là câu khó trong đề thi trắc nghiệm toán 12 giu ban doan truoc cac cau hoi trac nghiem.xây dựng và sử dụng kiểu bài toán của pisa vào dạy học môn toán ở trường thpt theo định hướng tăng cường các bài toán thực tiễn×
1 Ví dụ: Sau trình bày nội dung Bất đẳng thức Côsi, lấy ví dụ thực tiễn sau đây: a) Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trớc phải có dạng nh để chiều dài hàng rào nhất? b) Một cánh đồng hình chữ nhật với chiều dài hàng rào cho trớc phải có dạng nh để diện tích lớn nhất? Hoặc đa Bài toán sau: Ngời ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trớc a mét thẳng hàng rào ngời ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Vậy làm để rào khu đất theo hình chữ nhật cho có diện tích lớn nhất? x y Sau phát biểu Bất đẳng thức Côsi cho số không âm, số không âm, , ta cho học sinh giải số tập tập nâng cao, chẳng hạn: 1) Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sản phẩm đợc chế biến, có dung tích V(cm3) Hãy xác định kích thớc để tiết kiệm vật liệu nhất? h 2) Ta có miếng tôn phẳng hình vuông với kích thớc a cm, ta muốn cắt góc hình vuông để uốn thành hình hộp chữ nhật 2R nắp Phải cắt nh để hình hộp tích lớn nhất? x a - 2x Nh vậy, việc lồng ghép, thay toán có nội dung thực tiễn vào Chủ đề Bất đẳng thức góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức nh ứng dụng kiến thức Toán học để giải toán có nội dung thực tiễn Ví dụ: Trong kho có 500 hàng, ngày ngời ta lấy 30 hàng Hỏi số hàng lại kho sau ngày, ngày, 10 ngày? Mô hình toán học tình là hàm số bậc y = 500 - 30x Nhờ mô hình này, trả lời dễ dàng: x = y = 440; x = y = 380; x = 10 y = 200 - Mua 10 vở, x đồng bút, 1000 đồng phải trả tiền? - Mua x thớc giá 400 đồng giá 500 đồng quyển, mà đa 5000 đồng ngời bán phải trả lại bao nhiêu? - Một ngời xe lửa x với vận tốc 50 km/h tiếp với vận tốc km/h Ngời đợc đoạn đờng dài bao nhiêu? - Trong lớp có x học sinh nữ, số học sinh nam số học sinh nữ em Trong lớp có tất học sinh? - Nếu vận tốc riêng thuyền x km/h, vận tốc chảy dòng sông y km/h x - y; x + y có nghĩa gì? - Nếu vận tốc thuyền xuôi theo dòng sông x km/h, vận tốc chảy dòng sông y km/h x - y; x - 2y có nghĩa gì? - Nếu vận tốc thuyền ngợc dòng sông x km/h, vận tốc chảy dòng sông y km/h x + y; x + 2y có nghĩa gì? (S M Nhicônxki, , Số học 6, M 1997, tr 150 152) Trong Japanese Grade 7, Mathematics (Transl Hiromi Nagata), The University of Chicago School Mathematics Project, 1992 mở đầu vấn đề Giải toán cách lập phơng trình ví dụ đơn giản, chẳng hạn: Giá hộp 15 táo 950 Yên, riêng hộp giá 50 Yên Hỏi táo giá bao nhiêu? (Yên đơn vị tiền tệ Nhật) Một cách trình bày toán sau có hiệu giảng dạy Phiên dịch câu sau phơng trình, dùng biến x để ẩn số Giải phơng trình để tìm giá trị ẩn: Một ngời cha có số tuổi gấp lần tuổi con, sinh cha 32 tuổi Cha tuổi? Ví dụ 1: Một xởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? x0 y0 Thực chất toán phải tìm , thoả mãn hệ cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn Một cách tơng đơng là, tìm x, y thoả mãn hệ 2x + 4y 200 30 x + 13y 1200 x y x + 2y 100 2x + y 80 y cho 4x + 3y đạt giá trị lớn Trên Hình vẽ ta ký hiệu C(0; 50), C D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80), 80 F 50 40 I giao điểm CE DF Dễ thấy toạ độ I (20; 40), I B miền nghiệm hệ bất phơng trình miền tứ giác OCID (kể biên) O A 20 40 E x 100 D Với L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) cho 4x + 3y = L, điểm M nh nằm đờng thẳng AB với A(L/4; 0), B(0; L/3) Hệ số góc đờng thẳng AB - 4/3 Cho L lớn dần lớn lên đờng thẳng AB "tĩnh tiến dần lên" phía Nhìn vào Hình vẽ ta nhận thấy rằng: Trong đờng thẳng có hệ số góc - 4/3, đờng thẳng qua I đờng thẳng vị trí "cao nhất" có điểm chung với tứ giác OCID Cha đạt tới vị trí L cha phải lớn Vợt "ngỡng" toạ độ điểm đờng thẳng không thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc Từ dễ dàng đến kết luận x = 20, y = 40 L đạt giá trị lớn Ví dụ 2: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 ngời hàng hóa Nơi cho thuê xe có 10 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Một xe hiệu MITSUBISHI chở 20 ngời 0,6 hàng Một xe hiệu FORD chở 10 ngời 1,5 hàng Tiền thuê xe hiệu MITSUBISHI triệu đồng, xe hiệu FORD triệu đồng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí thấp nhất? y trình Trớc hết ta đặt Bài toán thành hệ bất phơng Gọi x, y (x, y N ) lần lợt số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê 14 B A Từ toán ta đợc hệ bất phơng trình I O C 10 x 15 x 10 y 20x + 10y 140 0,6 x + 1,5y x 10 y x + y 14 x + 5y 30 (*) Tổng chi phí T(x, y) = 4x + 3y (triệu đồng) Thực chất Bài toán tìm x, y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) cho T(x, y) nhỏ Bớc ta tìm miền nghiệm hệ bất phơng trình Miền nghiệm miền tứ giác lồi IABC Ta cần xác định toạ độ (x, y) điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể biên) cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu Xét họ đờng thẳng cho phơng trình: 4x + 3y = T (T R) hay y= y= x T x+ 3 , ta thấy đờng thẳng song song với đờng thẳng (T 0) Khi T tăng, đờng thẳng tịnh tiến song song lên phía Khi T giảm, đờng thẳng tịnh tiến song song xuống phía dới Giá trị nhỏ T đạt đợc đỉnh I tứ giác IABC giao điểm hai đờng thẳng 2x + 5y = 30 2x + y = 14 Toạ độ I (x I = 5; yI = 4) Nh thuê xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD chi phí vận tải thấp Ví dụ 1: Một ảnh chữ nhật cao 1,4m đợc đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dới ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? Lời giải toán nh sau: Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất, điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) = tgAOC tgAOB + tgAOC.tgAOB = AC AB OA OA AC.AB 1+ OA = 1,4 x 3,2.1,8 1+ x2 = 1,4x x + 5,76 1,4 x x + 5,76 Xét hàm số f(x) = Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có f'(x) = 1,4x + 1,4.5,76 ( x + 5,76) , f'(x) = x= 2,4 Ta có bảng biến thiên x 2,4 f'(x) + _ 84 193 f(x) 0 nhìn lớn cách ảnh 2,4m Vậy vị trí đứng cho góc Ví dụ 2: Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vuông miếng phụ nh hình vẽ Hãy xác định kích thớc miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất? Ta có lời giải toán nh sau: Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ nh hình vẽ Gọi d đờng kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh < x < d( ) ,0 Chi phí dự kiến chuyến du lịch chi phí ghi hợp đồng xy (Đồng) chi phí thực tế ngời tham gia đóng góp là: (x + 30000)(y - 2) Ta có phơng trình xy = (x + 30000)(y - 2) (1), với điều kiện 700 xy 750000 (2) Từ (1) suy xy = xy - 2x + 30000y - 60000 Thay (3) vào (2) suy 700 Ta đợc hệ x = 15000y - 30000 (3) y(15000y - 30000) 750000 15000y 30000y 700000 3y y 140 2 15000y 30000y 750000 3y y 150 y > y > 3+ 429 y 3+ 459 Do y N suy y = từ ta suy x =15000.8 -30000 = 90000 Đáp số: Số ngời lúc đầu dự định Du lịch ngời Mỗi ngời dự kiến đóng góp 90000 đồng Chi phí chuyến Du lịch Sinh thái 720000 đồng 23 Gọi x (giờ), y (giờ) lần lợt thời gian ngời thứ nhất, ngời thứ hai làm xong công việc Đổi 36 phút công việc ngời thứ hai làm y Khi ta có hệ: 18 Số công việc ngời thứ làm x 13 y + 3x 3y = 18 + = x y 18 x Số 24 x = y = Giải hệ đối xứng loại I ta đợc hai nghiệm Do thời gian ngời làm riêng xong công việc Ngời thứ giờ, ngời thứ hai giờ; hoặc: Ngời thứ giờ, ngời thứ hai x = y = 24 Gọi x (km/phút) vận tốc ôtô, y (km/phút) vận tốc xe đạp Theo ta nhận thấy chuyển động ôtô từ A đến chỗ gặp lần thứ hai trờng hợp số thời gian nh chuyển động ôtô từ chỗ gặp lần thứ đến B hai trờng hợp thời gian nh Ta tính thời gian trờng hợp Sau gặp xe đạp lần thứ nhất, ôtô chạy thêm phút theo chiều đến B Trên đờng ngợc lại tới chỗ gặp lần thứ cần phút Trong thời gian xe đạp đợc 6y km tính từ chỗ gặp lần 6y xy thứ ôtô để gặp xe đạp lần thứ hai với vận tốc chênh lệch (x - y) km/phút cần thời gian phút Trên đờng ngợc lại từ chỗ gặp lần thứ hai tới chỗ gặp lần thứ bị 6y xy phút, 15 15 y y 7 + 15 15 x y x y 7 nghĩa + + = 2+ 60y 7x 15y 60y 7x 15y 6y xy =6+ 12y xy phút Lý luận tơng tự ta đợc: 1+1+ phút Hai thời gian ta đợc phơng trình: + Bái toán dẫn đến phơng trình bậc hai: 7x - 16xy - 15y2 = 12y xy =2 + 25 Đặt t = x y (tỉ số vận tốc ôtô xe đạp) Giải phơng trình ta đợc t = thoả mãn xe đạp (gặp lần 2) D Ôtô C (gặp lần 1) A B * Các 20, 21, 22, 23, 24 tập điển hình vận dụng kiến thức Ph ơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, Hệ bất phơng trình bậc hai đặc biệt vận dụng phơng pháp giải toán hệ đối xứng loại I, phơng trình bậc hai 22 dùng dạy Sơ lợc hệ bất phơng trình bậc hai, 21, 23 dùng dạy Hệ phơng trình bậc hai, 20, 24 dùng dạy phơng trình bậc hai Chơng trình Đại số 10 THPT 25 Từ ngày tháng đến ngày tháng số ngày có là: 31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngày) Số tiền bỏ ống An ngày tăng theo cấp số cộng với công sai 100 đồng Do tổng số tiền có đợc An đến ngày tháng là: 120 120.121.100 = 726000 (2.100 + (120 1)100) = 2 đồng Vậy An có đủ tiền mua quà sinh nhật cho 26 Nếu ngời làm vờn có x Xoài ngời khách hàng thứ mua: quả; ngời thứ mua: x+1 x+1 (x )+ = 2 22 x +1 x +1 x +1 (x )+ = 2 2 trình: x x+1 + = 2 quả; ngời khách hàng thứ mua: quả; ngời khách hàng thứ mua: x +1 27 x+1 x+1 x+1 1 + + + = x (x + 1)( + + + ) = x 2 2 2 Tính tổng số hạng cấp số nhân ngoặc ta đợc: (1) Ta có phơng 26 1 1 + + + = 2 2 Do phơng trình (1) = 127 128 (x + 1) 127 =x 128 x = 127 Vậy bác nông dân thu hoạch đợc 127 Xoài đầu mùa * Hai toán điển hình việc vận dụng cấp số để giải toán thực tiễn phù hợp dạy học Cấp số cộng, Cấp số nhân Chơng trình Đại số Giải tích 11 THPT 12 27 a) Gọi x tỷ lệ phải tìm, ta có phơng trình: 12 2500 25 x = = 2200 22 lg x = 12(lg25 lg12) áp dụng Bảng số tính lôgarit máy tính ta có đèn có sáng gấp lần bóng đèn chân không x 4,6 , suy Một bóng Suy rằng, bóng đèn chân độ sáng 50 nến bóng chứa đầy có độ sáng 50x4,6 = 230 nến b) Gọi y phần trăm phải tăng nhiệt độ tuyệt đối Ta có phơng trình 12 y y lg + = lg(1 + )= 100 100 12 , dùng Bảng số máy tính ta tính đợc y 6% c) Dùng lôgarit số 10 từ x = (1,01) 12, suy lgx = 12lg(1,01), ta tính đợc x 1,13 nghĩa độ sáng tăng 13% Tơng tự với tăng nhiệt dây tóc 2%, ta tính đợc mức tăng độ chiếu sáng 27%, tăng nhiệt độ lên 3% mức tăng độ chiếu sáng 43% Chính mà kỷ nghệ làm bóng đèn điện ngời ta nghiên cứu làm tăng nhiệt độ dây tóc * Bài toán thể vai trò quan trọng việc ứng dụng Lôgarit để tính toán thực tế, tính toán với số mũ lớn, có thức bậc lớn Bài dùng dạy học Hàm số lôgarit Chơng trình Đại số Giải tích 11 THPT 27 28 Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) = = AC AB OA OA AC.AB 1+ OA 1,4 x 3,2.1,8 1+ x2 = tgAOC tgAOB + tgAOC.tgAOB C = 1,4 B = 1,8 1,4x x + 5,76 x A O 1,4 x x + 5,76 Xét hàm số f(x) = Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có 1,4x + 1,4.5,76 ( x + 5,76) x , f'(x) = x = 2,4 f'(x) Ta có bảng biến thiên 2,4 + _ 84 193 f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m 29 Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = = AC CD + v1 v2 h h tg + sin v1 v2 = = AE CE CD + v1 v2 h cot g h v1 v sin D = A h C E B f'(x) = 28 t ( ) = Xét hàm số cos = h cot g h v1 v sin v2 v1 ứng dụng Đạo hàm ta đợc cos = t () nhỏ v2 v1 Vậy để t nhỏ ta chọn C cho 30 Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ nh hình vẽ Gọi d đờng kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh Theo ta đợc hình chữ nhật ABCD nh hình vẽ bên áp dụng Định lý Pitago ta có d x y Avà < x < d( ) ,0