Boi duong giai tich lop 12 (NXB dai hoc quoc gia 2008) pham quoc phong, 238 trang (NXPowerLite copy)

Trang 2

PHAM QUOC PHONG

BOI DUGNG

GIẢI TÍCH 12

® DÙNG CHO BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

® ƠN LUYỆN THỊ TỐT NGHIỆP THPT

Trang 3

LOI NOI DAU

Cac ban dang cém trong tay một trong các cuốn sách thuộc bộ sách Bồi dưỡng

Toán THPT (bao gom Bồi dưỡng Đại số 10, Bồi dưỡng Hình học 10, Bồi dưỡng Đại

số & Giải tích 11, Bồi dưỡng Hình học l 1 Bồi dưỡng Hình học 12) do cùng một tác

giả biên soạn

Cũng như các cuốn trước đó, Bồi dưỡng GIẢI TÍCH 12 có những đặc điểm sau:

$ Hệ thống thí dụ được chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình và khai thác tối › đa các góc cạnh của mỗi phần kiến thức nhằm giúp các bạn nắm vững nội dung chương trình Nhiều thi du moi me, ud 1a di tre cla cuốn tài liệu

Thứ tự thí dụ được trình bày theo trật tu tir co ban dén ndng cao, tit nhitng bai

toán đơn giản đến bài toán phối hợp nhiều kĩ năng

® Nêu bật các đựng là kết quả của sự khái quát hod xdu chudi nhiéu bài toán; Dua ra các thuật toán giải chúng đó là điều có được của quyển sách này

® Cát nghĩa phương pháp giải, vậch rõ bản chất bài toán, bản chất lời giải,

liên kết-xâu chuỗi các bài toán là vị trí của những fời bình

® Cuốn sách có 4 chương được biên soạn sát đúng với kiến thức chương trình Giải tích lớp 12 của Bộ Giáo dục và Đào tạo bắt đầu áp dụng từ năm học 2008 - 2009 để các em học sinh thuận lợi ôn tập, củng cố kiến thức của mình sau mỗi" buổi học trên lớp Tat, ca các chứng minh nêu trong sách được khai thác từ những kiến thức cơ bản được biên soạn trong SGK

Trong cuốn sách có trình bày :

* Phương pháp không dạo hàm Đó là những kinh nghiệm kết tỉnh trong quá trình dạy học làm cơ sở cho phép đốn thơng mình khi trả lời trắc nghiệm

* Điểm hẹn, nút khơi thông bí mật về các tiếp tuyến cố định của họ đồ thị * Dưới ánh sáng hình học, lớp các tích phản đặc bit thấy càng rõ hơn

® Sau môi phần, sách có hệ thống bài tap thong thich để các bạn rèn luyện và hoàn thiện hiểu biết của mình Nên nhớ rằng, kiến thức chỉ trở thành hồng cầu trong cơ thể bạn, nếu bạn thấy mình vượt qua được các bài tập ấy (Bạn chỉ nên sử dụng phần hướng dẫn giải bài tập ở cuối sách để đối chiếu kết quả, hoặc tham khảo cách giải khác, sau khi đã phát huy hết mọi nỗ lực tự giải của mình).'

Trang 4

Chương | UNG DUNG DAO HAM _

DE KHAO SAT VA VE 80 TH! HAM SO

§1 CAC KIEN THUC CAN NHO 1 Bảng công thức tính đạo hàm L- Hệ quả _ ‘| Suy rộng (ut wt t uy) = = W\+ H›y+ +H, (ku)` =k.u` (u’) = au au (ww) = ww + w'w t+ ww" (x)= a x

| Đạo hàm của hàm số tee Hé qua

y=fW) > yr=yeu, | (hs (ech

5 bet ( ) 2vu ( } Wx

Đạo hàm các hàm số sơ cấp Đạo hàm các hàm số hợp

— (u = _u(x))

[6 (sinx)' = cosx (sinu)' = u'.cosu

|7 (cosx} = -sinx (cosw)'=_—.sinw

(tan v)"= — Ủ 3141802 x we =u'(l+tan? uv) | 8 | cos’ cos’ u -I ont, 2 (cot x)= —5~ =-1-cot? x (cotw)" ` ÔÔ 9 _ sin? x w Đặc biệt các bạn nhớ kết quả sau đây (để tính toán nhanh và ít nhằm lẫn) a bl, ja c be a b 3 x +2 x+

(2 bx+c_) _la’ 61 la’ cl l6 c] (act } — lạ b

day +btxyeet (a'x°+b'x+e9Ÿ , a'x+h') (a'x+h'y

L—

2 Định lý La-grăng e Định lý

Nếu hàm số y = #a) liên tục trên đoạn

{[a; b] và có đạo hàm trên khoảng (4; ở) thì

tồn tại một diém ce (a; b) sao cho Ab) - 28-78 ÁN a) hay /'6)= Hình ì e Ý nghĩa hình học (Hình 1)

Trang 5

3 Tiếp tuyến của đồ thị

3.1 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị

Hệ số góc của tiếp tuyến của đỏ thị (4) : y = Ẩx) tại tiếp điểm (xụ: vụ) là œ4(v¿) = 0%) 3.2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm (xọ: vo) của đồ thị (): v =Ẩxy)lày=./(~ xao) + do

§2, CÁC BÀI TỐN

Bài tốn 1 Đồng biến và nghịch biến

Cho hàm số y = fix) xac dinh trén khoang (a; 5) Kí hiệu f(x) 1a dao ham: c: ấp |

của #x) trên | Khoang a ay

s Hàm số đồng biến trén (a; b) <> f(x) > 0 Vxe (a: 6) Dấu đăng thức meu cd thi chi xay ra tại một số điểm hữu hạn mà thôi

s Hàm số nghịch biến trên (a; b) «> S(x) $0 Ve (a: b) Dau đăng thức miếtu có

thì chỉ xây ra tại mhột số điểm hữu hạn mà thôi

° Đồng biến trên khoảng (ø; ở), nghịch biến trên khoang (a; ở) gọi chung là đơn điệu trên khoảng ay Thi dy 1 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của mỗi hàm sỏ sau : 3 x ‘I fy yer ¥ 3847, 2) y=3-2xr +x" Lời giải 3 1) Xét ham 56 y=7——x" — 3x + 7 Tập xác định R : = | bung tôn : + SẺ x=3 -l 3 x % x<¬l Dâu y`: y`>0<> sy <0@-1<x<3 x>3 Suy ra ham số đồng biến trên các khoảng (—œ; —l) và (3; +), nghịch biến trên khoảng (—l; 3) 2) Xét hàm số y = 3 - 2xÌ+ x' Tập xác định R | a 2 x=0 x=0 Ta có: y.=-dÿ tiện hạt cơo| =© Ề a Dâu y' : ae igs f-l<xs0 , xs-l a dong | „„'<0© x21 0<x<l Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) va (1; +œ), nghịch biếm trên khoảng (—œ; —1) và (0; 1) Lời bình

Chúng ta đã có định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

Tổng quát với đa thức bậc n :

Trang 6

Các bạn ghi nhớ két quả sau : `

~ Các nghiệm của P(x) chia truc Ox ra lam nhiều khoảng

Irong mỗi khoang đa thức /(x) luôn có cùng một dấu Dấu của hai

khoang kẻ nhau thì đối nhau ngoại trừ trường hợp đó là nghiệm bội bậc chăn + Trong Khoảng tận cùng bên phai (so với tất cả các khoảng), đầu của P(x)

†uôn cũng, dấu với hệ ứ„

Nói rồ hơn:

- Nếu đa thức P(x) vô nghiệm thì (x) luôn cùng dau voi dau cua a, - Nếu đa thức #(v) có & nghiệm : xị < xy <x << eS Me

Trang 7

Thí dụ 3 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của mỗi hàm số sau : Iy=V—x) +6x~16 2)y=——— Lời giaj “ỐC 1) Xét hàm số y= V—x” +6x —l6 Tập xác định Ø2 = (~2; 8) _—*.—_:y=0 ©'3-x=ú œ ø=ã V-x! +6x—16 ‘ Dấu y`: y`>0 œ -2<x<3,:y`<0 œ@ 3<x<8

