BÀI TẬP ĐẠO HÀM CẤP CAO Ta tính đạo hàm đạo hàm, có nghĩa là: - Đạo hàm cấp cách đạo hàm đạo hàm - Đạo hàm cấp cách đạo hàm đạo hàm cấp Ví dụ 1: Cho phương trình x5+3x3−2x+7 Hỏi đạo hàm cấp cao phương trình ? Trả lời Đạo hàm cấp 1: dydx=y′=5x4+9x2−2 Bây để tìm đạo hàm cấp 2, ta việc vi phân phương trình đạo hàm cấp 1: d2ydx2=y′′=20x3+18x Tiếp tục tìm đạo hàm cấp 3, cấp 4: d3ydx3=y′′′=60x2+18 d4ydx4=y(4)=120x Đạo hàm cấp là: y(5)=120 Đạo hàm cấp 6,7,8, có kết đạo hàm đạo hàm số I Ứng dụng: Gia tốc Như ta biết gia tốc tốc độ thay đổi vận tốc a=dvdt Nhưng đồng thời vận tốc tốc độ thay đổi độ dịch chuyển: v=dsdt Vì đạo hàm cấp hai độ dịch chuyển cho ta gia tốc a=d2sdt2 Ví dụ 2: Cho phương trình chuyển động (tính theo m) theo thời gian t (tính theo s) vật thể là: s=4t3+7t2−2t Tính gia tốc vật thể t=10 Trả lời s=4t3+7t2−2t v=dsdt=12t2+14t−2 a=d2sdt2=24t+14 Tại thời điểm t=10 vật có gia tốc là: a=24.(10)+14=254m/s2 II Đạo hàm cấp cao hàm ẩn : Ví dụ 3: a Tìm đạo hàm cấp hàm ẩn xy+y2=4 Trả lời Đạo hàm cấp 1: Ta có xy tích nên ta dùng công thức tích để làm: ddx(xy)=xy′+y Ta nghiên cứu vi phân hàm ẩn trước: ddxy2=2ydydx Ta viết lại là: ddxy2=2yy′ Ráp lại ta có đạo hàm bậc phương trình: xy′+y+2yy′=0 (Ở sử dụng y′ thay cho dydx để thuận tiện việc đọc viết) Tôi sử dụng công thức tích (cho tích xy) công thức chuỗi cho y2 Đạo hàm cấp 2: (xy′′+y′)+(y′)+[2yy′′+y′(2y′)]=0 Đơn giản hóa, ta được: (x+2y)y′′+2y′+2(y′)2=0 Ta giải theo y′′ y′′=−2y′−2(y′)2x+2y Video Đây đoạn phim nhỏ cho ta góc nhìn khác ví dụ này, phim sử dụng: - Ký hiệu dydx - Một cách tiếp cận khác với vấn đề (trong đoạn phim ta tìm biểu thức cho dydx trước, sau vi phân để tìm đạo hàm bậc hai) Kết cho ta phương trình đạo hàm cấp đơn giản Câu trả lời khác, giá trị nhau, xem b Tìm giá trị đạo hàm cấp hàm ẩn phần a với x=2 y>0 Trả lời Ta cần tìm y với x=2 Thay vào phương trình, ta được: 2y+y2=4 Giải phương trình bậc hai này, kết hợp điều kiện y>0, ta được: y=−1+5√ Ta cần tìm giá trị dydx x=2 Ta tìm phương trình đạo hàm là: xdydx+y+2ydydx=0 Giải theo dydx, ta được: y′=dydx=−yx+2y Thay x=2,y=−1+5√ ta kết (xấp xỉ): y′=dydx≈−0,276 Tiếp tục thay vào phương trình đạo hàm bậc hai tìm phần (a) để tìm câu trả lời: y′=−2y′−2(y′)2x+2y≈0,0894