Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian M T C U (PH N 02) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng M t c u (Ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Các đ c tô màu đ t p m c đ nâng cao Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân AB // CD ng tròn tâm O n i ti p hình thang có bán kính r Bi t SO vuông góc (ABCD) SO = 2r Xác đ nh tâm bán kính m t c u n i ti p hình chóp S.ABCD Gi i: G i M, N, P, Q ti p m c a đ ng tròn n i ti p hình thang v i c nh c a hình thang Do SO vuông góc mp(ABCD) nên tam giác SOM, SON, SOP, SOQ b ng m i m SO cách đ u m t bên c a hình chóp v i SO Tâm m t c u n i ti p giao c a đ ng phân giác SON Ta có: SN SO2 ON2 r Theo tính ch t phân giác: IO NO IS NS Suy bán kính m t c u n i ti p hình chóp là: R IO 2r 1 ON.OS r ON NS Bài 2: Cho m t c u tâm O bán kính R T m S m t c u k ba dây cung SA, SB, SC cho SA = SB = SC ASB BSC CSA a) Tính th tích kh i chóp SABC theo R b) Xác đ nh đ th tích kh i chóp SABC l n nh t Gi i: a) Vì SA = SB = SC ASB BSC CSA suy AB = BC = CA nên tam giác ABC đ u - G i H hình chi u c a S (ABC) ta có : HA = HB = HC nên H tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC - Ta có : SH ( ABC );OH (ABC ) m S, O, H th ng hàng 1 3 AB2 SH VS ABC dt (ABC ).SH AB AB SH 3 2 12 M t khác : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian G i S’ m đ i x ng v i S qua O đ t SA x Khi tam giác SAS’ vuông t i A nên ta có : x2 2R SA2 SH SS ' x2 SH R SH c os x x 2.x.x.c os 2x 2(1 c os ) Trong tam giác SAB ta có : AB2 SA2 SB 2SASB AB Trong tam giác SHA ta có : SA SH AH SA SH 3 SA2 SH 2 2 AB2 x2 x2 x2 (1 cos ) x2 (1 cos ) R2 R2 x2 R2 (1 cos ) R(1 cos ) R2 (1 cos )(1 cos ) SH ; AB2 3 3 8R2 (1 cos )(1 cos ) R(1 cos ) 3.R3 (1 cos )(1 cos ) 2 3 27 t t cos (1 t 1) V y VS ABC b) Khi : V 3R3 (1 t )(1 2t ) , t 27 3R3 3R3 3(1 2t )(1 2t ) ( 4t 1) Ta có : V ' 27 V ' 4t t B ng bi n thiên : -1 t V’ + V R3 27 - R3 27 0 1 cos 2 Bài : Cho m t c u (S) đ ng kính AB = 2R, H m n m gi a A B M t ph ng (P) qua H vuông góc v i AB c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn (C) Xét hình nón có đ nh A có đáy hình tròn gi i h n b i (C) t AH x a Tìm x đ th tích V c a kh i nón gi i h n b i hình nón l n nh t b Tìm x đ di n tích xung quanh c a hình nón l n nh t Gi i : a) L y M thu c (C) hình nón có bán kính r = HM - Vì tam giác AMB vuông t i M MH AB T b ng bi n thiên suy V l n nh t t nên ta có: MH HAHB Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian r HM HAHB x(2R x) - Hình nón có chi u cao AH x Do ta có: 1 V r AH x2 (2 R x) 3 x x 4R x 32. R3 (B t đ ng th c Côsi) x.x.(4R x) 6 81 4R Suy V l n nh t x R x x 3 b) Hình nón có đ ng sinh l AM AH AB R.x Sxq r l x(2R x) 2Rx 2Rx2 (2R x) x x R x 3 R (b t đ ng th c Côsi) R x.x.(4 R x) R 3. R2 4R x 4R x x Bài 4: Cho t di n ABCD v i AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a Xác đ nh tâm bán kính R c a m t c u ngo i ti p t di n ABCD (m t c u qua m A, B, C, D) Gi i: A - G i M, N l n l t trung m c a AB CD - Vì ACD, BCD tam giác cân nên CD vuông góc v i AN BN Suy CD ( ANB) CD MN Suy Sxq l n nh t b ng T M ng t ta có: AB MN MN AB MN CD MN đo n vuông góc chung c a AB CD B M AB, N CD - G i O trung m MN OA = OB = OC = OD V y O tâm m t c u ngo i ti p t di n ABCD, bán kính c a R = OA 2 MN b2 MN b Ta có: R OA OM AM 4 2 2 D N C Mà MN AN AM AD ND AM a R2 Q b2 ( v i 2a b ) a b2 b2 a b2 2a b2 2a b2 R 4 8 Bài 5: Cho kh i chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i A, AB a 2, SA SB SC Góc gi a đ ng th ng SA m t ph ng (ABC) b ng 600 Tính th tích kh i chóp S.ABC bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC theo a Gi i: G i H trung m c a BC HA HB HC K t h p v i gi thi t SA = SB = SC Suy SH BC, SHA SHB SHC SH ( ABC ) SAH 600 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian Tam giác ABC vuông cân t i A: AC AB a BC 2a AH a Tam giác SHA vuông: SH AH tan 600 a S 1 3a VS ABC AB AC.SH 3 G i O, R l n l t tâm, bán kính c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC O thu c đ ng th ng SH O thu c m t ph ng (SBC) B R bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác SBC SH Xét SHA, ta có: SA 2a SBC đ u có đ dài c nh b ng 2a sin 600 R C H 2a 2a 2sin 60 A Bài 6: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a, chi u cao = h a) Xác đ nh tâm tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp b) Xác đ nh tâm tính bán kính m t c u n i ti p hình chóp Gi i: a) G i H hình chi u c a S m t ph ng (ABC) H tâm đ ng tròn ngo i ti p c a tam giác đáy Trong m t ph ng (SAH) d ng trung tr c MI c a c nh SA c t SH t i m I I tâm m t c u ngo i tieps hình chóp SM SA , Hai tam giác SMI SHA đ ng d ng nên SH SI bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC là: S SA2 SH HA2 EH SH ah R r JH ; 2SH 2SH EH ES a a 12h Ta có AH a 3h AE a nên R 6h M A I C F H E b) D dàng ch ng minh m i m thu c đ ng cao SH cách đ u m t bên c u hình chóp B Trong tam giác SHE k phân giác EJ c a góc SEH c t SH ta J J tâm m t c u n i ti p hình chóp Theo tính ch t phân giác, ta có JS ES SH EH ES a 12h2 mà HE AE a nên SE HE SH JH EH JH EH 12 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph Do đó: r JH ng) Hình h c không gian EH SH ah EH ES a a 12h S J A C F H E Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | -