Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph CÁC BÀI TOÁN C ng) Hàm s B N V C C TR HÀM B C BA (PH N 02) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Các toán c b n v c c tr hàm b c ba(Ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao Bài Cho: y = x3 + (1 - 2m)x2 + (2 - m)x + (Cm) a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ đ th hàm s (Cm) có m c c đ i c c ti u đ ng th i hoành đ m c c đ i, c c tiêu đ u có hoành đ d ng Gi i b y’ = 3x2 + 2(1 – 2m)x + – m (Cm) có c c đ i, c c ti u y’ = 3x2 + 2(1 – 2m)x + – m = ph i có nghi m phân bi t ' 4m2 m m 1; m (*) G i hoành đ m c c tr x1, x2 (x1, x2 nghi m c a ph ng trình: y’ = 0) x1, x2 d 2(2m 1) 0 x1 x2 m ng ta ph i có: m 2 x1 x2 2 m m m Bài Cho y = mx3 – 3mx2 + 2(m - 1)x - – m a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u Ch ng minh r ng: Hai m c c tr c a đ th cách đ u đ ng th ng x = Gi i b y’ = 3mx2 – 6mx + 2(m - 1) đ th hàm s có c c đ i, c c ti u ph ng trình: y’ = 3mx2 – 6mx + 2(m - 1) = ph i có nghi m K t h p v i (*) => m phân bi t m 2 m 3m 6m - G i hoành đ m c c tr x1, x2 v i x1, x2 hai nghi m c a ph Các m c c tr cách đ u đ ng th ng x = |x1 - 1| = |x2 -1| ng trình y’ = x1 x2 x1 x2 x1 x2 6m (Luôn đúng) ( 1) x x 3m V y m c c tr c a đ th cách đ u đ ng th ng x = Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Bài Cho y = x3 – 3(m+1)x2 + (3m2 + 6m)x + a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ đ th hàm s có m c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy Gi i b y’ = 3x2 – 6(m + 1)x + 3m2 + 6m hàm s có c c đ i, c c ti u ph ng trình y’ = ph i có nghi m phân bi t x2 – 2(m+1)x + m2 + 2m = (*) ph i có nghi m phân bi t ' (m 1) (m2 2m) 0, m G i x1, x2 hoành đ m c c tr (x1, x2 nghi m c a ph ng trình (*)) c c đ i, c c ti u n m v hai phía c a Oy x1, x2 ph i trái d u x1x2 < c m2 2m 2 m a áp s : 2 m Bài Cho: y = (m2 + 1)x3 – 3(m2 + 1)x a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ tung đ m c c ti u c a đ th hàm s đ t giá tr nh nh t Gi i b y’ = 3(m2 + 1)x2 – 3(m2 + 1) 3(m2 1)( x2 1) y’ = x 1 BBT x y' y - + -1 - + + 2(m2 1) 2(m2 1) yCD =2 m2 1 =>Min yC =2 (d u = x y ra) m = Bài Cho: y = x3 – 3x2 + 4m (Cm) a Kh o sát v đ th m = b CMR: (Cm) có c c đ i, c c ti u Tìm m đ m t hai m c c tr thu c Ox Gi i b y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) y’ = 3x(x – 2) = có nghi m phân bi t x = 0, x = Ch ng t v i m i m (Cm) có c c đ i, c c ti u Các m c c tr A(0;4m), B(2;4m – 4) m t hai m c c tr thu c Ox ta ph i có: 4m m 4m m Bài Cho y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 2m + 1)x + m2 + a Kh o sát v đ th m = 1 ( x1 x2 ) b Tìm m đ đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 cho: x1 x2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Gi i b y’ = 3x2 + 4(m - 1)x + m2 - 2m + đ th hàm s đ t c c tr t i x1, x2 y’ = ph i có nghi m phân bi t ' (m 1) m (*) - Ta có: 1 ( x1 x2 ) x1 x2 4(1 m) 0 x1 x2 3( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 )( x1 x2 3) (m 1) x1 x2 0 x1 x2 ( x1 0; x2 0) x1 x2 x x (m 1) 3 m m m 2 m = b lo i không th a mãn (*) áp s : m = 4; m = -2 Bài Cho: y = mx3 – (2m - 1)x2 – x + (Cm) a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ hàm s (Cm) đ t c c đ i t i x1, đ t c c ti u t i x2 x2 x1 16 Gi i b y’ = 3mx2 - 2(2m - 1)x – hàm s đ t c c đ i t i x1 , c c ti u t i x2 (có c c đ i, c c ti u) ph ng trình y’ = ph i có ' 4m2 m nghi m phân bi t m m 16 +) x2 x1 => x2 > x1 y’ đ i d u t + sang – qua x1, t - sang + qua x2 nên y’ tam th c b c hai v i h s a = 3m > m > 2m 4m2 m 2m 4m2 m ; x1 3m 3m 16 8m x2 x1 4m2 m Ta có: x2 Vì m > nên bình ph áp s : m m ng v ta có: 4(4m2 – m + 1) = 64m2 m (Lo i) 1 Bài Cho hàm s : y x3 mx2 (m2 3) x a Kh o sát v đ th hàm s m = Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s b Tìm m đ hàm s có c c đ i, c c ti u đ ng th i xC , xCT đ dài c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có đ dài c nh huy n b ng Gi i b y’ = x2 – mx + m2 – - Hàm s có c c đ i, c c ti u ph ng trình y’ = x2 – mx + m2 – = có hai nghi m phân bi t 12 3m2 2 m (*) - xC , xCT đ dài c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có c nh huy n b ng ta ph i có: m 0, m2 xCD 0; xCT xCD xCT 0, xCD xCT 5 2 xCD xCT m 2(m2 3) xCD xCT xCD xCT 2 c b (Theo Viet ta có: xCD xCT m xCD xCT m2 ) a a m => Th a mãn (*) m2 m m2 Bài ( HKA 2002) Cho hàm s : y = -x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (1) a Kh o sát v đ th m = b Vi t ph ng trình đ ng th ng qua m c c tr c a đ th hàm s (1) Gi i b y’ = -3x2 + 6mx + 3(1 – m2) đ th hàm s (1) có m c c tr (có c c đ i, c c ti u) ph ng trình: y’ = ph i có nghi m phân bi t x2 – 2mx + m2 – = có nghi m phân bi t ' 0, m áp s : m x m 1 => Các m c c tr A(m – 1; - m2 + 3m – 2), B(m + 1; - m2 + 3m + 2) - y' x m 1 => Ph ng trình đ ng th ng qua m c c tr A, B là: x m y m2 3m y x m2 m x3 mx2 (5m 4) x m (1) a Kh o sát v đ th hàm s (1) m = b Tìm m đ đ th hàm s (1) có m c c ti u m c c ti u có hoành đ d Gi i b y’ = -x2 + 2mx + 5m + Hàm s (1) có c c tr y’ = -x2 + 2mx + 5m + = có nghi m phân bi t Bài 10 Cho hàm s : y ng ' m2 5m m 4 m 1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hàm s Khi m < -4, m > -1 y’ = có nghi m phân bi t x1 < x2 nên ta có b ng bi n thiên: x x1 x2 - + y' y - + + - y2 - y1 Ta th y (x1, y1) m c c ti u Do x1 < x2 nên đ th hàm s (1) có m c c ti u m c c ti u có hoành đ d ng ch ph ng trình y’ = có nghi m phân bi t < x1 < x2 ' m2 5m S 2m => H vô nghi m nên không t n t i m th a mãn yêu c u P 5m Bài 11 Cho: y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (Cm) a Kh o sát v đ th m = b Tìm m đ (Cm) có c c tr đ ng th i hoành đ m c c ti u nh h n Gi i b áp s : m 1 m Bài 12 Cho y = x – 3(m – 1)x2 + 3m(m - 2)x + a Kh o sát v đ th m = b CMR: V i m i m hàm s có c c đ i, c c ti u Tìm m đ m c c đ i, c c ti u đ i x ng qua đ ng th ng: y x Gi i m áp s : m 14 Bài 13 Cho: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x – a Kh o sát v đ th hàm s m = b Tìm m đ m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s đ i x ng qua đ Gi i b Các m c c tr A(-1; – 3m); B(2 – m; m3 – 9m2 + 24m – 21) AB U d A, B đ i x ng v i qua d: y = x I d (I trung m AB) m=2 Bài 14 Cho hàm s : f ( x) x3 (cos a 3sin a ) x2 8(1 cos 2a ) x ng th ng y = x a) CMR: Hàm s có C , CT b) Gi s hàm s có c c tr t i x1, x2 CMR: x12 x22 18 Gi i: Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph a) Xét ph ng) Hàm s ng trình: f '( x) x2 2(cos a 3sin a ) x 8(1 cos 2a ) Ta có: ' (cos a 3sin a ) 16(1 cos 2a ) (cos a 3sin a ) 32 cos a a N u ' cos a 3sin a cos a sin a cos a sin a cos a (vô lý) V y ' a f '( x) có nghi m phân bi t x1, x2 hàm s có C , CT x x 3sin a cos a b) Theo viet ta có x1 x2 4(1 cos 2a ) x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 (3sin a cos a ) 8(1 cos 2a ) 8cos a 6sin a cos a 9(sin a cos a ) (3sin a cos a ) 18 (3sin a cos a ) 18 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -