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD Suy AGD = ABD = 900 hay AG GD Ta có d ( D, AG) = 3.7 + 13 +1 A = 10 Do A thuộc AG nên A ( a;3a 13) với a < Tam giác AGD vuông cân G nên G AD = 2d ( D, AG ) = (7 a) + (11 3a) = 20 a2 a + 15 = a = (loại) a = N Với a = , suy A (3; 4) Gọi N trung điểm C B M D BM , từ hệ thức AG = 2GN suy N ; 2 5 Đờng thẳng BC qua D (7; 2) có VTCP ND = ; nên BC : x + y = 2 Đờng thẳng AM qua A (3; 4) vuông góc với BC nên AM : x y = x + y = Toa độ điểm M thỏa mãn hệ M (6; 1) x y = Vì N trung điểm BM nên suy B (3;2) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có ACB = 450 Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC , N điểm đối xứng với M qua AC , đờng thẳng BN có phơng trình x y 19 = Biết A (1; 1) , tam giác ABM cân A điểm B có tung độ dơng Tìm toạ độ điểm lại tam giác ABC Phân tích Đề cho tọa độ điểm A (1; 1) đờng thẳng BN : x y 19 = nên ta tìm mối liên hệ hai đối tợng góc khoảng cách Bằng kiện đề cho ta chứng minh đợc tam giác ABN vuông cân A Lời giải Gọi H chân đờng cao xuất phát từ A tam giác ABM Vì tam giác ABM cân A nên BAH = HAM (1) Vì AM AN đối xứng qua AC nên MAC = NAC (2) Mà HAM + MAC = HAC = 1800 AHC + ACH = 450 (3) ( Từ (1) , (2) (3) suy BAN = HAC = 900 ) (*) A Tam giác ABM cân A nên AB = AM Lại có M , N đối xứng qua AC nên AM = AN Do AB = AN (* *) N Từ (*) (* *) , suy tam giác ABN vuông cân A nên AB = 2d ( A, BC) = Do B thuộc BN nên B (b;7b 19) 2 Ta có AB = (b + 1) + (7b 18) = 25 b2 5b + = b = b = Với b = , suy B (2; 5) : không thỏa mãn B Với b = , suy B (3;2) N (2; 5) H M C Vì M , N đối xứng qua AC góc ACB = 450 nên tam giác CMN vuông cân C Suy BC = 2CN Giả sử C ( x; y) , ta có CB ( x 3; y 2) , CN ( x 2; y + 5) ( x 3)( x 2) + ( y 2)( y + 5) = ( x 3)2 + ( y 2)2 = ( x 2)2 + ( y + 5)2 16 Giải hệ phơng trình ta tìm đợc C (5; 4) C ; 5 16 Với C ; , ta thấy A , C phía với BN nên loại 5 CB CN Từ ta có hệ phơng trình CB = 2CN Vậy B (3;2) , C (5; 4) điểm cần tìm Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm I ; Gọi H hình chiếu vuông góc A BC ( H thuộc đoạn BC ) Đờng phân giác góc BAC có 13 phơng trình AD : x + = Tìm tọa độ đỉnh B C , biết H ; B có hoành độ âm 5 Phân tích Bài toán cho tọa độ hai điểm I , H phơng trình phân giác AD Thờng cho phân giác ta nghĩ đến tính lấy đối xứng nhng AD phân giác góc BAC không liên quan đến hai điểm I , H Ta thấy H thuộc đờng AH , I thuộc đờng AI nên ta chứng minh đợc AD phân giác góc tạo hai đờng thẳng AH AI toán đợc giải Lời giải Kéo dài AI cắt đờng tròn điểm thứ hai E Vì AD phân giác góc BAC nên BAD = CAD (1) Ta có CAE = 900 CEA = 900 CBA = BAH (2) A Từ (1) (2) , suy HAD = EAD hay AD phân giác góc HAE Gọi H ' điểm đối xứng H qua AD , suy H ' thuộc AI Đờng thẳng HH ' qua H vuông góc với AD nên có phơng trình y + = Giao điểm J HH ' AD nghiệm y+ =0 hệ J 1; Ta có J trung điểm HH ' x + = I H C J H' B D nên suy H ' ; 5 E Đờng thẳng AI qua hai điểm I ; H ' ; nên có AI : x + y = 5 x + = Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ A (1;3) x + y = 2 845 13 có phơng trình (C) : x + y + = Đờng tròn tâm I ; , bán kính IA = 64 13 16 Đờng thẳng BC qua H ; có VTPT AH = ; nên BC : x + y + = 5 x + y + = x = x = Tọa độ điểm B C thỏa mãn hệ 845 x + y + = y = y = 64 Do B có hoành độ âm nên ta chọn B (3;0) C (3; 3)