HDG HHP OXY POINT p1 (22 10 2015)

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP HÌNH HOC PHẲNG OXY CHỦ ĐỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM BÀI TOÁN (HÌNH THANG) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD (AB song song CD) có diện tích SABCD = 14 Biết tọa độ đỉnh A(0;1), B(2;0) C(3;2) Tìm tọa độ đỉnh D? ■ Đặt vấn đề : Do tọa độ điểm A, B, C đẹp nên có câu hỏi đặt ta có nên « vẽ hình kèm hệ trục tọa độ « vào không ? cần vẽ phác thảo hình thang ABCD ? Cuối bạn có câu trả lời ■ CÁCH 1: giải theo cách không gắn với hệ trục tọa độ (chỉ phác thảo hình) ☺Nhận xét : Điểm D điểm cần tìm, đặt tọa độ D(xD ; yD)  thiết lập PT ẩn giải tìm (xD ; yD) có vội vàng không ? Trong nguyên tắc chung giảm ẩn điểm ta nên thực trước Vậy câu hỏi đặt điểm D có thuộc đường thẳng không để ta thực tham số hóa theo đường thẳng ?  Đó đường thẳng CD (Vì nhận thấy CD qua C(3;2) song song AB) Còn kiện SABCD = 14 cho ta điều ?  Shình thang = SABCD = AH(AB + CD) ☻Ý tưởng: Từ công thức diện tích ta thấy CD độ dài cần tính  liên quan đến D Vậy trước hết ta cần tính AH = ?  Rõ ràng AH đường cao hình thang (nhưng AH khoảng cách từ A đến đường CD  AH = d(A; CD)) Từ ta có sơ đồ tư sau: FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY D  CD  pt CD ?   D(?;?)   CD  ?  S ABCD  AH ( AB  CD)  AH  ?  d[A;CD]  pt CD ? ► Hướng dẫn giải cách 1: * Ta có CD qua C(3 ; 2) nhận AB = (2; -1) làm véctơ phương (VTCP) nên có dạng: x 3 y 2   CD : x  y   D  CD  D(7 - 2d; d) 1 |027| * Vẽ AH  CD H, ta có AH = d [ A; CD]   AB  12  22 23 * Lại có S ABCD  AH ( AB  CD)  CD  CD  (4  2d ; d  2) * CD  23 529 529 529  CD   (4  2d )  ( d  2)   ( d  2)  25 25  33  31 33  23  d  D1  ;  d     5      13  61 13   d   23 d  D2  ;    5  5   46 -23  AB = (2; -1) * Xét CD2 =  ; 5   CD2 = 23 AB (vô lý AB , CD2 phương, ngược hướng)  Loại điểm D2 -46 23 * Xét CD1 =  ;  AB = (2; -1)  5  CD1 = - 23 AB (thỏa yêu cầu toán)  Nhận điểm D1 -31 33 Vậy điểm D thỏa yêu cầu toán D  ;   5 ■ CÁCH 2: Ta vẽ hình kèm hệ trục tọa độ: FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY ☺Nhận xét : Khi vừa vẽ hình xong, ta thấy AB  BC (việc chứng minh không khó, ta cần xét AB BC  0) Nếu lúc công thức tính diện tích ABCD là: SABCD = BC(AB + CD) ta dễ dàng suy CD = 23 ☻Ý tưởng: Tuy vấn đề đặt ta có nên quay lại cách với nhận xét ? Câu trả lời ta CD 23 23 phát AB // CD nên ta có:  CD = AB  Đến chuyện xem  AB giải Mời em xem lời giải ! ► Hướng dẫn giải cách 2: * Ta có: AB = (2; -1) BC = (1; -2) Xét AB BC = - =  AB  BC  Hình thang ABCD vuông B C Và ta có AB = BC = 23 * Mặt khác, SABCD = BC(AB + CD)  CD = * Xét CD 23 23  CD = AB (Do CD AB ngược hướng nhau)  AB 23 31    xD   (2)  xD   31 33     D ;   5   y   23 (1)  y  33 D D 5   -31 33 Vậy điểm D thỏa yêu cầu toán D  ;   5 ■ Lời bình: thông qua việc giải toán ta thấy số ưu điểm kỹ thuật “ chuyển đẳng thức độ dài đẳng thức véctơ ” điển lời giải gọn nhẹ thử lại để loại số trường hợp phát sinh Đặc biệt việc biết kết hợp lồng hệ trục tọa độ vào hình vẽ cho ta nhận xét hữu ích Và giả sử toán với cách giải 2, số em không chuyển đẳng 23 23 thức CD = AB  CD = - AB may mắn có hệ tọa độ trên, bạn đưa hai 5 điểm D1 D2 lên hệ tọa độ để kiểm tra mau chóng phát điểm D2 điểm không thỏa yêu cầu toán phải tìm cách loại BÀI TOÁN (TAM GIÁC CÂN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC vuông cân A(2; 10 2), trọng tâm G( ; ) Tìm tọa độ điểm B C ? 3 FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY ■ Đặt vấn đề: Đề ngắn gọn chứa đựng nhiều thông tin yếu tố “vuông”, “cân” cạnh “trọng tâm” tam giác Nếu gặp yếu tố ta nên khai thác ? Mời bạn xem cách giải sau ■ CÁCH 1: Đặt B( xB; yB) C(xC ; yC) ☺Ý tưởng : với yêu cầu tìm điểm B C, ta đặt tọa độ cần tìm B( xB; yB) C(xC ; yC)  ẩn  Chúng ta cần đến PT  phương trình nào? AB = AC + ABC vuông cân A    2PT AB  AC + G trọng tâm ABC  2PT ► Hướng dẫn giải cách 1:   x  x   xB   xC  x  x  x  3xG  * Do G trọng tâm ABC   A B C  B C  y  y  y  y  10 y  y   A B C G B C   yB   yC   AB  ( xB  2; yB  2)  ( xC ;6  yC ) * Ta có  (chúng ta xem phải lập thêm Pt nữa) AC  ( x  2; y  2)  C C AB2 = AC2 AB = AC (1) * ABC vuông cân A    AB  AC (2)  AB AC =   xC ( xC  2)  (6  yC )( yC  2)   2 2   xC  (6  yC )  ( xC  2)  (yC  2) 2    yC   xC   x  yC  xC  yC  12  5 y  40 yC  75   C  C     yC   xC  1  xC  yC   xC  yC  * Với C(5; 3)  B(-1;3) * Với C(-1; 3)  B(5;3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán C(5; 3) B(-1;3) hay C(-1; 3) B(5;3) ■ CÁCH 2: Gọi M trung điểm BC  AM  BC (do ABC vuông cân A) ☺Ý tưởng : _ Để tìm điểm bất kỳ, ta xét xem điểm có thuộc đường thẳng không ? Dĩ nhiên đường BC (Làm viết phương trình đường BC  Xét thấy BC  AG nên ta có ý tưởng tìm điểm M  BC cách AM  AG _ Đến bạn nghĩ nên “tham số hóa” điểm B C theo đường BC sau trở lại cách làm cách Nhưng bạn ý chút có đường tròn (C) tâm (M; bán kính AM) ngoại tiếp ABC B C tương giao (C) BC Mời em xem lời giải FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY ► Hướng dẫn giải cách 2:  xM   (  2)   xM   3 * Do G trọng tâm ABC  AM  AG     M(1; 4)  yM   y   (2  10 )  M * Phương trình đường BC qua M(1;4) nhận AM = (-1; 2) làm VTPT có dạng là: 1( x  1)  2( y  4)   x  y   * Phương trình đường tròn (C) với tâm M(1; 4), bán kính AM = | AM | = có dạng là: (C) : ( x 1)  (y 4)  2 * Ta có B C giao điểm (C) đường BC nên tọa độ B C nghiệm hệ: x  y    (Việc giải hệ xin dành cho bạn đọc !) 