Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian M T C U (PH N 01) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng M t c u (Ph n 01) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh a, SA ( ABCD) , SB a a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD b) Ch ng minh trung m c a SC tâm m t c u qua m S, A, B, C, D S Gi i: a) VS ABCD dt ABCD SA 1 a SA a SB2 AB2 3 A D a a 2a 3 b) Ta có: SA AC, CB SB, CD SD B C Nh v y m A, B, D nhìn SC c đ nh d i m t góc vuông nên chúng n m m t c u đ ng kính SC Do tâm m t c u qua m S, A, B, C, D (m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD) trung m c a SC Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân t i A, m t bên (SBC) vuông góc v i (ABC), SA = SB = AB = AC = a a) Ch ng minh r ng tam giác SBC vuông b) Tính di n tích xung quanh c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC bi t r ng SC a S Gi i: a) G i I trung m SC, H trung m BC ( ABC ) ( SBC ) BC AH (SBC ) AH ( ABC ), AH BC AH SC Tam giác SAC cân t i A AI SC SC AH SC ( AHI ) SC HI SC AI HI / / SB SB SC SBC vuông t i S HI SC Ta có: E I B A O H C b) Do tam giác SBC vuông t i S suy AH tr c c a đ Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t ng tròn ngo i ti p tam giác SBC T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian - G i E trung m SA, qua E d ng m t ph ng trung tr c c a SA M t ph ng acwts tr c AH t i O suy O tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC, bán kính m t c u R = OA Ta có hai tam giác vuông AOE tam giác ASH đ ng d ng OA AE SAAE SA2 a2 OA AH AI HI SA AH AH 2 a 2 a2 1 Mà AI SA SI SA SC a 2 HI 2 a a2 SB HI 2 V y OA a2 a2 a2 2 a di n tích xung quanh c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC S 4. R2 4 OA2 4 a Bài 3: Cho chóp t giác đ u S.ABCD đáy ABCD hình vuông c nh b ng a, ASB Tính th tích c a kh i c u gi i h n b i m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD theo a Gi i: G i O giao m c a AC BD SO ( ABCD) SO tr c c a đ ng tròn ngo i ti p hình vuông ABCD - G i I trung m c a SA, qua I d ng m t ph ng trung tr c c a SA M t ph ng c t tr c SO t i E nên E tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD, bán kính m t c u R = ES Ta có hai tam giác vuông SOA SIE đ ng d ng nên SA2 ES SI AS.SI ES AS SO SO 2.SO G i M trung m AB Khi ta có : sin AM AM a SA SA sin 2sin 2 S 2 2 a a 2a sin a 2 SO SA AO 4sin 4sin 2 2 a2 a cos cos SO 1 2sin 4sin 4sin 2sin 2 I a2 ES SA2 a2 a cos a : 2SO 4sin sin 4sin cos 2 E O ng chung c a h c trò Vi t M C B 4 a V y th tích kh i c u : V R3 (ES)3 3 4sin cos Hocmai.vn – Ngôi tr A D T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian Bài : Cho t di n ABCD có AB = AC = BC = BD = a, AD a 2; ( ACD) ( BCD ) a) Ch ng minh tam giác ACD vuông b) Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD Gi i: a) G i H trung m CD, tam giác BCD cân t i B BH CD B ( BCD) ( ACD) CD BH ( ACD) BH ( BCD), BH CD I Ta có hai tam giác vuông BHC BHA HC HA 900 C Xét tam giác ACD có : AH HC CD CAD t c tam giác CAD vuông t i A b) BH tr c c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ACD - G i I trung m BD, qua I d ng m t ph ng trung tr c c a BD M t ph ng c t tr c BH t i O suy O tâm m t c u ngo i ti p t di n ABCD Bán kính R = OB Ta có BIO đ ng d ng BHD Do đó: OB 3a 2 a A OB BI DB.BI DB2 a2 a2 OB DB BH BH 2.BH BD2 DH 2 a DH M t khác : Tam giác