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (—2; 3), nghịch biết trên khoảng (3: 8) Tacó y'= *—_ Tập xác định ïR 2+Vx?+4 “ 2 x - 2+ýxl+4 Dâu y: y'<0<>x<0;y`>0c>x> 0 `

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ; 0), đồng biến trên khoảng (0; +œo),

Thí dụ 4 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của mỗi hàm số sau : 2) Xét hàm số y = Ta có y= ©y=vdx)+4-2; y'= 1) y=xInx; 2) y=x + cos2x Lời giải 1) Xét ham sé y = xInv Tập xác định I`

Ta có y` = Inx + l =lnex; y`=0© eđx=l @ x=ể”,

Dấu y`: y'>0c> ex>l âx>e; y`<0ô ex<l@0<x<e',

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; e3, đồng biến trên (e `"; +0) 2) (Hình 2).„ Xét hàm số y = x + cos2x Tập xác dinh R Ta có y` = l - 2sin2x; y'` =0 © l - 2sin2v=0 = sin2x= 2 3 2 Dau y’: : 7 š ] x 5a y <0 ©@ l~2sin2x<0 & sindx> — & F3 saonadr NÐugi ° J skacx< shaker 3 y'>0©1~2sin2x> 0© sin2r < 2 2 z ‘ 2 6 $ 6 eo 43x <3 <5 +(É +1)3x O x c© TY Xx Sổ +( +1) k€# ` lình 2

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng, (2 +kZ; z vil eZ và đồng

biến trên các khoảng (= +kZ; atk + be) eZ

Trang 8

— - 1

Thí dụ 5 Cho hàm số y = xÌ - 3m) + 3(2m + 39x + | |

Tim giá trị của / thoả mãn một trong hai trường hợp sau :

1) Ham số luôn luôn đồng biến trên tập xác định |

2) Ham số nghịch biến trên khoảng (xị: x;) với | xị — x;|= 43 | Loi giai Tập xác định R Ea có y` = 3x” ~ 6y + 3(2m ~ 1) = 3x" ~ 2mx + (2m + 3)] AT =ớm ~ (2m + 3) = mề — 2m - 3 1) Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi y` > 0, Vxe R Diéu ay có khi và chỉ khi A` <0 © m ~ 2m - 3<0 «~l <m<3

Vay [=1: 3] là tập giá trị phải tim cua m

2) Gọi xị ; là các nghiệm nếu có của y`

+ ' 9 a=l

~b'+ JA" 2⁄A' TƯ

Từ công thức xi; =—————— Suy ra |xị—x¿|= ——— =2 a la’ Do hệ số của x” 1a mét sé duong nén y’< 0 khi va chi khí | qd) A>0 x<x<%; Boi v

Hàm số nghịch bién trén khoang (x1; x2) voi | x) — x | = 4/3 đồng

nghĩa với y`= 0 <> x° — 2mx + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt xị,; thỏa mãn |

xị — x;|> 4/3 Theo (1), điều ấy có khi và chỉ khi 2VA'>4/3

c A'>12@Œ m°~2m~3> 12 2 m-Im-15>0

<= me (~ø; ~3] C2 [ŠS; t>) Đó là các giá trị phải tìm của m

Lời bình

Ban cần hiểu "Hàm số nghịch biến trên khoảng (xị; x;) với | xị ~ x; | = 4/3"

nghĩa là hàm số tôn tại ít nhất một khoảng (a; b) có độ dài bằng 43 Với m vừa tìm được thì với mọi khoảng (ø, a + 43 )C (xị; x;) hàm số đều nghịch biến

x Xo (xo + 4V3) X2 x

® Cũng trong Thi dụ trên nhưng 2A’ = 4/3 <> A' = 4/3 là đáp án chung cho

các câu hỏi :

* Hàm số nghịch biến trên khoảng (xị; x;) với 0 < | xị — x;| < 4/3;

* Hàm số nghịch biến trên khoảng (x); x2) va nghịch biến trong các khoảng còn

lại với |xị —x;|= 4/5

e Những điều ấy chứa đựng trong kiến thức vẻ dấu của tam thức bậc 2 Xét tam thức bậc 2 : Ax) = ax’ + bx + c va k là số thực dương ta có

* affix) <0, V xe(x1; x): |x) - |= k ADak

* aflx) <0, V xe(xi;x;) : 0 <| xi —xạ|Sk ©A=a

x” + mx —Ï

Thí dụ 6 Tìm m để hàm số y= = đồng biến trên từng khoảng xác x-

Trang 9

Lời giải Tập xac dinh R\ {1} x 2 h(x):= xÌ -2x+l—m Ta có y'=—————————— (x-1)

Ham số đồng biến trên từng khoảng xác định c_‹ nó khi và chỉ khi y`< 0 với VZx z

I ©h(x)<0, VxelR © A',<0 © I-(I-m)<0 €m<0 Vậy ( -ơ:; 0] là tập hợp giá trị phải tìm của m Thi dy 7 Tim m để hàm số y = xÌ(m - x) — m đồng biến trên (1; 2) Lời giải Tập xác định IR

Ta có y`=— 3x?+ 2mx; y`= ©x= gx<e?,

Ham sé da cho dong bién trén (1; 2) ey >0, V xe(1; 2) Do hệ số của w có

mặt trong, y là -3 < 0 nên điều ấy xảy rạ khi và chỉ khi a >2 ©m>3 a 2 | Thí dụ 8 Tìm m để hàm số y= 22743" nphich bién trén (1; +00) t 2m-x Lời giải Cách 1 (Min - max) Tập xác định R \ {2m} I -2m, | 3m | |Ÿ2m 3m” lo -1[P *!Ò 2m ”[-t 2m A(x) := —x” + Amx ~ mì Ta có y'= ; Bl BOs ie (2m - x) (2m - x)ˆ Hàm số nghịch biến trên (!; +) khivà chỉ khi y’ <0, Vxe(1; +ø) 2 1; 1

FT Ho Me h(x) <0,Vx€ (l;+œ) co h(x) <0,Vx € (l;+œ) © maxh(x)<0 (IJ fel

Trang 11

Lời bình

Trong hai Thí dụ 7 và 8 xét ở trên :

e Cách giải I đã chuyển bài toán xét dấu của đạo hàm về bài toán tim-miin -

max Cách này chỉ thực hiện được khi đánh giá được vị trí của tham số đối vvới

miễn đang xét (Thi du 8) hoặc có lập được tham số (Thí dự 9)

e Cách hai là cách giải truyền thống Bạn đừng quên xét dấu của của tam thhức trong hai trường hợp 41< 0 và 44 > 0

BÀI TẬP I Bài tập trắc nghiệm khách quan

1.1, Cho y = f(x) la ham sé không đổi trên khoảng (ø: ở) Trong các khăng định! ssau, khẳng định nào đúng? A f(x) 2 0; B f(x) <0 C f(x) = 0; D f(x) # 0 - 1.2 Trong các khoảng chỉ ra dưới đây, đâu là khoảng đồng biến của hàm số y=d6-x-x?? A [-3; 2]; B.R; C15:2 D.(-3; -31 1.3” Cho y = f(x) là hàm số đơn điệu trên TH (œ; b) Trong các rales điịnh sau, khẳng định nào đúng? A f (x) > 0, Vx € (a; b); B f(x) <0 Vx € (a; b);

C.f (x) #0, Vx € (a; b); D ƒ(x) không đôi dấu trên (a; b);

Trang 12

iki cả ` I, › 5 og š

1.10 Biét rang ham so y = a" (m+ 2x + 4x + | nghich bién trén (x); x2) va đồn; biến trên các khoảng còn lại cua tập xác định Nếu xị= xạ| = 4 thì giá trị im là: \, £2; B +1: C0 D.+3 - - 1.17, Trong các số dưới đây số nào ghí giá trị tương thích của ø để hàm số mx —3 x £ y=—=—— — đồng biên trên (-l: :z) 2 (2 =l)x+m \.V2-1: B.(/2-l: +2): C.(-2:+2): D.1+2 = + 3Ú0n = ])y + Ox +] nghịch biến trên (xị: x) va 3 1.12 Biết rằng hàm số y = đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định Nếu | xị — x› |= 6 thì giá trị m là: A 2; B.-4: C.-4 va 2: D.-2 va 4 Ta SiỂ san bs — đồng biên trên (1; +œ) là : AT +NN 1.13 Tập hợp các giá tri cla m dé ham soy = 1 A.C»:2); B.[1: +); C.(-ø: 0]; D.[3; +2) 1.14 Chỉ ra khoảng đồng biến của hàm số y' = = : trong các khoảng dưới đây : AC; 0) B(—:0)0và(@: 22) C.(095); D, RA],

1.15 Hàm số y = sua 7 đồng biến trên (3; +œ) khi và chỉ khi ø nhận giá trị nào

trong các giá trị sau?

A(T-œ; —l5]; B.[]; +2): C[-IS:+): ° D R\{-I)

Bài tập tự luận

1.16 Tim m dé ham s 43x = 24] nghich bien trén (1; 2)

(Dai hoe Ngoui Ngit ~ 2000)

1.17 Tim m dé ham $6 y = x) + 3x" + my + m nghich bién trén mot khoảng có độ

đài bằng Ì (Đại học QGHN- 2000)

Trang 13

Bài toán 2 Cực đại và cực tiểu

Phương trình đường thẳng ni cực đại, cực tiểu 1 Dấu hiệu nhận biết các điểm cực đại, cực tiêu

# xo € (a; b) được gọi là điềm cực đại khi và chỉ khi xp thoa man | trong 2 điiều kiện dưới đây :

+ Khi qua xo ƒ(x) doi fit từ dương sang dm

(x)

+ Tai xo đồng thời có <0

+ Khi qua xạ, ƒ(x) đói tấu từ ừ âm sang dương

xy

+ Tại xạ đồng thời có i "tx, >0

* Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là điểm cực trị * Đạo hàm (nẻu có) tại điểm cực trị bang khong

® vọ € (a; b) duge ggi là điểm tới hạn nêu ƒ(xo)=0 hoặc f(xo) không xác định

2 Phương trình đường thăng nỗi cực đại, cực tiểu

2.1 Hà ,1 Hàm số 2 yn LOE TEEPE uy đạn px+# ĐI] (1) 1 a) Cách nhận biết / Nếu là đường thăng nói cực đại cực tiêu của hàm số (1) thì nó có phương trìinlh Bish cect tựa (ax? +bx +c) = | (2ax +6) (px+qy' 4 b Caich viét (Cach viết phương trình đường thăng nói cực trị bằng phép thế hữu tì) Viết | ye PO ce a ys r

iét lại _—p*+q— pxer =m tr

Toạ đệ cực trị là nghiệm của hệ :

_ I) eG ey y=mx+n+——— Pred (ay y=mx+nt—— (Ù px+q y'=0 m-——_ =4 mpr +q)=——~ (2)

(px +qy px+q

Thế (2) vào (1) có y = mx + n+ m(px + q) @)

Toạ độ điểm cực trị nghiệm hệ (*) nên toạ độ điểm cực trị là nghiệm phương

trình (3) Bởi the (3) la phuong trình đường thăng nối cực trị của hàm số đã cho

2.2 Hàm số f(x) = ax’ + bx? + cx +d

Phương trình đường thăng nói cực đại, cực tiểu của hàm số /ƒxJ = ax” + bx’? te

xtd la y= mxtn.Trong do_mx+n la du thức trong phép chia Ax) cho f(x)

Trang 14

Cách ï Tập xác định Ä a côi) =x — liy =0 6© x -x=0€x=0.x=1, (1) [x<0 Dau oy > 0 tỳ <00<x<l x>I + eg ai v= 0 ham s6 dat cye dai; ven = 40) = 0 x gel Tại x= I hàm sỐ đạt cực tidus yoy = =w(l)= Cách 2 (Tiếp nói từ (l)): :y = 2v Zại e= 0 có y ` = -l<0, hàm 56 dat cue dai, yop = WO) = wit Tại x = Ieó y` = 1 >0, hàm số dat cue tiéu, yw = 1) = 0 — £ x=x+l 1 2) Xét hàm số y= =x+ Cách I ¬ x'-2r=0€>x=0.x=2 (2) 0<x<l #3? I<x<2 [x 0 Dau v(x) 4 (x) > 0 | >" y/.(x)<0 © Tại x = 0, hàm số đạt cực đại: y p= W0) =-] 0 1 2 "" Tai x = 2, ham so dat cực tiểu; y; = y2) = 3 — 2 * (x= ~2 <0, hàm số đạt cực dai, yen = x40) = -1 2 > 0, hàm sé dat eye tiéu, ye = (2) = 3 Cách 2 (Tiếp nồi tir (2)) 5 = Taix=O0coy Tại x= 2 có y Lời bình

Trang 15

= pier 2x) b) Xéthảm số y= +xV3+cos2x Tập xác định D = (0; — 2} Trên Dtacó(*)© — ve(0.Z) oy’ = V3 -2sin2x,y" = 0 <> sindx =" eS vem liars = AT} @ y” = 4cos2x Taix=2,y"= AcosZ =2>0 (2) 6 3

Từ (1), (2) suy ra x ¬ là điểm cực tiểu,

Yer = W= 214 2B cop = pet 1 tae Tair=2 y= 4eos 7 =-2.<0 : @) Từ (1), (3) suy ra x s là điểm cực đại, z3 2m z3 Yep = we yes e052 =14 793

Loi binh: O cau 1, dưng! ta lựa quy tắc | vi a tinh dao ham cấp 2 có phần phhức

tạp Ở câu 2, chúng ta lựa quy tắc I vì việc tính đạo hàm cấp 2 thật giản đơn

Thí dụ 3 Chứng minh rằng hàm số y= Vx? khong có đạo hàm tại x = 0 nhungg

vải, đạt cực tiểu tại điểm đó

Lời giải

Tập xác định J Viết lại y = NT =3yVy =2x = y'= as

Trang 16

mz2 m2 m=-l

y(2)=0.© 4(2+m)` =1 © J|m=-3 Om=-3

y"*(2)<0 2+m<0 m<-2

_Vậy m = 3 là giá trị duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán

[semi ay 5 Tim a dé ham sb y= 2-2x+avdx?~4x+5 có cực đại Lời giải Tập xác định ÍR Tà có) E-22— S0 2 rsa Se () Vx? 4x45 \JŒ?-4x+5)` x ặ : š '=0 Hàm số cổ cực đại cực tiểu khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm l 9 (2) yes ® Từ (1) suy ra y” < 0 có nghiệm khi và chỉ khi a <0 (3) & 3 a(x—2) £ sẽ ®Tacó y` =0<———————== 2 Kết hợp với (3) suy ra: dx?-4x+5 * x92 (4) 2 _ = lx-2L 2L 2l =l=l|a|>2 > a<-2 oe (5) "Tal Meat 2y +1 “e- 2 |x-2| “<0 Lại có lim — È = lim |X=2LE— =0 © lim |aE+ee = lima=-œ (6) ._ 2 Jal «2 Í(x-2ÿ? +1 x2 x2 Từ (5), (6) suy ra_(—00; —2) là tập giá trị phải tìm của a 2 2 Thí dụ 6 Chọ hàm số f(x) = 22 —™—™ +9 x-m @)

Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình đường thăng nỗi các điểm

cực đại, cực tiểu của hàm số Lời giải Tập xác định \{m} Viết lại (1) ƒ(x)=2x+m+ Ta có ƒ'+)=2-——" 7 x—m (x-m) _ '[y=/Œ) y=2x+m+ (2) Xabephương tàn |? 1e 9-9 9° se /ua= nh ¿đ-1n =2%x-m) @) 4 Thé (3) vao (2) y= 2x + m+ 2(x-m) <> y=4x-—m ` (4)

