Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính CASIO

Các phím chữ màu vàng ấn sau phím: Các phím chữ màu đỏ ấn sau phím: I, CÁC PHÍM CHUNG Những lưu ý: - Các dấu ngoặc cuối cùng của biểu thức có thể bỏ qua.. - Các nhập một số và các

Kinh nghiệm giải Toán trên

máy tính Casio II

PHẦN II

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY CASIO

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY CASIO

FX 570ms VÀ FX 570ES

FX 570ms VÀ FX 570ES

BÀI 1 CÁC CHỨC NĂNG CƠ BẢN

Những quy ước mặc định:

 Các phím chữ màu trắng thì ấn trực tiếp

 Các phím chữ màu vàng ấn sau phím:

 Các phím chữ màu đỏ ấn sau phím:

I, CÁC PHÍM CHUNG

 Những lưu ý:

- Các dấu ngoặc cuối cùng của biểu thức có thể bỏ qua

- Các nhập một số và các phép tính thông thường:

- Đối với máy fx 570MS một số biểu thức phức tạp cần thêm dấu “(“

4 Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân

5 Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và dấu bằng

7

Di chuyển con trỏ đến vị trí qua lại trên màn hình để sữa

II, PHÍM HÀM

1 Tính giá trị sin, cos, tan của góc

2

Giá trị ngược chỉ góc (Từ 00

đến 1800) tướng ứng với sin,

cos, tan của nó

9 Chuyển ra dạng giảm a ×10n với n

10 Chuyển ra dạng giảm a ×10n với n

12 Logarit thập thân, logarit tự

14 Đổi tọa độ Đề Các ra tọa độ

có cực – Pol( (
)

15 Đổi tọa độ có cực ra tọa độ

Đề Các– Rec( (
)

III, PHÍM NHỚ

1 Biến nhớ Ans (Kết quả sau

khi ấn tự động gán vào)

2 Các biến nhớ A, B, C … M

Mặc định giá trị của biến

là:0

,

5 Xem giá trị biến nhớ (Biến

6 Gán giá trị vào biến nhớ -

STO (Ví dụ gán vào biến A)

 Ví dụ tính: (10 11 12) + × ×(13 14 + )

Cách 1: Sử dụng biến nhớ Ans

+ Tính kết quả của(10 11 12) + × và tự động nó sẽ lưu vào biến Ans:

+ Tiếp theo ta sử dụng kết quả đó nhân tiếp với (13 14 + ):

Cách 2: Sử dụng các biến nhớ A, B, C … M

+ Tính kết quả của(10 11 12) + × và lưu vào biến A:

+ Tính kết quả của(13 14) + và lưu vào biến B:

+ Tiếp theo ta lấy biến A nhân cho biến B:

IV, CÁC MODE TÍNH TOÁN

6 Giải phương trình bậc 2, bậc 3 Hệ phương trình bậc nhất 2, 3 ẩn EQN

IV, CÀI ĐẶT MÁY

1

Định dạng nhập/xuất (Math: Biểu thị

giống SGK Linear: Phân số, biểu

thức hiện thị chung 1 dòng)

2 Tính toán với các đơn vị góc (Mặc định ở đơn vị độ)

Deg (Độ) Rad (
) Gra (
)

Hiện thị 1~10 chữ số Sci 0~9?

Ghi số x dưới dạng giới hạn ấn định:

Phân số

Hỗn số (Mặc định)

6 Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân ở kết quả bằng dấu “.”

7 Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân ở kết quả bằng dấu “,”

9 Xóa các mode đã cài đặt

 Đổi phân số, hỗn số và số thập phân (Máy ở chế độ mặc định)

BÀI 2 CÁC CHỨC NĂNG NÂNG CAO

I, THAO TÁC SỬA, XÓA BIỂU THỨC:

Thông tin cần biết: Màn hình máy tính có khả năng nhận một biểu thức không quá 79

bước Khi ta ấn một phím số hay một phím toán học thỉ con trỏ trên màn hình dịch chuyển một bước, ấn phím hay không dịch chuyển bước nào Các biểu thức có độ dài hơn 79 bước cần tách ra các biểu thức nhỏ và thêm vào sử dụng các biến nhớ để tính toán

Sử dụng các phím để di chuyển con trỏ đến chỗ cần sữa hoặc thay thế:

1 Ấn phím dể xóa một kí tự hoặc hàm

2 Ấn phím để chuyển con trỏ sang trạng thái thay thế Để thoát khỏi chế độ

II, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2, 3 ẨN

1, Phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng:







= +

= +

2 2 2

1 1 1

c y b x

a

c y b x

a

Để giải ta cần vào mode EQN (Unknowns: 2) và nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2

