bài tập khảo sát cực trị, tiếp tuyến, tương giao toán 12

tài liệu word bài tập khảo sát cực trị, tiếp tuyến, tương giao toán 12

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức • Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y′ = có nghiệm phân biệt • Hồnh độ x1, x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y′ = • Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích y = f ′( x ).q( x ) + h( x ) – Suy y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) • Gọi α góc hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 tan α = k1 − k2 + k1k2 B Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = − ) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q góc α – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k−p = tan α (Đặc biệt d ≡ Ox, giải điều kiện: k = tan α ) + kp Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục O x, Oy hai điểm A, B cho ∆IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B ∆ với trục Ox, Oy – Giải điều kiện S∆IAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho ∆IAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện S∆IAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB ∆ ⊥ d – Giải điều kiện:  I ∈ d Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: d ( A, d ) = d (B, d ) Trang Khảo sát hàm số Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B khoảng cách hai điểm A, B lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu hồnh độ điểm cực trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et Tìm điều kiện để hàm số có cực trị khoảng K1 = (−∞;α ) K2 = (α ; +∞) y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x − α Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (−∞;α ) Hàm số có cực trị khoảng (−∞;α ) ⇔ f ( x ) = có nghiệm (−∞;α ) ⇔ g(t ) = có nghiệm t < Hàm số có cực trị thuộc K2 = (α ; +∞) Hàm số có cực trị khoảng (α ; +∞) ⇔ f ( x ) = có nghiệm (α ; +∞) ⇔ g(t ) = có nghiệm t > P <  ∆ ' ≥ ⇔   S <   P ≥ P <  ∆ ' ≥ ⇔   S >   P ≥ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả: a) x1 < α < x2 b) x1 < x2 < α c) α < x1 < x2 y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x − α Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < α < x2 ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < < t2 ⇔ P < b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < x2 < α ∆ ' >  ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < ⇔ S <  P > c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả α < x1 < x2 ∆ ' >  ⇔ g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả < t1 < t2 ⇔ S >  P > Câu Cho hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m2 ) x + m3 − m Trang 10 (1) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) • y ′= −3 x + 6mx + 3(1 − m2 ) PT y ′= có ∆ = > 0, ∀m ⇒ Đồ thị hàm số (1) ln có điểm cực trị ( x1; y1), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y′ ta được: Khi đó: 1 m y =  x − ÷y ′+ x − m + m 3  y1 = x1 − m + m ; y2 = x2 − m + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y = x − m2 + m Cho hàm số y = x + x + mx + m − (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh • PT hồnh độ giao điểm (C) trục hồnh: Câu  x = −1 (1) ⇔  (2)  g( x ) = x + x + m − = ⇔ (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục Ox PT (1) có nghiệm phân biệt x + x + mx + m − =  ∆ ′= − m > ⇔ m biệt dấu ⇔  2m − > m ≠  ⇔ m > Cho hàm số y = x − x − mx + (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y = x − Câu • Ta có: y ' = x − x − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = x − x − m = có nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆ ' = + 3m > ⇔ m > −3 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) Trang 11 Khảo sát hàm số 1 1  2m   m − ÷x +  + ÷ Thực phép chia y cho y′ ta được: y =  x − ÷y '+  3 3 3     2m   2m  m m ⇒ y1 = y( x1 ) =  − ÷x1 + + ; y2 = y( x2 ) =  − ÷x2 + + 3      2m  m ⇒ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị ∆: y =  − ÷x + +   Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x − ⇔ xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x − ⇔ 2m − = ⇔ m = (khơng thỏa (*)) TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y = x − y1 + y2 x1 + x2  2m   m = −1 ⇔  − ÷( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) − 2 3     2m   m ⇔ − ÷.2 +  + ÷ = ⇔ m = 3    ⇔ yI = xI − ⇔ Vậy giá trị cần tìm m là: m = Cho hàm số y = x − 3mx + 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Câu x = • Ta có: y′ = x − 6mx ; y′ = ⇔  x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠  uuur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ AB = (2m; −4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3)  AB ⊥ d A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x ⇔  I ∈ d  2m − 4m3 = ⇔ m=± 2m = m ⇔ Cho hàm số y = − x + 3mx − 3m − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y − 74 = Câu • y ′= −3 x + 6mx ; y ′= ⇔ x = ∨ x = 2m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT y ′= có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ uuur Khi điểm cực trị là: A(0; −3m − 1), B(2m;4m3 − 3m − 1) ⇒ AB(2m;4m3 ) Trung điểm I AB có toạ độ: I (m;2m3 − 3m − 1) r Đường thẳng d: x + 8y − 74 = có VTCP u = (8; −1) I ∈ d  m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = A B đối xứng với qua d ⇔  AB ⊥ d ⇔  uuur r   AB.u = Câu hỏi