Chapter 2: Fourier Transform Chapter 2.1: The Fourier Transform : Biến đổi Fourier cho tín hiệu không tuần hoàn f(t) : công cụ toán có phạm vi áp dụng lớn toán kỹ thuật , định nghóa cặp biến đổi thuận – ngược sau : ∞ F (ω) = F{ f (t )} = ∫ f (t ).e− jωt dt −∞ ∞ jωt f(t) = F {F(ω)} = ∫ F(ω).e dω 2π −∞ −1 Để có biến đổi Fourier, tín hiệu f(t) phải thỏa mãn điều kiện Dirichlets Chapter [2] Example: Fourier Transform F (ω ) = ∞ ∫ −∞ − jωa/2 jωa/2 e − e f (t ).e − jωt dt = ∫ e − jωt dt = − jω −a / a/2 2sin(ω a / 2) ωa F (ω ) = = a.Sa ω Chapter [3] 2.2: Properties of Fourier Transform : 1) Multiplication by a constant : If: F {f(t)} = F(ω) Then: Chapter F {k.f(t)} = k.F(ω) [4] 2) Addition / Subtraction: If: F {f1 (t)} = F1 (ω) and F {f (t)} = F2 (ω) Then: Chapter F {f1 (t) ± f (t) } = F1 (ω) ± F2 (ω) [5] 3) Translation in Time-domain: If: F {f(t)} = F(ω) Then: Chapter F {f(t − t ) } = F(ω).e − jωt [6] 4) Translation in frequency-domain: If: F {f(t)} = F(ω) Then: Chapter F {f(t).e jω0 t } = F(ω − ω0 ) [7] 5) Scale Changing: If: F {f(t)} = F(ω) Then: ω F F {f(at) } = |a| a F {f( − t) } = F ( −ω) Chapter [8] 6) Differentiation: If: F {f(t)} = F(ω) Then: df (t) F = jωF ( ω ) dt F {f (n ) (t)} = ( jω) F ( ω) n Attention: Equations are valid if f(±∞) = Chapter [9] 7) Integration: If: F {f(t)} = F(ω) Then: { } F(ω) F ∫ f (x)dx = + πF(0)δ(ω) −∞ jω t Attention: The second term due to x(t) finite but ∫ ∞ −∞ f (x)dx ≠ ∞ This term is zero if ∫ f (x)dx = −∞ Chapter [10] 10) Convolution in time-domain : If: Y(ω) = X(ω).H(ω) Then: ∞ y(t) = ∫ x(τ).h(t − τ)dτ −∞ Chapter [13] 2.3: Fourier Transform of Fundamental functions : 1) Impulse or Delta or Dirac Function : δ(t) ∞ ↔ for : t = δ (t ) = 0 ↔ for : t ≠ F (ω ) = ∫ ∞ −∞ δ ( t ).e − jω t t dt = e − jω =1 F {δ ( t ) } = Chapter F {δ ( t − t ) } = e − jω t [14] Impulse Function : F(jω) δ(t) F t |F(jω)| δ(t − t0) F Chapter t0 t ω ω [15] 2) Top-Hat Function : ↔ for : t < −τ /2 0 ∏(t) = A/τ ↔ for : −τ /2 < t < τ /2 0 ↔ for : t > τ /2 τ /2 A −τ / τ F(ω) = ∫ A/τ Π(t) t – τ/2 τ/2 − jωτ / jωτ / e − e 2sin(ωτ / 2) − jωt e dt = A =A -jωτ ωτ ωτ F {∏ ( t )} = A S a Chapter [16] 3) Triangle Function : 2A2 ( t +τ / 2) ↔ for : −τ /2 < t < τ 2A Λ(t) = τ ( −t +τ / 2) ↔ for :0 < t < τ /2 ↔ for :| t |> τ /2 0 Chapter A/τ Λ(t) t – τ/2 τ/2 [17] 4) Constant Function : F {1} = π δ ( ω ) t Proof: F {F(ω)} = 2π −1 ∫ ∞ −∞ 2π δ (ω ).e d ω = e jωt {e } = π δ (ω − ω F {e } = π δ (ω + ω F jω t − jω t Chapter jωt ) ) ω =0 =1 [18] 5) Unit Step Function u(t): 1 ↔ for : t > u(t ) = 0 ↔ for : t < u(t) t F {u ( t ) } = + π δ (ω ) jω |F(jω)| f(t) Chapter F t πδ(ω) ω [19] 6) Signum Function sgn(t) : 1 ↔ for : t > sgn(t ) = −1 ↔ for : t < Sgn(t) t sgn(t ) = 2u (t ) − –1 F {sgn(t )} = + 2πδ (ω ) − 2πδ (ω ) jω F Chapter {s g n ( t )} = jω [20] Fourier Transform Pairs : f(t) F(ω) u(t) + π δ (ω ) jω δ(t) (DC source) e jω t e-at.u(t) & eat.u(– t) Sgn(t) Chapter 2πδ(ω) 2πδ (ω − ω0 ) a + jω & a − jω jω [21] Fourier Transform Pairs : f(t) F(ω) AC source: cos(ω0t) π [δ (ω − ω ) + δ (ω + ω ) ] AC source: sin(ω0t) − jπ [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] AC transient : cos(ω0t).u(t) AC transient : sin(ω0t).u(t) two-side: Chapter e −α t π jω [δ (ω − ω ) + δ (ω + ω ) ] + 2 ω0 − ω ω0 − j [δ (ω −ω0 ) − δ (ω + ω0 )] + 2 ω0 −ω 2α 1 = + 2 jω + α α +ω − jω + α π [22] 2.4: Using MATLAB to Compute Fourier Transform : syms t w ; ft = exp(-t^2/2) ; Fw = fourier(ft); pretty(Fw); Chapter [23] 2.5: Applications of Fourier Transform : 1) Frequency Spectra: Từ hàm : F (ω ) = F (ω ) e jϕ ( ω ) ¾ Phổ biên độ: biểu diễn |F(jω)| theo ω ¾ Phổ pha : ϕ(ω) theo ω Phổ biên độ phổ pha tín hiệu không tuần hoàn hàm liên tục theo ω Chapter [24] 2) Circuit Analysis : Bieán đổi Fourier dùng cho toán mạch mà có thông số phụ thuộc tần số x(t) Tìm biến đổi Fourier X(ω) Chapter y(t) H(jω) Tìm biến đổi ngược Fourier Y(ω) = X(ω).H(jω) Y(ω) [25]