Bước 1: Vào EQN (Unknowns: 2)

Bước 2: Nhập hệ số a1, b1, c1, a2,

 Chú ý: Máy báo lỗi “Math ERROR” là hệ có vô số cặp nghiệm hoặc vô nghiệm

 Ví dụ: Giải hệ phương trình:

= +

6 5 4

3 2

y x

= +

6 4 2

3 2

y x

y x

Câu Quy trình máy fx 570MS Quy trình máy fx 570ES Kết quả

1

y x

= + +

= + +

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

d z c y b x

a

d z c y b x

a

d z c y b x

a

Để giải ta cần vào mode EQN (Unknowns: 3) và nhập các hệ số a1, b1, c1, d1 a2, b2, c2, d2, a3,

b3, c3, d3

Bước 1: Vào EQN (Unknowns: 2)

Bước 2: Nhập hệ số a1, b1, c1, a2, a1 b1 c1 d1 a1 b1 c1 d1

b2, c2 a2 b2 c2 d2 a3

b3 c3 d3

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

 Chú ý: Máy báo lỗi “Math ERROR” là hệ có vô số cặp nghiệm hoặc vô nghiệm

 Ví dụ: Giải hệ phương trình:

= + +

= + +

4 3 6 5

5 4 3 2

4 3 2 1

z y x

z y x

z y x

z y x

III, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA

1, Phương trình bậc hai có dạng:

0

.x2+b x+c=

a

Để giải ta cần vào mode EQN (Degree: 2) và nhập các hệ số a, b, c

 Chú ý: Trong chương trình THCS không học số phức Nếu có nghiệm dạng a+bi, ta coi

là không tồn tại nghiệm

 Ví dụ: Giải hệ phương trình:

1

2

1

x x

2, Phương trình bậc ba có dạng:

0

.x3 +b x2+c x+d =

a

Để giải ta cần vào mode EQN (Degree: 3) và nhập các hệ số a, b, c, d

 Chú ý: Trong chương trình THCS không học số phức Nếu có nghiệm dạng a+bi, ta coi

là không tồn tại nghiệm

 Ví dụ: Giải hệ phương trình:

0 6 11

3 2 1

x x x

IV, THỐNG KÊ

Xét bảng thông kê 5 biến lượng:

Bước 2: Nhập số liệu vào máy

Tổng các biến ∑x

Tổng tần số (n)

Trung bình x

Độ lệch chuẩn χση

Phương sai (Bình

phương độ lệch chuẩn)

Độ lệch chuẩn hiệu

chỉnh

Phương sai hiệu chỉnh

Giá trị lớn nhất của biến

Giá trị nhỏ nhất của

 Ví dụ: Cho mẫu số liệu dưới Tính x và phương sai

387 , 36

≈

x

Phương sai:≈ 592 , 302

V, TÌM HIỂU CHỨC NĂNG CALC, SOLVE

1, Chức năng CALC: Dùng để lặp lại biểu thức nhập vào máy tính

PHẦN III

Làm quen các bài toán

Làm quen các bài toán

đơn giản

đơn giản

BÀI 1 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Dạng 1: Xây dựng quy trình ấn phím bình thường:

15

3 2

6 4

3 1 5

2 2 3

1 1

C

3 3 3

3

2 1

18 2

1

54 2 126

+

+ + + +

Ví dụ quy trình bấm phím sai trên máy tính fx 570MS: 3 × shift 3 5 - shift 3 4 - shift 3 2 - shift 3 20 + shift 3 25 = (Đáp số sai: 1,285259478)

Nguyên nhân là phải mở thêm ngoặc vì máy tính sẽ hiều nhầm biểu thức Quy trình bấm phím đúng trên máy tính fx 570MS: 3 x ( shift 3 ( 5 - shift 3 4 ) ) - shift 3 2 - shift

3 20 + shift 3 25 = (Đáp số: 2,630704324)

Dạng 2: Áp dụng công thức để tính:

2012

3 2

=

F

2011

5 3

=

G

Giải

Cách 1: Sử dụng công thức học được ở lớp 8 (ở bài luyện tập) Công thức nay ta có thể

hiểu nông na là:

- Lấy số cuối trừ số đầu chia cho bước nhảy của nó cộng thêm 1 là ra số số hạng của dãy

- Ta đem số đó chia cho 2 được số cặp có tổng băng nhau (Bằng số đầu cộng số cuối)

- Ta đem số trên nhân với tổng số đầu và số cuối được kết quả cần tính

2

1 1

2012

= + +

1 2011

= +

F có nghĩa là tổng các x khi x chạy từ 1 đến 2012

Quy trình ấn phím trên máy tính fx 570ES: shift alpha X 1 2012 =

Tương tự: =1005∑ ( + )

0 1

2x

G có nghĩa là tổng (2x +1) khi x chạy từ 0 đến 1005

Dạng 3: Tách ra làm nhiều biểu thức nhỏ:

( )

5

4 5 , 0 2 , 1 3

1 5

25

10 4 , 6

25 , 1 5

4 8

17

2 2 4

1 3 9

5 6

7

4 25

2 08 , 1

÷

× + +

1 3 9

5

6

7

4 25

2 08

,

6

25 , 1 5

1

Kết quả: A + B + C (Đáp số:

3

23

)

Bài tập tự luyện:

3.1.1: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số:

6 4

3 1 5

2 2 3

2 3 4

3 1 7

5 1 12

B

( )

5

4 5 , 0 2 , 1 3

1 5

25

10 4 , 6

25 , 1 5

4 8

17

2 2 4

1 3 9

5 6

7

4 25

2 08 , 1

÷

× + +

13

=

A

3 3 3 3

2 1

18 2

1

54 2 126

+

+ + + +

=

C

2 3

35 , 712

13 816

+ + +

÷ + + +

+ + +

×

=

80808080 91919191

343

1 49

1 7

1 1

27

2 9

2 3

2 2

343

4 49

4 7

4 4

27

1 9

1 3

1 1 182

E

3.1.3: Tính 5% của

5 , 2 25 , 1 21

6

5 5 14

3 3 5

3 6

,

0

5 , 2 15 , 0 09 , 0 4 , 0 3

÷

×

÷

− + +

−

− +

4 35

22 25 , 1 38 , 10 12 , 7 38 ,

1 4 18

7 2 180

7 5 , 2 4 , 1 84

13

D

3.1.4.4: Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân:

3041975 2171954

291945

=

E

BÀI 2 TÍNH GIÁ TRỊ GÓC, LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức sau chính xác đến 0,0001:

' 45 ' 10 52 cos ' 20 ' 22 40 cos

' 34 ' 17 63 cos ' 12 ' 25 36 cos

° +

Quy trình ấm phím trên máy fx 570MS hoặc fx 570ES là: ( cos 36 o ’” 25 o ’” 12 o ’” – cos

63 o ’” 17 o ’” 34 o ’” ) ÷ ( cos 40 o ’” 22 o ’” 20 o ’” + cos 52 o ’” 10 o ’” 45 o’” ) = (Đáp số:

0 0 15’30,09”≈ 0,2584)

Dạng 2: Cho cos α = 0 , 5 Tính các giá trị lương giác còn lại của góc α, biết α là góc nhọn (Làm tròn 4 chữ số ở phần thập phân)

Giải

- Ta tính góc α bằng cách nhấn: shift cos -1 0,5 = (Kết quả: 60)

- Tính các giá trị lượng giác còn lại ta thực hiện tính giá trị lưỡng giác của góc 60 0

866 , 0 sin α ≈

7321 , 1 tan α ≈

5774 , 0 cot α ≈

Dạng 3: Cho α là góc nhọn với sin α = 0 , 813 Tính: cos 5 α (Lấy hết kết quả hiện thị ở màn hình)

Giải

Tính góc α rồi tính cos 5 α Quy trình bấm phím: shift sin 0,813 = (Kết quả: 54.39008374 thoã góc nhọn) cos ( 5 x Ans ) = (Đáp số: 0,03403465362)

Bài tập tự luyện:

3.2.1: Cho α là góc nhọn (Lấy hết kết quả hiện thị ở màn hình)

831 , 0 sin α = Tìmcos 5 α

1234 , 0

3.2.2: Cho cosA = 0,8516; tanB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhọn) Tính (Aˆ+Bˆ−Cˆ)

3.2.3: Tính A, B, C, biết:

'' 16 ' 28 9

'' 35 ' 47 7 6 , 2 '.

' 8 ' 25 22

h

h h

=

'' 17 ' 52 6

'' 45 ' 11 5 3 '.

' 55 ' 47

3

°

° +

°

=

B

'' 17 ' 13 2 cos '' 12 78 cos

' 43 18 tan ' 36 34 sin

° +

BÀI 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ghi nhớ: Đối với các máy fx 570MS, fx 570ES thì các phương trình và hệ phương trình được viết dưới dạng tổng quát như sau:

= +

2 2

2

1 1

1

c y

b

x

a

c y

= + +

= + +

3 3 3

3

2 2 2

2

1 1 1

1

d z c y

b

x

a

d z c y

b

x

a

d z c y

b

x

a

Khi nhập vào máy ta nhấn a1, b1, c1, d1 a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3

Dạng: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

=

− 14 29 37

8 13 12

y x

y x

=

−

1 2 2

1 3 2

y x

y x

= + +

−

=

− +

7 4

5

1 3 6

1 2 4

z y x

z y x

z y x

= +

= + 28 22 12

z y

z x

y x

Giải

Sử dụng chương trình cài sẵn trong máy để tính

1. Vào EQU, Degree : 2

Nhập: 1 = -11 = 30 = ( Đáp số: x 1 = 5, x 2 = 6)

2. Vào EQU, Degree : 3

Nhập: 1 = -6 = 11 = -6 = ( Đáp số: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3)

3. Vào EQU, 2 unknowns

Nhập: 12 = -13 = 8 = 37 = 29 = 14 = (Đáp số:

829

128

; 829

1 2 1

1 3

1 2 1

1 2

2

1 3

2

y x

y x y

3

y x

5. Vào EQU, 3 unknowns

Nhập: 4 = 1 = -2 = -1 = 1 = 6 = 3 = 1 = 5 = 4 = 1 = -7 = Đáp số:

21

73

; 3

7

; 7

= + +

= + +

0

22

0

12 0

28

22

12

z y x

z y x

z y x

z y x

Bài tập tự luyện:

3.3.1: Giải phương trình (Ghi kết quả đủ 9 chữ số ở phần thập phân):

=

−

318 , 7 214 , 5 368

,

8

123 , 3 915 , 4 372

,

1

y x

y x

= +

−

= + +

24 2

3

5 2

11

z y

x

z y

x

z y

=

−

1 3

2 2

1 3 2

y x

y x

5 ,

4 ,

= +

41751 83249

16571

108249 16571

83249

y x

y x

BÀI 4 CÁC BÀI TOÁN ĐỐ

Ví dụ 1: Khi dùng máy tính Casio để thực hiện phép chia một số tự nhiên cho 48, được thương là 37, số dư là số lớn nhất có thể có được của phép chia đó Hỏi số đó là bao nhiêu?

Ví dụ 2: Tìm số nguyên x, biết rằng nếu nhân số đó với 12 rồi cộng thêm ½ số đó thì được bình phương số đó cộng với 21

Ví dụ 3: Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 12, 22, 28 Tìm ba số đó

Ví dụ 4: Tỉ số vốn của hai nhà kinh doanh là 0,6 Hỏi mỗi người có số vốn là bao nhiêu? Biết rằng người thứ nhất nhiều hơn người thứ hai là 100 triệu đồng

Ví dụ 5: Một ao cá có 4800 con cá gồm ba loại trắm, mè, chép Số mè bằng

Do thương thu được là 37 nên số bị chia cần tìm là: 37 × 48 + 47 = 1823

Ví dụ 2: Theo đề bài ta có:

−

⇔ +

= +

2

) ( 2 21

0 21 2

25 21

x x

x x x

Vậy số nguyên x cần tìm là 2

Ví dụ 3: Gọi 3 số đó là x, y, z (Điều kiện: x, y, z ∈ Z)

Theo đề bài ta có:

= +

= +

28 22 12

z y x

Vậy ba số phải tìm là 3, 9, 19

Ví dụ 4: Gọi số vốn của hai người là: a, b (triệu đồng) (Điều kiện: a, b > 0)

Theo đề bài ta có:

y

x x

y

y

x

Vậy số vốn của hai người lần lượt là: 150, 250 triệu đồng

Ví dụ 5: Gọi số cá loại trắm, mè, chép lần lượt là: x, y, z (Điều kiện: z, y, z ∈ N * )

Theo đề bài ta có:

480 960 3360

0 2

1

0 7

2

4800

2 1 7 2 4800

z y x

z y

y x

z y x

y z

x y

z y

x

Vậy trong ao có 3360 con cá trăm, 960 con cá mè và 480 con cá chép

Bài tập tự luyện:

3.4.1: Một số nguyên a khi nhân với 12 rồi cộng với 12, cộng số tìm được với

2

1

số phải tìm, được bao nhiêu đem chia cho 3 được 54 Tìm số a ban đầu

3.4.2: Anh Sáu đan xong 6 cái rổ hết 1 giờ, 20 cái rế hết 1 giờ 30 phút Hỏi anh Sáu đan 100 cái rổ và 100 cái rế hết bao lâu?

3.4.3: Một người vào bưu điện để gửi tiền cho nguời thân ở xa, trong túi có 5 000 000 đồng Chi phí dịch vụ hết 0,9% tổng số tiền gửi đi Hỏi người thân nhận tối đa bao nhiêu tiền

3.4.4: Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 4023, 2032, 2033 Tìm

ba số đó

BÀI 5 BÀI TẬP SỐ HỌC NHỎ

Dạng 1: Tìm số dư khi chia 2012 cho 12:

Giải

- Ta thực hiện phép chia bình thường ấn: 2012 ÷ 12 = (Kết quả: 167,6666667)

- Tìm số dư ấn tiếp: Ans – 12 × 167 = ( Đáp số: 8)

- Vậy số dư cần tìm là 8

Dạng 2: Số 2011 là số nguyên tố hay hợp số

Giải

- Ta tính: 2011 ≈ 44 , 84417465

- Để kiểm tra 2009 là số nguyên tố hay là hợp số thì ta chỉ việc chia số 2011 cho các số

nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 44

2009 không chia hết cho 2

2009 không chia hết cho 3

2009 không chia hết cho 5

………

Do 2011 không chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn 44 Vậy 2011 là số nguyên tố

Chú ý: Nếu số a phải kiểm tra quá lớn ta không thể xác định được các số nguyên tố nhỏ

hơn a thì ta kiểm tra bằng cách chia số đó cho số 2 và các số lẻ nhỏ hơn a

Bài tập tự luyện

3.5.1: Tìm số dư khi chia 20092010 cho 999

3.5.2: Số 4826809 là số nguyên tố hay là hợp số

BÀI 6 ĐỀ BÀI TẬP CĂN BẢN

Đề CB1: (Thang điểm 50) Thời gian: 45 phút

Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu gì thì thí sinh phải lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình

Bài 3.6.1.1: (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: (Làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân)

20 25 20 2 4 5

3

2 1

18 2

54 2 126

+ + + +

621

,

4

732 , 2 815

=

− 10 9 7

4 13 2

y x

y x

Bài 3.6.1.5: (5 điểm) Giải phương trình:

3x2 – 9x = - 54

Bài 3.6.1.6: (5 điểm) Tìm số dư của 123456 cho 135

Bài 3.6.1.7: (5 điểm) Trình bày phương pháp kiểm tra số 881 là số nguyên tố hay là hợp số

Bài 3.6.1.8: (5 điểm) Tính giá trị của lượng giác sau:

' 28 23 sin ' 23 67 cos

' 41 77 tan ' 12 ' 26 4 tan

°

−

°

° +

°

=

A

3 '.

' 42 ' 31 1

'' 38 ' 58 2 ' 29 ' 47 6

h

h h

=

Bài 3.6.1.9: (5 điểm) Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 22, 32,

42 Tìm tích của 3 số đó

Bài 3.6.1.10: (5 điểm) Một bộ quần áo được bán như sau: Cái quần bán với giá 200 000 đồng trong đó số tiền lãi là 47 000 đồng Cái áo bán với giá 150 000 đồng Biết tỉ lệ tiền vốn của cái quần so với chiếc áo là 3/2 Hỏi tiền lãi thu được của bộ quần áo đó là bao nhiêu?

Xem đáp án tự chấm điểm trang 152

Đề CB2: (Thang điểm 50) Thời gian: 45 phút

Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu gì thì thí sinh phải lấy hết kết quả hiện thị thên màn hình

Bài 3.6.2.1: (5 điểm) Tính tổng của A sau:

A = 8 + 12 + 16 + 20 + …… 2012

Bài 3.6.2.2: (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: (Làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân)

3 3 3

3

2 1

18 2

1

54 2 126

+

+ + + +

= +

−

0 14 29 37

0 8 13 12

y x

y x

Bài 3.6.2.4: (5 điểm) Giải phương trình:

2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0

Bài 3.6.2.5: (5 điểm) Tìm 5% của số :

5 6

621

,

4

732 , 2 815

,

1

Bài 3.6.2.6: (5 điểm) Tìm số dư của 9999 cho 22

Bài 3.6.2.7: (5 điểm) Trình bày phương pháp kiểm tra số 157 là số nguyên tố hay là hợp số

Bài 3.6.2.8: (5 điểm) Tính giá trị của lượng giác sau:

' 28 23 tan ' 23 67 cot

'' 12 ' 41 77 tan ' 26 4 sin

°

−

°

° +

°

=

A

'' 33 ' 33 33

'' 39 ' 38 2 '' 2 ' 50

Bài 3.6.2.10: (5 điểm) Cho 3 số nguyên nếu tích hai số bất kì thì ta được các số sau: 20, 24,

30 Tìm số lớn nhất trong 3 số đó

Xem đáp án tự chấm điểm trang 153

PHẦN IV

Nâng cao các chuyên đe

Nâng cao các chuyên đềààà

Giải toán Giải toán

BÀI 1 GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Công thức cần nhớ:

