Tuyển tập 50 đề toán thi THPT quốc gia

MC LC s s s s s s s s s s 10 s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 s 17 s 18 s 19 s 20 s 21 s 22 s 23 s 24 s 25 s 26 s 27 s 28 s 29 s 30 s 31 s 32 s 33 s 34 s 35 s 36 s 37 s 38 s 39 s 40 s 41 s 42 s 43 s 44 s 45 s 46 s 47 s 48 s 49 s 50 s 51 H A nm 2002 H B nm 2002 10 H D nm 2002 18 H A nm 2003 27 H B nm 2003 33 H D nm 2003 37 H A nm 2004 42 H B nm 2004 47 H D nm 2004 52 H A nm 2005 57 H B nm 2005 62 H D nm 2005 67 H A nm 2006 72 H B nm 2006 78 H D nm 2006 83 H A nm 2007 88 H B nm 2007 93 H D nm 2007 98 H A nm 2008 103 H B nm 2008 109 H D nm 2008 114 C A, B, D nm 2008 119 H A nm 2009 124 H B nm 2009 129 H D nm 2009 134 C A, B, D nm 2009 139 mu ca B ỏp dng chng trỡnh mi 2009 144 H A nm 2010 149 H B nm 2010 144 H D nm 2010 159 C A, B, D nm 2010 164 H A nm 2011 168 H B nm 2011 174 H D nm 2011 179 C A, B, D nm 2011 184 H A, A1 nm 2012 188 H B nm 2012 193 H D nm 2012 198 C A, A1, B, D nm 2012 203 H A, A1 nm 2013 208 H B nm 2013 213 H D nm 2013 218 C A, A1, B, D nm 2013 223 H A, A1 nm 2014 227 H B nm 2014 231 H D nm 2014 235 C A, A1, B, D nm 2014 239 THPT Quc gia nm 2015 chớnh thc 243 THPT Quc gia nm 2015 d b 247 THPT Quc gia nm 2015 minh 252 THPT Quc gia nm 2016 chớnh thc 259 giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002 -Môn thi : toán Đề thức (Thời gian làm bài: 180 phút) _ Câu I (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hàm số : y = x + 3mx + 3(1 m ) x + m m (1) ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = x + x + k 3k = có ba nghiệm phân biệt Tìm k để phơng trình: Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm) log 32 x + log 32 x + 2m = Cho phơng trình : (2) ( m tham số) m = Giải phơng trình (2) Tìm m để phơng trình (2) có nghiệm thuộc đoạn [ ; 3 ] Câu III (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm ) cos 3x + sin 3x Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; ) phơng trình: sin x + = cos x + + sin x Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: y =| x x + | , y = x + Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng: x = 1+ t x 2y + z = : y = + t : x + y 2z + = z = + 2t a) Viết phơng trình mặt phẳng ( P) chứa đờng thẳng song song với đờng thẳng b) Cho điểm M (2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Câu V.( ĐH : 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông A , phơng trình đờng thẳng BC x y = 0, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đờng tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Cho khai triển nhị thức: n n n n x x21 x x x x x x + = C n0 2 + C n1 2 + L + C nn 2 + C nn ( n số nguyên dơng) Biết khai triển C n = 5C n số hạng thứ t 20n , tìm n x Hết Ghi chú: 1) Thí sinh thi cao đẳng không làm Câu V n 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: giáo dục đào tạo - Câu ý I Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án thang điểm môn toán khối A Nội dung ĐH m = y = x + 3x x = y' = x2 = Tập xác định x R y ' = 3x + x = 3x( x 2) , y" = x + = 0, CĐ 1,0 đ 1,5 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ y" = x = Bảng biến thiên x y' + + lõm U CT CĐ lồi x = y=0 , x = Đồ thị: + + y" y y (1) = y -1 x ( Thí sinh lập bảng biến thiên) I Cách I Ta có x + x + k 3k = x + x = k + 3k Đặt a = k + 3k Dựa vào đồ thị ta thấy phơng trình x + x = a có nghiệm phân biệt < a < < k + 3k < < k < 0k Cách II Ta có x + x + k 3k = ( x k ) x + (k 3) x + k 3k ] = có nghiệm phân biệt f ( x) = x + (k 3) x + k 3k = có nghiệm phân biệt khác k = 3k + 6k + > < k < 2 k k k + k 3k + k 3k [ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - - 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,0 đ Cách I x = m y' = x2 = m + Ta thấy x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x y1 = y ( x1 ) = m + 3m y = y ( x ) = m + 3m + Phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị M m 1; m + 3m M m + 1; m + 3m + là: y ' = x + 6mx + 3(1 m ) = 3( x m) + , ( ) ( ) x m + y + m 3m + = y = 2x m2 + m ' Cách II y = x + 6mx + 3(1 m ) = 3( x m) + , Ta thấy ' = 9m + 9(1 m ) = > y ' = có nghiệm x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x Ta có y = x + 3mx + 3(1 m ) x + m m m = x 3x + 6mx + 3m + x m + m 3 Từ ta có y1 = x1 m + m y = x m + m Vậy phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị y = x m + m ( II 0,5 đ 0,5 đ ) Với m = ta có log x + log x + = 3 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ Điều kiện x > Đặt t = log 32 x + ta có t 1+ t = t + t = t = t2 = 2 t1 = (loại) , t = log 32 x = log x = x = 0,25 đ 0,5 đ x = thỏa mãn điều kiện x > (Thí sinh giải trực tiếp đặt ẩn phụ kiểu khác) 1,0 đ 1,0 đ log x + log x + 2m = (2) 3 Điều kiện x > Đặt t = log 32 x + ta có t + t m = t + t 2m = (3) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x [1,3 ] log x t = log 32 x + Vậy (2) có nghiệm [1,3 ] (3) có nghiệm [ 1,2 ] Đặt f (t ) = t + t Cách Hàm số f (t ) hàm tăng đoạn [1; 2] Ta có f (1) = f (2) = Phơng trình t + t = 2m + f (t ) = 2m + có nghiệm [1;2] f (1) 2m + 2 m + m f (2) 2m + 2 m + Cách TH1 Phơng trình (3) có nghiệm t1 ,t thỏa mãn < t1 t < t +t Do = < nên không tồn m 2 TH2 Phơng trình (3) có nghiệm t1 ,t thỏa mãn t1 t t1 t 2m(4 2m ) m (Thí sinh dùng đồ thị, đạo hàm đặt ẩn phụ kiểu khác ) III cos x + sin 3x sin x + = cos x + Điều kiện sin x + sin x cos 3x + sin x sin x + sin x sin x + cos x + sin x Ta có sin x + = + sin x + sin x sin x + cos x cos x + cos x + sin x (2 sin x + 1) cos x =5 =5 = cos x + sin x + sin x Vậy ta có: cos x = cos x + cos x cos x + = cos x = (loại) cos x = x = + 2k (k Z ) 3 1,0 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x = Ta thấy x1 , x thỏa mãn điều 3 kiện sin x Vậy nghiệm cần tìm là: x1 = x = 3 (Thí sinh sử dụng phép biến đổi khác) Vì x (0 ; ) nên lấy x1 = y 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,0 đ -1 -1 x Ta thấy phơng trình | x x + |= x + có nghiệm x1 = x = Mặt khác | x x + | x + x [0;5] Vậy ( ) ( ) ( 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 1đ 1đ ) S = x + | x x + | dx = x + x + x dx + x + + x x + dx 0 ( ) + x + x + x dx ( ) ( ) ( ) S = x + x dx + x x + dx + x + x dx 1 3 5 1 S = x3 + x + x3 x + 6x + x3 + x 2 13 26 22 109 S= + + = (đ.v.d.t) 3 (Nếu thí sinh vẽ hình không thiết phải nêu bất đẳng thức | x x + | x + x [0;5] ) IV S N I M A C 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ K B Gọi K trung điểm BC I = SK MN Từ giả thiết a MN = BC = , MN // BC I trung điểm SK MN 2 Ta có SAB = SAC hai trung tuyến tơng ứng AM = AN AMN cân A AIMN (SBC )( AMN ) (SBC ) ( AMN ) = MN Mặt khác AI(SBC ) AISK AI ( AMN ) AIMN Suy SAK cân A SA = AK = a 3a a a SK = SB BK = = 4 2 2 SK AI = SA SI = SA = Ta có S AMN 3a a a 10 = a 10 = MN AI = (đvdt) 16 ý 1) Có thể chứng minh AIMN nh sau: BC(SAK ) MN(SAK ) MNAI 2) Có thể làm theo phơng pháp tọa độ: Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho a a a a K (0;0;0), B ;0;0 , C ;0;0 , A 0; ;0 , S 0; ;h h độ dài đờng cao SH hình chóp S ABC 2a) Cách I Phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng có dạng: (x y + z 4) + (x + y z + 4) = ( + ) ( + )x (2 ) y + ( )z + = r r Vậy n P = ( + ;2 + ; ) Ta có u = (1;1;2 ) // M (1;2;1) r