Phep nghich dao va ung dung trong giai toan(c1)

Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán MỞ ĐẦU Một phép biến hình có nhiều ứng dụng giải tốn hình học phẳng, thường xuất kỳ thi Olympic, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, "Phép Nghịch đảo" Dù "Phép nghịch đảo" chưa đưa vào chương trình phổ thơng, ta khơng thể phủ nhận tầm quan trọng giải tốn hình học Nó làm cho lời giải nhiều toán trở nên đơn giản hơn, súc tích so với việc sử dụng cơng cụ hình học khác để giải Để thấy vẻ đẹp "Phép nghịch đảo", tính hiệu việc tìm lời giải tốn hình học phẳng, chun đề "Phép nghịch đảo ứng dụng giải tốn" này, tơi xin giới thiệu lại khái niệm "Phép nghịch đảo", số tính chất quan trọng sử dụng giải tốn hình học MỤC LỤC Cơ sở lý thuyết 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất 1.3 Một số kết khác phép nghịch đảo dùng giải tốn hình học : Ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn hình học 2.1 Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức hình học : 2.2 Chứng minh tính chất hình học : 2.2.1 Chứng minh hai đường thẳng vng góc : 13 13 2.2.2 Chứng minh điểm thuộc đường tròn 14 2.2.3 2.2.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 16 18 2.2.5 Chứng minh tính chất hình học khác 21 Bài tốn tìm quỹ tích tốn có liên quan đến yếu tố cố định 25 Bài tốn dựng hình 28 Bài tập áp dụng 30 Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Cơ sở lý thuyết Trong phần này, tơi trình bày lại số kiến thức phép nghịch đảo, số tính chất nó, đặc biệt tính chất quan trọng làm sở lý thuyết cho phần sau "Ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn hình học" 1.1 Định nghĩa Cho điểm I cố định số thực k Phép nghịch đảo cực I , phương tích k phép biến hình biến điểm M ̸= I thành điểm M ′ cho IM IM ′ = k biến điểm I thành điểm vơ cực Khi đó, M ′ gọi ảnh M qua phép nghịch đảo cực I , phương tích k Ký hiệu : NIk : M 7→ M ′ hay NIk (M ) = M ′ Cho hình (H) Tập hợp (H ′ ) = {M ′ /M ′ = NIk (M ), ∀M } ảnh hình (H) qua NIk 1.2 Tính chất 1.2.1 Qua phép nghịch đảo NIk với k > 0, tập hợp điểm bất động đường √ tròn tâm I , bán kính k Đường trịn gọi đường tròn nghịch đảo Chứng minh Với điểm M thỏa NIk (M ) = M (nghĩa M điểm bất động), ta có : IM IM = IM = k ⇒ IM = √ k ⇒ M ∈ (I, √ k) √ Đảo lại, với M thuộc đường trịn (I, k), ta có: IM ′ = √ k ⇒ IM ′2 = k ⇒ IM ′ IM = k ⇒ NIk (M ′ ) = M ′ hay M điểm bất động NIk √ Vậy tập hợp điểm bất động NIk đường trịn tâm I , bán kính k 1.2.2 Trong phép nghịch đảo NIk với k > 0, M ′ = NIk (M ) M ′ ̸= M đường trịn đường kính M M ′ trực giao với đường tròn nghịch đảo phép nghịch đảo Chứng minh • M nằm ngồi đường trịn nghịch đảo (I, √ k) : Gọi A tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn (I) Vì IM IM ′ = k = IA2 nên AM đường cao ∆OAM ⇒ AM ′ đường đối √ cực M đường tròn (I, k) • M nằm đường trịn nghịch đảo (I, Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc √ k) : Chứng minh tương tự Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán 1.2.3 Phép nghịch đảo cực I , phương tích k phép biến đổi − 1.2.4 Nếu M ′ ảnh M qua phép nghịch đảo cực I , phương tích k I, M, M ′ thẳng hàng 1.2.5 (Tính chất đối hợp): Nếu phép nghịch đảo cực I , phương tích k biến M thành M ′ điểm M ′ biến thành M qua phép nghịch đảo ( NIk ◦ NIk = I ( )−1 hay NIk = NIk ) Chú ý : Do có tính đối hợp nên ta thường ký hiệu NIk : M ↔ M ′ 1.2.6 Nếu A′ , B ′ ảnh A, B qua phép nghịch đảo NIk A′ B ′ = |k| IA.IB AB Chứng minh Trường hợp : I, A, B thẳng hàng Vì IA.IA′ = IB.IB ′ = k nên A′ B ′ = IB ′ − IA′ = ⇒ A′ B ′ = k IB − k IA = k IA − IB IA.IB = k −AB IA.IB |k| AB (đpcm) IA.IB Trường hợp : I, A, B khơng thẳng hàng Ta có : IA.IA′ = IB.IB ′ = k ⇒ IA.IA′ = IB.IB ′ = |k| ⇒ ∆IAB ∼ ∆IB ′ A′ Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng ⇒ A′ B ′ AB IA′ = IB IA′ IA = IA.IB = Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán |k| IA.IB ⇒ A′ B ′ = mAB (đpcm) 1.2.7 Cho A′ , B ′ ảnh A, B qua phép nghịch đảo NIk i) Nếu A, B, I thẳng hàng A′ , B ′ , A, B thẳng hàng ii) Nếu A, B, I khơng thẳng hàng A′ , B ′ , A, B thuộc đường tròn Chứng minh i) A, B, I thẳng hàng Vì A, A′ , I thẳng hàng B, B ′ , I thẳng hàng nên A′ , B ′ , A, B thẳng hàng ii) A, B, I không thẳng hàng Ta có : IA.IA′ = IB.IB ′ = k ⇔ IB ′ IA IB = IA′ d = I\ ⇒ ∆IAB ∼ ∆IB ′ A′ ⇒ IBA A′ B ′ Vậy A′ , B ′ , A, B thuộc đường tròn 1.2.8 Ảnh đường thẳng, đường tròn qua phép nghịch đảo) Một tính chất quan trọng phép biến hình tính chất ảnh hình qua phép biến hình Ở ta xét ảnh hai hình quen thuộc đường thẳng đường trịn qua phép nghịch đảo Định lí Ảnh đường thẳng qua cực nghịch đảo Chứng minh Xét phép nghịch đảo NIk đường thẳng d với I ∈ d ∀A ∈ d, A ̸= I Gọi A′ = NIk (A) ⇒ I, A, A′ ⇒ A′ ∈ d thẳng hàng Vậy NIk (d) = d (đpcm) Định lí Ảnh đường thẳng không qua cực đường tròn qua cực Chứng minh Xét phép nghịch đảo NIk đường thẳng d với I ∈ /d Vẽ IH⊥d H Gọi H ′ = NIk (H) ∀M ∈ d, M ̸= H, gọi M ′ = NIk (M ) Ta có IH.IH ′ = IM IM ′ ⇒ M, M ′ , H, H ′ thuộc đường tròn IM ′ ⊥H ′ M ′ ⇒ M ′ thuộc đường trịn đường kính IH ′ Khi M thay đổi d M ′ thay đổi đường trịn đường kính IH ′ M → ∞ M ′ → I Đảo lại, M điểm thuộc đường trịn đường kính IH ′ (M ′ ̸= I ) ta xác định M = NIk (M ′ ) Khi đó, IM IM ′ = IH.IH ′ ⇒ M, M ′ , N, N ′ thuộc đường trịn Vì IM ′ ⊥M ′ H ′ nên HM ⊥IH Mà d⊥IH, d qua H nên M ∈ d Vậy ta có đpcm Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Chú ý : Cách dựng ảnh đường thẳng d qua phép nghịch đảo NIk • Nếu d qua cực I ảnh d d′ ≡ d • Nếu d khơng qua cực I ta xác định ảnh sau : Cách : + Xác định hình chiếu H I lên d + Xác định H ′ = NIk (H) Ảnh d đường trịn đường kính IH Cách : + Lấy hai diểm A, B thuộc d + Xác định ảnh A′ , B ′ A, B qua phép nghịch đảo NIk ⇒ Ảnh d đường trịn (IA′ B ′ ) Định lí Ảnh đường tròn (O) qua cực I đường thẳng d không qua I Hơn nữa, d song