∑

=++

=+++

1

2 2

2 2 2

6

121

321

1

2 2

2 2

2 3

1 2 1 2 2

6 4 2

=

−+++

1

2 2

2 2 2

123

14.12

53

1

d, + + + +n =n ( ) (n+ = + + + +n) =∑n x

1

3 2 2

2 3 3

3 3

3214

1

32

32

=+++

Ta chứng minh đẵng thức đúng với n = k + 1:

Với n = k+1 thì:

( )2 ( )( ) ( )2 2

2

2

2

16

1211

1 6 1 2

= + + + +

( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ( ) ]

6

1 1 2 1 1 1 6

2 2

3 2 1

+ + +

+ +

k k k

4

3 4 2 4 1 4 2

6 4

3 2 1

= + + + +

121

4121112

53

1 2 1 2 1 2

3

1 2 1 2 2 2

1 2

2 1 2 2

1 2

4 2 1 2

4 2 2 1 2

2

2 2

− +

=

−

− + +

−

− +

=

− + + + +

− + + + + +

=

n n n

n n n

n n

n n n n

n n

n n

n

d, Bạn đọc chứng minh theo phương pháp quy nạp

999

321 ;

939393 ,

0 99

93 ;

88888888 ,

0 9

8 ;

1111111 ,

0 9

1

=

=

Dạng 1: Hãy tính giá trị của biểu thức:

5

1 2

2

2 +

+ +

2 +

+ +

6 6 , 0 9

Lấy: 6 , 0( )6

15

91 6 15

Vậy phân số sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn 6,0(6) là

15 91

2.2 Không thể sử dụng dạng 2.1 vì phân số sinh ra tràn màn hình

Cách 1: Ta đặt: E = 3,15(321) Ta có:

06 , 3150

Cách 2: Tìm phần thập phân của số đó là phân số nào!

Ta có: 0 , 00( )321

33300

107 99900

, 0 33300

107 321

2551 16650 3 16650

2551 3

Nhận xét: Cách 2 sẽ tốt hơn vì tính ra được phân số tối giản

Dạng 3: Trình bày một phương pháp kết hợp máy tính và trên giáy để tính được giá trị của

Tính trên máy giá trị:

1

3 2

1 2 1

1

+ + +

n với n là số nguyên

Aùp dụng vào bài tập ta được:

9995029821 ,

0 2012

2011 2012

1

1

2012

1 20011

1

3

1 2

1 2

1

1

1

2012 2011

1

+

− +

−

=

+ + +

2011

1

3 2

Quy trình ấn phím trên máy tính fx 570ES: shift 1 alpha X ( alpha X + 1 ) 1

2011 = (Đáp số:

2012 2011 )

Dạng 5: Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 2

100

32

32

=+++

Ta có: ( )( )

6

1100.21100100100

32

++

1

2 2

2 2

2

100

32

Nhận xét: Cách 1 bắt buộc ta phải nhớ công thức nhưng thời gian tính toán sẽ nhanh hơn

cách 1 Còn cách 2 có thể giải nhiều bài tập khó khác nhưng thời gian máy tính khá lâu Vì thế tùy vào trường hợp đưa ra cách giải quyết hợp lý

2

2 2 2

Giải

2

2 2 2

2 2 2 2

Lấy: 2A – A = ( 2 + 22+ 23+ 24+ + 233) - ( 1 + 2 + 22+ 23+ + 232) = A

= 2 33 – 1 = 8589934591

Bài tập tự luyện:

4.1.1: Tính giá trị của các biểu thức sau (Tính chính xác):

a, A= 1 2 + 2 2 + 3 2 + + 2011 2 + 2012 2

b, B= 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 2001 3 + 2012 3

2012 2011

5 4 3 2

4 4 4

2

2 4 6 706

=

4.1.3: Phân số nào sinh ra phân số vô hạn tuần hoàn: 1,36(63) và 36,56(252)

4.1.4: a, Nếu F = 85,8353353353… là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 353 Khi F

được viết dưới dạng phân số tối giản thì tổng mẫu số và tử số bằng bao nhiêu?

b, Nếu E = 93,1(993) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 993 Khi E được viết dưới dạng phân số nào để mẫu số lớn hơn tử số là 460536

4.1.5: Tính:

0019981998 ,

0

18

019981998 ,

0

18

19981998 ,

0

18

+ +

1

3 2

1 2 1

1

+ + +

=

A

b,

2013 2012 20011

1

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1

7 5

1 5 3

1 3 1

1

1 10

1 1 9

1

D

e,

2013 2011

1006 2011

2009

1005

7 5

3 5 3

2 3 1

+ +

+ + +

3 2

1 2

1

1

+ + + + +

+ +

=

n n B

Áp dụng tính B khi n = 2012, làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân

4.1.9: Tính giá trị biểu thức: (Lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình)

a, 24 68 1012 1416 1820 122

x x x x x x

x x x x x A

+ + + + +

+ + + + +

b,

1 1

1 1

−

− + +

x x

7 2 9

−

+

2 2

2 2

25 5

5 5

5

y x

y x xy x

y x xy x

y x

d,

xz z y x

xy z y x D

2

2 2 2 2

2 2 2

+ +

−

+

− +

8 3 4 9 4 5

4 15 3 6 2

P

.

17 77 77

777 77

2 3

1

3

2 + + + +

=

x x

x x

x x Q

1 2

1 1

4

1

1

1 4

1 1 2

2

2

khi x = 3,6874496

4.1.13: Tính và ghi kết quả ở dạng hỗn số:

a,

357

1 579 579

1 357

1 72 65

1

23 16

1 16 9

1 9 2

1 49

A

11

90 5 8 , 0 3

1 2 1

11

7 14 62 , 1 4 3 ,

=

B

BÀI 2 GIÁ TRỊ GÓC, LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức sau chính xác đến 0.0001

'' 15 20 sin '' 18 72 sin

'' 40 35 sin '' 30 54 sin

° +

Bài toán này trên chỉ có giá trị góc là độ và giây (Không có phút) Để tính ta có quy trình

ấn phím trên máy fx 570MS như sau:

( sin 54 o ’” 0 o ’” 30 o ’” – sin 35 o ’” 0 o ’” 40 o ’” ) ÷ ( sin 72 o ’” 0 o ’” 18 o ’” + sin 20 o ’” 0

o ’”15 o’” =

Vậy giá trị của A ≈ 0,1820

Dạng 2: Cho tany = tan38.tan39.tan40…tan52 Tính B = coty

Giải

Cách 1: Nhập hết biểu thức và tính

Cách 2:Áp dụng các công thức lượng giác tính

- Nếu α + β = 90 °thì tan α = cot β

- cot α tan α = 1

Ta có:

1 45 cot cot

45 tan 45 tan

39 cot 39 tan 38 cot

.

38

tan

38 cot 39 cot

40 tan 39 tan 38 tan 52 tan

40 tan 39 tan 38 tan

Vậy giá trị của B = 1

Dạng 3: Cho cos α = 0 , 765 ( 0 ° < α < 90 ° ) Tính chính xác đến 9 chữ số ở phần thập phân

α α

α α

2

2 3

sin cos

2 sin cos

+

−

−

Giải

Sử dụng biến nhớ để tính, quy trình ấn phím trên máy 570MS:

Tính góc α và nhớ vào A ấn: shift cos -1 0,765 = shift STO A

Tính giá trị của biểu thức ấn: ( ( cos alpha A ) shift x 3 – ( sin alpha A ) x 2 – 2 ) ÷ ( cos alpha

A + ( sin alpha A ) x 2 = (Kết quả: -1.667333072)

Vậy giá trị của biểu thức ≈ -1.667333072

Bài tập tự luyện:

4.2.1: Tính giá trị của biểu thức sau (Lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình)

αα

α

3 3

3

2 3

3

cot sin cos

tan ) sin 1 ( cos

+

+ +

=

b, Cho cosx = 0,7651 (00 < x < 900) Tính:

x x

x x

3 2

sin cos

2 sin cos

+

−

−

c, Cho

15

8 cot α = (00 < α < 900) Tính

1 3 cos tan

2 cos sin

2 2 2

α α

α α

4 3

3

3 2

3 2

cos 1 cot 1 tan 1

sin 1 cos cos

1 sin

+ +

+

+ +

αα

cos sin

1 cos sin

sin 1 cot cos

1 tan

3 3

3 3

3 2

+ +

+

+ +

1 sin 1 cot

1 tan

,

2 3

1

+

°

− +

BÀI 3 LIÊN PHÂN SỐ

Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó

Xét phân số a

b (a, b ∈ N và a > b) có thể viết dưới dạng:

1 a

1 a

1 a

a

−

+ +

+

về dạng a

b Dạng toán này được gọi là

tính giá trị của liên phân số Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó

Dạng 1: Lập quy trình nhấn phím liên tục để tính giá trị của liên phân số Tính giá trị của

liên phân số đó (Làm tròn đến 4 chữ số ở phần thập phân)

292

1 1

1 15

1 7

1 3

+ + +

+

=

M

Giải

Cách 1: Tính từ dưới lên

Quy trình ấn phím là: 1 + 1 ab/c 292 = x -1 + 15 = x -1 + 7 = x -1 + 3 =

Giá trị của M ≈ 3,1416

Cách 2: Tính một lượt từ trên xuống

Quy trình ấn phím là: 3 + 1 ab/c ( 7 + 1 ab/c ( 15 + 1 ab/c ( 1 + 1 ab/c 292 =

Giá trị của M ≈ 3,1416

Dạng 2: Cho

2003

5 10

12 30

a a a

a A

1

1 1

1 1

0

+ + +

1 31

4001 20035

1 31 20035

4001 31

20035

24036 30

2003

5 10

12 30

+

+

= +

= +

= +

= +

+

=

như vậy, cuối cùng ta được:

2

1 1

1 2

1 1

1 2

1 133

1 5

1 31

+ + + + + +

+

=

A

Bài tập tự luyện

4.3.1: Viết quy trình ấn phím tính:

2010

1 7

1 3

5 23

1

2009

12 17

1 1

12 1

3 17

+ + + +

+ + +

+

=

A

Giá trị tìm được của A là bao nhiêu? (Làm tròn 2 chữ số ở phần thập phân)

4.3.2: Tính và viết kết quả dưới dạng phân số

5

1 4

1 6

1 5

2

+ + +

1 3

1 1051

329

+ + +

=

4.3.4: Giải phương trình sau:

2

1 2

1 3

1 4

BÀI 4 DÃY SỐ

Dạng 1: Cho dãy số: ( ) ( )

13 2

13 11 13

n

a, Tính 10 số hạng đầu tiên của dãy số

b, Lập công thức truy hồi tính giá trị Un+2 theo Un+1 và Un

c, Viết một quy trình ấn phím liên tục tính giá trị Un+2 theo công thức truy hồi vừa tìm được ở câu trên

= + +

= + +

⇒

0 108 22

5896 22

376

376 22

22 0

c b a

c b

a

c b

a

c b

a

Vậy công thức truy hồi là: U n+2 = 22U n+1 - 108U n

c, Quy trình ấn phím liên tục tính giá trị U n+2 theo công thức truy hồi vừa tìm được ở câu trên là:

Cách 1: Chỉ sử dụng các biến nhớ (Tham khảo nay rất ít dùng)

Gán giá trị U 0 vào A: 0 shift STO A

Gán giá trị U 1 vào B: 1 shift STO B

Lập lại quy trình ấn phím sau để tính các giá trị tiếp theo của dãy:

22 × alpha B – 108 × alpha A shift STO A

22 × alpha A – 108 × alpha B shift STO B

Nhược điểm : Ta khó biết giá trị tìm được là số hạng của dãy

Cách 2: Sử dụng vòng lặp CALC + biến nhớ:

Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = 22 × alpha B – 108 × alpha A alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B alpha = alpha C CALC

Ưu điểm: Tiết kiệm được thời gian khi tính nhiều giá trị Sử dụng biến đếm M để biết được đó là số hạng thứ mấy của dãy

Dạng 2: Cho dãy số: ( ) ( )

7 2

7 5 7

7 2

1 7

2

7 5 7 5

a b

a ab b a b a ba ab b a b a

1 2

2

n n

n n n

n n

n n

n n

n

7 2

18 7

2 10 7

2

18 10

7

1 1 1

1 2

2

+

⇒ Điều phải chứng minh

Lưu ý:Cách chứng minh công thức này có thể ứng dụng lập công thức truy hồi, sẽ trình bày ở

phần bài tập tự luyện

Dạng 3: Cho dãy số:

2

3 7

2 2

a, Do có một biến nên ta chỉ cần dùng biến nhớ Ans để tính Quy trình ấn phím là:

Gán giá trị x 1 vào Ans ấn: 1,5 =

Tính giá trị tiếp theo ấn: ( 7 × Ans x 2 + 3 ) ÷ ( Ans x 2 + 2 ) = = = = … =

Dấu “=” đầu tiên tương ứng với giá trị x 2 , các dấu “=” tiếp theo tương ứng với các giá trị kế tiếp

b, Giá trị x 100 = 6,770035041 (Chỉ cần ấn khoảng 10 lần dấu “=” vì tới lúc đó các giá trị sau sấp xỉ bằng nhau)

Dạng 4: Cho cặp số (x0;y0) với

1 1

3 4

2 3

n n

n

n n

n

y x y

y x

x

cũng là nghiệm của phương trình 2x2 – y2 = 1 (n≥ 1)

b, Viết quy trình ấn phím liên tục tính giá trị cặp số (xn;yn)