Toạ độ cực trị là nghiém cua hé (1), (2) nên toạ độ cực trị là nghiệm phương

trình (4) Bởi thé (4) là phương trình đường thẳng nói các điểm cực đại, cực tiểu

của hàm số đã cho

Trang 17

Lời bình

se Chúng ta viết phương trình đường thẳng | nối cực đại cực tiểu nhưng khiônng hé biết đến các điểm cực đại và cực tiểu ấy Điều này có ý nghĩa biết bao ! Wii rang thêm một phép toán là thêm một nguy cơ sai Hơn nifa viéc tinh toam nhiétu khi phức tạp, và khơng phải mọi phép tốn đều "bám" được bằng máy tính

e Để có phương trình đường thẳng nối cực đại cực tiểu, lời giải trên đãi tách phần nguyên của y = fix) và khử phần hữu tỉ của nó "Có săn của nhà" sự phân rã tích cực của y' = 0 đã làm cho phép khử thật giản đơn

x42

Thi dy 7 Cho ham s6 f(x) = —mxe—x+m

1) Chứng tỏ hàm số trên luôn có cực đại, cực tiểu -

2) Viết phương trình đường thăng nỗi các điềm cực đại, cực tiêu của hàm sé,

Lời giải

Tập xác định R

1) Ta có ƒ(Œ) = xˆ ~ 2mx —l RG rang voi Vm ta cd c <0 <a, nén f(x) = 0) c:6 hai nghiệm phân biệt x, + x va f(x) > 0

+ +

x<%

2 Sx) <0 x1 <x< x x x2 x x>%

Bởi thế hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu không phụ thuộc vào mm

2)Chia /ñ) cho/ƒ) ta 06 f(x)= +) f(a) + FL (m? +x m1)

y=/Œœ) (I) Xét

” lu 0 (2)

Toạ độ các điểm cực trị là nghiệm của hệ (1), (2) suy ra toạ độ các điểm cực tri

là nghiệm phương trình @) Bởi thể (3) là phương trình đường thắng mói các điểm

cực đại, cực tiểu của hàm số đã cho Thế (2) vào (1) ta có y = 3œ +g-m-I] @) Thí dụ 8 Cho a < b < c Chứng tỏ hàm số ƒx) = (x — a)(x - ðXx ~ e) luôn có cực đại, cực tiểu: Lời giải Tập xác định Ta có ƒ(x) = (x— aX+x — ð) + (x — bx - c) + (x - eXx — a)

= 3# ~ 2(a + b + e)x + (ab + be + ca)

Ta 6 fa) = Ab) = 0 suy ra fb) — f(a) = 0 Theo định lý La-grăng tồn tại x, € (a; 5)

Trang 18

Lời bình /

Bạn cũng có thê chứng tỏ ƒ'(x) có hai nghiệm phân biệt băng cách xét A' Ta có

A'=(a +b +c) —3(ab + be + ca) = 1 (aby + (b ~e}' *+(e=a)"]>0

Rõ ràng A' > 0 với mọi a < b < c nên ƒ(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt xị # x; Tuy nhiên ngoài các chứng tỏ ƒ(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt xị # x‡ , theo cách

sử dụng định lý La-grăng ta còn thây vị trí điểm cực đại, cực tiểu so với «, b, e BÀI TẬP 2 Bài tập trắc nghiệm 1.23 Tập giá trị của để hàm số y= ee hehe có cực frị là: x+m A (0: 1); B.(-1;0); C (-%; -1)U (0; +2); D R\{0 1} 3 1.24 Giá trị của in để hàm số y = = + (m ~ Ix + (m? = 7)x + 9 có cực đại cực tiểu là : A (-5; 3); B (Tœ; ~5) U (3; +0); ‘ C.(-3:5% D.[-5; 3] 1.25 Nếu hàm số y = an xe không có cực trị thì giá trị của m là : A R\{0}; B (-00; 0); C (0; 0); D (0; +®) 1.26 Nếu x = ~1 la diém cực tiêu của hàm số 3 s s * f(x) = LE, CMD nf +6 thi git cila m là : A ly B (0; +00) ; € (=œ; 3); D.-1

1.27 Nếu x = —1 la diém cye tiéu cua ham s6 -

Ax) = -x" + (2m - I? - (me + 8)x + 2 thì giá trị của m là :

A 9; B 1; C +2; D 3

1.28 Nếu x = I là điểm cực đại của hàm số /x) = x`~ 2mw” + mổx + 3 thì m nhận

giá trì nào trong các số dưới đây ? '

A 3; ‘BI; C.1và3; D [1; 3] Bai tap ty luan

1.29 Tìm các khoảng tăng, giảm, các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số Sx) = xe

(Đại học KTQD, khối A, 2000)

1.30 Tim m dé ham sé y = -mx' + 2m?x? + 5 dat cyc tri tại =t Khi đó x “4 là

điểm cực đại hay cực tiểu ? (Đại học Thái Nguyên, khối A + B, 2000) 1.31 Xác định ø để hàm soy = asiinx + sin3x dat cực trị tại x “ §

Trang 19

2 1.32 Cho hàm số y= Z1 +! x-—m Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu Viết phương trình đường thẳng nói ciực đại, cực tiểu của hàm số m-| 3 EE cree 3 có cực đại, cực tiêu Việt phươmg trình -x~m _ đường thẳng nối cực đại, cực tiểu của hàm số ấy xÌ+x+m 1.33 Giả sử hàm số y = 2x * m +” 1.34 Cho ham sé f(x) = Tt x=

1) Tim m để hàm số có cực đại, cực tiểu -

2) Viết phương trình đường thing nồi cực đại, cực tiểu (Học viện KTMM, 98)

1.35 Viết phương trình đường thẳng nói cực đại, cực tiểu của ham số xÌ~2x+m+2

#œ)= “uốn (Đại học Thương Mại, 1997)

‘ 2 4 1 - : £

1.36) Tìm m để hàm số y = mm có cực đại, cực tiểu trái dau với nhau ? ee

Bài toán 3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Pham vì của chương trình, là giới thiệu tìm GTLN.GTNN của hàm số bằng

phương ; pháp đạo hàm Các bạn xem lại một số ó phương pháp khác đã được tác gia

của cuôn tài liệu này trình bày trong cuồn "Boi dưỡng Đại số 10", Nhà xuất bản

Đại Học Quốc Gia Hà Nội

Cho hàm số y = x) xác định trên đoạn [a; 5]

Giả sử trên [a; b], hàm số có các điểm tới hạn x„ (¡=l,2, , #) Khi đó

° min = min {f{x, ), fa), Ab)}

Néu trén (a; b), ham soy = fix) co duy nhất một điểm tới lrạn x; thì

Trang 20

Cue tri cla hàm số chỉ đạt tại các điểm tới hạn hoặc các điểm biên nên

# min f(x) = min(Ñ0): 81): /2)1 =1) =-5 10.2]

° max, F(x) = min{f0); A1): A2)} =A2) =

[r i du 2 Tim giá trị lớn nhật của hàm số ƒ(Œœ)=x+l=2x

s Lời giải

Tập xác định ( —œ; sh

Teed fhstee el SISO mm -2x

Wiis d m imta( vim) #(x)>0ôâ-<x<0 I * + 0 Thay rang : | j I4) <0cotc se ` = Suy ra x = 0 là điểm cực đại duy nhất của hàm số trên ( —œ; 2È Bởi thế nên max f(x) =f0)=1 cao] E dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của`hàm số y = 4x x- trén khoang (1; +2) Lời giải | 1 y:J/=0©4- 7 5 (x-1)° khảo (x-1)° 2 J Taco y=4-

Giá trj x = ; khong thudc khoang (1; +00) đang xét

Taix= 36 y"=§>0 suy ra x = ; là điểm cực tiểu của hàm số,

|

re (x=ĐỶ

Trang 21

x=-l

x=1¢[-3;0]

Trén [-3; 0] ham sé y = fx) co duy nhất một điểm tới hạn la x =

Ta c6 | A-3) | = 16, | A-1) | = 4, | AO) | = 2, suy ra max | f(x) = |A-3) |= 16

SQ) = 3? = ),S@)=0 &

Thi dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất của biey thie Q = sind + sinB + sinC, mong até

A, B,.C là ba góc của một tam giác

Lời giải

B+C B-C A4 B-C

Biến đổi @=sin 4+2sin cos =sin A + 2eos 7 cos

= Ø<sin4+2eos2 „ đấu đăng thức có khi 8 = C Cd)

Goi f(A) =sin A+ 2eos, Ae (0: Z) Ta có Riga op ae 24 A mm 7 Al Sgi8E * ~ S(A)= 0 <> 2sin’? s+sm=l=0 © sins idee (2) ƒW(4)= ~sinA~ 2 eos2 <0, VA € (0:2) @® Từ (2), ) suy ra mafia) =A) =) +33 (4) 4 3 2 Từ (),(4) suy 0 01+, dt uge kid = B = C=% w Vay maxQ = 1 os đạt được 448C là tam giác đều BAI TAP 3

Bài tập trắc nghiệm khách quan

1.37 Đâu là số a gt trị của m trong các số dưới đây, nếu 10 là giá trị lớn nhất

Trang 22

1.41 Giá trị nhỏ nhất của hàm số fix) = x + cos2x trên [0; : là: 5+ 63, Sx -6V3 | Cc z-6\3 D x+63 A 2519 207 B 6 ; ' 27 12 1.42 Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị lớn nhất của hàm số A(x) = xe“ trén khoảng [-2; 1] ? A abs B.e; C5; e ' e D.e 1.43 Giá trị lớn nhất của hàm số y= j9— 7x” trên đoạn [—l; 1] là: A.J2; B.4; C,3; D.2 1.44 Trong các số dưới đây, số nào ghi giá tị nhỏ nhất của hàm số Ax) = V15 ~2x trên khoảng [—5; 3] 2 A.3; B.5; C.vI5; D.v13,

Bài toán 4 Cung lồi, cung lõm và điểm uốn của đồ thị

Cho ham s6 y = #x) xác định trên khoảng (4; b) Kí hiệu /(z),/'Œœ), (ở) là đạo

hàm cấp I, cấp 2 và đồ thị của #{x) trên khoảng ấy

e (Ó) được gọi là /oi trén khoảng (4; b) <> f"(x) < 0 Vxe (a; ở) © (¥) duge goi là lõm trên khoảng (a; b) <> f(x) > 0 Vxe (a; b)

Trang 23

=Ix] 8 # 8 DO thi của hàm Lõm Léi Lom số 2 = 3) Xéthàm số y2“ —X~2 3 q) x+l Tập xác định I*\ {—1} Viết lại (1) y=2x-3+ = x+ 1 1 Ta có =2 -— y= y (x41? Ỷ (xt

đỗ thị hàm số lồ: trén khodng (—c; -1), lm trén khodng (—1; +0) Tuy dao haim

cấp 2 đổi dấu khi qua x = —È, nhưng đồ thị khang có diém'udn vi tai x = — 1 hàm :số

không xác định

„J"<0<>x<-l,y">0<>x>-] Suy ra

Thí dụ 2 Xét tính lồi lõm, điểm uốn của mỗi đồ thị sau :

Trang 24

Lời giải Tập xác định R Ta có y`=——= —-,y"= % (xtx+l} v= 0 3 (2x+l)@w +x 2) 1 1 a Se xF-— x= 1x5 + 2 sm wre [ạ.v 1 Dâu y”: y”<0<3 I v> 0c 2 =—<xz<l 2, x>t

Rõ ràng y" đối dấu khi lần lượt di qua các nghiệm của nó Từ đó két luận đỗ thị

() đã cho có ba điểm uốn Toạ độ điểm uốn là nghiệm của hệ : () (2x41? +x-2)=0 (2) Đề ý (2) © (2x + I)(xÌ+xv + l)— 3(2x + l)=0 @) Chia theo từng vé cho x’ +x +1 £0 ta cd (3) <> 2x4 I- we 0 (4) Thé (1) vao (4) c6 2x + 1 - 3y=0 ao (5)

Toạ độ các điểm uốn nghiệm hệ (1), (2) nên toạ độ các điểm uốn là nghiệm

phương trình (5) Điều đó chứng tỏ các diễm uốn của đồ thị (ý) thăng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng (A) có phương trình 2x + 1 - 3y = 0 (dpem) Lời bình: Phương trình (2), hay cũng vậy phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (A) với đô thị () sau khi đã khử mẫu thức phương

trình của (*) Bởi thế việc chia cho x? + xr] (mẫu thức ctia f\x)) đó là cách đẻ khôi

phyc fx) mà thôi

/ ; BÀI TẬP 4

1.45 Xéttính lôi lồm, điểm uốn của mỗi đô thị sau :

Trang 25

Bài toán 5 Đường tiệm cận của đồ thị

° Đường thang (A) :y =ax +b latiém can ctia dé thi (4): y = Ax) khi va chi khii

fim [/()~ (ax + 6)]= 0 hO&e tim (f(x) (ax +ð)]=0

> Néua mg 0 thì (4) được gọi là tiệm cận xiên, a = 0 thi (A): » = b được gọii là

tiệm cận đứng

> Ta có thê tìm a, b của đường tiệm cận y = ax + ở bằng cách sau

a= lim ree oy vbồ= dim [ f(x) - 4] hoặc 4= lim ——^ ree oe ) » b= lim[ f(x) ax] s Đường thắng (4): x = xo là tiệm cận của đồ thị (0: :y= #) khi và chỉ khi

lim ƒ(x)= +œ hoặc lim /(x)= +œ hoặc lim ƒ(x) =~œ hoặc lim ƒ(x) = —œ- 19K) ry ron tr ax+b ụ > Dé thi »= axe’ có tiệm cận đứng x = -~;, tiệm cận ngang y = = aa Oe +bxte > Đỗ thịy= “^^ px+q = mx +n px+q có tiệm cận dimg x =~5, tiệm cận ngang y=mx + n > Đồ thị y=mx+n+vjax +bx+c (a > 0) có các đường tiệm cận là y=mx+n~Ía|x+-P 2a Thật vậy : Ta có a y~mx~n~ |alx+-2|= {e2 +bxz+e - {2 = b 4a 2n va|r+z.l+Ver' +ix+e ‘a

Suy m lim Í mx -n- wiles 3 Jim, z =0 =_ đpcm

\ s|#|: e+ Ole lat vbere Thí dụ 1 Tìm các đường tiệm cận của mỗi đồ thị sau : - Bs p= a 2 y= 2x+3 x+l x+2 Lời giải 1) Viết lại ye gan acd: x+l x+l e lim y= lim KH cận ngang y = 2 pte x~¬y‡+el x+l

e lim y= lim {2-5)=+ lim y= lim (2 4)- suy ra đồ thị

Trang 26

® lin[y-(x-4)]= lim Corte roto x42 =0 suy ra đồ thị có tiệm cận xiên y=x~ 4 f i š g ‘od ° lim y= lim | x-4+ =-~2-z, lim y= lim |x-4+ 2 x-+-2° x+2 x2 —-3 ra đồ thị có tiệm cận đứng x = -2 =-2+œsu ch) y Thí dụ 2 Tìm các đường tiệm cận của mỗi đồ thị sau : l)y=3x+ sinx 2) ye Sx 2x-z l+x? Lời giải 1) Ta có :| y— 3x|= sink |< : Lại có lim © 2x-a| |2x-Zz| x¬+s| 2x — Z|

=> lim | y—3x|= 0 suy ra đồ thị có tiệm cận xiên y = 3x

« lim y= lim (3+ sins }-%+c0= 40, Sy x3) 2x-z} 2 s lim y= lim ở sik )-#-=- —œ suy ra đồ thị có tiệm cận đứng x = z ety my '2x—7 2 2 2)Ta có lim y= lim ——— sr lim nS ay ra y = 5 là đường tiệm cận rte" i x

ngang phía trên của đồ thị đã cho ,

lim y= lim EES) = lim Boe ~5 suy ra y = -5 là đường tiệm cận

ree we [| v2 tte LV ay

2 x

ngang phia dưới của đồ thị đã cho

Trang 27

were m K- mm +1

có hai đường tiệm cận xiên là y = -Ảv+ 7 và y = 2x + 7

=0 suy ra đỗ § thị

Chú ý: y = -4x +7 được gọi là tiệm cận xiên bên trái, y= 2x + 7 được gọi là tiệệm

cận xiên bên phái của đô thị

ngang y = 0 và tiệm cận xiên y = -2x

Lời bình : Xét đồ thị () : y= mx + n + Váy +bx+e (a> 0)

Nếu |] = va thì (Ý) có một tiệm cận ngang và một tiệm cận kiên

Nếu | m| # Va thi cả hai đường tiệm cận ( #) đều là tiệm cận xiên

(Bạn cần biết với ø < 0, đỗ thị y = mx + n+ Jax’ +bx+c không có tiệm cận bởi nó không có nhánh vô cực)

Thi dy 4 (Đại học Sư phạm Vinh, khói 4, 2000) (m+2)x” +(3~ 4m)x -2m xem Cho họ đồ thị ( Ý„) : y = „m là tham số (l) Chứng minh rằng đường tiệm xiên của đồ thị (Ý„) luôn tiếp xúc với một parabol có định Lời giải Ta có (l)<© y=(m+2)y+uÊ—2m+5 +0— 1 x-m

Diéu kién dé ham s6 co tiém can xién la: m ¢{-2; 0; 1} “

Trang 28

3

x x

y= (Stm- TT t3x+2

“ : +e ae a wk “ oe x

Ta sẽ chứng minh tiệm cận xiên (¿) tiép xtc voi parabol (P): y= — xì +3x +2, Điều ấy động nghĩa với việc chứng mình hệ sau đây luôn có nghiệm với mọi 0: x v a ([+m-ly -—+3x42=-—+3x42 2 4 4 2 3 lễ +m=9) -TtMt2=CT+3x +2) x es “ H ` ig i Ho nik

c© ST ml =0 Vậy với mọi m e [R hệ luôn có nghiệm x = 2 - 2m Ta có

điều phải chứng minh Cách 2 Phương pháp biên Viết lại (2) c> m” + (x—2)m + 2x + 3 - y=0 Xem đây là phương trình bậc hai đối với ẫn m Ta có A'= @x~ 2) ~ Á(2x +3 — y) =x” ~ 12 2x-8+4y A'<0©x'~l12v-8+4y <0 © Yr eave x

Ta sẽ chứng mình tiệm cận xiên (2) tiếp xúc với parabol (Ø) : y ra 43x F2 Dieu ay đồng nghĩa với việc chứng minh hé sau đây luôn có nghiệm với mọi ? : 2 (m+ 2)xet m? -2m+3 = — +3x+2 [Un+2)x+ m° -2m+3]'=(-A +304 2 (m=l)x + (m=)? =-— ox? =0 4s 7 > x=2-2m x=2-2m = x m-\= 5

Vậy với mọi m e lR hệ luôn có nghiệm x = 2 — 2m Ta cd điều phải chứng minh Cúch 3 Phương pháp đạo hàm theo tham số ' Xã hệ Íy=(m+2)x+wẺ ~2m+3 y=(m~-l)x+(m~—l)+3x+2 (5) >> Lym) =0 m-1=-5 (6) 3 : 2 Thể (6) vào (5) có vr-2~‹|-Ÿ] +3x+2 © y= +3xr+2

Ta sẽ chứng mình tiệm cận xiên (2) tiếp xúc với parabol (Ø) : y= oe +8x+2

Phân còn lại như cách 1

Trang 29

Lời bình: Các bạn xem cách viết phương trình các đường, tiếp xúc với họ ducong cong được trình bày trong một số tài liệu Chang hạn : Phạm Quốc Phong, Chuyên

đề nâng cao Đại số và Giải tích THPT, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nộii Thí dụ 5 (Đại học Y Hà Nội, 2001)

5 - `

Cho ho d thi (6): y=“ x= mt tham số a) Tim mm sao cho đường tiệm xiên của đồ thị (Em) cắt các trục toa dé tại hai điểm

A va B sao cho dién tích tam giác O4 bằng 18

Loi giai

Điều kiện để hàm số có tiệm cận xiên là ï m z 0 (2)

Taco lim(y—x—m-1)= lim -“—=0 rote xoie y—]

Suy ra (%,,) ; š c6 tiệm cận xiên là (đ) : y = x + m +] +; Í @)

Để (2) cắt các trục toa độ tại hai điểm phân biệt phải có m +1 # 0 (4)

Khi ấy ta có (2) œ —T—+——=I —m-Ì|_ˆ m+l]

Suy ra A(-m —1; 0), B(O; m +1) la giao điểm của (đ) với các trục toạ độ

Gọi diện tích tam giác O4 làS ` (m+1) Ta có S = 5 04.08 = 2|7m~II.Im+ll* (m+1)

y=x*+l

nó là phần còn lại của đường thẳng y = x +1 sau khi đã bỏ đi điểm (1; 2) Giá trị m = 0 là đáp án của câu hỏi tìm m để đỗ thị (Ý„) không có đường tiệm cận

Thí dụ 6 Cho A⁄ là một điểm thay đổi trên đồ thị (): y= 2x +3 +:

Chứng minh tích các khoảng cách từ A⁄ đến ,các tiệm cận của (<⁄) là một số không đổi Lời giải Xét đồ thị (2) yarns =

` Đồ thị có tiệm cận dimg x = I vi:

lim y = lim (2x+34+—"-)= —œ, lim y = lim(2x+3+—“—)= +0,

ror rl x- rol xr x-

Trang 30

Đỏ thƑcó tiệm cận xiên y= 2x + 3 (c>2x~ y+3= 0) vì: \

jim (y - 2x -3)= lim a =0, lim(y-2x-3)= lim ——=0 nx] — pe x= |

* Diem ÁM(xo: yo) thuộc (2) khi và chỉ khi yo = 2x + 3 + 4 i : XạT— € yy-2xy-3=— Xạ—l () s Khoảng cách từ điểm A⁄ đến tiệm cận đứng là đ; = | xọ -l | (2) 2 2 Dae + Khoảng cách tir diém M đến tiệm cfn xién la dy =/220 220 +31 8 | Thay (1) vào (2) có đà =—————— @) M5 | xạ —l| ; 5 Xp) -1 8 Tir (2), (3) suy ra did, -—x-Il_ wl Tom lại luôn có dịd; = a khong V5|x,-1| V5 đối Đó là điều phải chứng minh 5 Thí dụ 7 7 Tiếp tuyến tại M của đồ thị (4): y=x+1+ = cắt các đường tiệm x=

cận xiên của () tại 4, tiệm cận đứng của (2) tại Ø Chứng minh X là trung

điệm của 48

Lời giải

Xét đỗ thị 2): y=x+ l wt Đỗ thị cổ tiệm cận đứng x = 1 vi: x- lim y = Infxvize is —m, lim y = lim(x+l+—-)= +0, tol xi x- or xl" x-¬l Đồ thị có tiệm cận xiên y= x + Ì vì : ; | : I lim (y~ x~l)= lim —— =0, lim (y-x-l)= lim ——=0 ro 1-0 x ren reo x—] | (x-l) ® Do B thuộc tiệm cận đứng nên x„ = l 1 x—Xg)+ Œ I sả “Theo bài ra, hoành độ điểm 4 là nghiệm của phương trình ri La esr (% - Ta có y'= | — + Goi (A) la tiếp tuyến của (2) tại M(xu; yo) ® Phương trình của (44) la y= [ - x-X ! )© — 5 1 (x) -1) xạ —Ì Œạe-Ùˆ xạ-l

đây, kết hợp với 4, B, A⁄ thẳng hàng ta suy A là trung điểm của 4B (đpcm)

©x+tl=(r-xọ)-

Trang 31

Lời bình: Bạn có thể quên các mệnh đề tương đương sau: -

X; tXy =2, «(ly e/latrung diém AB <> MA+MB=2Mi ‘> Vat dy =2y, (2) > {Xt x4 = 2x) va A, B, ¡thắng hang} <> {y„ +y= 2y, và 4, B, / thắng | hanng}

Nghĩa là điều kiện 44, 8, 7 thăng hàng có thể thay thé cho một trong hai điều kkiện

(1) hoặc (2)

BÀI TẬP 5

Bai tap trac nghiệm

1.49 Trong các két ava sau, kết quả nào nêu đúng cả hai đường thắng đều là triệm x =8 „ cận của hàm số y= 1 x- A.{x=l:y=x-2]; B.{x=-l;y=x-l}; C.{x=l:y=x+*l} D.{x=l;y = x+2) ` 1.50 Trong các kết quả sau, kết quả nảo nêu đúng cả hai đường thăng đều là tiệm bến c8 HỖ llJ Tấm đốn ~ ZefX in x- Tha ‘ A {x= Iyy = 2x +3}; B {x= 1; y = 3x+2}; C {x= 1; y = 3x - 2}; D.{x=-l;y=2x- 3} 1.51 Trong các số dưới đây, đâu là giá trị ghi số đường tiệm cận của hàm số 2x -I 2 A 3; B 0; GC fy D 2; 1.52 Trong các kết quả sau, kết quả nào nêu đúng cả hai đường thẳng đều là tiệm cận của hàm số y = 2x + | + Vx”~2x+3 2 A.fy = xi y = 3x'+ 2}; B.{y =3x; y =x +2}; C {y=x,y = 2x + 3}; D.{y = 3x; y = 3x - 2} 1.53 Trong các két qua sau, kết quả nào nêu đúng cả hai đường thẳng đều là tiệm 3sin x— 4sin” x cận của hàm số y=x+2+ X-“$" * ¿ 6x-7 7 1

AAx= = y =xt2}; ten Fiver B{x=~;y=x†2l te= Zi yaxt2h:

Trang 32

1.56 Tìm m sao cho tam giác tạo bởi hai trục toạ độ và đường tiệm cận của đồ thị cars| ` — TM 66 dign tich bằng 4 (Dai hoe Su Pham Kj Thudt TP Ho Chi Minh, khoi A, 2001) 2 — mồ _ p2 — 1.57 Cho dé thj (4,,) : jp OED ems ns Ác 2) ,me#-l x-m Chứrg tỏ các tiệm cận xiên của đỗ thị (2⁄4) luôn tiếp xúc với một đường cong £ có định

Bài toán 6 Sử dụng đạo hàm chứng minh bắt đẳng thức `

Thí dụ 1 Chứng mỉnh với mọi xe[0; 1] ta cd el sl-x+ = | 2 " Lời giải Xét làm số /00=Š~x~-c+l với xe[0: l] 2 e » Ta c¢ Sider leh, fry =1-L Ro rằng ƒ"(+) > 0 với Vx e[0; 1] e e suy ri f'(x) la hàm số đồng bién trén [0; 1] nên ta có ƒ'(x) > ƒ'(0) = 0 tức là /#!œ)> Cvới Vx e[0; l]

Trang 33

Tacéf (x)= cote +x-* fx) =1 ~ (14 cot'x) =~ coỦy

Rõ ràng f"(x) <0 ›„Vx€ (0`) suy ra ƒ'(x) nghịch biến trên oD

Bai thé fix) < ) = 0 hay 1a In(sin x) + ;ứ xẻ <0,Vxe (02) ; (đpem) Thi dy 4 Cho xe (0; =) Chimg minh : = ¬ 2 sin’x x a 3 Lời giải 1 1 a Xét hàm am f(x) atx „ với xe (( = —=> Với 0; —] Ji Ta có : a có suế 2 /œ=2|S- sex )./e= o[ 3-8 x sin’ x x sin’ x ]‡uwetwE 2 > #@) giảm trên (0; 5] => /œ> #=5»>0 a 4 a a 4 > f(x) tang trén (0; 5] > ⁄&)<#7)Z I~-=y (đpem) 7T Thí dụ 5 /TSĐH 2007, khối D) b a Cho a 2 b > 0, Chứng minh rằng (+2) (2+) (1) ' Lời giải Nhân theo từng về với 2”, ta có (1) © (I+4“)” <(I+4?)“ a » ab © bln(1+4°)<aln(+4°) 1+4 ims ) (2) a In(l +4") Xét hàm s6 f(x) = với x>0 Khi đó (2) © fla) < fb) 4*In4' ~(1+4*)In(l+ 4") x'(1+4") khoảng (0; +œ) Bởi thế a > đ > 0 â #4) <ƒb)_ (đpcm)

Thí dụ 6 (Đại Học Sư Phạm Vinh, khối A, 2001)

Chứng ngiŸh ring néu a, b, c la độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì Q:= 3đ” + 3ð? + 3c? + 4abc > 13 Tacó f'tx)= <0 = fix) la ham số nghịc biển trên : Lời giải

Không giảm tính tông quát, ta có thê giả sử a <b <c

Từa+b+c=3 vàa + b> suy rà 1e < 2,8 + b =3 =e Biển đói:

Trang 34

= 3[C3 =e} + c?!]—~ 2ab( - 2e )> 3[(3 2[~ hà) @=%e) = 308 ~6e+9- & 3; 27 , :

Xót hàm số #e) = c` “58 tS với ce[l; >) ta c6 f(c) = 3e(c? = 1)

Rõ ràng ƒ(c) < 0 với Vee[l: 3) nên fe) là hàm số nghịch biến trên [I; 3)

327

suy ra fic)> fll) = Poe =3 (dpem)

Tiasb<c=lvaatb+c=3 suyraa=b=c= 1 Tamgiac ABC đều

Cha ý: Các bạn xem lại lời giải bằng phương pháp bat dang thức được trình bày trong

một số cuốn sách Chẳng hạn : Phạm Quốc Phong, "Bỏi đưỡng Đại só 10", Nhà xuất

bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội

Thi du 7 (Dai Hoc Mo Dia Chat, 2001)

Cho tam giac ABC c6 0< A < BSC < 90" Chứng minh : 2cos3C - 4cos2C + Ï >2 | _ cosC k2 Lời giải

Tir 0<ASBSC<90° > 60°< C< 90" > 0< cost’ < > Boi thé (1) <> 2(4cos'C — 3eosC) - 4(2cos°C - 1) + 1 > 2cosC

& 8cos'C - 8cos’C’ - 8cosC' + 5 20, (2)

Xét ham 6 As) = 87 - BF — 81+ 5 voi te(0; 3} Ta có :

f)= 24È - l6 -8=8(3È ~2r~ 1):/'0)=0e»r= Lư c~Š (loại);

1 re!

rin<0e |< 3 (Q>0e -F <tc t>l

Từ đó suy ra ƒ' () <0 với mọi / e (i2)

Trang 35

1.59 Cho tam giác 4C thoả mãn 4 < B< : <C< =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = cos4 + cosB + cosC

(Học sinh giỏi 12 Hà Tĩnh, năm học 2002 - 2(003)

1.60 1) Chứng minh rằng với mọi x > 0, với mọi z> Ï ta luôn có

x*>at+l-a@

2) Từ đó chứng minh với mọi a, b, c > 0 luôn có

‘a & i a be Sata tal eh

b € a bea

‘ (Đại học Quốc Gia Hà Nội, khối D, năm học 2001-2002) 1.61- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = sind + sinB + V3 sinC,

trong đó 4,8, C là ba góc của một tam giác

(Học sinh giỏi 12 Hà Tình, năm học 2007 - 2(008)

§3.KHAO SAT SU BIEN THIEN, VE DO TH] HAM SO Sơ đồ khảo sát hàm số :_ A Tập xác định ' Tìm tập xác định của hàm só ! | Xét tính chẵn, lẽ, tính tuần hoàn (nếu có) ' ' B Sy biến thiên : ¡ b-l) Xét chiều biến thiên của hàm số i ' e Tính đạo hàm; ‘ : © Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định; ' ' ® Xét dấu đạo hàm; '

' e Suy ra chiều biến thiên : ! b= 2) Tim cực trị và điểm uốn '

' b - 3) Tim cdc gidi han tai +00 và tìm tác tiệm cán ‘ ! b-4) Lập bảng biến thiên ' +.C, Đề thị : Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên đề vẽ đồ thị > Chay aay 1)-Néu hàm số là tuần hoàn thì ta chỉ vẽ đồ thị trên một chu kì rồi tịnh tiễn đồ thị song

song theo trục Óx theo từng bước chu kì

2) Để có đồ thị chính xác, nên tính thêm một số điểm, đặc biệt cần tính toạ độ

các giao

điểm của đồ thị với các trục toạ độ

Trang 36

I Khảo sát một số hàm thường gặp 1.Hàm số y = av` + 6x) +cx +đ | Thí đụ 1: 1) Khảo sát và vẽ đề thị ( ý) của hàm số y = x` ~ 3xŸ + 2 L_ _2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) kẻ từ điểm 4(-l; 2) Lời giải 1 Khao sat và vẽ đồ thị A Tập xác định R B Sw bien thiên 1 Chiéu bién thién Taco y' = 3x" - 6x = 3x(x - 2), =0 ©x=0;x=2

e Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) do y' <0 œ0 <x<2 e Hàm số đồng biến trên các khoảng

x<0 + (—œ; 0) và (2; +00) do y’ > vee

x»2 = x

2 Cue trj va diém uén

Tai x = 0, ham số đạt cực đại; ye„= y(0) = 2

Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu; ycr =y(2) = ~2

Ta có y” = 6(x - 1), y" =0 và đổi đấu khi qua x = l, y(1)= 0 nên /(1; 0) là điện uốn của đồ thị

3: Giới hạn: lim [Pa weg 4) =~s; lim [* ie Jy] pen ex rt š = 4 Bang bién thién x |-0 0 2 +6 7 = +œ —œ € Đồ rhị (Hình 3) "ace xP -3x7+2=0 œ (x-l)@.-2x-2)= 0© x=l; x=1gV nén(1; 0),.(1- V3 ; 0), (1+ V3 ; 0) là

giac điểm của đồ thị với trục hoành

Trang 37

2) Viết phương trình tiếp tuyến

Phương trình đường thăng (A) qua 4(—l; 2) với hệ số góc bằng & có dạng y“k(qx+l)+2 (A) là tiếp tuyến của ( ý) khi và chỉ khi hệ $au có nghiệm Íx?~3x? + 2=k(x+l)+2 a x(x? — 3x) = k(x +1) (2) 3x? -6x=k 3x(x-2)=h @ Thé (3) vio (2) 06 xx ~1) = 0 © x= 0,x= 2 (4)

Thé (4) ào Q3): Với x =0 có &= 0: tớix= 2 cók~— t5)

Thế (5) vào (1) có y = 2; y=-sŒl): Đó là các tiếp tuyến của ( j kẻ từ điểm 4 mà ta phải tìm Thí dụ 2: 1) Khảo sát hàm số y = x +3x°- 4x +4 § _ 2) Goi a la hé số góc của tiếp tuyến của đồ.thị đã cho;Tìm giá trị lớn nhât của a Lai giải 1) Khảo sát và vẽ đô thị A Tap xdc dinh R B Sự biến thiên 1 Chiều biến thiên

Hàm số ngịch biến trên ÏR do y'= ~3x” + 6x ~ 4= =1 - 3(x ~l)' <0 với Vxe lR

2 Cực trị và điềm uón

Hàm số không có-cực trị

Ta có y" = -6(x - 1), y" = 0 va di dau khi qua x = 1,}(1) =2 nén (1; 2) là

điểm uốn của dé thi

3 Giới hạn: lìm [+ inte |: lim |~ a -2.4-4p)- ~= II x x x + x x x

4 Bang bién thién x | -o to y = +00 ——— SỐ y _ C Đỏ thị (Hình 4) Tá có -¬x” + 3x ax +4 ©(2-x +? ~x+2)= 0 © x=2nên(2;0) là giao điểm duy nhất của đồ thị với trục hoành

Khi x= 0 có y= 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ

thị với trục tung Đồ thị nhận điểm uốn / là tâm

đối xứng

Trang 38

2) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (xo, yo) là a= ƒ(xo)= —1 — 3(xạ —L)°= maxø= ƒ(1) = —]

Chú ý : Vậy tại điểm uốn của hàm số y = axÌ + bx? + cx + đ, hệ số góc của tiếp

tuyến đạt trị só lớn nhắt nếu ø < (, nhỏ nhất nếu a > 0 > Đáng điệu của đồ thị hàm số y = ax” + bx” + cx + đ | | | a>0 a<9 Phương trình y=0 'có hai nghiệm phân biệt Phương trình „=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm 2 Hàm số y = ax'+bx?+e (#0) Thí dụ 3: 1) Khao sát và vẽ dé thi y = x‘ - 8x° + 12 2)Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của hàm số đã cho Lời giải 1) Khảo sát và vẽ đồ thị A Tập xác định TÑ Hàm số đang xét là hàm số chẵn B Sw bien thién

1 Chiếu biên thiên

Tacó y'=4x`—:l6x =4x(@ -4),y'=0c>x“0,x= +2

\

0<x<2 x>2

biến trên (~e; =2) và (0; 2), hàm số đồng biến trên (~2; 0) và (2; +œ)

2 Cực trị và diém uon

Tại x = 0, hàm SỐ đạt cực, đại; Yep = 12 Tại x = +2, hàm số đạt cự tiểu; erE= -4

# x<-2 -2<x<0 ‘

Dauy:y<00 „ J'>0< „ suy ra hàm số nghịch

4 2 2, 28

"= 4+” — 4), y" = 0 và đôi dấu khi = +=, y+-=)=—

ey" = 43x" ),y và đôi dâu khi qua x G y{ Ncủ ọ Suy ra

Trang 39

4 Bang biến thiên : —œ 2 0 2 tx y + » = 0 + G5 C Dé thi (Hinh 5) Đồ thị nhân Oy là trục đối xứng x 82412=00 x=4V2, x=+V6 Dé thj ct tryc Ox tại 4 điểm (+J2;0); (£|6;0) =x! 8x4" =x! 8x? +12 y=x eit eg Pe X + " 2) Toạ độ cực trị là nghiệm của hệ | y'=0 4(x`~4x)=0 y=x.x` ~8x? +12 qd) SS x =4x Q) Thế (2) vào (1) có y= x4x - 8# + 12 œ y=-~ 4x#'+ 12 @)

Toạ độ cực trị là nghiệm của hệ nghiệm hệ (1), (2) nên toạ độ cực tri, la

nghiệm phương trình (3) Bởi thé (3), la phương trình parabo] di qua các điểm

Trang 40

> Đáng điệu của đồ thị hàm số y = ax‘ + bx’ +c, (a #0) Ta có y' = 4ax’ + 2bx = 2x(2ax +b T ` a>0 I a<0.- y Phuong trinh y=0 co ba nghiém phan biét Phương trình } y y= có một nghiệm duy nhất 2 5 q : 3.Ham sé y= ** (640, D=ad -bc20) cxtd jab Ban cé thé tinh dao ham theo céng thire v' = += d

(Bạn có thê tính đạo hàm theo công thức ' Tay)

ae ss ‘ 4 3x+4

Định dạng
Số trang	238
Dung lượng	29,89 MB