song với tiếp tuyến (O) I Chứng minh Cho phép nghịch đảo NIk đường tròn (O) với I ∈ (O) Lấy ba điểm phân biệt M, N, I thuộc (O) Gọi M ′ , N ′ , I ′ ảnh chúng qua NIk Ta chứng minh : M ′ , N ′ , I ′ thẳng hàng Khơng tính tổng qt, giả sử IM, IN nằm phía IP Ta có ∆OM N ∼ ∆ON ′ M ′ \ : (vì M ON chung d Tương tự, I\ N ′ P ′ = IP N Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc IN ′ IM IN = IM ′ ′ M ′ = IM \ [ )⇒ IN N Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Mà IM N P nội tiếp (O) d [ Nên IP N + IM N = 1800 ⇒ M ′ , N ′ , P ′ thẳng hàng (đpcm) Chú ý : Cách dựng ảnh đường tròn (O) qua phép nghịch đảo NIk biết (O) qua cực I Cách : + Lấy hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) + Xác định ảnh A, B qua phép nghịch đảo NIk ⇒ Đường thẳng qua A, B ảnh (O) Cách : Dựng trục đẳng phương d hai đường tròn (O) (I) ảnh (O) qua NIk Định lí Ảnh đường trịn (O) khơng qua cực I phép nghịch đảo NIk đường tròn (O) Đường tròn (O) ảnh (O) qua phép vị tự VIλ tâm I , tỷ số λ với λ = k p , p phương tích I đường trịn (O) Chứng minh Cho phép nghịch đảo NIk đường tròn (O) với I ∈ / (O) Lấy M thuộc đường tròn (O), gọi N giao điểm IM (O) Gọi M ′ = NIk (M ) ⇒ IM IM ′ = k , mà k k IM IN = PI/(O) = p nên IM ′ = IN ⇒ M ′ = VIp (N ) p Vậy tập hợp M ′ đường tròn (O′ ) (đpcm) Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Chú ý: Cách xác định ảnh đường trịn khơng qua cực I phép nghịch đảo NIk + Lấy ba điểm A, B, C phân biệt thuộc đường tròn (O) + Xác định A′ , B ′ , C ′ ảnh A, B, C qua NIk ⇒Ảnh đường tròn (O) qua NIk đường tròn ngoại tiếp tam giác A′ B ′ C ′ 1.2.9 (Tính chất bảo giác) Nếu phép dời phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kỳ; phép vị tự, phép đồng dạng lại bảo tồn tỷ số khoảng cách hai điểm đây, phép nghịch đảo lại có tính chất bảo tồn góc hình Trước tiên, ta nhắc lại số khái niệm góc hình quen thuộc Định nghĩa Cho hai đường thẳng d1 , d2 Kí hiệu (d[ , d2 ) góc hai đường thẳng d1 , d2 o • Nếu d1 //d2 d1 ≡ d2 (d[ , d2 ) = • Nếu d1 cắt d2 (d[ , d2 ) góc nhỏ góc tạo thành Định nghĩa Cho đường thẳng d đường trịn (O) có giao điểm M Góc đường thẳng d đường trịn (O) góc đường thẳng d tiếp tuyến d′ (O) \ M Ký hiệu : (d, (O)) Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Chú ý : Nếu đường thẳng d qua tâm O góc d (O) 90o Định nghĩa Cho hai đường tròn (O) (O′ ) cắt Góc hai đường trịn (O) (O′ ) góc hai tiếp tuyến (O) (O′ ) giao điểm chúng Chú ý : + Nếu hai đường tròn tiếp xúc với góc chúng 0o + Hai đường tròn (O) (O′ ) gọi trực giao với góc chúng 90o (nghĩa hai tiếp tuyến giao điểm chúng vng góc với nhau) Khi ta có: ⋄ OO′2 = R2 + R′2 ⋄ PO/(O′ ) = R2 , PO′ /(O) = R′2 ⋄ (ABCD) = −1 Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải tốn Định lí Phép nghịch đảo bảo tồn góc hai đường thẳng, góc đường thẳng đường trịn bảo tồn góc hai đường trịn Chứng minh • Góc đường thẳng d đường trịn (O) qua cực I góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo NIk Thật vậy, d qua I nên ảnh d Vì (O) qua I nên ảnh (O) đường thẳng d song song với tiếp tuyến (O) I Góc d (O) góc d d′ • Góc hai đường trịn (O) (O′ ) qua cực I có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo NIk Thật vậy, (O) (O′ ) qua cực I nên ảnh chúng hai đường thẳng d d′ không qua I Vì d song song với tiếp tuyến (O) I (O′ ) song song với tiếp tuyến (O′ ) I nên ta có đpcm • Góc đường thẳng d đường trịn (O) khơng qua cực I có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đáo NIk Thật vậy, d khơng qua cực I nên ảnh d qua đường tròn (O′ ) qua I tiếp tuyến (O′ ) I song song với d Gọi (O1 ) ảnh (O) qua NIk Vì (O) khơng qua I nên (O1 ) đường tròn ảnh (O) qua phép vị tự VIλ Giả sử d cắt (O) M Khi đó, (O) (O′ ) cắt M ′ , với M ′ ảnh M qua phép nghịch đảo VIλ Gọi d1 tiếp tuyến (O) M , d2 ảnh d1 qua phép nghịch đảo Khi đó, d2 //d1 d2 tiếp xúc với (O1 ) M’ Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải tốn Vậy góc tạo hai tiếp tuyến hai đường tròn (O1 ) (O) M ′ góc d (O) M đpcm • Góc hai đường trịn (O) (O′ ) khơng qua cực I có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo (chứng minh tương tự) Hệ i) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với tiếp điểm trùng với cực phép nghịch đảo ảnh chúng hai đường thẳng song song ii) Nếu hai đường tròn tiếp xúc với tiếp điểm khơng trùng với cực phép nghịch đảo NIk ảnh chúng tiếp xúc với Chú ý : Tính bảo giác hai hình 1.2.10 Tích hai phép nghịch đảo 1.3 NIk ′ NIk phép vị tự tâm I, tỷ số k′ k Một số kết khác phép nghịch đảo dùng giải tốn hình học : 1.3.1 Ảnh ba đường tròn qua cực phép nghịch đảo ba đường thẳng đồng quy 1.3.2 Ảnh ba đường thẳng đồng quy không qua cực phép nghịch đảo ba đường trịn có hai điểm chung có điểm cực phép nghịch đảo 1.3.3 Ảnh đường thẳng không qua cực đường tròn qua cực đường thẳng nối tâm đường tròn cực vng góc với đường thẳng cho 1.3.4 Ảnh đường trịn khơng qua cực đường trịn Khi đó, đường thẳng nối tâm hai đường tròn qua cực phép nghịch đảo 1.3.5 Phép nghịch đảo bảo toàn tỷ số kép hàng điểm Ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn hình học 2.1 Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức hình học : Ứng dụng phép nghịch đảo toán chứng minh hệ thức hình học, ta thường chọn phép nghịch đảo thích hợp áp dụng tính chất 2.4 Sau số tập Bài (Định lý Ptolemy) Chứng minh : Điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Kẻ tiếp tuyến M P đến (O) với P           −1 Xét phép nghịch đảo NP ,ta có :           tiếp điểm A↔A B↔B C↔C D↔D { ⇒ (OAC) ↔ AC (OBD) ↔ BD M ↔ M′ P ↔P Gọi K giao điểm hai đường trịn (OAC) (OBD) Khi{đó, K ′ = NOR (K) = AC ∩ BD Vì AB ↔ AB nên M ′ = NOR (M ) = AC ∩ (OCD) CD ↔ (OCD) Trong tam giác KAB ta có K ′ A⊥BC K ′ B⊥AD nên (OCD) đường tròn Euler tam giác KAB⇒ (OCD) ∩ AB = M ′ K ′ M ′ ⊥AB Mặt khác ta có : OP = OM ′ OM ⇒ P M ′ ⊥AB ⇒ P ∈ K ′ M ′ Vì P, K ′ , M ′ thẳng hàng nên P, K, M, O thuộc đường tròn Bài Cho bốn đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ) với (O1 ) tiếp xúc với (O2 ) A, (O2 ) tiếp xúc với (O3 ) B , (O3 ) tiếp xúc với (O1 ) C , (O1 ) tiếp xúc với D Chứng minh : A, B, C, D thuộc đường tròn Lời Giải   (O1 ) ↔ d1     (O ↔ d 2 Xét phép nghịch đảo NAk , k ̸= 0, ta có : /  (O3 ↔ (O3 )     (O ) ↔ (O/ ) 4 Vì (O1 ) tiếp xúc với (O2 ) A nên d1 //d2 Vì (O3 ) tiếp xúc với (O4 ) nên (O3/ ) tiếp xúc với (O4/ ) Vì (O2 ) tiếp xúc ngồi với (O3 ) nên (O3/ ) tiếp xúc với d2 Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 15 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải tốn Vì (O4 ) tiếp xúc ngồi với (O1 ) nên (O4/ ) tiếp xúc với d1 Gọi D′ = NAk (D), B ′ = NAk (B), C ′ = NAk (C) Ta có : O4 B / //O3 D/ (vì O4 B / ⊥d1 , O3 D/ ⊥d2 , d1 //d2 )⇒ ∠B ′ O4 C ′ = ∠D′ O3 C ′ ⇔ ∠O4 C ′ B ′ = ∠O3 C ′ D′ ⇒ D′ , C ′ , B ′ thuộc đường thẳng ∆ Mà D ↔ D′ , C ↔ C ′ , B ↔ B ′ (qua NAk )⇒ (BCD) ↔ ∆ ⇒ A ∈ (BCD) (đpcm) Bài Cho ba điểm phân biệt A, B, C thuộc đường thẳng d điểm P không nằm d Gọi O1 , O2 , O3 , O4 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP, BCP, CAP Chứng minh : O1 O2 O3 P nội tiếp đường tròn Lời Giải Xét phép nghịch đảo NP−1 giả sử A ↔ A′ , B ↔ B ′ , C ↔ C ′ , O1 ↔ O1/ , O2 ↔ O2/ , O3 ↔ O3/  ′ ′ ′   AC ↔ (A B C ) (1) Khi ta có : (ABP ) ↔ A′ B ′   ′ ′ (BCP ) ↔ B C Từ (1) ⇒ P ∈ (A′ B ′ C ′ ) ⇒ Hình chiếu P lên cạnh tam giác A′ B ′ C ′ thẳng hàng (Đường thẳng Simson) Mà O1/ , O2/ , O3/ đối xứng với P qua AB, BC, AC NênO1/ , O2/ , O3/ thẳng hàng (Đường thẳng Steiner) Vậy (O1 O2 O3 ) ↔ O1/ O2/ qua phép nghịch đảo NP−1 ⇒ P ∈ (O1 O2 O3 ) (đpcm) 2.2.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : Áp dụng tính chất ảnh đường trịn " Qua phép nghịch đảo, ảnh đường tròn qua cực đường thẳng không qua cực" Cụ thể : Để chứng minh A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh chúng ảnh A’, B’, C’ qua phép nghịch đảo cực I với I thuộc đường tròn qua ba điểm A’, B’, C’ Bài Cho O, A, A′ thẳng hàng A nằm O A′ Gọi (C) đường tròn đường Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 16 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải tốn kính OA, d đường thẳng vng góc với OA A Cát tuyến a thay đổi qua A, cắt (C) P Q Gọi P giao điểm OP d, Q điểm thuộc d cho A′ P A′ Q = A′ A.A′ O Chứng minh : O, Q, Q′ thẳng hàng Lời Giải Ta có AP P ′ A′ nội tiếp Xét phép nghịch đảo NAk ′ với k = PA′ /(O) = A′ P A′ Q = A′ A.A′ O ta có    A↔O   (AA′ P ) ↔ OQ P ↔Q ⇒ P ′ ↔ Q′ Mà P ′ ∈ (AA′ P ) nên Q′ ∈ OQ Vậy O, Q, Q′ thẳng hàng Bài Cho đường trịn (O) đường kính BC điểm A nằm (O) Gọi B0 , C0 trung điểm AC, AD với (O) Gọi H giao điểm BB0 CC0 Gọi M, N tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn (O) Chứng minh : H, M, N thẳng hàng Lời Giải Gọi A0 hình chiếu A lên BC Ta thấy H trực tâm tam giác ABC Xét phép nghịch đảo NAk với k = AB0 AC = AC0 AB = AM = AN , ta có \ [ \ Mà O M A = ON A=O A0 A = 900    M ↔M   N ↔N H ↔ A0 nênA0 ∈ (AM N ) Vậy H, M, N thẳng hàng Mở rộng toán Cho đường tròn (O), từ điểm K nằm (O), kẻ hai tiếp tuyến KM, KN đến (O), M, N tiếp điểm Gọi d1 , d2 hai Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 17 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán đường thẳng qua K, cắt (O) A, D B, C Gọi G giao điểm AC BD Chứng minh : M, N, G thẳng hàng Bài (Đề thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2005) Cho tam giác ABC có (O), (I) đường tròn ngoại tiếp nội tiếp Đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh : Trực tâm H tam giác DEF thuộc đường thẳng OI Lời Giải Gọi M, N, P lần lươt trung điểm đoạn thẳng EF, F D, DE Ta thấy, AI đường trung trực đoạn EF nên M thuộc đường thẳng AI hay A, M, I thẳng hàng Tương tự, B, N, I thẳng hàng C, P, I thẳng hàng Xét phép nghịch đảo NIr với r bán kính đường trịn (I) Dễ thấy, tam giác EAI vng E có EM đường cao nên IM IA = IE = r2 Suy qua NIr ta có    M ↔A N ↔ B Do ∆M N P ↔ ∆ABC   P ↔C Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M N I , ta có NIr : E ↔ O, suy I, E, O thẳng hàng Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF, E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M N P , đồng thời tâm đường tròn Euler tam giác DEF nên E, I, H thẳng hàng Từ suy H, I, O thẳng hàng 2.2.4 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) GọiA1 , B1 , C1 hình chiếu cúa A, B, C lên BC, CA, AB Gọi H trực tâm tam giác ABC Giả sử A2 , B2 , C2 giao điểm HA, HB, HC với B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 Gọi da , db , dc Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 18 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán đường thẳng qua A, B, C vng góc với B2 C2 , C2 A2 , A2 B2 Chứng minh da , db , dc đồng quy tâm đường tròn Euler tam giác ABC Lời Giải Ta chứng minh da qua tâm đường tròn Euler tam giác ABC Gọi (Oa ), (Ob ), (Oc ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC, CHA, { AHB Xét phép nghịch đảo NAk với k = AC1 AB = AH.AA1 = AB1 AC , ta có B ↔ C1 B1 ↔ C ⇒ BB1 ↔ (ACC1 ) Mà H ↔ A1 nên A1 C1 ↔ (HAB) ⇒ B2 ↔ B ′ với B ′ giao điểm hai đường tròn (ABB1 ) (HAC) Vậy B2 C2 ↔ (AB ′ C ′ ) Gọi Ia tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB ′ C ′ ⇒ Ia ∈ da Mặt khác, B2 A1 B2 C1 = B2 B ′ B2 A = B2 H.B2 B ⇒ PC2 /(Ia ) = PB2 /(HBC) Tương tự, PC2 /(Ia ) = PC2 /(HBC) Gọi X, Y giao điểm{của (AB ′ C ′ ) (HBC) ⇒ XY ≡ B2 C2 Khi đó, qua NAk ta có X↔X Y ↔Y Mặt khác, qua NAk ta có    H↔A   B ↔ C1 ⇒ (HBC) ↔ (A1 B1 C1 ) ⇒ X, Y ∈ (A1 B1 C1 ) C ↔ B1 ⇒ (A1 B1 C1 ), (Ia ), (HBC) chùm đường trịn Ta có : (A1 B1 C1 ) đường tròn Euler tam giác ABC Do đó, gọi E tâm đường trịn Euler ta E, Ia , Oa thẳng hàng Ia E⊥XY ≡ B2 C2 Mà AIa ⊥B2 C2 nên E ∈ da Chứng minh tương tự ta E ∈ db , E ∈ dc Vậy ta có đpcm [ [ = Bài Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác cho AP B − ACB [ [ Gọi D, E tâm đường tròn nội tiếp tam giác AP B, AP C AP C − ABC Chứng minh : AP, BD, CE đồng quy Lời Giải Gọi X giao điểm AP BD, Y giao điểm AP CE Ta chứng minh : X ≡ Y Theo tính chất đường phân giác ta có : YA YP CA = CP XA XP BA = BP Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 19 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Xét phép nghịch đảo NAk với k ̸= 0, ta có :  ′ ′   ∆ABC ∼ ∆AC B Ta có :   ∆AP B ∼ ∆AB ′ P ′ ∆AP C ∼ ∆AC ′ P ′  ′   B↔B   C ↔ C′ P ↔ P′  ′B′ \ [ = AC   ABC ′ C ′ P ′ = AC ′P ′ − A ′P ′ ⇒ B \ \ \ \ [ (1) ⇒ C ′B = AP B = AB   [ \ AP C = AC ′ P ′ ′C ′ = C ′ B ′ P ′ ⇒ ∆B ′ C ′ P ′ cân P⇒ P ′ B ′ = b ACB = A \ \ \ [ [ = AP [ AP C − ABC B −∠ B ′ P − AB P ′ C ′ (2) Từ (1) (2) suy P ′A BA BP = P ′B′ P ′A = P ′C ′ CA = CP ⇒ XA XP YA = YB ⇒X≡Y Bài (IMO 1995) Cho điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự Các đường trịn đường kính AC, BD cắt X, Y.Z giao đường thẳng XY với đường thẳng BC, P điểm nằm XY , khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC C M Đường thẳng BP cắt đường trịn đường kính BD B N Chứng minh XY, DN AM đồng quy Lời Giải Gọi đường trịn đường kính AC đường trịn (I), đường trịn đường kính BD đường tròn (J) Đặt A′ = AP ∩ (I); D′ = DP ∩ (J) Do P nằm trục đẳng phương XY (I) (J) nên P có phương tích với hai đường trịn Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 20 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Thực phép nghịch đảo NPk với k = PP/(I) = PP/(J) , ta có :   A ↔ A′     ′ ′    D ↔ D  AM ↔ (A BP )  N ↔B    M ↔C     ⇒   DN ↔ (D′ CP ) XY ↔ XY X↔Y Vì tâm đường trịn (A′ BP ) (D′ CP ) trung điểm BP CP , ∠P A′ C ∠P D′ B vng Mà P Z lại vng góc với AD, suy Z nằm hai đường tròn (A′ BP ) (D′ CP ) Gọi Z ′ ảnh Z qua NPk Do Z nằm đường tròn (A′ BZ) (D′ CZ) nên Z ′ giao hai đường thẳng AM DN Mặt khác, Z nằm đường thẳng XY , suy Z′ ∈ XY Vậy ba đường thẳng XY, AM, DN đồng quy Z ′ (đpcm) 2.2.5 Chứng minh tính chất hình học khác Bài Cho đường trịn (O) đường kính P Q, (O′ ) tiếp xúc với (O) tiếp xúc với P Q C Lấy điểm A thuộc đường tròn (O), B thuộc CQ cho AB⊥P Q AB tiếp xúc với (O′ ) Chứng minh : AC đường phân giác P[ AB Lời Giải   P ↔ P′     Q ↔ Q′ k Xét phép nghịch đảo NC với k ̸= 0, ta có :  A ↔ A′     PQ ↔ PQ Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 21 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng { Ta có : ∆CAP ∼ ∆CP ′ A′ ∆CAB ∼ ∆CB ′ A′ { ⇒ Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán ′ A′ \ [ = CP CAP ′ A′ \ [ = CB CAB Vì (O′ ) tiếp xúc với P Q qua C nên (O′ ) biến thành đường thẳng c′ với c′ //P Q Vì (O) tiếp xúc với (O′ ) (O) nên (O) biến thành (O′ ) tiếp xúc với c′ có đường kính P ′ Q Vì AB tiếp xúc với (O) AB⊥P Q nên AB biến thành (CA′ B ′ ) tiếp xúc với c′ có đường kính CB ′ ′ A′ = CB ′ A′ ⇒ \ \ Vì (CA′ B ′ ), (O′ ) đối xứng qua đường trung trực CQ′ nên CP [ = CAB [ (đpcm) CAP Bài Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM , đường cao BD, CE Gọi P giao điểm DE AM Biết AM = Giải : Gọi N = AM √ BC Chứng minh : P A = P M ∩ (ABC) Vì BEDC nội tiếp nên AE.AB ={AD.AC = k Xét phép nghịch đảo NAk ta có : B↔E C↔D ⇒ (ABC) ↔ DE ⇒ N ↔ P ⇒ AN AP = k √ BC BC √ = M N ⇒ M N = Mặt khác, PM/(ABC) = M B.M C = M A.M N ⇒ BC 2 BC 2 Vì BEDC nội tiếp (M)⇒ PA/(M ) = AM − ⇒ AE.AB = k = AN AP ⇒ √ BC BC BC AP (AM + M N ) = AM − = ⇒ AP = = AM 4 ⇒ P trung điểm AM Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 22 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán Bài (Luxembourg, 1980) Cho hai đường tròn (I), (J) tiếp xúc A Từ điểm M khác A nằm (I), kẻ tiếp tuyến với (I), cắt (J) B, C Chứng minh đường thẳng AM đường phân giác góc tạo hai đường thẳng AB, AC Lời Giải Kẻ AH vng góc với M B H Xét phép nghịch đảo NAAH Ta có :   (I) ↔ a      (J) ↔ b     M B ↔ (K)  M ↔ M′      B ↔ B′     ′ C↔C Gọi L = CC ′ ∩ a Vì (I) tiếp xúc với (J) tiếp xúc với M B nên a//b a tiếp xúc với (K) M.b cắt (K) B, C Vì H hình chiếu A M B nên tâm (K) nằm AH Do a//b nên hai cung nhỏ M ′ C ′ M ′ B ′ (K) có số đo Như ′ AB′ chúng chắn hai cung \ \ L M′ C′ = M Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 23 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán ⌢ ′ A′ = M ′ C′ A chúng chắn cung nhỏ M ′ A (K), nên suy \ \ Mặt khác, LM [′ chung, đồng dạng hai tam giác LM ′ C ′ LAM ′ , có ALM ′ AL Từ suy đpcm [ Vậy L\ M′ C′ = M Bài (Serbia TST 2009) Cho (I) đường tròn nội tiếp tam giác ABC không cân, tiếp xúc với BC, CA, AB P, Q, R.QR cắt BC M Một đường tròn qua B, C tiếp xúc với (I) N Đường tròn (M N P ) cắt AP điểm thứ hai L Chứng minh: I, L, M thẳng hàng Lời Giải : Xét phép nghịch đảo NPk , ta có :   B ↔ B′     C ↔ C′     ′    M ↔M A ↔ A′     I ↔ I′      Q ↔ Q′    ′   BC ↔ BC     (I) ↔ Q′ R′ (//BC) ⇒  AB ↔ (P A′ B ′ )     AC ↔ (P A′ C ′ ) R↔R Đường tròn (Q′ R′ P ) cắt BC M ′ ; N ′ hình chiếu M ′ Q′ R′ ; L′ điểm đối xứng với M ′ qua Q′ R′ Do I ′ đối xứng với P qua Q′ R′ nên tứ giác L′ I ′ P M ′ hình chữ nhật E tâm hình chữ nhật Do ER′ = EQ′ , mà Q′ R′ tiếp xúc hai đường tròn (P R′ B ′ ) (P Q′ C ′ ) nên E nằm trục đẳng phương A′ P hai đường tròn Ta thấy, đường tròn (I ′ P M ′ ) có tâm E , I′ P⊥B′ C′ , mà E nằm đường thẳng Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 24 ... H tam giác DEF thuộc đường thẳng OI Lời Giải Gọi M, N, P lần lươt trung điểm đoạn thẳng EF, F D, DE Ta thấy, AI đường trung trực đoạn EF nên M thuộc đường thẳng AI hay A, M, I thẳng hàng Tương... A′ = CB ′ A′ ⇒ Vì (CA′ B ′ ), (O′ ) đối xứng qua đường trung trực CQ′ nên CP [ = CAB [ (đpcm) CAP Bài Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM , đường cao BD, CE Gọi P giao điểm DE AM Biết... B, C Vì H hình chiếu A M B nên tâm (K) nằm AH Do a//b nên hai cung nhỏ M ′ C ′ M ′ B ′ (K) có số đo Như ′ AB′ chúng chắn hai cung L M′ C′ = M Giáo viên thực hiện: Phạm Đoan Ngọc 23 Trường