2 ( x  1)  (y  4)   C(5; 3) B(-1;3) hay C(-1; 3) B(5;3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán C(5; 3) B(-1;3) hay C(-1; 3) B(5;3) ■ CÁCH 3: Sử dụng phép biến hình (Phép quay) ► Hướng dẫn giải cách 3:  xM   (  2)   xM   3 * Do G trọng tâm ABC  AM  AG     M(1; 4)  yM   y   (2  10 )  M  x  (x A  x M ).cos( 90 )  (y A  y M ).sin( 90  )  x M * Ta có phép quay Q(M;90 ) : A  B   B    y B  (x A  x M ).sin( 90 )  (y A  y M ).cos( 90 )  y M  x  1  B  B(1;3)  yB  * Do M trung điểm BC  C(5; 3) Do vai trò B C nên ta có B(5;3) C(1;3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán C(5; 3) B(-1;3) hay C(-1; 3) B(5;3) FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY ■ Lời bình: thông qua việc giải toán ta thấy sâu sắc nguyên tắc đặt ẩn Với cách 1, tính khả thi việc đặt ẩn (4 ẩn) thiết lập 4PT đòi hỏi bạn số kỹ giải hệ đại số (chủ yếu rút thế, cộng trừ vế) Điều số bạn chưa làm tốt Trong tư duy, ta chọn đường ngắn nhất, tính toán cồng kềnh để thực Nếu giải câu để bàn cãi, bạn hoàn toàn có đủ thời gian, minh mẫn Nhưng xét thời điểm, làm với câu lại đề thi Quốc gia việc bạn chọn cách giải chưa hợp lý Với cách 2, giải số nhược điểm cách 1, đồng thời cung cấp cho bạn thêm số kinh nghiệm gặp trọng tâm G sử dụng chúng ? Hay việc tìm thấy tương giao đường tròn với đường thẳng Đặc biệt, toán bạn ý thêm: AM 3AG AC = AM =  độ dài AC Ta viết PT đường tròn tâm A bán kính AC 2 Với cách 3, phép biến hình mà cụ thể phép quay giúp ta giải toán cách đặc biệt, bạn gần thiết lập thêm giả thiết khác, nhược điểm cách làm công thức tương đối cồng kềnh khó nhớ Và chương phép biến hình học lớp 11 dừng mức giới thiệu chưa thấy ứng dụng rõ nét chúng vào việc giải toán hình học phẳng mặt phẳng tọa độ Oxy BÀI TOÁN (TAM GIÁC THƯỜNG) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có A(0;5), B(-2; -1), C(4;2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường BC cho diện tích tam giác ABM gấp hai lần diện tích tam giác ACM chứng minh AM vuông góc BC ■ Đặt vấn đề: toán có điểm thuận lợi tọa độ đỉnh tam giác biết Việc biết hết tất tọa độ đỉnh giúp ta ?  khai thác yếu độ dài, góc, diện tích tính toán tìm điểm đặc biệt, viết phương trình cạnh tam giác dễ dàng Sau xem thử cách làm khai thác yếu tố ? ■ CÁCH 1: Tận dụng yêu cầu CMR: AM  BC  AM đường cao ABC (chú ý dùng để vẽ hình, chưa phải giả thiết ) FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY ☺Ý tưởng : Bài toán yêu cầu ta tìm điểm M  M  BC nên ta viết PT đường BC  tham số 1 hóa điểm M Trong công thức SABM = 2SACM  AB.d[M;AB] = AC.d[M;AC]  phải viết thêm PT 2 AB AC áp dụng công thức khoảng cách  M ► Hướng dẫn giải cách 1:  AB  (2; 6)  AB  10  * Ta có:  BC  (6;3)  BC    AC  (4; 3)  AC  * Phương trình đường BC qua B(-2;-1) nhận BC = (6; 3) làm VTCP có dạng là: x  y 1   ( BC ) : x  y  M  BC  M(2m ; m) * Phương trình đường AB qua A(0;5) nhận AB = (-2; -6) làm VTCP có dạng là: x y 5   ( AB) : 3x  y   2 6 * Phương trình đường AC qua A(0;5) nhận AC = (4; -3) làm VTCP có dạng là: x y 5   ( AC ) : 3x  y  20  3 * Mặt khác, SABM = 2SACM   10 1 AB.d[M;AB] = AC.d[M;AC] 2 | 6m  m  | 1 2  2.5 | 6m  4m  20 | 32  42  m   M (2;1)  | m  1| | m  |   m   M (10;5) * Với AM1  (2; 4) BC  (6;3) ta xét: AM1.BC   AM1  BC (đpcm) * Với AM2  (10;0) BC  (6;3) ta xét: AM2 BC  60 ≠ nên loại điểm M2(10 ; 5) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán M(2;1) ■ CÁCH 2: Kẻ AH  BC H (“phớt lờ” yếu tố AM  BC ta chứng minh M trùng H sau) ☺Ý tưởng : hai tam giác ABM ACM có chung đường cao AH nên thiết lập công thức diện tích theo yêu cầu toán (YCBT) cho ta hoàn toàn tìm mối liên hệ BM = ?MC  BM  ?MC (chuyển đẳng thức độ dài đẳng thức véctơ, biết tọa độ B C) nên ta dễ dàng suy tọa độ M Sau giải M, việc xét AM.BC  để suy AM  BC trở nên thuận lợi Mời em xem lời giải FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY ► Hướng dẫn giải cách 2: * Gọi M(xM; yM) tọa độ điểm cần tìm vẽ AH  BC H 1 * Ta có: SABM = 2SACM  AH.BM = AH.CM  BM = 2CM 2 TH1: M nằm đoạn BC BM = 2CM  BM  2CM (*)(vì BM,CM phương, ngược hướng) (Bạn nên chọn BM,CM để tiện cho việc tính toán)  xM   2( xM  4)  xM   M (2;1)      yM   2( yM  2)  yM  * Với AM1  (2; 4) BC  (6;3) ta xét: AM1.BC   AM1  BC (đpcm) M  H TH2: M nằm đoạn BC BM = 2CM  BM  2CM (*)(vì BM,CM phương, hướng)  xM   2( xM  4)  xM  10  M (10;5)      yM   2( yM  2)  yM  * Với AM2  (10;0) BC  (6;3) ta xét: AM2 BC  60 ≠ nên loại điểm M2(10 ; 5) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán M(2;1) ■ Lời bình: thông qua việc giải toán trên, ta thấy được: Với cách 1, người làm vận dụng nhiều công thức từ tính độ dài, viết PT đường, xét diện tích tam giác công thức tính khoảng cách Đó « điểm + » cho cách giúp ta ôn tập lại kiến thức học Tuy vậy, nhược điểm nói chung cách giải dài, sử dụng tính toán nhiều Và đặc biệt, dù ta có lợi vẽ hình biết M đâu ? lại không dùng AM  BC Và vô tình đẩy công thức tính diện tích sang hướng khác nặng nề Sau phải loại trường hợp nhờ may mắn kiểm tra AM  BC FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY Với cách 2, việc gọi thêm đường cao AH vô tình giúp ta “giải phóng ” điểm M khai thác triệt để công thức tính diện tích tam giác Đặc biệt, cách đưa đẳng thức độ dài đẳng thức véctơ lần cho ta thấy sức mạch với ưu điểm tính toán nhẹ nhàng, nhiên số trường hợp cần ý đến vấn đề vẽ hình phác thảo “Con người chịu ảnh hưởng lớn tư hình thức” Rất nhiều bạn vẽ hình theo TH1 “quên để sót” TH2 điểm M2 ta không nhận Để khắc phục điều này, bạn cần đưa tọa độ điểm lên hệ trục Oxy nhanh chóng nhận xét tam giác nhọn hay tam giác tù, với lợi việc kiểm tra đáp số BÀI TOÁN (HÌNH BÌNH HÀNH) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1; 0) B(2; 0) I giao điểm hai đường chéo AC BD I thuộc đường thẳng d: y = x Biết diện tích hình bình hành ABCD Xác định tọa độ điểm C D ■ Đặt vấn đề: Trong toán liên quan đến tứ giác mà điển hình hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật hình vuông giao điểm hai đường chéo giúp ta khai thác ? ■ CÁCH 1: Vẽ phác thảo hình bình hành ABCD (không đưa lên hệ tọa độ) ☺Ý tưởng : Do tính chất I trung điểm đường AC BD  việc tham số hóa I  d  tìm I qua công thức trung điểm ta tìm C D Còn công thức diện tích hình bình hành ta phải làm ?  Ta xét diện tích hình bình hành tổng diện tích “tam giác con” bên cụ thể SABCD = 2SABC = 4SABI = AB d[I;AB]  ta cần viết phương trình đường AB để dùng công thức khoảng cách ► Hướng dẫn giải cách 1: * Ta có I  d: y = x  I(m ; m) AB = (1; 0)  AB = FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY * Nhận xét: A B thuộc trục hoành nên phương trình đường AB y = * Ta có: SABCD = 2SABC = 4SABI = AB d[I;AB]  = 2.1.|m|   m2  m  2  * Với m =  I(2; 2) Do I trung điểm AC BD nên ta có:  x A  xC  xI   xC    C1(3 ;4) tương tự ta có D1(2;4)   y A  yC  yI   yC  * Với m = -2  I(-2; -2) Do I trung điểm AC BD nên ta có:  x A  xC  xI  4  xC  5   C2(-5 ;-4) tương tự ta có D2(-6;-4)   y A  yC  yI  4  yC  4 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán C1(3 ;4) ,D1(2;4) hay C2(-5 ;-4) ,D2(-6;-4) ■ CÁCH 2: Đưa tọa độ điểm lên hệ tọa độ Oxy ☺Ý tưởng : Như biết, việc đưa điểm lên hệ tọa độ thể ý đồ rõ ràng việc tính toán kiểm tra đáp số Trong toán này, ưu điểm cách làm có độ dài AB = ta xét SABCD = AB.d[D;AB] (công thức tính diện tích hình bình hành)  d[D;AB] = d[D; Ox] = |yD| Mời em xem lời giải ► Hướng dẫn giải cách 2: C(2m - 1; 2m) * Ta có I  d: y = x  I(m ; m) I trung điểm BD AC   D(2m - 2; 2m) * Ta có: SABCD = AB.d[D; AB] = AB.d[D; Ox] = |yD|  = |2m|  m =  * Với m =  C1(3 ;4) D1(2;4) * Với m = -2  C2(-5 ;-4) D2(-6;-4) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán C1(3 ;4) ,D1(2;4) hay C2(-5 ;-4) ,D2(-6;-4) ■ Lời bình: Thông qua toán ta thấy sức mạnh “kỹ thuật sử dụng điểm đối xứng I” Tuy chưa hình thành phương pháp “kỹ thuật giải” mà bạn nên nhớ Ngoài sau toán bạn có thêm “kỹ thuật sử dụng diện tích” (Xem lại phần kiến thức tứ giác, chương 1) Cũng không nói đến “kỹ thuật sử dụng khoảng cách” mà tiêu biểu kỹ thuật xét khoảng cách từ điểm M(xM; yM) đến hai trục tọa độ Để dễ nhớ em cần lưu ý: d[M;Ox] = |yM| d[M;Oy] = |xM| FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY 10 BÀI TOÁN (HÌNH THOI) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(3; -2), hai đỉnh B D nằm đường thẳng d: x - 3y + = B có tung độ dương Tìm tọa độ đỉnh B, C, D biết diện tích thoi 60 ■ Đặt vấn đề: Với số lượng điểm cần phải tìm câu hỏi đặt ta nên đặt ẩn thích hợp ? ■ CÁCH 1: Gọi I giao điểm hai điểm đường chéo AC BD (kỹ thuật sử dụng tâm đối xứng) ☺Ý tưởng : ● Nhận thấy I “nhận vật trung tâm” (yếu tố định) đến toán nên ta nghĩ cách tìm I (do có tọa độ I  tọa độ C  độ dài AC  độ dài BD qua SABCD = 60) ● Vậy để tìm I ? Ta có I = AC  BD có PT BD  tìm cách viết PT AC  AC vuông BD qua A(3; -2) ► Hướng dẫn giải cách 1: * Ta có AC  BD: x - 3y + =  (AC): 3x + y + m = Lại có AC qua A(3; -2)  - + m =  m = -7 Vậy (AC): 3x + y - = * Mặt khác, I = AC  BD  tọa độ I nghiệm hệ phương trình sau: 3 x  y  x    I(2; 1)   x  y  1  y   x A  xC  xI   xC   * Do I trung điểm AC    C(1; 4) y  y  y  y  A C I C   FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY 11 * Ta có B  d  B(3b - 1; b) (b > 0), IB  (3b  3;b 1) IA  (1; 3)  IA = * SABCD = 4SABI = 10 AI.BI  IB2 = 302  (3b  3)2  (b 1)2  302  (b 1)2  b = -2 (loại)    B(11;4) b = (nhận) * Do I trung điểm BD (dùng công thức trung điểm)  D(-7;-2) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán C(1 ;4) ,B(11;4), D(-7;-2) ■ CÁCH 2: Xuất phát từ diện tích (kỹ thuật sử dụng diện tích + kỹ thuật lập đường tròn ẩn mình) ☺Ý tưởng : Ta có SABCD = 4IA.IB, IA = d[A; BD]=d[A;d]  độ dài IB Ta xét thấy tính AB2 = IA2 + IB2  B, D giao điểm đường d đường tròn (C) tâm A bán kính AB (do tính chất hình thoi) Có tọa độ B D  tọa độ I  tọa độ C ► Hướng dẫn giải cách * Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Ta có IA = d[A; BD] = d[A ; d] = |3 + + 1| 10 = 10  IA = 10 * Mặt khác, SABCD = 4SABI = AI.BI  BI = 10 Lại có AB2 = IA2 + IB2 = 100  AB = 10 * Nhận xét: B C giao điểm đường thẳng d đường tròn (C) tâm A(3; -2), R = AB = 10 x  3y 1   (Việc giải hệ xin dành cho bạn đọc !) 2 ( x  3)  (y  2)  100  y  2  x  7  ( yB > 0) nên ta nhận B(11 ; 4) D(-7 ; -2)  y   x  11 * Do I trung điểm BD  I(2;1) FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY 12  x A  xC  xI   xC   * Lại có I trung điểm AC    C(1; 4)  y A  yC  yI   yC  Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán C(1 ;4) ,B(11;4), D(-7;-2) Đưa tọa độ điểm lên trục tọa độ Oxy để kiểm tra, ta được: ■ Lời bình: Trả lời cho câu hỏi “đặt vấn đề” việc nên đặt ẩn bạn thấy thực cách 1, bạn phải đặt ẩn cho B D Với cách 2, không cần phải đặt ẩn mà phải xét tương giao đường thẳng đường tròn Đó kỹ thuật nhắc phần đầu chủ đề Hãy xem “dấu hiệu” Ngoài phải bàn đến yếu tố khoảng cách này, “Có điểm đường thẳng ta lập thêm PT đường thẳng song song vuông góc với đường thẳng cho hay xét khoảng cách từ điểm đến đường thẳng FB: HTTP://FACEBOOK.COM/LAMPHONG.WINDY 13