r n P u = = (P ) // Vậy (P ) : x z = M (1;2;1) (P ) M (P ) 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ - 0,5 đ - 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ta chuyển phơng trình sang dạng tham số nh sau: x = 2t ' Từ phơng trình suy x z = Đặt x = 2t ' : y = 3t '2 z = 4t ' r M (0;2;0) , u1 = (2;3;4) // (Ta tìm tọa độ điểm M cách cho x = y = z = Cách II r 1 1 = (2;3;4) ) tính u1 = ; ; 2 1 r Ta có u = (1;1;2 ) // Từ ta có véc tơ pháp mặt phẳng (P) : r r r n P = [u1 , u ] = (2;0;1) Vậy phơng trình mặt phẳng (P) qua M (0;2;0 ) r n P = (2;0;1) là: x z = Mặt khác M (1;2;1) (P ) phơng trình mặt phẳng cần tìm là: x z = 2b) b)Cách I H H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) MH = (t 1; t + 1;2t 3) MH = (t 1) + (t + 1) + (2t 3) = 6t 12t + 11 = 6(t 1) + đạt giá trị nhỏ t = H (2;3;3) Cách II H H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) r MH nhỏ MH MH u = t = H (2;3;4) V 2 2 Ta có BC I Ox = B(1;0 ) Đặt x A = a ta có A(a; o) ( 1đ ) xC = a y C = 3a Vậy C a; 3a 2a + (a 1) xG = ( x A + x B + x C ) ; Từ công thức ta có G yG = ( y A + y B + yC ) Cách I Ta có : AB =| a |, AC = | a |, BC = | a | Do 0,25 đ S ABC = Ta có Vậy (a 1)2 AB AC = 2 2S (a 1) | a 1| = r= = = AB + AC + BC | a | + | a | +1 | a |= + 0,25 đ 0,25 đ 7+4 6+2 ; TH1 a1 = + G1 3 ; TH2 a = G2 3 Cách II y C 0,25 đ - I O B A x Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC Vì r = y I = x xI = Phơng trình BI : y = tg 30 0.( x 1) = TH1 Nếu A O khác phía B x I = + Từ d ( I , AC ) = 7+4 6+2 a = x I + = + G1 ; 3 TH Nếu A O phía B x I = Tơng tự ; ta có a = x I = G2 3 0,25 đ 0,25 đ đ Từ 0,25 đ C n3 = 5C n1 ta có n x t x x t , 2t.dt dx i cn: x t 1; x t t t (1,0) 2 Do ú: I (2t 2).dt t 2t 3 Mt phng () i qua O(0; 0; 0) , cú VTPT n( ) ud (1;2; 3) Suy () : x 2y 3z (1,0) M d M (t ; 2t; 3t ) Ta cú: d[M ,(P )] t 2(1 2t ) 2(2 3t ) 12 22 (2)2 t M (1; 3; 5) t 11 M (11;21; 31) a) Ta cú: P sin cos4 (sin2 )2 (cos2 )2 sin2 cos2 sin2 cos2 12 P sin 2 2 b) Gi l khụng gian mu, ú: n() C 85 56 Gi A l bin c: Giỏo viờn ph trỏch coi thi ớt nht mụn trc nghim (1,0) Trng hp 1: Giỏo viờn coi thi mụn trc nghim v mụn t lun cú: C 2C 24 cỏch 4 Trng hp 2: Giỏo viờn coi thi mụn trc nghim v mụn t lun cú: C 43C 42 24 cỏch Trng hp 3: Giỏo viờn coi thi mụn trc nghim v mụn t lun cú: C 44C 41 cỏch Suy ra: n (A) 24 24 52 cỏch Vy xỏc sut cn tỡm l: P (A) n(A) 52 13 n() 56 14 Ta cú: AC BM , AC SB AC (SBM ) AC SM Suy [(SAC ),(ABC )]=[SM , BM ]=SBM 450 S M ABM 600 Xột ABM , ta cú: BM AB cos 600 (1,0) a a , AM 2 N nờn AC a K a Xột SBM , ta cú: SB BM tan 450 Do ú S ABC a2 BM AC B C I H M A 1 a a2 a3 SB.S ABC (vtt) 3 24 K NH song song vi SB ( H l trung im ca BM ) Suy NH (ABC ) Suy VS ABC Ta cú: MH (ABN ) B d[M ,(ABN )] 2d[H ,(ABN )] 249 CM (ABN ) A d[C ,(ABN )] 2d[M ,(ABN )] 4d[H ,(ABN )] K HI AB, HK NI Ta cú: AB NI , HK NI AB (NHI ) AB HK M AB HK , HK NI HK (ABN ) HK d[H ,(ABN )] Xột BHI , ta cú HI BH sin 600 Xột NHI vuụng ti H , ta cú Suy ra: d[C ,(ABN )] a a 1 a 21 HK 2 28 HK HN HI a 21 a 21 28 Ta cú: IA2 (1 2)2 (2 5)2 10 2 IA IB (a 1) (b 2) 10 t B(a;b ) Ta cú: B d : 3x y 3a b A Gii h ny ta c B(2;1) t H (c; d ) AH (c 2, d 5), BH (c 2; d 1) H HK c 2d AH BH (c 2)(c 2) (d 5)(d 1) I Ta cú: K B H C 5 (1,0) 24 8 Vi H ; , ta cú: AI (1; 3), AH ; 1; AI nờn ba 5 5 Gii h ny ta c H (2;1) hoc H ; 5 im A, H , I thng hng hay tam giỏc ABC cõn ti A, khụng tha nờn loi H ; v nhn H (2;1) Phng trỡnh ng thng BH l y nờn ta im C (c;1) Do AI CI 12 32 (c 2)2 12 d 4, d C (4;1) hoc C (2;1) B nờn loi Vy B(2;1),C (4;1) t x , y ln lt l s lớt nc cam v tỏo m mi i cn pha ch Ta cú: S gam ng cn dựng l: 39x 10y S lớt nc cn dựng l: x y S gam hng liu cn dựng l: x 4y (1,0) 3x y 21 30x 10y 210 Theo gi thit ta, cú: x y x y (*) x 4y 24 x 4y 24 250 S im thng nhn c s l F 60x 80y Trong mt phng ta , ta s biu din phn mt phng cha cỏc im M (x ; y ) tha h thc (*) Ta xột nh ca khộp kớn to y 60 51 ; , 11 11 bi h (*) l A(4; 5) , B A C (6; 3) Ta thy F t giỏ tr ln nht ti x 4, y Khi ú F 60.4 80.5 640 Vy giỏ tr ln nht cn tỡm l 640 B C x O Do a, b nờn ta cú (a 1)(b 1) ab a b Suy a b (a b )2 2ab (a b)2 2(a b 1) 10 (1,0) M a 5b ab ab(a b ) (a b )2 (a b )4 (a b 1)(a b)4 3(a b ) (a b) 2(a b 1) t t a b thỡ t Suy P Xột hm s f (t ) Ta cú: f '(t ) (t 1)t 3t vi t [1;2] (t 1)2 1 12(t 1) (5t 4t 24) 0, t [1;2] (t 2t 2)2 Suy f (t ) l hm s nghch bit Do ú f (t ) f (2) Vy giỏ tr nh nht ca P l , t c a b 251 B GIO DC V O TO Cõu 1.(2,0 im) Cho hm s y = THI MINH HA - K THI THPT QUC GIA NM 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt 2x x +1 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C), bit tip im cú honh x = Cõu 2.(1,0 im) a) Cho gúc tha món: tan < < v sin = Tớnh A = + tan b) Cho s phc z tha h thc: (1 + i ) z + (3 i ) z = 6i Tớnh mụun ca z Cõu 3.(0,5 im) Gii phng trỡnh: log ( x + 2) = log x Cõu 4.(1,0 im) Gii bt phng trỡnh: x2 + x + x 3( x x 2) Cõu 5.(1,0 im) Tớnh tớch phõn: I = (2 x + ln x) dx Cõu 6.(1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AC = 2a, ACB = 30o , Hỡnh chiu vuụng gúc H ca nh S trờn mt ỏy l trung im ca cnh AC v SH = 2a Tớnh theo a th tớch chúp S.ABC v khong cỏch t im C n mt phng (SAB) Cõu 7.(1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc OAB cú cỏc nh A v B thuc ng thng : x + y 12 = v im K (6; 6) l tõm ng trũn bng tip gúc O Gi C l im nm trờn cho AC = AO v cỏc im C, B nm khỏc phớa so vi im A Bit im C cú honh bng 24 , tỡm ta ca cỏc nh A, B Cõu 8.(1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(2; 0; 0) v B (1; 1; 1) Vit phng trỡnh mt phng trung trc (P) ca on thng AB v phng trỡnh mt cu tõm O, tip xỳc vi (P) Cõu 9.(0,5 im) Hai thớ sinh A v B tham gia mt bui thi ỏp Cỏn b hi thi a cho mi thớ sinh mt b cõu hi thi gm 10 cõu hi khỏc nhau, c ng 10 phong bỡ dỏn kớn, cú hỡnh thc ging ht nhau, mi phong bỡ ng cõu hi; thớ sinh chn phong bỡ s ú xỏc nh cõu hi thi ca mỡnh Bit rng b 10 cõu hi thi dnh cho cỏc thớ sinh l nh nhau, tớnh xỏc sut cõu hi A chn v cõu hi B chn l ging Cõu 10.(1,0 im) Xột s thc x Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: P= 3( x + x + 1) + x + (3 ) x + - HT - 252 + 2 x + (3 + )x + B GIO DC V O TO P N - THANG IM THI MINH HA - K THI THPT QUC GIA NM 2015 Mụn: TON CU Cõu (2,0 im) P N IM a) (1,0 im) Tp xỏc nh: D = ằ \ {1} Gii hn v tim cn: lim + y = , lim y = + ; lim y = lim y = x ( 1) x x ( 1) 0,25 x + Suy ra, th hm s cú mt tim cn ng l ng thng x = v mt tim cn ngang l ng thng y = S bin thiờn: - Chiu bin thiờn: y' = > x D ( x + 1) 0,25 Suy ra, hm s ng bin trờn mi khong ( ; 1) v ( 1; + ) - Cc tr: Hm s ó cho khụng cú cc tr Lu ý: Cho phộp thớ sinh khụng nờu kt lun v cc tr ca hm s - Bng bin thiờn: x + y' y + 0,25 + + 2 th (C): y O ẵ 253 0,25 x b) (1,0 im) Tung y0 ca tip im l: y0 = y (1) = 0,25 0,25 ( x 1) + ; 0,25 Suy h s gúc k ca tip tuyn l: k = y '(1) = Do ú, phng trỡnh ca tip tuyn l: y = x 4 a) (0,5 im) Cõu (1,0 im) Ta cú: A = tan = tan .cos = sin .cos = cos + tan hay y = 0,25 (1) 0,25 16 cos = sin = = 25 Vỡ ; nờn cos < Do ú, t (2) suy cos = 12 Th (3) vo (1), ta c A = 25 b) (0,5 im) (2) 0,25 (3) t z = a + bi, ( a , b ằ ); ú z = a bi Do ú, kớ hiu () l h thc cho bi, ta cú: () (1 + i )( a + bi ) + (3 i )( a bi ) = 6i (4a 2b 2) + (6 2b)i = { { 4a 2b = a=2 b = 2b = Do ú | z | = Cõu (0,5 im) 0,25 0,25 2 + = 13 iu kin xỏc nh: x > (1) Vi iu kin ú, ký hiu (2) l phng trỡnh ó cho, ta cú: (2) log ( x + 2) + log x = log ( x ( x + 2)) = log 3 0,25 x + x = x = (do (1)) 0,25 iu kin xỏc nh: x + Cõu ú, ký hiu (2) l bt phng trỡnh ó cho, ta cú: (1,0 im) Vi iu kin (2) x + x + x ( x + 1)( x 2) 3( x x 2) (1) 0,25 x ( x 2)( x + 1) x ( x 2) 2( x + 1) ( x ( x 2) ( x + 1) Do vi mi x tha (1), ta cú (3) )( x ( x 2) + x ( x 2) + ) ( x + 1) (3) 0,50 ( x + 1) > nờn x( x 2) ( x + 1) x 6x 13 x + 13 (4) Kt hp (1) v (4), ta c nghim ca bt phng trỡnh ó cho l: + ; + 13 254 0,25 2 Cõu I = x d x + Ta cú: ln xdx (1,0 im) 0,25 (1) 2 t I1 = x dx v I = ln xdx Ta cú: 1 0,25 15 I1 = x = 2 2 I = x.ln x xd(lnx) = ln dx = ln x = ln 2 1 0,50 13 V y I = I1 + I = + ln 2 Cõu (1,0 im) AC = a v SH mp(ABC) Xột v ABC, ta cú: BC = AC cos ACB = a.cos 30o = 3a Theo gi thit, HA = HC = 0,25 1 AC.BC.sin ACB = 2a 3a.sin 30o = a 2 1 6a3 Vy VS ABC = SH S ABC = 2a a = 3 Vỡ CA = 2HA nờn d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) (1) Gi N l trung im ca AB, ta cú HN l ng trung bỡnh ca ABC Do ú HN // BC Suy AB HN Li cú AB SH nờn AB mp(SHN) Do ú mp(SAB) mp(SHN) M SN l giao tuyn ca hai mt phng va nờu, nờn mp(SHN), h HK SN, ta cú HK mp(SAB) Vỡ vy d(H, (SAB)) = HK Kt hp vi (1), suy d(C, (SAB)) = 2HK (2) Do ú S ABC = Vỡ SH mp(ABC) nờn SH HN Xột v SHN, ta cú: 1 1 = + = + 2 HK SH HN 2a HN 3a Vỡ HN l ng trung bỡnh ca ABC nờn HN = BC = 2 1 11 66a Do ú = + = Suy HK = HK 2a 3a 6a 11 Th (3) vo (2), ta c d ( C , ( SAB ) ) = 255 66a 11 0,25 0,25 0,25 (3) Cõu (1,0 im) Trờn , ly im D cho BD = BO v D, A nm khỏc phớa so vi B Gi E l giao im ca cỏc ng thng KA v OC; gi F l giao im ca cỏc ng thng KB v OD Vỡ K l tõm ng trũn bng tip gúc O ca OAB nờn KE l phõn giỏc ca gúc OAC M OAC l tam giỏc cõn ti A (do AO = AC, theo gt) nờn suy KE cng l ng trung trc ca OC Do ú E l trung im ca OC v KC = KO Xột tng t i vi KF, ta cng cú F l trung im ca OD v KD = KO Suy CKD cõn ti K Do ú, h KH , ta cú H l trung im ca CD Nh vy: + A l giao ca v ng trung trc d1 ca on thng OC; (1) + B l giao ca v ng trung trc d ca on thng OD, vi D l im i (2) xng ca C qua H v H l hỡnh chiu vuụng gúc ca K trờn 24 (gt) nờn gi y0 l tung ca C, ta cú: Vỡ C v cú honh x0 = 24 12 + y0 12 = Suy y0 = 5 12 T ú, trung im E ca OC cú ta l ; v ng thng OC cú phng trỡnh: x + y = Suy phng trỡnh ca d1 l: x y = Do ú, theo (1), ta ca A l nghim ca h phng trỡnh: x + y 12 = x y = { Gii h trờn, ta c A = (3; 0) 256 0,50 0,25 Gi d l ng thng i qua K(6; 6) v vuụng gúc vi , ta cú phng trỡnh ca d l: x y + = T õy, H l giao im ca v d nờn ta ca H l nghim ca h phng trỡnh: x + y 12 = 3x y + = { 12 12 36 Gii h trờn, ta c H = ; Suy D = ; 5 5 18 Do ú, trung im F ca OD cú ta l ; v ng thng OD cú 5 phng trỡnh: x + y = Suy phng trỡnh ca d l: x y + 12 = Do ú, theo (2), ta ca B l nghim ca h phng trỡnh: x + y 12 = x y + 12 = 0,25 { Gii h trờn, ta c B = (0; 4) Cõu Gi M l trung im ca AB, ta cú M = ; ; (1,0 im) 2 Vỡ (P) l mt phng trung trc ca AB nờn (P) i qua M v AB = (1; 1; 1) l mt vect phỏp tuyn ca (P) 1 Suy ra, phng trỡnh ca (P) l: (1) x + y + (1) z + = 2 hay: x y + z = Ta cú d (O , ( P)) = | 1| 22 + (2)2 + 22 = Do ú, phng trỡnh mt cu tõm O, tip xỳc vi (P) l: x + y + z = 0,25 0,25 0,25 12 0,25 hay 12 x + 12 y + 12 z = Cõu Khụng gian mu l hp gm tt c cỏc cp hai b cõu hi, m v trớ (0,5 im) th nht ca cp l b cõu hi thớ sinh A chn v v trớ th hai ca cp l b cõu hi thớ sinh B chn Vỡ A cng nh B u cú C10 cỏch chn cõu hi t 10 cõu hi thi nờn theo quy ( ) 0,25 tc nhõn, ta cú n() = C10 Kớ hiu X l bin c b cõu hi A chn v b cõu hi B chn l ging Vỡ vi mi cỏch chn cõu hi ca A, B ch cú nht cỏch chn cõu hi 3 ging nh A nờn n ( X ) = C10 = C10 Vỡ vy P ( X ) = n ( X ) n( ) = C10 10 (C ) = 1 = C10 120 257 0,25 Cõu 10 Trong mt phng vi h ta Oxy, vi mi s thc x, xột cỏc im A( x ; x + 1) , (1,0 im) B ; v C ; 2 OA OB OC Khi ú, ta cú P = + + , ú a = BC, b = CA v c = AB a b c 0,25 Gi G l trng tõm ABC, ta cú: OA.GA OB.GB OC.GC OA.GA OB.GB OC.GC P= + + = + + , a.GA b.GB c.GC a.ma b.mb c.mc ú ma , mb v mc tng ng l di ng trung tuyn xut phỏt t A, B, C ca ABC 0,25 Theo bt ng thc Cụ si cho hai s thc khụng õm, ta cú a.ma = 3a 2b + 2c a 2 2 2 a + b2 + c 3a + 2b + 2c a = 2 3 a2 + b2 + c a2 + b2 + c2 Bng cỏch tng t, ta cng cú: b.mb v c.mc 3 ( ) ( Suy P ) 3 ( OA.GA + OB.GB + OC.GC ) a + b2 + c 0,25 (1) Ta cú: OA.GA + OB.GB + OC.GC OA.GA + OB.GB + OC.GC (2) OA.GA + OB.GB + OC.GC = OG + GA GA + OG + GB GB + OG + GC GC ( ) ( ( ) ( ) ) = OG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC a2 + b2 + c2 ma + mb2 + mc2 = T (1), (2) v (3), suy P = ( ) Hn na, bng kim tra trc tip ta thy P = x = Vy P = 258 0,25 (3) B GIO DC V O TO K THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA NM 2016 THI CHNH THC ( thi cú 01 trang) Mụn thi: Toỏn Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu I (1,0 im) Cho s phc z = + 2i Tỡm phn thc v phn o ca s phc w = z + z Cho log x = Tớnh giỏ tr ca biu thc A = log x + log x3 + log x Cõu II (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = x + x Cõu III (1,0 im) Tỡm m hm s f ( x) = x x + mx cú hai im cc tr Gi x1 , x2 l hai im cc tr ú, tỡm m x12 + x22 = ) ( Cõu IV (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = 3x x + x + 16 dx Cõu V (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(3; 2; 2), B(1;0;1) v C (2; 1;3) Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi ng thng BC Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn ng thng BC Cõu VI (1,0 im) Gii phng trỡnh 2sin x + 7sin x = Hc sinh A thit k bng iu khin in t m ca phũng hc ca lp mỡnh Bng gm 10 nỳt, mi nỳt c ghi mt s t n v khụng cú hai nỳt no c ghi cựng mt s m ca cn nhn liờn tip nỳt khỏc cho s trờn nỳt ú theo th t ó nhn to thnh mt dóy s tng v cú tng bng 10 Hc sinh B khụng bit quy tc m ca trờn, ó nhn ngu nhiờn liờn tip nỳt khỏc trờn bng iu khin Tớnh xỏc sut B m c ca phũng hc ú Cõu VII (1,0 im) Cho lng tr ABC A ' B ' C ' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AC = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A ' trờn mt phng ( ABC ) l trung im ca cnh AC , ng thng A ' B o to vi mt phng ( ABC ) mt gúc 45 Tớnh theo a th tớch lng tr ABC A ' B ' C ' v chng minh A ' B vuụng gúc vi B ' C Cõu VIII (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh BD Gi M , N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn cỏc ng thng BC , BD v P l giao im ca hai ng thng MN , AC Bit ng thng AC cú phng trỡnh x y = 0, M (0; 4), N (2; 2) v honh im A nh hn Tỡm ta cỏc im P, A v B Cõu IX (1,0 im) Gii phng trỡnh 3log ( ) + x + x + log ( + x + x log ( x ) + log x = ) Cõu X (1,0 im) Xột cỏc s thc x, y tha x + y + = 2 ( ) x + y + (*) Tỡm giỏ tr ln nht ca x + y Tỡm m 3x + y + ( x + y + 1) 27 x y ( x + y ) m ỳng vi mi x, y tha (*) Ht -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: Ch ký ca cỏn b coi thi 1: ; Ch ký ca cỏn b coi thi 2: 259 B GIO DC V O TO K THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA NM 2016 THI CHNH THC P N - THANG IM Mụn thi: TON (ỏp ỏn - Thang im cú 04 trang) Cõu I (0,5 im) (1,0 im) Ta cú w 2i 2i ỏp ỏn im 0,25 2i Vy phn thc ca w l v phn o ca w l 2 (0,5 im) Ta cú A log2 x log2 x log2 x II (1,0 im) - 0,25 0,25 log2 x 2 Tp xỏc nh: D S bin thiờn: Chiu bin thiờn: y 4x 4x ; x x 1 x y ; y ; y x x x 0,25 0,25 Hm s ng bin trờn cỏc khong ; v 0; Hm s nghch bin trờn cỏc khong 1; v 1; - Cc tr: hm s t cc i ti x 1, y cđ 1; t cc tiu ti x 0, yCT - Gii hn: lim y ; lim y - Bng bin thiờn: x 0,25 x 0,25 th: 0,25 Hm s ó cho xỏc nh vi mi x III (1,0 im) Ta cú f (x ) 3x 6x m 0,25 Hm s cú hai im cc tr v ch phng trỡnh 3x 6x m cú hai nghim phõn bit, tc l m 260 0,25 Ta cú x 12 x 22 x x 2x 1x 2 m 3 (tha món) Vy m 2 IV (1,0 im) Ta cú I 0,25 0,25 3x 2dx 3x x 16 dx 0,25 m 3 I1 3x dx x 3 27 0,25 3x I2 x 16 dx t t x 16, ta cú t 2x ; t(0) 16, t(3) 25 25 Do ú I 0,25 t dt 16 t t 25 61 0,25 16 V (1,0 im) Vy I I I 88 Ta cú BC 1; 1;2 0,25 Mt phng (P ) i qua A v vuụng gúc vi BC cú phng trỡnh l x y 2z 0,25 x t ng thng BC cú phng trỡnh l y t z 2t Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BC Ta cú H (P ) BC - Vỡ H BC nờn H t ; t ;1 2t - Vỡ H (P ) nờn t t 2t t 0,25 0,25 Vy H 0;1; VI (0,5 im) (1,0 im) sin x Ta cú sin x sin x sin x sin x : vụ nghim x k (k ) sin x x k (0,5 im) 720 Khụng gian mu cú s phn t l n() A10 Gi E l bin c: B m c ca phũng hc Ta cú E (0;1;9),(0;2; 8),(0; 3; 7),(0; 4; 6),(1;2; 7),(1; 3;6),(1; 4; 5),(2; 3; 5) Do ú n(E ) n(E ) Vy P(E ) n() 90 261 0,25 0,25 0,25 0,25 H Gi l trung im ca A H ABC A BH 45o VII (1,0 im) AC , ta cú AC a v S ABC a Tam giỏc A HB vuụng cõn ti H , suy A H BH a Do ú VABC AB C A H S ABC a 0,25 Ta cú BH Gi I l giao im ca A B v AB , ta cú I l trung im ca A B v AB Suy HI A B Mt khỏc HI l ng trung bỡnh ca AB C nờn HI // B C Do ú A B B C Phng trỡnh MN: x y Ta P l nghim ca h x y P ; x y 2 Vỡ AM song song vi DC v cỏc im A, B, M , N cựng thuc mt ng trũn nờn ta cú PCD ABD AMP PAM VIII (1,0 im) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy PA PM Vỡ A AC : x y nờn A a; a 1, a 2 2 a Ta cú a a A(0; 1) a ng thng BD i qua N v vuụng gúc vi AN nờn cú phng trỡnh l 2x 3y 10 ng thng BC i qua M v vuụng gúc vi AM nờn cú phng trỡnh l y 2x 3y 10 Ta B l nghim ca h B 1; y4 iu kin: x IX (1,0 im) Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi x x log x x .log 3x log 3x log x x log 3x log x x log 3x log x x log 3x x x 3x log23 3 3 3 0,25 0,25 3 x 9x x 9x x 81 x 68x x2 0,25 0,25 68 81 Kt hp vi iu kin x 2, ta cú nghim x log x x log 3x Vỡ x nờn 3x 262 17 x 2x 3x (1) 0,25 Mt khỏc x 2x x2 x 2x Do ú phng trỡnh (1) vụ nghim 0,25 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x 17 X (0,25 im) (1,0 im) iu kin: x 2, y Ta cú (*) x y x y x y (**) Vỡ x y x y nờn t (**) suy x y x y 0,25 x y x y Ta cú x 6, y tha (*) v x y Do ú giỏ tr ln nht ca biu thc x y bng (0,75 im) Vỡ x y nờn t (**) suy x y x y x y x y (vỡ x y 0) x y x y x y x y Vỡ x 2x (do x ), y 2y nờn x y x y Do ú 3x y x y 27x y x y 3x y x y 27x y x y 0,25 0,25 t t x y, ta cú t hoc t Xột hm s f (t ) 3t t 27t 6t Ta cú f (1) f (t ) 3t ln 27t t 27t ln 6; 2188 ; 243 f (t ) 3t ln2 t ln 27t ln 0, t [3;7] Suy f (t ) ng bin trờn (3;7) M f (t ) liờn tc trờn [3;7] v f (3)f (7) 0, ú f (t ) cú nghim nht t0 (3; 7) Bng bin thiờn 0,25 Suy 3x y x y 27x y x y ng thc xy x 2, y Vy m 148 vi mi x, y tha (*) 148 - Ht - 263 [...]... Lại có ADmp (ABC ) ADAB và ADAC , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau Do đó có thể chọn hệ toạ độ Đêcac vuông góc, gốc A sao cho B(3;0;0) , C(0;4;0), D( 0;0;4) Mặt phẳng (BCD) có phơng trình : x y z + + 1 = 0 3 4 4 Khoảng cách cần tính là : 1 1 1 1 + + 9 16 16 = 3 21 6 34 (cm) 17 Cách 2 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó ABAC Lại có ADmp (ABC ) ADAB và ADAC , nên AB, AC, AD... Gọi AE là đờng cao của tam giác ABC; AH là đờng cao của tam giác ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính 1 1 1 1 = + + Dễ dàng chứng minh đợc hệ thức: 2 2 2 AH AD AB AC 2 Thay AC=AD=4 cm; AB = 3 cm vào hệ thức trên ta tính đợc: 6 34 AH = cm 17 Cách 3: Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó ABAC Lại có ADmp (ABC ) ADAB và ADAC , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau 1 Gọi V là thể... Ghi chú : 1) Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu IV 2 b) và Câu V 2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 10 Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Môn toán, khối b Câu I ý 1 Nội dung ĐH CĐ y = x 4 8 x 2 + 10 là hàm chẵn đồ thị đối xứng qua Oy x=0 Tập... đó -Hết Chú ý : 1 2 Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm câu V Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : 18 Số báo danh Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002 Môn Toán, khối D Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Câu Nội dung Điểm CĐ ĐH 4đ 3đ 1 1,5 I 1 Khi m = -1 ,ta có y = -TXĐ : x 1 - CBT : y , = 4 (x 1)2 3x ... vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 I ;0 , phơng trình đờng thẳng AB là x 2 y + 2 = 0 và AB = 2 AD Tìm tọa độ các đỉnh 2 A, B, C , D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm 2 Cho hình lập phơng ABCDA1 B1C1 D1 có cạnh bằng a a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng A1 B và B1 D b) Gọi M , N , P lần lợt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD , A1 D1 Tính góc giữa hai đờng thẳng MP và C1... (loại) hoặc n2 = 7 Với n = 7 ta có x21 C 2 3 7 4 0,25 đ 0,25 đ 3 3x 2 = 140 35.2 2 x 2.2 x = 140 2 x 2 = 4 x = 4 8 9 0,5 đ bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao Đẳng năm 2002 đề chính thức Môn thi : toán, Khối B (Thời gian làm bài : 180 phút) _ Câu I (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm) Cho hàm số : y = mx 4 + m 2 9 x 2 + 10 1 Khảo sát sự biến thiên và... nhật bằng các cách khác Nếu lý luận đúng để đi n(n 1) đến kết quả số hình chữ nhật là thì cho điểm tối đa phần này 2 7 17 Bộ giáo dục và đào tạo Đề chính thức Kỳ thi Tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 Môn thi : Toán, Khối D (Thời gian làm bài : 180 phút) _ CâuI ( ĐH : 3 điểm ; CĐ : 4 điểm ) y= 1 2 3 Câu II 1 2 (2m 1)x m 2 (1) ( m là tham số ) x 1 Khảo sát sự biến thiên và... ;y0 = 7 7 - Khi đó M 2 7 ;0 , N 0; 21 và GTNN (MN) = 7 - Đẳng thức xảy ra x 0 = ( ) ( ) -Hết 257 1/4 Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 - Hớng dẫn chấm thi môn toán khối D Câu I: 1 -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm -Nếu TS xác định đúng hàm số và chỉ tìm đúng 2 tiệm cận thì đợc 1/4... góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B (a; 0; 0), D(0; a; 0), A '(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M là trung điểm cạnh CC ' a) Tính thể tích khối tứ diện BDA ' M theo a và b a b) Xác định tỷ số để hai mặt phẳng ( A ' BD) và ( MBD) vuông góc với nhau b Câu 4 ( 2 điểm) y= Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số n 1 1) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị... Câu 5 (1 điểm) Cho x, y, z là ba số dơng và x + y + z 1 Chứng minh rằng 1 1 1 x2 + + y2 + + z2 + x2 y2 z2 82 HếT Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: 27 Số báo danh: Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối A Nội dung điểm 2điểm 1 điểm Câu 1 1) x2 + x 1 1 = x x 1 x 1 + Tập