tương tự: a) y = x − x + m x + m, d : y = x − ĐS: m = Cho hàm số y = x − x + mx (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Câu Trang 12 ⇔ m=2 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 2) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x − y − = • Ta có y = x − 3x + mx ⇒ y ' = 3x − x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ′= có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = − 3m > ⇔ m < 1 1 2    Ta có: y =  x − ÷y ′+  m − ÷x + m 3 3   2  ⇒ đường thẳng ∆ qua điểm cực trị có phương trình y =  m − ÷x + m 3  d: x − y − = ⇔ y = x − ⇒ d có hệ số góc k2 = 2 nên ∆ có hệ số góc k1 = m − Để hai điểm cực trị đối xứng qua d ta phải có d ⊥ ∆ 12  ⇒ k1k2 = −1 ⇔  m − ÷ = −1 ⇔ m = 2  Với m = đồ thị có hai điểm cực trị (0; 0) (2; –4), nên trung điểm chúng I(1; –2) Ta thấy I ∈ d, hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x + m − (1) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với Câu qua đường thẳng d: y = x • y ' = x − 6(m + 1) x + Hàm số có CĐ, CT ⇔ ∆ ' = 9(m + 1)2 − 3.9 > ⇔ m ∈ (−∞; −1 − 3) ∪ (−1 + 3; +∞) 1 m +1 Ta có y =  x − ÷y ′− 2(m + 2m − 2) x + 4m + 3   Giả sử điểm cực đại cực tiểu A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I trung điểm AB ⇒ y1 = −2(m2 + 2m − 2) x1 + 4m + ; y2 = −2(m2 + 2m − 2) x2 + 4m +  x + x = 2(m + 1) và:  x1.x =  Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu y = −2(m2 + 2m − 2) x + 4m + 1  AB ⊥ d A, B đối xứng qua (d): y = x ⇔  I ∈ d  ⇔ m =1 Câu 10 Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 − x2 ≤ • Ta có y ' = x − 6(m + 1) x + + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔ PT y ' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ PT x − 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Trang 13 Khảo sát hàm số  m > −1 + ⇔ ∆ ' = (m + 1)2 − > ⇔  (1)  m < −1 − + Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m + 1); x1x2 = Khi đó: 2 x1 − x2 ≤ ⇔ ( x1 + x2 ) − x1x2 ≤ ⇔ ( m + 1) − 12 ≤ ⇔ (m + 1)2 ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ (2) + Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm −3 ≤ m < −1 − −1 + < m ≤ Câu 11 Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m ) x + m + , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 − x2 > • Ta có: y ' = x + 2(1 − 2m) x + (2 − m ) Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 )  2 ⇔ ∆ ' = (1 − 2m) − 3(2 − m) = m − m − > ⇔  m > (*)  m < −1  2(1 − 2m) 2−m ; x1x2 = Hàm số đạt cực trị điểm x1, x2 Khi ta có: x1 + x2 = − 3 2 1 x1 − x2 > ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1x2 > + 29 − 29 ⇔ 4(1 − 2m)2 − 4(2 − m) > ⇔ 16m2 − 12m − > ⇔ m > ∨m< 8 + 29 Kết hợp (*), ta suy m > ∨ m < −1 Câu 12 Cho hàm số y = x − mx + mx − , với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 − x2 ≥ • Ta có: y ' = x − 2mx + m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) m < ⇔ ∆′ = m − m > ⇔  m > (*) Khi đó: x1 + x2 = 2m, x1 x2 = m   − 65 m ≤ x1 − x2 ≥ ⇔ ( x1 − x2 )2 ≥ 64 ⇔ m − m − 16 ≥ ⇔  (thoả (*)) + 65   m ≥ 1 Câu 13 Cho hàm số y = x − (m − 1) x + 3(m − 2) x + , với m tham số thực 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 + x2 = • Ta có: y ′= x − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ y ′= có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆′ > ⇔ m − 5m + > (ln với ∀m) Trang 14 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  x + x = 2(m − 1) Khi ta có:  x1x =2 3(m − 2)  ⇔ 8m2 + 16m − = ⇔ m =  x = − 2m ⇔  x − x = 3(m − 2)  ( 2) −4 ± 34 Câu 14 Cho hàm số y = x + mx − x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = −4 x2 • y ′= 12 x + 2mx − Ta có: ∆′ = m + 36 > 0, ∀m ⇒ hàm số ln có cực trị x1, x2 m  Khi đó:  x1 = −4 x2 ; x1 + x2 = − ; x1x2 = −  Câu hỏi tương tự: a) y = x + x + mx + ; x1 + 2x2 = ⇒m=± ĐS: m = −105 Câu 15 Cho hàm số y = x − ax − 3ax + (1) (a tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a = 2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều kiện: x12 + 2ax2 + 9a a2 + a2 x22 + 2ax1 + 9a =2 (2) • y′ = x − 2ax − 3a Hàm số có CĐ, CT ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2  a < −3 ⇔ ∆ = 4a2 + 12a > ⇔  a >  (*) Khi x1 + x2 = 2a , x1x2 = −3a Ta có: x12 + 2ax2 + 9a = 2a ( x1 + x2 ) + 12a = 4a2 + 12a > Tương tự: x22 + 2ax1 + 9a = 4a2 + 12a > Do đó: (2) ⇔ 4a2 + 12a a2 + a2 = ⇔ 4a + 12a = ⇔ 3a ( a + ) = ⇔ a = −4 4a2 + 12a a2 Câu 16 Cho hàm số y = x + 9mx + 12m x + (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x 2CĐ = xCT • Ta có: y′ = x + 18mx + 12m2 = 6( x + 3mx + 2m ) Hàm số có CĐ CT ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = m > ⇔ m ≠ ( −3m − m ) , x2 = ( −3m + m ) 2 Dựa vào bảng xét dấu y′, suy xCĐ = x1, xCT = x2 Khi đó: x1 = Do đó: x CĐ = xCT   ⇔  −3m − m ÷ = −3m + m ⇔ m = −2   Câu 17 Cho hàm số y = (m + 2) x + x + mx − , m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Trang 15 Khảo sát hàm số 2) Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương • Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương ⇔ PT y ' = 3(m + 2) x + x + m = có nghiệm dương phân biệt a = (m + 2) ≠ ∆ ' = − 3m(m + 2) >  ∆ ' = − m − 2m + > −3 < m <  m    ⇔ P = ⇔ m < ⇔ m < ⇔ −3 < m < −2 >0 3(m + 2)  m + < m < −2  −3  S = >  m+2 1 Câu 18 Cho hàm số y = x − mx + (m − 3) x (1), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm giá trị m để hàm số (1) có điểm cực trị x1, x2 với x1 > 0, x2 > x12 + x22 = • y′ = x − mx + m − ; y′ = ⇔ x − mx + m − = (2) ∆ > P >  3  ⇔  g(1) = −5m + > ⇔ < m <  S = 2m − <  Câu 20 Cho hàm số y = m x + (m − 2) x + (m − 1) x + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 thỏa mãn x1 < x2 < • Ta có: y′ = mx + 2(m − 2) x + m − ; y′ = ⇔ mx + 2(m − 2) x + m − = (1) Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1 < x2 < m > (1) có nghiệm phân biệt bé Đặt t = x − ⇒ x = t + , thay vào (1) ta được: m(t + 1)2 + 2(m − 2)(t + 1) + m − = ⇔ mt + 4(m − 1)t + 4m − = (1) có nghiệm phân biệt bé ⇔ (2) có nghiệm âm phân biệt Trang 16 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số m > ∆′ > ⇔ ⇔ S < Câu 21 Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng (−2;0) • Ta có: y′ = x + 2(1 − 2m) x + − m ; y′ = ⇔ x + 2(1 − 2m) x + − m = (*) Hàm số có cực trị thuộc (−2;0) ⇔ (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 có −2 < x1 < x2 <  nghiệm thuộc (−2;0) ⇔  −2 < x1 < ≤ x2  x1 ≤ −2 < x2 < (1) (2) (3) Ta có: 4m2 − m − >  ∆ ' = 4m − m − >   −2 < 2m − < x + x −2 < < 10  (1) ⇔  ⇔ ⇔ − < m < −1 4(2m − 1) − m + >0 ( x + ) ( x + ) > 4 + 3    x1x2 > 2 − m >   4m − m − > ∆ ' = 4m2 − m − >   m ≥ f = − m ≤ ( )   2m − (2) ⇔  ⇔ ⇔m≥2 ( x1 + ) + ( x2 + ) >  > −2 ( x1 + ) ( x2 + ) >  − m ( 2m − 1)  +4>0  +   4m − m − > ∆ ' = 4m2 − m − >   3m + ≥  f ( −2 ) = 10 + 6m ≤  2m − (3) ⇔  ⇔ ⇔ − ≤ m < −1 2 − m  >   Tóm lại giá trị m cần tìm là: m ∈  − ; −1÷∪ 2; +∞ )   Câu 22 Cho hàm số y = x − x + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = x − tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ • Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) Xét biểu thức g( x, y) = x − y − ta có: g( x A , y A ) = x A − y A − = −4 < 0; g( x B , yB ) = x B − yB − = > ⇒ điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y = x − Do MA + MB nhỏ ⇔ điểm A, M, B thẳng hàng ⇔ M giao điểm d AB Phương trình đường thẳng AB: y = −2 x +  4 2 y = 3x − Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  y = −2 x + ⇔  x = ; y = ⇒ M  ; ÷ 5    5  Trang 17 Khảo sát hàm số Câu 23 Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O • Ta có y ′= x − 6mx + 3(m2 − 1) Hàm số (1) có cực trị ⇔ PT y ′= có nghiệm phân biệt ⇔ x − 2mx + m2 − = có nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = > 0, ∀m Khi đó: điểm cực đại A(m − 1;2 − 2m) điểm cực tiểu B(m + 1; −2 − 2m)  m = −3 + 2 Ta có OA = 2OB ⇔ m + 6m + = ⇔   m = −3 − 2 Câu 24 Cho hàm số y = x − x − mx + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −4 x + • Ta có: y ' = x − x − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ ' = + 3m > ⇔ m > −3 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1 1  2m  m  + ÷x +  − ÷ Thực phép chia y cho y′ ta được: y =  x − ÷y '−  3 3 3     2m    2m   m m ⇒ y1 = y ( x1 ) = −  + ÷x1 +  − ÷; y2 = y ( x2 ) = −  + ÷x2 +  − ÷ 3 3         2m   m ⇒ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị ∆: y = −  + ÷x +  − ÷ 3      2m  + ÷ = −4 −    ⇔ m = (thỏa mãn (*)) ∆ // d: y = −4 x + ⇔    m  − ÷ ≠  3 Câu hỏi tương tự: a) y = x − mx + (5m − 4) x + , d : x + 3y + = ĐS: m = 0; m = Câu 25 Cho hàm số y = x + mx + x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị vng góc với đường thẳng d: y = x − • Ta có: y ' = x + 2mx + Hàm số có CĐ, CT ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ ' = m2 − 21 > ⇔ m > 21 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1 1  7m  Thực phép chia y cho y′ ta được: y =  x + ÷y '+ (21 − m ) x +  − ÷ 9 9  3    7m  7m  ⇒ y1 = y( x1 ) = (21 − m ) x1 +  − ÷; y2 = y( x2 ) = (21 − m ) x2 +  − ÷ 9  9    Trang 18 Khảo sát hàm số Câu 121 Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3) x + có đồ thị (Cm) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C1) hàm số m = 2) Cho đường thẳng (d): y = x + điểm K(1; 3) Tìm giá trị m để (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích • Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d là: x + 2mx + (m + 3) x + = x +  x = ( y = 4) ⇔  g( x ) = x + 2mx + m + = (1) (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C ⇔ (1) có nghiệm phân biệt khác  / m < −1 ∨ m > ⇔ ∆ = m − m − > ⇔  g (0) = m + ≠ m ≠ −2  Khi đó: x B + xC = −2m; xB xC = m + S∆ KBC = ⇔ (*) Mặt khác: d (K , d ) = 1− + = Do đó: BC.d (K , d ) = ⇔ BC = 16 ⇔ BC = 256 ⇔ ( x B − xC )2 + ( yB − yC )2 = 256 ⇔ ( x B − xC )2 + (( x B + 4) − ( xC + 4))2 = 256 ⇔ 2( x B − xC )2 = 256 ⇔ ( x B + xC )2 − x B xC = 128 ⇔ 4m2 − 4(m + 2) = 128 ⇔ m − m − 34 = ⇔ m = ± 137 ± 137 (thỏa (*)) Vậy m = 2 Câu hỏi tương tự: a) y = x + 2mx + 3(m − 1) x + , d : y = − x + , K (3;1), A(0;2), S = 2 ĐS: m = 0, m = Câu 122 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi dk đường thẳng qua điểm A(−1;0) với hệ số góc k (k ∈ ¡ ) Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích • Ta có: dk : y = kx + k ⇔ kx − y + k = PT hồnh độ giao điểm (Cm) d là: x − x + = kx + k ⇔ ( x + 1) ( x − 2)2 − k  = ⇔ x = −1 ( x − 2)2 = k k > dk cắt (C) điểm phân biệt ⇔  k ≠ (*) Khi giao điểm A(−1;0), B ( − k ;3k − k k ) ,C ( + k ;3k + k k ) BC = k + k , d (O, BC ) = d (O, dk ) = k + k2 k S∆OBC = k + k = ⇔ k k = ⇔ k = ⇔ k = (thoả (*)) + k2 Câu hỏi tương tự: a) y = x − x + 4; A(−1;0), SOBC = ĐS: k = Câu 123 Cho hàm số y = (2 − m) x − 6mx + 9(2 − m) x − (Cm) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; −2) , B C cho diện tích tam giác OBC 13 Trang 60 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số • Phương trình hồnh độ giao điểm là: (2 − m) x − 6mx + 9(2 − m) x − = −2 (1) x = ⇔ (2 − m) x − 6mx + 9(2 − m) = (2) d cắt (C) điểm phân biệt A(0; –2), B, C ⇔ (2) có nghiệm phân biệt khác  ∆ = 9m − 9(2 − m)2 > m > ⇔ − m ≠ m ≠  ⇔  6m  x B + xC = Khi đó:  − m Ta có: S  x B xC = ⇒ BC = 13 ⇔ ( x B + xC ) (*) Giả sử B( x B ; −2), C ( xC ; −2) ( xB ≠ xC ) ∆OBC = d (O, BC ).BC = 13 2  14  6m  m=  − 36 = 13 ⇔ − x B xC = 13 ⇔  ÷ 13  2−m  m = 14 (thoả (*)) Câu 124 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi E tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB • Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng ∆ qua E có dạng y = k ( x − 1) PT hồnh độ giao điểm (C) ∆: ( x − 1)( x − x − − k ) = ∆ cắt (C) điểm phân biệt ⇔ x − x − − k = có nghiệm phân biệt khác ⇔ k > −3 S∆OAB = d (O, ∆ ) AB = k k +3 ⇒ k  k = −1 k+3 = ⇔   k = −1 ± Vậy có đường thẳng thoả YCBT: y = − x + 1; y = ( −1 ± ) ( x − 1) Câu 125 Cho hàm số y = x + x + mx + (m tham số) (1) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng d: y = cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B C vng góc với • PT hồnh độ giao điểm (1) d: x + x + mx + = ⇔ x( x + x + m) = d cắt (1) điểm phân biệt A(0; 1), B, C ⇔ m < , m ≠ Khi đó: x B , xC nghiệm PT: x + x + m = ⇒ x B + xC = −3; x B xC = m Hệ số góc tiếp tuyến B k1 = x B2 + xB + m C k2 = xC2 + xC + m Tiếp tuyến (C) B C vng góc với ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ 4m2 − 9m + = ⇔ m= − 65 + 65 ∨ m= 8 Câu 126 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) đường thẳng (d): y = mx + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để (d) cắt (C) M(–1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với • Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x -(m + 3) x − m − =  x = −1 ( y = 3) ⇔ ( x + 1)( x − x − m − 2) = ⇔   g( x ) = x − x − m − = Trang 61 Khảo sát hàm số d cắt (1) điểm phân biệt M(–1; 3), N, P ⇔ m > − , m ≠ Khi đó: x N , xP nghiệm PT: x − x − m − = ⇒ x N + x P = 1; x N x P = −m − Hệ số góc tiếp tuyến N k1 = x N2 − P k2 = xP2 − Tiếp tuyến (C) N P vng góc với ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ 9m2 + 18m + = ⇔ m= −3 + 2 −3 − 2 ∨ m= 3 Câu 127 Cho hàm số y = x − x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng góc với • PT đường thẳng (d): y = k ( x − 2) + PT hồnh độ giao điểm (C) (d): x − x + = k ( x − 2) x = = xA ⇔ ( x − 2)( x − x − − k ) = ⇔   g( x ) = x − x − − k = + (d) cắt (C) điểm phân biệt A, M, N ⇔ PT g( x ) = có nghiệm phân biệt, khác ∆ > ⇔  f (2) ≠ ⇔ − < k ≠  (*) x + x = + Theo định lí Viet ta có:  x M x =N −k −  M N + Các tiếp tuyến M N vng góc với ⇔ y ′( x M ).y ′( x N ) = −1 − x M )(3 x N2 − x N ) = −1 ⇔ 9k + 18k + = ⇔ k = ⇔ (3 x M −3 ± 2 (thoả (*)) Câu 128 Cho hàm số y = x − x (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y = m( x + 1) + ln cắt đồ thị (C) điểm M cố định xác định giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với x +1 = • PT hồnh độ giao điểm ( x + 1)( x − x − − m) = (1) ⇔  x − x − − m = (1) ln có nghiệm x = −1 ( y = ) ⇒ (d) ln cắt (C) điểm M(–1; 2) (d) cắt (C) điểm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt, khác –1 ⇔ m > − ;m ≠ (2) (*) −3 ± 2 Tiếp tuyến N, P vng góc ⇔ y '( xN ) y '( xP ) = −1 ⇔ m = (thoả (*)) Câu 129 Cho hàm số y = x − x − x + 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hồnh cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O (O gốc toạ độ) • Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m Trang 62 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số PT hồnh độ giao điểm (C) d: x − x − x + = m ⇔ x − x − x + − 3m = (1) 3 Để d cắt (C) điểm phân biệt A, B cho ∆OAB cân O (1) phải có nghiệm x1, x2 = − x1 ( x1,–x1 hồnh độ A, B) ⇒ x1, x2 nghiệm phương trình: ( x − x12 )( x − x2 ) = ⇔ x − x2 x − x12 x + x12 x2 = (2) Đồng (1) (2) ta được:  x1 = ±3  x2 =  x =  19  x1 = ⇔ Kết luận: d: y = −  m = − 19  x x = − 3m   Câu 130 Cho hàm số y = x − x + x + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Gọi ∆ đường thẳng qua A(−1;0) có hệ số góc k Tìm k để ∆ cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B,C cho tam giác OBC có trọng tâm G(2;2) ( O gốc toạ độ) • PT đường thẳng ∆: y = k ( x + 1) PT hồnh độ giao điểm (C) ∆:  x = −1 x − x + x + = k ( x + 1) ⇔  ( x − 3) = k k > ∆ cắt (C) ba điểm phân biệt ⇔ ( x − 3)2 = k có hai nghiệm phân biệt khác −1 ⇔ k ≠ 16  Khi toạ độ giao điểm là: A(−1;0) , B ( + k ; k ( + k ) ) , C ( − k ; k ( − k ) )  xG =  8k Do tọa độ trọng tâm ∆OBC :  ⇔ k = (thoả điều kiện) y = =  G Dạng 2: Sự tương giao đồ thị hàm số trùng phương: y = f ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) A Kiến thức Số giao điểm (C): y = ax + bx + c với trục Ox = số nghiệm ax + bx + c = (1) t = x , t ≥ ax + bx + c = (1) ⇔  at + bt + c = (2) Để xác định số nghiệm (1) ta dựa vào số nghiệm (2) dấu chúng (2) vô nghiệm • (1) vơ nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép âm  (2) có nghiệm âm (2) có nghiệm kép • (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 0, nghiệm lại âm  (2) có nghiệm kép dương • (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm dương nghiệm âm  • (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 0, nghiệm lại dương • (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm dương phân biệt Trang 63 Khảo sát hàm số B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh k điểm phân biệt Dựa vào trường hợp nêu Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ⇔ ax + bx + c = (1) có nghiệm phân biệt ⇔ at + bt + c = (t = x ) (2) có nghiệm dương phân biệt t1, t2 (giả sử t1 < t2 ) – Khi nghiệm (1) là: − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 – Vì − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng nên ( ) t2 − t1 = t1 − − t1 ⇔ t2 = 9t1  b t1 + t2 = − a  – Giải điều kiện: t t = c 12 a t = 9t 1 Câu 131 Cho hàm số y = x − mx + m − có đồ thị ( Cm ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Định m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt • PT hồnh độ giao điểm (Cm) với trục hồnh: x − mx + m − = (1) t = Đặt t = x , t ≥ Khi đó: (1) ⇔ t − mt + m − = (2) ⇔ t = m −  YCBT ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm dương phân biệt ⇔ < m − ≠ m > ⇔ m ≠  Câu 132 Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + 2m + có đồ thị ( Cm ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = 2) Định m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng • Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − 2(m + 1) x + 2m + = Đặt t = x , t ≥ (1) trở thành: f (t ) = t − 2(m + 1)t + 2m + = Trang 64 (1) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt f (t ) = phải có nghiệm dương phân biệt ∆ ' = m2 >    ⇔ S = ( m + 1) > ⇔ m > − (*)  P = 2m + > m ≠  Với (*), gọi t1 < t2 nghiệm f (t ) = , hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox là: x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 x1, x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1 m = 5m = 4m + ⇔ m + + m = m + − m ⇔ m = ( m + 1) ⇔  ⇔ (thoả (*)) m = −  −5m = 4m +   4 Vậy m = 4; −  9  ( ) Câu hỏi tương tự: a) Với y = − x + 2(m + 2) x − 2m − ĐS: m = 3, m = − 13 Câu 133 Cho hàm số y = x − (3m + 2) x + 3m có đồ thị (Cm), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ • Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = −1 :  x = ±1 x − (3m + 2) x + 3m = −1 ⇔ x − (3m + 2) x + 3m + = ⇔  (*)  x = 3m + Đường thẳng y = −1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 nhỏ  < 3m + < ⇔ 3m + ≠   ⇔ − < m < 1; m ≠ Câu 134 Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + 2m + có đồ thị (Cm), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ • Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − 2(m + 1) x + 2m + = Đặt t = x , t ≥ (1) trở thành: f (t ) = t − 2(m + 1)t + 2m + = (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ  = t1 < t2 < ⇔ f ( t ) có nghiệm phân biệt t1, t2 cho:   < t1 < ≤ t2 ∆′ = m2 > ∆′ = m >   ⇔  f (0) = 2m + =  f (3) = − 4m ≤ ⇔ m = − ∨ m ≥ S = 2(m + 1) < S = 2(m + 1) >   P = 2m + > Vậy: m = − ∨ m ≥ Câu 135 Cho hàm số y = x − 2m x + m + 2m (Cm), với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Trang 65 (1) Khảo sát hàm số 2) Chứng minh đồ thị (Cm) ln cắt trục Ox hai điểm phân biệt, với m < • PT hồnh độ giao điểm (Cm) với trục Ox: x − 2m x + m + 2m = (1) Đặt t = x (t ≥ 0) , (1) trở thành : t − 2m2t + m + 2m = (2) Ta có : ∆ ' = −2m > S = 2m2 > với m > Nên (2) có nghiệm dương ⇒ (1) có nghiệm phân biệt ⇒ đồ thị hàm số (1) ln cắt trục Ox hai điểm phân biệt Câu 136 Cho hàm số y = x + 2m2 x + (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Chứng minh đường thẳng y = x + ln cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m • Xét PT hồnh độ giao điểm: x = x + 2m2 x + = x + ⇔ x ( x + 2m2 x − 1) = ⇔  g( x ) = x + 2m x − = (*)  Ta có: g′ ( x ) = x + 2m2  ≥ (với x m ) ⇒ Hàm số g(x) ln đồng biến với giá trị m Mặt khác g(0) = –1 ≠ Do phương trình (*) có nghiệm khác Vậy đường thẳng y = x + ln cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m Câu 137 Cho hàm số y = x − (m2 + 2) x + m + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn (Cm) với trục hồnh phần phía trục hồnh có diện tích 96 15  x = ±1 • PT hồnh độ giao điểm (Cm) với trục Ox: x − (m + 2) x + m2 + = ⇔   x = ± m + ⇒ (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ m ≠ (*) Khi đó: diện tích hình phẳng giới hạn (Cm) với trục hồnh phần phía trục hồnh là: S = ∫ (x −1 − (m + 2) x + m + 1)dx ⇔ 20m + 16 = 96 ⇔ m = ±2 (thoả (*)) 15 15 Câu 138 Cho hàm số y = x − x + m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn (Cm) với trục hồnh có diện tích phần phía trục hồnh diện tích phần trục hồnh • PT hồnh độ giao điểm (Cm) với trục hồnh: x − x + m = (1) t = x , t ≥ t − 4t + m = (2) ⇔ (Cm) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm dương  ∆′ = − m >  phân biệt ⇔  S = > ⇔ < m < (*)  P = m > Giả sử (2) có nghiệm t1, t2 (0 < t1 < t2 ) Khi (1) có nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần Trang 66 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số là: x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 Do tính đối xứng (Cm) nên ta có: x3 ∫ ( x − x + m)dx = x4 x45 x34 ( − x + x − m ) dx ⇔ − + mx4 = ⇔ x44 − 20 x42 + 15m = ∫ x3  x − x + m = 4 x − 20 x42 + 15m =  Suy x4 nghiệm hệ:  Đối chiếu điều kiện (*) ta suy m = (3) m = ⇔  m = 20 (4)  20 Câu 139 Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + 2m + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt A, B, C, D có hồnh độ x1, x2 , x3 , x4 ( x1 < x2 < x3 < x4 ) cho tam giác ACK có diện tích S = , biết K(3; −2) • PT hồnh độ giao điểm (Cm) với trục hồnh: x − 2(m + 1) x + 2m + = (1) Đặt t = x , t ≥ (1) trở thành: t − 2(m + 1)t + 2m + = (2) (Cm) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm dương phân biệt  ∆′ = (m + 1)2 − (2m + 1) >  m > −  ⇔ S = 2(m + 1) > ⇔  m ≠  P = 2m + > Khi (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự là: − t1 ; − t2 ; t2 ; t1 , với t1 > t2 Ta có: S ACK = AC.d (K , AC ) (3), với d (K , AC ) = yK = Khi đó: (3) ⇔ t1 + t2 = ⇔ t1 + t2 + t1t2 = 16 ⇔ 2(m + 1) + 2m + = 16 ⇔ m = ax + b cx + d Dạng 3: Sự tương giao đồ thị hàm số: y = f ( x ) = Câu 140 Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y = − x + m ln cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ • PT hồnh độ giao điểm (C) d:  x ≠ −2 2x + = −x + m ⇔  x+2  f ( x ) = x + (4 − m) x + − 2m = (1) Do (1) có ∆ = m + 12 > f (−2) = (−2)2 + (4 − m).(−2) + − 2m = −3 ≠ 0, ∀m nên đường thẳng d ln ln cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có: y A = m − x A ; yB = m − x B nên AB2 = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 = 2(m + 12) Suy AB ngắn ⇔ AB2 nhỏ ⇔ m = Khi đó: AB = 24 Câu hỏi tương tự: a) y = x −2 x −1 ĐS: m = b) y = Trang 67 x −1 2x ĐS: m = Khảo sát hàm số x −3 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I(−1;1) cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I trung điểm đoạn MN • Phương trình đường thẳng d : y = k ( x + 1) + Câu 141 Cho hàm số y = x −3 = kx + k + có nghiệm phân biệt khác −1 x +1 k ≠  ⇔ f ( x ) = kx + 2kx + k + = có nghiệm phân biệt khác −1 ⇔ ∆ = −4k > ⇔ k <  f (−1) = ≠ Mặt khác: x M + x N = −2 = x I ⇔ I trung điểm MN với ∀k < Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm y = kx + k + với k < d cắt (C) điểm phân biệt M, N ⇔ Câu 142 Cho hàm số y = 2x + 1− x (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi (d) đường thẳng qua A(1; 1) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm M, N cho MN = 10 • Phương trình đường thẳng (d ) : y = k ( x − 1) + Bài tốn trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1), ( x2 ; y2 ) phân biệt 2 cho ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 90  2x + = k ( x − 1) +   −x +  y = k ( x − 1) +  (a)  kx − (2k − 3) x + k + = (I) Ta có: (I ) ⇔   y = k ( x − 1) + (I) có nghiệm phân biệt ⇔ kx − (2k − 3) x + k + = (b) có nghiệm phân biệt ⇔ k ≠ 0, k < Ta biến đổi (a) trở thành: (1 + k ) ( x2 − x1 ) = 90 ⇔ (1 + k ) ( x2 + x1 ) − x2 x1  = 90 (c) Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 + x2 = trình: 2k − k +3 , x1x2 = , vào (c) ta có phương k k 8k + 27k + 8k − = ⇔ (k + 3)(8k + 3k − 1) = ⇔ k = −3; k = −3 + 41 −3 − 41 ; k= 16 16 Kết luận: Vậy có giá trị k thoả mãn Câu 143 Cho hàm số y = 2x − (C) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (d): y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = 2x − = x + m ⇔ x + mx +  m + = ( x ≠ −1) (1) x +1 d cắt (C) điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác –1 • PT hồnh độ giao điểm: ⇔ m − 8m − 16 > 0  (2) Trang 68 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  m  x1 + x2 = − Khi ta có:  Gọi A ( x1;2 x1 + m ) , B ( x2 ;2 x2 + m ) x x = m +  2 AB2 = ⇔ ( x1 − x2 )2 + 4( x1 − x2 )2 = ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1x2 = ⇔ m − 8m − 20 =  m = 10 ⇔  m = −2  (thoả (2)) Vậy: m = 10; m = −2 Câu hỏi tương tự: a) y = 2x −1 , d : y = x + m, AB = 2 x+2 Câu 144 Cho hàm số y = ĐS: m = −1; m = x −1 (1) x+m 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm giá trị tham số m cho đường thẳng (d): y = x + cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A B cho AB = 2 • PT hồnh độ giao điểm:  x ≠ −m x −1 = x+2⇔  x+m  x + (m + 1) x + 2m + = (*) d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác − m   ∆ > ⇔ ⇔  m − 6m − > ⇔  m < − ∨ m > +  x ≠ −m m ≠ −1  m ≠ −1 (**)  x + x = −(m + 1) Khi gọi x1, x2 nghiệm (*), ta có  x1.x 2= 2m +  Các giao điểm d đồ thị hàm số (1) A( x1; x1 + 2), B( x2 ; x2 + 2) 2 2 Suy AB = 2( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1x2  = 2(m − 6m − 3) m = −1 2 Theo giả thiết ta 2(m − 6m − 3) = ⇔ m − 6m − = ⇔  Kết hợp với điều kiện (**) ta m = giá trị cần tìm Câu 145 Cho hàm số y =  m = 2x + x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm giá trị tham số k cho đường thẳng (d): y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B cho khoảng cách từ A B đến trục hồnh • PT hồnh độ giao điểm:  x ≠ −1 2x + = kx + 2k + ⇔  x +1 kx + (3k − 1) x + 2k = (*) k ≠  ∆ = k − 6k + > d cắt (C) hai điểm phân biệt A B ⇔ (*) có nghiệm phân biệt ⇔  k ≠ k < − 2 ∨ k > + ⇔ (**) Khi đó: A( x1; kx1 + 2k + 1), B( x2 ; kx2 + 2k + 1) Ta có: d ( A, Ox ) = d (B,Ox ) ⇔ kx1 + 2k + = kx2 + 2k + ⇔ k ( x1 + x2 ) + 4k + = ⇔ k = −3 (thoả (**) Trang 69 Khảo sát hàm số Câu 146 Cho hàm số y= 2x x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho độ dài AB ngắn x ≠ 2x = mx − m + ⇔  x −1  g( x ) = mx − 2mx + m − = (2) d cắt (C) điểm phân biệt A, B ⇔ (2) có nghiệm phân biệt khác ⇔ m > • PT hồnh độ giao điểm: Khi đó: A( x1; mx1 − m + 2), B( x2 ; mx2 − m + 2) ⇒ AB2 = (1 + m)2 ( x2 − x1 )2  m−2 1 ⇒ AB2 =  m + ÷ ≥ 16 m m  Dấu "=" xảy ⇔ m = Vậy AB = m = Theo định lí Viet, ta có: x1 + x2 = 2; x1x2 = Câu 147 Cho hàm y= x+2 2x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OA2 + OB2 = 37 • PT hồnh độ giao điểm (C) d: x+2 = x+m 2x − x ≠ ⇔  g( x ) = x + (2m − 3) x − 2(m + 1) =  ∆ = 4m2 + 4m + 25 > 0, ∀m Vì  g nên d ln cắt (C) điểm phân biệt A, B  g(1) = ≠  2m −  x1 + x2 = − A ( x ; x + m ), B ( x ; x + m ) Gọi Theo định lí Viet, ta có:  1 2  x1x2 = −(m + 1) 37 37 Ta có: OA2 + OB = ⇔ (4m + 2m + 17) = ⇔ m=− ; m=2 2 2 Câu 148 Cho hàm y= x 1− x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m − cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất, với A(−1;1) • PT hồnh độ giao điểm (C) d: x ≠ x = mx − m − ⇔  1− x mx − 2mx + m + = d cắt (C) điểm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt khác ⇔ m < Gọi I trung điểm MN ⇒ I(1; −1) cố định Ta có: AM + AN = AI + MN Do AM + AN nhỏ ⇔ MN nhỏ ≥ Dấu "=" xảy ⇔ m = −1 m Vậy: min( AM + AN ) = 20 m = −1 MN = ( x2 − x1 )2 (1 + m)2 = −4m − Trang 70 (2) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 149 Cho hàm số y = 2x −1 (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB vng O • PT hồnh độ giao điểm (C) d: x + (m − 3) x + − m = 0, x ≠1 (*) (*) có ∆ = m − 2m + > 0, ∀m ∈ R (*) khơng có nghiệm x = x + x = − m ⇒ (*) ln có nghiệm phân biệt x A , xB Theo định lí Viét:  x A x B= − m  A B Khi đó: A ( x A ; x A + m ) , B ( xB ; x B + m ) uuur uuur ∆OAB vng O OA.OB = ⇔ x A x B + ( x A + m ) ( x B + m ) = ⇔ x A x B + m ( x A + x B ) + m = ⇔ m = −2 Vậy: m = –2 Câu 150 Cho hàm số y = f ( x ) = 2x + x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm giá trị m cho đường thẳng (d): y = x + m cắt (C) điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN (I tâm đối xứng (C)) • Tâm đối xứng (C) I(1; 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C):  x ≠1 2x + = x+m⇔  x −1  f ( x ) = x + (m − 3) x − m − = d cắt (C) điểm phân biệt M, N ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x M , x N khác ∆ = m − 2m + 13 > ⇔ (đúng với m) Tọa độ giao điểm M ( x M ; y M ), N ( x N ; yN ) f (1) = −3 ≠  m −1 MN = ( x M + x N )2 − x M x N  = 2(m − 2m + 13) ; d = d (I , d ) = SIMN = ⇔ MN d = ⇔ m − m − 2m + 13 = ⇔ m = 3; m = −1 −x + m có đồ thị (Cm) (m tham số) x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để đường thẳng d : x + y − = cắt (Cm) hai điểm A B Câu 151 Cho hàm số y = cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) −x + m = − x ⇔ x − x + 2m − = (1), x ≠ −2 x+2 d cắt (Cm) điểm A, B ⇔ (1) có nghiệm phân biệt khác –2 ⇔ −2 ≠ m < (*)     Khi giao điểm là: A  x1; − x1 ÷, B  x2 ; − x2 ÷ AB = 2(9 − 8m)     • PT hồnh độ giao điểm d (Cm): SOAB = 1 1 AB.d (O, d ) = 2(9 − 8m) = − 8m = ⇔ m = − (thảo (*)) 2 2 Trang 71 Khảo sát hàm số Câu 152 Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm giá trị m để đường thẳng y = −3 x + m cắt (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x − y − = (O gốc tọa độ) 2x + = −3 x + m ⇔ x − (1 + m) x + m + = (1), ( x ≠ 1) x −1  m > 11 d cắt (C) A B ⇔ (1) có nghiệm phân biệt khác ⇔  m < −1 (*)  x , x A ( x ; − x + m ), B ( x Gọi nghiệm (1) Khi 1 ; −3 x2 + m) • PT hồnh độ giao điểm: x1 + x2 + m m −1 = , yI = −3 x I + m = uuur uur  1+ m m −1 ; Gọi G trọng tâm tam giác OAB ⇒ OG = OI ⇒ G  ÷ 3   Gọi I trung điểm AB ⇒ xI = G∈d ⇔  m −1 1+ m 11 11 −  (thoả (*)) Vậy m = − ÷− = ⇔ m = − 5   Câu 153 Cho hàm số y = x +3 (C) x −2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ·AOB nhọn • PT hồnh độ giao điểm (C) d: x +3 = −x + m +1 x −2 ⇔ x − (m + 2) x + 2m + = ( x ≠ 2) (1) ∆ > m − 4m + 16 > ⇔ ∀m (1) có nghiệm phân biệt ⇔  x ≠ ⇔   2 − 2(m + 2) + 2m + ≠ Gọi A( x1; − x1 + m + 1), B( x2 ; − x2 + m + 1) giao điểm (C) d Ta có: ·AOB nhọn ⇔ AB2 < OA2 + OB2 ⇔ 2( x2 − x1 )2 < (− x1 + m + 1)2 + (− x2 + m + 1)2 ⇔ −2 x1x2 + (m + 1)( x1 + x2 ) − (m + 1)2 < ⇔ m > −3 Câu 154 Cho hàm số y = 3x + x+2 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Đường thẳng y = x cắt (C) hai điểm A, B Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) hai điểm C, D cho ABCD hình bình hành • Hồnh độ điểm A, B nghiệm PT: 3x +  x = −1 =x⇔ x+2 x = ⇒ A(−1; −1), B(2;2) ⇒ AB = ⇒ CD = PT hồnh độ giao điểm (C) d: 3x + = x + m ⇔ x + (m − 1) x + 2m − = x+2  ∆ = m2 − 10m + > 0 ≠ m < ⇔ m > x ≠ −   C ( c ; c + m ), D ( b ; b + m ) Khi giao điểm với a, b nghiệm PT (*) d cắt (C) điểm phân biệt ⇔  Trang 72 (*) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  m = (loại) CD = ⇔ 2(c − d )2 = ⇔ m − 10m = ⇔  m = 10  Vậy: m = 10 Câu 155 Cho hàm số y= x +3 x +2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d : y = x + 3m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho uuur uuur OA.OB = −4 với O gốc toạ độ • PT hồnh độ giao điểm (C) (d): x +3 = x + 3m x+2 ⇔ x + 3(1 + m) x + 6m − = (1) ( x ≠ 2) d cắt (C) điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác –2  ∆ = 9m − 30m + 33 > ⇔ ∀m 8 − 6(1 + m) + 6m − ≠ ⇔ uuur uuur 12m − 15 = −4 ⇔ m = Khi đó: A( x1;2 x1 + 3m), B( x2 ;2 x2 + 3m) OA.OB = −4 ⇔ Câu 156 Cho hàm số: y = 12 x+2 x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với giá trị m (C) ln có cặp điểm A, B nằm hai nhánh x − y + m = (C) thỏa  x A − y A + m =  B B x − y + m = y = x + m • Ta có:  x A − y A + m = ⇔  y A = x A + m ⇒ A, B ∈ (d ) : y = x + m  B B  B B ⇒ A, B giao điểm (C) (d) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x+m = x+2 ⇔ f ( x ) = x + (m − 3) x − (2m + 2) = ( x ≠ 2) x−2 (*) (*) có ∆ = m + 2m + 17 > 0, ∀m ⇒ (d) ln cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Và f (2) = −4 < ⇒ x A < < x B x B < < x A (đpcm) Câu 157 Cho hàm số y= x+2 x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho AM = AN • PT đường thẳng d: y = k ( x − 1) PT hồnh độ giao điểm (C) d: x+2 = k ( x − 1) ⇔ kx − (2k + 1) x − = ( x ≠ 1) (1) x −1 t Đặt = x − ⇔ x = t + Khi (1) trở thành kt − t − = (2) d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác ⇔ (1) có nghiệm x1, x2 thoả x1 < < x2 ⇔ (2) có nghiệm t1, t2 thoả t1 < < t2 ⇔ −3k < ⇔ k > (*) uuur Vì A ln nằm đoạn MN AM = AN nên AM = −2 AN ⇒ x1 + x2 = (3) Áp dụng định lí Viet cho (1) ta có: x1 + x2 = 2k + k −2 (4), x1x2 = (5) k k Trang 73 Khảo sát hàm số Từ (3), (4) ⇒ x1 = k+2 k −1 ; x2 = Thay vào (5) ta được: k = (thoả (*)) k k Câu 158 Cho hàm số y = 2x − m (m tham số) mx + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Chứng minh với m ≠ 0, đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng d : y = x − 2m hai điểm phân biệt A, B thuộc đường (H) cố định Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy điểm M, N Tìm m để S∆OAB = 3S∆OMN • PT hồnh độ giao điểm (C) (d): ⇔ 2mx − 2m2 x − m = (2), x ≠ − 2x − m = x − 2m mx + 1 ⇔ f ( x ) = x − 2mx − = (*), x ≠ − m m  ∆′ = m2 + >  Xét PT (*) có    ⇔ ∀m ⇒ d ln cắt (C) điểm phân biệt A, B = +1 ≠  f  − m ÷  m2   x A + xB = m   yA = x  x x = −  A y = cố định Ta có:  A B ⇒ ⇒ A, B nằm đường (H): x  y A = x A − 2m y =  y = x − 2m  B x B  B B h = d (O, d ) = −2m = m , AB = m2 + , M (m;0), N (0; −2m) 1 ⇒ SOAB = h.AB = m m2 + , SOMN = OM ON = m2 ; SOAB = 3SOMN ⇔ m = ± 2 Trang 74 [...]... −4 Trang 42 =2 2 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y = x và y = x + 8 Câu hỏi tương tự: a) Với y = x x −1 ĐS: y = − x; y = − x + 4 Câu 79 Cho hàm số y = 2x + 1 x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2) • Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm ( x0 ≠ −1 ) PTTT (d)... ⇔ m ≠ 1 (*) Khi đó hai cực trị là A(2;9m), B(2m; −4m3 + 12m2 − 3m + 4) Trang 22 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 2 + 2 m − 1 = 0  1 ∆ABC nhận O làm trọng tâm ⇔ −4m3 + 12m2 + 6m + 4 − 9 = 0 ⇔ m = − (thoả (*)) 2  2  Câu 39 Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 + 3(m − 3) x 2 + 11 − 3m ( Cm ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 2) Tìm m để (Cm ) có hai điểm cực trị M1, M2 sao cho... − 1) x − m3 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −2 2) Chứng minh rằng (Cm) ln có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định x = m +1 • y ′= 3 x 2 − 6mx + 3(m2 − 1) ; y ′= 0 ⇔  x = m − 1  Trang 23 Khảo sát hàm số  x = −1 + t Điểm cực đại M (m − 1;2 − 3m) chạy trên đường thẳng cố định:   y = 2 − 3t x = 1+ t Điểm cực tiểu N (m + 1; −2... 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 Trang 26 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c A Kiến thức cơ bản • Hàm số ln nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị • Hàm số có 1 cực trị ⇔ phương trình y′ = 0 có 1 nghiệm • Hàm số có 3 cực trị ⇔ phương trình y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt • Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A(0; c), B( x1; y1... 2 1 4 3 x − mx 2 + 2 2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3 2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại x = 0 • y ′= 2 x 3 − 2mx = 2 x ( x 2 − m) y ′= 0 ⇔  2 x =m  Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại ⇔ PT y ′= 0 có 1 nghiệm ⇔ m ≤ 0 Câu 52 Cho hàm số y = − x 4 + 2mx 2 − 4 (Cm ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)... x2 • Hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau ⇔ f ′( x1 ) f ′( x2 ) = –1 Từ đó tìm được M Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục (3) có 2 nghiệm phân biệt hồnh thì  f ( x ) f ( x ) < 0  1 2 Trang 34 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d Câu 62 Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 1) Khảo sát sự biến... có dạng: y = kx + m Hồnh độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: Trang 35 Khảo sát hàm số f ′( x0 ) = k ⇔ 3 x02 + 12 x0 + 9 − k = 0 (1) Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3 (2) ⇒ Toạ độ các tiếp điểm ( x0 ; y0 ) của 2 tiếp tuyến là nghiệm của hệ:  y = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 3 0 0 ⇔  02 0 3 x0 + 12 x0 + 9 = k  k −6 2k − 9...Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là ∆: y = 2 (21 − m2 ) x + 3 − 7m 9 9  m > 21  3 10 ∆ ⊥ d: y = −4 x + 3 ⇔  2 ⇔ m=± 2 (21 − m ).3 = − 1 2  9 Câu 26 Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo... 5 Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 − 3mx + 2, C (1;1), S = 18 ĐS: m = 2 Câu 38 Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 12mx − 3m + 4 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0  9   2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C  −1; − ÷ 2 lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm • Ta có y ' = 3x 2 − 3(m + 1) x + 12m Hàm số có hai cực trị ⇔... 4m − 4 ) Do ∆ABC ln cân tại A, nên bài tốn thoả mãn khi ∆ABC vng tại A uuur uuur ⇔ AB.AC = 0 ⇔ (m − 2)3 = −1 ⇔ m = 1 (thoả (*)) Câu 55 Cho hàm số y = x 4 + 2(m − 2) x 2 + m2 − 5m + 5 ( Cm ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều