Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển http://www.toanthpt.net tư liệu Phú Khánh Phép chia hết 1.1 ðồng dư theo mô ñun Bài toán Chứng minh a ≡ b (mod m) a – b chia hết m Bài toán Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m), a + c ≡ b + d (mod m) Bài toán Nếu a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), a – c ≡ b – d (mod m) Bài toán Nếu a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), ac ≡ bd (mod m) Bài toán Nếu a ≡ b (mod m), n – số tự nhiên, an ≡ bn (mod m) Bài toán Chứng minh n² + không chia hết cho với số nguyên n Bài toán Hãy tìm số dư phép chia 6¹ºº cho Bài toán Chứng minh 3099 + 61¹ºº chia hết cho 31 Bài toán Chứng minh а) 43¹º¹ + 23¹º¹ chia hết cho 66 б) an + bn chia hết cho a + b, n – số lẻ Bài toán 10 Chứng minh 1n + 2n + … + (n – 1)n chia hết cho n với n số chẵn Bài toán 11 Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên, không biểu diễn thành tổng ba số lập phương Bài toán 12 Chứng minh số có dạng 103n + biểu dạng tổng hai số tự nhiên lập phương Bài toán 13 Chứng minh 51 số nguyên tìm ñược hai số, bình phương chúng cho số dư chia chúng cho 100 Bài toán 14 Ta gọi số tự nhiên n thuận tiện, n² + chia hết cho 1000001 Chứng minh số 1, 2, …, 1000000 có số chẵn số thuận tiện Bài toán 15 а) Có thể bình phương số tự nhiên có chữ số tận 2? б) Có thể dùng chữ số 2, 3, 7, (có thể dùng số lần cho chữ số), ñể tạo số tự nhiên phương? Bài toán 16 Một số cộng vào số (n² – 1)¹ººº • (n² + 1)¹ºº¹, ñể kết chia hết cho n? Bài toán 17 Hãy tìm số dư phép chia số 10¹º + 10¹ºº + 10¹ººº + … + 10¹ºººººººººº cho Bài toán 18 Tồn số tự nhiên n, nhỏ 10000, mà với chúng 2n – n² chia hết cho 7? Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển http://www.toanthpt.net tư liệu Phú Khánh Bài toán 19 Ta kí hiệu k tích vài số nguyên tố ñầu tiên (lớn một) Chứng minh số а) k – 1; б) k + số phương Bài toán 20 Có tồn không số tự nhiên n, cho n² + n + chia hết cho 1955? Bài toán 21 Chứng minh 11n + + 122n + chia hết cho 133 với số tự nhiên n Bài toán 22 Cho n – số tự nhiên cho n + chia hết cho 24 Chứng minh tổng tất ước số tự nhiên n chia hết cho 24 Bài toán 23 Dãy số a1, a2, a3, … số tự nhiên cho an + = an + 1an + với n а) a1 = a2 = Chứng minh số hạng không chia hết cho б) Chứng minh an – 22 hợp số với n > 10 Ghi hệ số thập phân dấu hiệu chia hết Bài toán 24 Chứng minh số tự nhiên lấy ñồng dư với chữ số cuối theo mô ñun а) 10; б) 2; в) Bài toán 25 Chứng minh a1a2a3 an-1an = an-1an (mod 4) Bài toán 26 Hãy phát biểu chứng minh tiêu chuẩn chia hết số cho 2n 5n Bài toán 27 Chữ số cuối bình phương số tự nhiên Chứng minh chữ số trước chữ số cuối số lẻ Bài toán 28 Chữ số trước chữ số cuối số tự nhiên bình phương số lẻ Chứng minh chữ số cuối Bài toán 29 Chứng minh lũy thừa có bốn chữ số cuối có chữ số giồng Bài toán 30 Hãy tìm số có 100 chữ số số không mà chia hết cho tổng chữ số Bài toán 31 Chứng minh số tự nhiên ñều ñồng dư với tổng chữ số theo mô ñun а) 3; б) Bài toán 32 Có thể viết số phương cách dùng 10 lần chữa số а) 2, 3, 6; б) 1, 2, ? Bài toán 33 Trong số 10 số 2¹ºº tính tổng chữ số, kết tìm ñược lại tính tổng chữ số vân vân Cuối ta nhận ñược số có chữ số Hãy tìm số Bài toán 34 Chứng minh viết ngược thứ tự chữ số số tự nhiên bất kì, hiệu số ban ñầu số vừa tạo chia hết cho Bài toán 35 Viết thêm vào số 15 phía bên phải phía bên trái chữ số cho số nhận ñược chia hết cho 15 Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển http://www.toanthpt.net tư liệu Phú Khánh Bài toán 36 Có chữ số có bốn chữ số mà chúng chia hết cho 45, mà hai chữ số số 97? Bài toán 37 Tìm số tự nhiên nhỏ mà chia hết cho 36, viết bắt gặp tất mười chữ số Bài toán 38 Chứng minh tích chữ số cuối cungùng số 2n tổng tất chữ số số trừ số cuối cùng, chia hết cho Bài toán 39 Có thể có tổng chữ số số phương 1970 không? Bài toán 40 Từ số có ba chữ số tính tổng chữ số Từ số nhận ñược chia hết cho chia hết 100 lần Chứng minh kết nhận ñược Bài toán 41 Cho A tổng chữ số số 44444444, B tổng chữ số số A Hãy tìm tổng chữ số số B Bài toán 42 Chứng minh a1a2 an ≡ an – an + + (–1)n-1 a1 (mod 11) Bài toán 43 Chứng minh число 111 … 11 (2n số 1) hợp số Bài toán 44 Chứng minh số a1a2 anan a2a1 hợp số Bài toán 45 Cho a, b, c, d – chữ số khác Chứng minh cdcdcdcd không chia hết cho aabb Bài toán 46 A số có sáu chữ số, cách viết bắt gặp chữ số sau lần 1, 2, 3, 4, 5, Chứng minh A không chia hết cho 11 Bài toán 47 Chứng minh hiệu số có số lượng chữ số chẵn số cách viết ngược lại thứ tự chữ số số này, chia hết cho 99 Bài toán 48 Có thể tạo từ chữ số 2, 3, 4, (mỗi số viết lặp lại số lần) thành hai số, số chúng 19 lần số lại? Bài toán 49 Tổng hai chữ số a b chia hết cho Chứng minh số aba chia hết cho Bài toán 50 Tổng chữ số số có ba chữ số Chứng minh số chia hết cho hai chữ số cuối Bài toán 51 а) Cho số có chữ số abcdef , def - abc chia hết cho Chứng minh số ñó chia hết cho б) Hãy phát biểu chứng minh tiêu chuẩn chia hết cho в) Hãy phát biểu chứng minh tiêu chuẩn chia hết cho 13 Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển http://www.toanthpt.net tư liệu Phú Khánh Bài toán 52 а) Cho số có chữ số abcdef, abc+def chia hết cho 37 Chứng minh số ñó chia hết cho 37 б) Hãy phát biểu chứng minh tiêu chuẩn chia hết cho 37 Bài toán 53 Có tồn không số có ba chữ số abc cho abc - cba bình phương số tự nhiên? Bài toán 54 Tìm số nhỏ mà viết số lại chia hết cho 333 … 33 (trong cách viết 100 ba) Bài toán 55 Có thể có tổng vài số tự nhiên ñầu tiên có chữ số kết thúc 1989? Bài toán 56 Tìm tất số tự nhiên mà chúng tăng lên lần, chữ số hàng ñơn vị chữ số hàng chục cho vào ñó số Bài toán 57 Giữa nhữg chữ số có hai chữ số bội của 3, ñặt vào số 0, thêm vào số có ba chữ số vừa nhận ñược hai lần chữ số phần trăm Ta nhận ñược số lần lớn số ban ñầu Tìm số ban ñầu Bài toán 58 Tìm số có chữ số, mà số phương, hai chữ số ñầu tiên hai chữ số cuối giống Bài toán 59 Hãy tìm tất số có ba chữ số, lũy thừa số tự nhiên có kết thúc ba chữ số tạo số ban ñầu Bài toán 60 Thêm vào từ phía phải số chữ số Chứng minh trường hợp ñều nhận ñược số phức hợp Bài toán 61 Chứng minh все числа ряда 10001,100010001,1000100010001, … hợp số 1.3 Phương trình số nguyên toán khác Bài toán 62 Giải phương trình 3x + 5y = số nguyên Bài toán 63 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 3x – 12y = Bài toán 64 Giải phương trình 1990x – 173y = 11 Bài toán 65 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 21x + 48y = Bài toán 66 Giải phương trình 2x + 3y + 5z = 11 tập số nguyên Bài toán 67 Một kiến ñứng ô bàn cờ vô hạn ô vuông tờ giấy Nó chuyển ñến ñược m ô phía phải ñến n ô bên trái Với số m n di chuyển ñến ô bên phải bên cạnh? Số bước ñi nhỏ làm ñược? Bài toán 68 (2x + y)(5x + 3y) = Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển http://www.toanthpt.net tư liệu Phú Khánh Bài toán 69 xy = x + y + Bài toán 70 x² = 14 + y² Bài toán 71 x² + y² = x + y + Bài toán 72 x² + y² = 4z – Bài toán 73 x² – 7y = 10 Bài toán 74 x³ + 21y² + = Bài toán 75 15x² – 7y² = Bài toán 76 x² + y² + z² = 8t – Bài toán 77 3m + = 2n Bài toán 78 • 2m + = n² Bài toán 79 1/a + 1/b + 1/c = Bài toán 80 x² – y² = 1988 Bài toán 81 Chứng minh phương trình 1/x – 1/y = 1/n có nghiệm tập số tự nhiên n số nguyên tố Bài toán 82 Giải phương trình tập số nguyên x³ + = 4y(y + 1) Bài toán 83 Giải phương trình tập số nguyên x² + y² = z² Bài toán 84 Giải phương trình tập số nguyên x² – 5y² = 1.4 ðịnh lí Fermat nhỏ Bài toán 85 Cho ka ≡ kb (mod m), k m – nguyên tố Khi ñó a ≡ b (mod m) Bài toán 86 Cho ka ≡ kb (mod kn) Khi ñó a ≡ b (mod n) Bài toán 87 Tìm số dư phép chia 2¹ºº cho 101 Bài toán 88 Tìm số dư phép chia 3¹º² cho 101 Bài toán 89 Chứng minh 300³ººº – chia hết cho 1001 Bài toán 90 Tìm số dư phép chia 8900 cho 29 Bài toán 91 Chứng minh 7¹²º – chia hết cho 143 Bài toán 92 Chứng minh số 30239 + 239³º hợp số Tác giả : Nguyễn Hữu ðiển http://www.toanthpt.net tư liệu Phú Khánh Bài toán 93 Cho p số nguyên tố Chứng minh (a + b)p = ap + bp (mod p) với số nguyên a b Bài toán 94 Tổng ba số a, b c chia hết cho 30 Chứng minh a5 + b5 + c5 chia hết cho 30 Bài toán 95 Cho p q số nguyên tố khác Chứng minh а) pq + qp = p + q (mod pq) б) [(pq+qp)/pq] số chẵn, p, q ≠ Bài toán 96 Cho p số nguyên tố, a không chia hết cho p Chứng minh tìm ñược số tự nhiên b, cho ab ≡ (mod p) Bài toán 97 (ðịnh lí Wilson) Cho p số nguyên tố Chứng minh (p – 1)! ≡ – (mod p) Bài toán 98 Cho n – số tự nhiên, bội 17 Chứng minh n8 + 1, n8 – chia hết cho 17 Bài toán 99 а) Cho p – số nguyên tố, khác Chứng minh số 111 … 11 (p số 1) không chia hết cho p б) Cho p > – số nguyên tố Chứng minh số 111 … 11 (p – số 1) chia hết cho p Bài toán 100 Chứng minh với số nguyên tố p, hiệu số 111 … 11222 … 22333 … 33 … 888 … 88999 … 99 – 123456789 (trong số thứ số khác không ñược lặp lại p lần) chia hết cho p