Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (PHẦN 04) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Các vấn đề khoảng cách (Phần 04) thuộc khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Các tô màu đỏ tập mức độ nâng cao Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA = AB = a, AC = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm cạnh AB cho BM = 2MA Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCM) Giải: S 2a Tam giác BMC có BM ; BC a 3 MC BM BC 4a 31a 3a 9 a 31 d ( B, ( SCM )) BM d ( B, ( SCM )) 2d ( A, ( SCM )) Ta có: d ( A, ( SCM )) AM MC H C A Gọi K hình chiếu A đường thẳng CM (do góc AMC > 900 nên K nằm đoạn CM) Ta có CK AK CK SA (do SA ABC nên CK (SAK ) K M B (SCK ) (SAK ) (SCK ) (SAK ) SK Kẻ AH SK ( H SK ) AH ( SCM ) Vậy AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM) Các tam giác AKM CBM đồng dạng nên ta có: AK AM BC AM a AK BC CM CM 31 AH đường cao tam giác vuông SAK nên: 1 31 34 a AH 2 AH AK AS 3a a 3a 34 2a 34 Chú ý: Ta tính trực tiếp khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCM) theo cách: 3V VS BCM d ( B, ( SCM )).S SCM d ( B, ( SCM )) S BCM S SCM Vậy d ( B,( SCM )) Trong VS BCM SA.S BCM (dạng có giảng thể tích khối chóp (phần 3) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, tam giác SAC cân S, góc SBC 600, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian Giải: Gọi H trung điểm cạnh AC SH AC, có ( SAC ) ( ABC ) , S (SAC ) ( ABC ) AC nên SH ( ABC ) Đặt SH x ( x 0) Tam giác SHC vuông ta có: SC x a2 3a Áp dụng định lí Côsin tam giác SBC ta có: E Tam giác SHB vuông ta có: SB x C A H SC SB2 BC 2SB.BC.cos SBC x2 K a2 3a 3a x2 a 2a x 4 x2 B 3a 3a a x 2 a Gọi K hình chiếu H đường thẳng AC ta có: Vậy SH BC HK BC (SHK ) (SBC ) (SHK ) (SBC ) (SHK ) SK BC SH Kẻ HE SK HE (SBC ) HE d ( H ;(SBC )) Do H trung điểm AC nên có: d d ( A;(SBC )) 2d ( H ;( SBC)) HE 1 4 16 2 2 2 HK HB HC 3a a 3a 1 16 18 Tam giác vuông SHK có: 2 2 2 HE HS HK 3a 3a 3a a Tam giác vuông BHC có: a2 a a 2a a HE HE d d ( A;(SBC )) 6 6 3V Chú ý: ta dùng phương pháp: V S h h S Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAC tới (SCD) a Tính khoảng cách từ tâm O đáy tới (SCD) Giải: Gọi O tâm đáy ABCD Vì SO trung tuyến tam giác SAC nên trọng tâm G tam giác SAC nằm SO có SG SO Gọi M trung điểm CD Ta có OM DC SM DC (định lí ba đường vuông góc) DC (SOM ) (SDC ) ( SOM ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian S Lại có: (SOM ) (SDC ) SM nên kẻ OH SM ( H SM ) OH (SDC) d (O;( SCD)) OH K Trong tam giác SOM kẻ GK// OH GK (SDC ) d (G,(SDC )) GK G H B a Từ giả thiết suy GK C O M GK SG 3 a a OH GK Ta có: A OH SO 2 D Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông có cạnh a, tâm I cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) Mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAD Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) Giải: Do SA BC, AB BC nên BC (SAB) Vậy góc mặt phẳng (SBC) mặt đáy (ABCD) góc SBA = 600 Suy SA=AB.tan60 a Gọi M trung điểm AD Hạ AK SB (do BC (SAB)) nên BC AK Suy AK ( SBC ) S 1 2 2 AK SA AB 3a a d (G, ( SBC )) GS d ( M , ( SBC )) MS Vậy AK G D K C M I Vì AM song song với (SBC) A a nên d ( M , ( ABC )) d ( A, ( SBC )) AK B a a Vậy d (G,( SBC)) 3 Bài Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ( ACBD) , góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABCD) 600, G trọng tâm tam giác SAD Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) S Giải : Ta có : SBA 600 Gọi M trung điểm AD, ta có : d (G, ( SBC )) SG d ( M , ( SBC )) SM K G D d (G, ( SBC )) d ( M , ( SBC )) Vì AM / /(SBC ) d (M ,(SBC )) d ( A,(SBC )) Do (SAB) (SBC ) theo giao tuyến SB Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt C M A Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 B - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian nên kẻ AK SB ( K SB) AK (SBC ) AK d ( A, ( SBC )) 1 2 AK AS AB SA Mà ta lại có: tan 600 SA AB.tan 600 a AB Ta có: 1 AK a M G 3a a AK AK 2 a 3a S SBC a a Vậy d (G,( SBC)) 3 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB a , I trung điểm BC, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thỏa mãn I nằm AH Tính khoảng cách từ trung điểm K SB tới mặt phẳng (SAH) Giải: S BI AH BI ( SAH ) BI SH d ( K , ( SAH )) SK Ta có: BI SB K 1 a d ( K , ( SAH )) BI BC 2a 4 B A B K I H C S SAH Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có góc hai mặt phẳng (SBC) (ACB) 600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC) Đ/s: d(B; SAC) = 3a 13 Gọi M trung điểm BC=> AM, SM vuông góc với BC SMA 60 => Có AM=SM => tam giác SAM tam giác SA SM AM a Gọi N trung điểm SA Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Hình học không gian CN BN vuông góc với SA=> SA SAC Từ B kẻ BH vuông góc với CN H Như BH CN , BH SA => BH khoảng cách từ B tới (SAC) Ta tính BH dựa vào tam giác BNC 2 a 3 a SA 13 Có BN CN AB NA a a 2 Ta có : *NM NB BM 13a a 3a 16 4 1 BH CN NM BC 2 3a a NM BC 3a BH CN a 13 13 S ACN Bài 8(BT Tự giải): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA (ABCD) SA = a Gọi M, N trung điểm AD, SC Tính thể tích tứ diện BDMN khoảng cách từ D đến mp(BMN) Đ/s: d D,( BMN ) a 6 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | -