PHƯƠNG TRÌNH A CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phần đề cập đến phương pháp giải phương trình có bậc nhỏ I Phương trình bậc Dạng tổng quát : ax + b = c Biện luận : • a ≠ : phương trình có nghiệm x = − • a = : phương trình có dạng 0x = −b b ≠ : phương trình vô nghiệm b = : phương trình có vô số nghiệm II Phương trình bậc hai Dạng tổng quát : ax + bx + c = b a ( a ≠ ) (1) Biện luận : Ta xét ∆ = b − 4ac • ∆ < : phương trình vô nghiệm • ∆ = : phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = − b 2a −b + ∆ −b − ∆ , x2 = 2a 2a Ví dụ Chứng minh phương trình x + ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = vô nghiệm với • ∆ > : phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = a, b, c cạnh tam giác Giải Ta có ∆ = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = a + b + c − ( ab + bc + ca ) Mà ∆ < a, b, c ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học) Đònh lý Viet số ứng dụng Giả sử ∆ ≥ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) : S = x1 + x = P = x1.x = −b a c a Bằng đònh lý Viet xét dấu nghiệm sau - Phương trình có hai nghiệm dương ⇔ ∆ ≥ P > S > - Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ ≥ P < - Phương trình có hai nghiệm âm ⇔ ∆ ≥ P > S < Thí dụ Tìm m cho phương trình x − ( m + ) x + 6m + = (*) có hai nghiệm không nhỏ Giải Đặt t = x − phương trình cho trở thành t − 2mt + 2m − = (**) Phương trình (*) có hai nghiệm lớn ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm không âm m − 2m + ≥ ∆'≥ ⇔ S ≥ ⇔ 2m ≥ ⇔m≥ 2m − ≥ P ≥ Vậy m ≥ phương trình (*) có hai nghiệm lớn 2 III Phương trình bậc ba Dạng tổûng quát : ax + bx + cx + d = ( a ≠ 0) Ta đưa dạng : x + ax + bx + c = (2) a Đặt x = y − phương trình (2) viết lại dạng y − py − q = (2’) 3 a −2a ab p = − b q = + − c Công thức nghiệm phương trình (2’) : 27 3 q q p q q p gọi công thức Cardano , lấy tên nhà y= − + + + − − + 27 27 toán học Italia Cardan theo học trưòng đai học Pavie, đại học Padoue nhận tốt nghiệp Y khoa năm 1526 Cardan viết nhiều Tốn, số ngành khác Ơng đặt vấn đề giải phương trình bậc ba cụ thể x + x = 20 Bây ta nói tổng qt x + px = q Phương pháp Cardan sau: thay x = u − v đặt u, v để tích uv = ( hệ số x phương trình bậc ba khảo sát ) Nghĩa = uv Từ phương trình x + x = 20 ta có (u − v)3 + 3uv ( u − v ) = u − v = 20 Khử v từ = uv từ u − v3 = 20 ta có u = 20u + ⇒ u = 108 + 10 Từ x = u − v u − v = 20 , ta có x = 108 + 10 − 108 − 10 Cardan cho cơng thức tương đương phương trình x + px = q là: 3 q q q p q p x = −3 − + + +3− − + 27 27 Các dạng phương trình bậc ba thường gặp phương pháp giải Giải phương trình biết nghiệm phương trình Giả sử ta biết nghiệm x0 phương trình (2) cách đoán nghiệm ( thường nghiệm nguyên đơn giản từ –3 đến +3 ) tức ax03 + bx02 + cx0 + d = Khi phương trình (2) ⇔ ax + bx + cx + d = ax03 + bx02 + cx0 + d ⇔ ( x − x0 ) ( ax + ( ax0 + b ) x + ax02 + bx0 + c ) = x = x0 ⇔ 2 ax + ( ax0 + b ) x + ax0 + bx0 + c = Xét ∆ = ( ax0 + b ) − 4a ( ax02 + bx0 + c ) i) Nếu ∆ < phương trình (2) có nghiệm x = x0 ii) Nếu ∆ ≥ phương trình (2) có nghiệm x = x0 x = −(ax0 + b) ± ∆ 2a Thí dụ Giải phương trình x − x + x − 10 = Giải Nhận thấy x = nghiệm phương trình Phương trình ( x − ) ( x + x + ) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2 Phương trình bậc ba đối xứng Dạng tổng quát ax + bx + bx + a = ( a ≠ 0) Phương trình bậc ba đối xứng nhận x = −1 làm nghiệm Thật vậy, ta có phương trình ⇔ ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x + a ) = x = −1 ⇔ ax + ( b − a ) x + a = Mở rộng Một số tính chất phương trình hệ số đối xứng (PT HSĐX) Dạng tổng quát PT HSĐX an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = Tính chất PT HSĐX có nghiệm x0 x0 ≠ ( an = a0 , an −1 = a1 , ) nghiệm x0 Tính chất PT HSĐX bậc lẻ ( n = 2k + ) nhận x = −1 nghiệm Tính chất Nếu f ( x ) đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng f ( x ) = ( x + 1) g ( x ) , g ( x ) đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng Thật vậy, ta xét đa thứ c bậc làm thí dụ ax + bx + cx3 + cx + bx + a = ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x3 + ( c + a − b ) x + ( b − a ) x + a ) Vậy việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n lẻ tương ứng với việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n − chẵn Phương trình bậc ba hồi quy Dạng tổng quát ax + bx + cx + d = ( a, d ≠ 0, ac = db3 ) q Từ điều kiện ta thấy c = b = ⇒ phương trình (2b) có nghiệm x = q Nếu c ≠ b ≠ , điều kiện ⇔ −d a d c = a b c = −t c = −bt d = − at b phương trình trở thành ax + bx − btx − at = ⇔ ( x − t ) ax + ( at + b ) x + at = Đặt x = t ⇔ 2 ax + ( at + b ) x + at = c Vậy x = − nghiệm phương trình Nếu ∆ = ( at + b ) − 4a ≥ phương trình có b −(at + b) ± ∆ thêm nghiệm x = 2a Thí dụ Giải phương trình x − x − x + = Đáp số x = − IV Phương trình bậc bốn Dạng tổng quát at + bt + ct + dt + e = ( a ≠ 0) Ta đưa dạng t + at + bt + ct + d = (3) a Đặt t = x − phương trình (3) đưa dạng x = px + qx + r (3’) 3a p = −b a q = − + ab − c r = 256 ( 3a − 16a b + 64ac − 256d ) Phương trình (3’) x + 2α x + α = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) ⇔ ( x + α ) = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) (α ∈ R ) (3*) Ta tìm α thỏa hệ thức q = ( p + 2α ) ( r + α ) để viết vế phải thành q ( p + 2α ) x + 2( p + 2α ) Khi ta (x +α ) q = ( p + 2α ) x + ( p + 2α ) (3**) § Nếu p + 2α = phương trình (3*) ⇔ ( x + α ) = r + α (Bạn đọc tự biện luận tiếp) § Nếu p + 2α < phương trình (3**) vô nghiệm ( VT ≥ VP < 0) § q Nếu p + 2α > phương trình (3**) ⇔ x = ± p + 2α x + −α 2 p + α ( ) Đây phương trình bậc theo x , bạn tự biện luận Thí dụ Giải phương trình x − x − x − = (*) Giải Phương trình (*) ⇔ x = x + x + Ta chọn α thỏa 64 = ( + 2α ) ( + α ) Dễ dàng nhận thấy α = thoả Phương trình (*) ⇔ x + x + = x + x + ( cộng vế lượng x + ) ⇔ ( x + 1) = ( x + 1) 2 x + = ( x + 1) ⇔ x + = −2 ( x + 1) Vậy nghiệm phương trình cho x = ± Các dạng phương trình bậc bốn thường gặp phương pháp giải Phương trình bậc bốn trùng phương: Dạng tổng quát ax + bx + c = ( a ≠ ) Phương pháp giải đơn giản cách đặt y = x ≥ phương trình bậc hai ay + by + c = biện luận Phương trình bậc bốn đối xứng Dạng tổng quát ax + bx + cx + bx + a = để đưa phương trình dạng ( a ≠ 0) Do a ≠ nên x = không nghiệm phương trình, ta chia vế phương b a trình cho x ≠ ax + bx + c + + = x x 1 ⇔ a x + + b x + + c = (*) x x 1 Đặt y = x + ( điều kiện : y ≥ ) ⇒ y = x + + ⇒ x + = y − x x x Khi phương trình (*) trở thành ay + by + c − 2a = dễ dàng giải Lưu ý Ngoài kiểu phương tình bậc bốn đối xứng có phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch ax + bx + cx − bx + a = ( a ≠ ) Phương pháp giải tương tự trên, xin giành cho bạn đọc Thí dụ: Cho phương trình : 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + = a) Giải phương trình m = -16 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm + 281 − 281 , x4 = Đáp số: a) x1 = 1, x2 = -1, x3 = 16 16 − 487 b) m ≤ 32 3.Phương trình bậc bốn hồi quy : Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , (a ≠ 0) ad2 = eb2 (*) q Nếu b = d = phương trình trở thành phương trình trùng phương : ax4 + cx2 + e = ta giải theo phương pháp e d = q Nếu b ≠ d ≠ , điều kiện ó a b d = t e = at2 d = bt phương trình (*) trở thành: Đặt b ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = (**) Do x = không nghiệm phương trình (**) nên ta chia vế phương trình (**) cho a bt x2 ≠ ta ax2 + bx + c + + t2 = x x t (***) ó a(x2 + t ) + b(x + ) + c = x x 2 t Đặt x + = y (điều kiện : y2 ≥ 4t) ⇒ x2 + t + 2t = y2 ⇒ x2 + t = y2 – 2t x x x Phương trình (***) trở thành : ay2 + by + c – 2at = phương trình bậc hai theo y , ta tìm nghiệm y ⇒ tìm x Thí dụ : giải phương trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105 x + 50 = Hứơng dẫn: Đặt x = y ta thu phương trình : 2y2 –21y + 54 = có nghiệm x y1 = 6, y2 = o Với y1 = ta thu nghiệm : x1 = + 14 , x2 = − 14 + 161 − 161 o Với y2 = ta thu : x3 = , x4 = 4 4.Phương trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c , (c > 0) : (3d) a+b Phương pháp giải phương trình loại đặt x = y Khi phương trình (3d) trở thành: a −b a−b a−b y+ + y− = c Đặt α = để phương trình gọn : 4 ( y +α ) + ( y −α ) 4 2 2 = c ⇔ ( y + α ) + ( y − α ) − ( y + α ) ( y − α ) = c ⇔ ( y + 2α ) − ( y − α ) = c 2 ⇔ y + 12 y 2α + 2α − c = (*) (*) phương trình trùng phương theo y Ta giải tiếp toán theo phương pháp Thí dụ : Giải phương trình (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = Đáp số: x = 2005 Phương pháp hệ phương trình đối xứng Khi ta gặp phương trình dạng a ( ax + bx + c ) + b ( ax + bx + c ) + c = x ( a ≠ 0) (4e) ta chuyển hệ phương trình cách đặt y = ax + bx + c Lúc ta có hệ đối xứng ax ² + bx + c = y Ta trừ vế theo vế hai phương trình hệ thu ay ² + by + c = x a ( x − y )( x + y ) + b ( x − y ) = y − x ⇔ ( x − y )( ax + ay + b + 1) = x = ax + bx + c ax + ( b − 1) x + c = x = y ⇔ ⇔ ⇔ x + ax + bx + c = − ( b + 1) ax + ( b + 1) x + b + ac + = x + y = − ( b + 1) a a a Giải phương trình bậc hai ta thu nghiệm phương trình Thí dụ Giải phương trình (x + x − 2) + x2 = Giải Phương trình ⇔ ( x + x − ) + ( x + x − ) − = x x² + x - = y Đặt y = x + x − ta có hệ : y² + y - = x Trừ vế theo vế ta ( x − y )( x + y + ) = x = x2 + x − x = ± x = y ⇔ ⇔ ⇔ x + y + = x = ∨ x = −2 x + x + x − + = { Vậy phương trình cho có nghiệm x ∈ −2, − 2, 0, Phương trình bậc bốn dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = m Phương trình ⇔ ( x + β x + ab )( x + β x + cd ) = m } (a + b + c + d = β ) Đặt x + β x = y ta phương trình ( y + ab )( y + cd ) = m ⇔ y + ( ab + cd ) y + abcd − m = Giải ta tìm y thay vào phương trình ban đầu để tìm x Thí dụ Giải phương trình ( x − 1)( x − 3)( x + )( x + ) = 297 Giải Để ý thấy (-1) + = (-3) + tabiến đổi lại sau: Phương trình ⇔ ( x − 1)( x + )( x − 3)( x + ) = 297 ⇔ ( x + x − )( x + x − 21) = 297 ⇔ ( y − )( y − 21) = 297 (y = x + 4x ) ⇔ y − 26 y − 192 = ⇔ y1 = 32, y2 = −6 Phương trình bậc bốn dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = mx Phương trình ⇔ ( x + a )( x + d )( x + b )( x + c ) = mx ( ad = bc = β ) ⇔ x + ( a + d ) x + β x + ( b + c ) x + β = mx Ta quan tâm đến trường hợp β ≠ Khi x = không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x ≠ ta β β x + + a + b x + + c + d = m x x β ta thu phương trình Đặt y = x + x ( y + a + b )( y + c + d ) = m ⇔ y + ( a + b + c + d ) y + ( a + b )( c + d ) − m = Giải phương trình ta thu y từ tìm x Thí dụ Giải phương trình ( x + 3x + )( x + x + 18 ) = 168 x Hướng dẫn 6 Phương trình ⇔ x + + x + + = 168 x x 6 ⇔ ( y + )( y + ) = 168 y = x+ x y = ⇔ y + 12 y − 133 = ⇔ y = −19 x + x = ⇔ x1 = 1, x2 = ⇔ −19 ± 337 x + x = −19 ⇔ x = −19 + 337 −19 − 337 Vậy nghiệm phương trình x ∈ 1, 6, , 2 B CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Trong phần xin giới thiệu bạn đọc số phương trình thường gặp kì thi : phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối , phương trình vô tỷ, phương trình chứa ẩn mẫu I.Phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối : A A ≥ Một số tính chất A : A = ∀A ∈R - A A < 1) A + B ≤ A + B Dấu “=” xảy ⇔ AB ≥ Chứng minh : Bình phương vế : A2 + 2AB + B2 ≤ A2 + AB + B2 ó AB ≤ AB : 2) A − B ≥ A − B Dấu “=” xảy ⇔ B(A – B) ≥ Chứng minh: Áp dụng tính chất ta có : A = (A - B) + B ≤ A − B + B ⇔ A − B ≥ A − B : đpcm Lưu ý: A = A Thí dụ :giải phương trình Giải: phương trình ⇔ ⇔ 2 x − 2x + + x − 4x + = ( x − 1) + ( x − 2) =1 x − + − x = (Để ý x − = − x ) Áp dụng tính chất ta có x − + − x ≥ (x − 1) + (2 − x) ⇔ x − + − x ≥ Dấu “=” ⇔ (x – 1)(2 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ v Một số dạng thường gặp: 1.Phương trình dạng A = B (5a) A = B Phương trình (5a) ⇔ A = −B 2.Phương trình dạng A =B (5b) B≥ Phương trình (5b) ⇔ A = B hay A = - B A≥0 A thu : x - + x − = x + Bình phương vế không âm cho ta phương trình : 2x – + x - x − = x+3 ⇔ x - x − = 10 – x 10 − x ≥ 10 ≥ x − 10 (loại) ⇔ ⇔ ⇔ x1 = (thoả), x2 = 2 − 8x − 60 = 4(x − 2)(x − 5) = (10 − x) 3x Xét x ≤ -3 ⇒ -x > : phương trình (6a) ⇔ (6a1) Chia vế phương trình (6a1) cho (− x ) ta : (− x)(2 − x) + (− x)(5 − x) = (− x)(− x − 3) 2− x + 5− x = −3− x Rõ ràng VT > VP ⇒ vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm :x = 2.Phương pháp trò tuyệt đối hóa: Trong vài trường hợp ta có thểđưa biểu thức chứa ẩn thức dạng bình phương Khi ta biểu thức chứa dấu giá trò tuyệt đối nhờ tính chất : A = A Thí dụ : giải phương trình x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (6b)