ACD vuông t i A CD a a a2 D H a a DH CD 2 a V y di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD là: S 4 R2 4 OB2 4 a Bài 5: Cho hình l ng tr đ u ABC.A’B’C’ có t t c c nh đ u b ng a a) Tính di n tích xung quanh c a m t c u qua m A, B, C, A’, B’, C’ (m t c u ngo i ti p hình l ng tr ) b) G i E trung m c a A’B’ Xác đ nh tâm bán kínhAm t c u ngo i ti p t di n ABCE C Gi i: G a) G i G G’ l n l t tr ng tâm H c a tam giác đ u ABC A’B’C’ B - G i O trung m GG’, d th y: K I OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’ O O tâm m t c u ngo i ti p hình l ng tr Do bán kính m t c u ngo i ti p hình l ng tr là: A' 7a a 2 a 3 R OA OG GA G' 12 2 3 E b) G i H trung m AB, B' I tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác cân EAB - Qua I k // CH ( EAB) tr c c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác EAB 2 Hocmai.vn – Ngôi tr C' ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian BÀI T P THAM KH O THÊM Bài 1: Cho hai m t ph ng (P) (Q) vuông góc v i có giao n đ ng th ng Trên l y m A, B v i AB = a Trong m t ph ng (P) l y m C, m t ph ng (Q) l y m D cho AC, BD vuông góc v i AC = BD = AB Tính bàn kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (BCD) theo a Gi i: Vì ( P ) (Q) CA nên CA (Q) CA AD T ng t BD BC, nên m B, A nhìn đo n CD d i m t góc vuông, m t c u ngo i ti p CD t di n ABCD có tâm trung m CD có bán kính R Áp d ng pitago cho tam giác ABD, ACD P D ta có: 1 3a AC AD AC AB2 BD 2 K AH BC H trung m c a BC (Do tam giác ABC vuông cân t i A) R 1 2a AC AB2 Ta có: AH BC 2 Vì BD (ABC) BD AH nên AH (CBD) V y d(A, (BCD)) = AH H G A F Q 2a Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi c nh a, BAD 600 c nh bên SA = SB = SD Xác đ nh tâm tính bán kính m t c u ngo i ti p hình t di n SBCD bi t BSD 900 S Gi i: G i O giao m c a đ ng chéo c a hình thoi ABCD Theo ta có tam giác ABD tam giác đ u c nh a BD = a Mà tam giác SBD vuông t i S 2a a ; SO 2 G i H hình chi u c a S m t đáy thìH tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABD (do c nh bên SA = SB = SC) Ta có: I nên SB = SD D C K H O A 6a 6a , SC SH HC SH SO OH B G i K tâm c a tam giác đ u BCD K trung m c a HC, tr c đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD qua K song song v i SH nên trung tr c c a HC c t SC t i m I Ta có I trung m c a SC nên IS = IC, I tâm m t c u ngo i ti p hình t di n SBCD 2 Bán kính c a m t c u R Hocmai.vn – Ngôi tr 6a SC ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông t i A, D, AB = AD = a, CD = 2a C nh bên SD (ABCD) SD = a G i E trung m c a DC Xác đ nh tâm tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.BCE Gi i: Vì AB = DE = AD = a DBA 1v nên ABED hình vuông Tam giác BCD có EB = ED = EC = a nên vuông t i B, BE CD nên trung m M c a BC tâm đ ng ngo i ti p tam giác EBC D ng tr c đ ng tròn ngo i ti p tam giác EBC song song v i SD D ng m t ph ng trung tr c c a c nh SC, m t ph ng c t t i I i m I tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.BCE K SN // DM c t MI t i N, ta có SDMN hình ch nh t v i SD = a DM BD DC BC AB2 AD DC EC EB2 5a 4 S Ta có : N SI2 = SN2 + NI2 = SN2 + (NM – IM)2 = a (a IM )2 I a2 Mà IC = IM + MC = IM Và R = IC = IS nên 2 2 J a2 5a 2 (a IM ) IM IM a 2 V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.BEC R IM a a 11 2 D E C M A B Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -