TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu Câu (2,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút Đáp án a) (1,0 điểm) o Tập xác định: \ {1} o Sự biến thiên: * Giới hạn, tiệm cận: Ta có lim y lim y Do đường thẳng x tiệm x 1 x 1 cận đứng đồ thị (H) Vì lim y lim y nên đường thẳng y tiệm cận ngang đồ thị (H) x Điểm 0,5 x 0, với x ( x 1) Suy hàm số đồng biến khoảng ; 1 , 1; * Chiều biến thiên: Ta có y ' * Bảng biến thiên: x y' y 1 o Đồ thị: Đồ thị (H) cắt Ox 2; , cắt Oy 0; ; nhận giao điểm I 1; 1 hai đường y 0,5 O I x tiệm cận làm tâm đối xứng b) (1,0 điểm) , với x Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên hoành độ tiếp ( x 1) x điểm nghiệm phương trình , hay x 1 x 1 x *) Với x ta có phương trình tiếp tuyến y x *) Với x ta có phương trình tiếp tuyến y x Vậy có hai tiếp tuyến y x y x a) (0,5 điểm) Ta có y ' Câu (1,0 Rõ ràng cos 0, chia tử số mẫu số A cho cos3 ta 0,5 0,5 0,5 điểm) A tan 1 tan 2 tan tan 2.5 16 b) (0,5 điểm) Giả sử z a bi, (a, b ) Suy z Từ giả thiết z 2(1 i ) a bi a (b 1)i 1 i 2 số thực ta có b 1 i 0,5 Khi z a i a a Câu (0,5 điểm) Câu (1,0 điểm) Vậy số phức cần tìm z i z i Bất phương trình cho tương đương với 2 23 x.21 x x 23 x 1 x x 3x x x x x x 0,5 *) Điều kiện: x 2 x Phương trình cho tương đương với x x x x x x Ta có x x 42 x x , với x 2; 2 0,5 Suy x x 2, với x 2; 2 Dấu đẳng thức (2) xảy x 0, x Đặt (1) (2) x x t Dễ dàng có t 1; 2 , với x 2; 2 Khi vế phải (1) f (t ) t 2t 2, t 1; 2 t Ta có f (t ) 3t 4t t 22 Hơn nữa, ta lại có f ( 1) 1, f (0) 2, f , f (2) 27 Suy f (t ) 2, với t 1; 2 0,5 Do x x x x , với x 2; (3) Dấu đẳng thức (3) xảy x 0, x Từ (2) (3) ta có nghiệm phương trình (1) x 0, x Vậy phương trình cho có nghiệm x 0, x Câu (1,0 điểm) Chú ý x ln x 1 0, với x Khi diện tích hình phẳng cần tính S x ln x 1 dx Đặt u ln x 1 , dv xdx Suy du 0,5 dx, v x 3x Theo công thức tích phân phần ta có 1 1 x2 S x ln x 1 dx ln x dx 2 3x 0 3x 0,5 13 ln x x ln x ln 62 12 0 Câu (1,0 điểm) Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C ' H ( ABC ) Trong ABC ta có 0,5 a2 AB AC sin1200 2 BC AC AB AC AB cos1200 7a S ABC a a C ' H C ' C CH BC a CH Suy thể tích lăng trụ V C ' H S ABC 3a3 Hạ HK AC Vì C ' H ( ABC ) đường xiên C ' K AC ( ABC ), ( ACC ' A ' C ' KH (1) ( C ' HK vuông H nên C ' KH 90 ) 2SHAC S ABC a AC AC C 'H tan C ' KH 1 C ' KH 450 HK Từ (1) (2) suy ( ABC ), ( ACC ' A ') 450 Trong HAC ta có HK 0,5 (2) Ghi chú: Thí sinh tính độ dài AH suy AHC vuông A để suy K A Câu (1,0 điểm) x 7t Gọi M trung điểm BC Phương trình GE hay AM x y y 4t Gọi M m; m Ta có IM 7m 2; 4m ; FM 7m 6; 4m Vì IM FM nên IM FM 0,5 m m m 4m m Suy M 3; Giả sử A a; 4a Vì GA 2GM ta a 1 Suy A 4; Suy phương trình BC : x y B(2b 7; b) BC (điều kiện b 2) b Vì IB IA nên (2b 6) (b 2) 25 b (ktm) Suy B(5; 1) C (1; 3) (vì M trung điểm BC) Câu (1,0 điểm) 0,5 có vtcp u (1; 1; 2) A(2; 1; 1) MA (4; 0; 1) vtpt n p u , MA (1; 7; 4) 0,5 Suy ( P) : 1( x 2) 7( y 1) z x y z N N (t 2; t 1; 2t 1) Khi MN (t 4) ( t ) (2t 1) 11 0,5 6t 12t t 1 Suy N (1; 2; 1) Câu (0,5 điểm) Câu 10 (1,0 điểm) Số cách lấy hai viên bi từ hộp C122 66 Số cách lấy hai viên bi gồm viên màu xanh, viên màu đỏ khác số 16 Số cách lấy hai viên bi gồm viên màu xanh, viên màu vàng khác số 12 Số cách lấy hai viên bi gồm viên màu đỏ, viên màu vàng khác số Như số cách lấy viên bi từ hộp vừa khác màu vừa khác số 16 12 37 Suy xác suất cần tính 37 P 0,5606 66 z z Giả sử z x, y , z Đặt x u 0, y v Khi ta có 2 2 z z 2 2 x z x u ; y z y v2 ; 2 2 (1) 2 z z x2 y2 x y u v2 2 2 Chú ý với hai số thực dương u, v ta có 1 1 (2) u v u v uv u v Từ (1) áp dụng (2) ta 1 1 1 2 2 2 x y y z z x u v v u 1 1 3 1 u v 4u v 4u v 1 u v 2uv u v 2 u v u v 10 u v 0,5 10 x y z Mặt khác ta có x 1 y 1 z 1 xyz xy yz zx x y z xyz x y z x y z Từ (3) (4) suy 0,5 (3) (4) P 10 x y z Đặt x y z t Xét hàm số f (t ) x y z (5) 10 t , t t2 20 , t 0 t3 Suy f (t ) t 2; f (t ) t 2; f (t ) t 15 Suy f (t ) f (2) với t (6) 25 Từ (5) (6) ta P , dấu đẳng thức xảy x y 1, z hoán vị 25 Vậy giá trị nhỏ P Ta có f (t ) 0,5