PHẦN 4 TÍCH PHÂN

www.TOANTUYENSINH.com PHN TCH PHN 4.1 Tớch phõn hm phõn thc Cõu Tớnh tớch phõn: I = 6x+ 3x + dx 1 6x+ (6x+ 4)+ 3 I= dx = dx = (2 + )dx 3x + 3x + 3x + 0 1 1 = dx + dx = dx + d(3x+ 2) 3x + 3x + 0 0 1 0 = 2x + ln 3x + = + ln Cõu Tỡm h nguyờn hm 2x + dx x x 2x + 2x + dx = dx = + dx x (2 x + 1)( x 1) x + x = dx + dx 2x + x d (2 x + 1) d ( x 1) = + 2x + x = ln x + + ln x + C 3 Ta cú: 2x x + 3x + dx Cõu Tớnh tớch phõn I = ũ x +x Bin i hm s thnh dng x + 3x + 2x + = 1+ 2 x +x x +x x + 3x + dx = ũ dx + Khi ú: I = ũ x +x 1 ã ũ dx = x 2 2x + dx +x ũx =1 ã 2x + dx = ln x + x = ln +x ũx Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vy I = + ln Cõu Tớnh tớch phõn I = ũ ( x + 1) ( x + 1) Bin i hm s thnh dng Khi ú: I = ũ ( x + 1) x +1 ã ũ dx = x x2 + 1 ũx x2 + x + 2x = 1+ 2 x +1 x +1 = dx = ũ dx + 2 dx x2 + 1 2x dx +1 =1 ã ũx 2x dx = ln x + = ln +1 Vy I = + ln x2 I = Cõu Tớnh tớch phõn sau: x + x + x3 ữ dx 2 x2 x2 I = x + dx ữdx = x dx + x + x3 1 x+ x 2 Tớnh I1 = x dx = x3 = 3 2 x I2 = dx = x+ x Vy I = I1 + I = + ln Nguyn Vn Lc d + x ữ x = ln + x x2 dx = 1 x +x +x x x = ln 5 Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.2 Tớch phõn hm cha cn thc dx Cõu Tớnh tớch phõn I = I = dx x x3 + = x dx x3 x + 1 x x3 + t t = x + x3 = t x 2dx = t dt x =1 t = ; x = t = 3 t.dt 1 I= = ữdt (t 1)t t t +1 x I = ln x +1 1 + 2 = ln ln ữ = ln 2 +1 3 Cõu Tớnh tớch phõn I = x I= x 1 x +1 dx = x x x2 + 1 x2 + dx dx t u = x + u = x + udu = xdx , x = u I= = u ( u 1) u du = 2 2 u + ( u 1) ( u 1) ( u + 1) du 2 1 u du = ln 3 2 = ln ữ u u +1 2 u +1 ( ) Cõu Tớnh tớch phõn I = ũ x - xdx t t = - x ị dt = - dx ị dx = - dt v x = - t i cn: x t 1 Vy, ổ ỗ 2 ữ 1 ữ ỗ t t ữ ỗ ữ I = ũ x - xdx = ũ (1 - t ) t (- dt ) = ũ (t - t )dt = ỗ = ữ ỗ ố3 ứ 15 Cõu Tớnh tớch phõn sau 2x + dx + 3x + I = t2 dx = tdt t x + = t ta c x = 3 i cn x = t = 1; x = t = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 2 2t + t 28 dt = 2t 2t + ln Khi ú I = ữdt = 1+ t t +1 27 3 Cõu Tớnh tớch phõn sau: x dx x +1 + x + x = u = x = u = t u = x + u = x 2udu = dx ; i cn: 2 x 2u 8u dx = du = (2u 6)du + du Ta cú: u + u + u + x + + x + 1 2 = u 6u + ln u + = + ln 1 ( ) xdx x t t = x t = x 2tdt = dx i cn: x = t = x=9 t =3 Cõu Tớnh tớch phõn: 3 t dt I = = t + t + + ữdt t t 2 t3 t 59 = + + t + ln t ữ = + 2ln ữ 3 dx Cõu Tớnh tớch phõn: I = ( x + 1) + x x I= ( x + 1) = + 2x x ( x + 1) t t = dx x+3 x +1 = ( x + 1) ( x + 1)( x + 3) dx dx x+3 x + 2tdt = dx t2 = ( x + 1) x +1 x +1 I = 1 dt = ( ) Cõu Tớnh tớch phõn ũ( x + ) x + xdx Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ( ) Ta cú I = ũ x + x + xdx = ũ x dx + 0 ũx x + dx 3 81 t J = ũ x dx va K = ũ x x + dx ; ta co J = x dx = x = 4 0 3 K = x x + dx t t = x + ị t = x + ị 2tdt = dx va x = t Ta co x = t = 1; x = t = 1 116 Khi o K = t (t 1)dt = (t t )dt = t t ữ = 15 1 2 2 Vy I = J + K = 1679 60 ) ( 2 Cõu Tớnh tớch phõn: I = x + x x dx ) ( 1 0 I = x + x x dx = x dx + x x dx 1 x3 I1 = x dx = = I = x x dx t t = x x = t xdx = tdt i cn: x = t = 1; x = t = t3 t5 I = ( t ) t dt = ( t t ) dt = ữ = 15 0 Vy I = I1 + I = 2 15 Cõu 10 Tớnh nguyờn hm sau: I = x x + 3dx t t = x + t = x + 2tdt = 2xdx xdx = tdt 3 Suy I = t.tdt = t dt = t + C = ( x + 3) + C 3 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com dx Cõu 11 Tớnh nguyờn hm: I = 2x + ì t t = 2x t = 2x tdt = dx I= tdt = ữdt = t ln t + + C t+4 t+4 ( = 2x ln Cõu 12 Tớnh I = I= ( ) 2x + + C ) ( x x x + dx ) 1 x x x + dx = x dx x J = x3 x + 1dx = = (t x5 x + 1dx = J = J 5 t ) dt 2+2 15 1 2 I = J = 15 J = = I = x x + 3dx Cõu 13 Tớnh tớch phõn sau: t x + = t ta c x + = t dx = 2tdt i cn: x = t = 2; x = t = 3 232 Khi ú I = ( 2t 6t ) dt = t 2t ữ = 5 2 2 Cõu 14 Tớnh tớch phõn I = ũ x - x dx t t = - x t = - x ị 2tdt = - xdx ị tdt = - xdx 2 ùỡ x = ị i cn: ùớù x = ùợ ỡù t = ùớ ùợù t = 2 t3 2- Suy ra: I = ũ t dt = = 31 Vy I = 2- Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.3 Tớch phõn hm s m, hm s logarith 2x Cõu Tớnh tớch phõn I = ( x ) ( + e ) dx du = dx => v = x + e2 x 2 1 I = (1 x)(2 x + e x ) + (2 + e x )dx 2 2x 1 2x e2 + = = (1 x)(2 x + e ) + ( x + e ) 0 4 u = x t 2x dv = (2 + e )dx Cõu Tớnh tớch phõn I = 2 2 ln x x dx = x I = xdx Tớnh J = 1 x ln x dx x2 2 ln x ln x dx = dx x x 1 ln x dx x2 t u = ln x, dv = 1 dx Khi ú du = dx, v = x x x 2 1 Do ú J = ln x + dx x x 1 1 1 J = ln = ln + x1 2 Vy I = + ln 2 ũ (1 + x)e dx x Cõu Tớnh tớch phõn I = I = ũ(1 + x )e dx x ùỡù u = + x ùỡù du = dx ị ớ t ù Thay vo cụng thc tớch phõn tng phn ta c: x ùù v = e x ùợù dv = e dx ùợ I = (1 + x )e x Nguyn Vn Lc 1 ũ0 e x dx = (1 + 1)e - (1 + 0)e - e x Ninh Kiu Cn Th = 2e - - (e - e ) = e 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vy, I = ũ(1 + x )e x dx = e ln Cõu Tớnh tớch phõn: I = e2 x ex + dx t t = e x + t = e x + 2tdt = e x dx x = t = 2, x = ln t = 3 I= (t 1)2tdt = (t 1)dt t 2 t3 = t ữ = 2 Cõu Tớnh: I = ( x + 2)e x dx I = ( x + 2)e x dx u = x+2 du = dx => x x dv = e dx v=e t 1 x x Khi ú I= ( x + 2)e e dx 0 1 = ( x + 2)e x e x = 2e e Cõu Tớnh: I = I = e 1 + 3ln x ln x dx x + 3ln x ln x dx x t u= + 3ln x =>u2= 1+3lnx => 2udu= dx x i cn: x=e => u=2 x=1 => u=1 Khi ú I= u u2 udu 3 2 2 2 u5 u3 116 u ( u 1) du = ( ) = = 91 135 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Cõu Tớnh tớch phõn I = ũ x (x + e x )dx ỡù du = dx ỡù u = x ùù ù ị t ớù x2 x ù dv = ( x + e ) dx v = + ex ùùợ ùùợù 1 x2 Ta cú I = ũ x (x + e )dx = x ( + e x ) 0 x ũ0 x2 x3 x ( + e )dx = + e - ( + e x ) 2 = e Cõu Tớnh tớch phõn I = (x e + 1) ln x + x + x ln x + 1 I = 1 + e - ( + e ) + (0 + 1) = dx e e x ( x ln x + 1) + ( ln x + 1) d ( x ln x + 1) dx = xdx + x ln x + x ln x + 1 x2 I= e e + ln x ln x +1 = e2 + ln ( e +1) 2 e Cõu Tớnh tớch phõn I = x + ữln xdx e x e e 1 Ta cú: I = x + ữln xdx = x ln xdx + ln xdx x x 1 e x2 Tớnh x ln xdx t u = ln x v dv = xdx Suy du = dx v v = x e e 2 e x2 x e2 x e2 x ln x d x = ln x d x = = + Do ú, 2 4 1 1 e 1 x ln xdx t t = ln x dt = x dx Khi Tớnh x =1 thỡ t = , x = e thỡ t = e 1 t2 ln x d x = tdt = Ta cú: x Vy, I = 1 = e +3 Cõu 10 Tinh tớch phõn: I = tan x ln(cos x ) dx cos x *t t=cosx Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Tớnh dt=-sinxdx , i cn x=0 thỡ t=1 , x = T ú I = 1 ln t dt = t2 dt t2 1 Suy I = t ln t + I = ln t dt t2 1 du = dt ; v = t t *t u = ln t ;dv = *Kt qu thỡ t = 1 1 t dt = ln t 2 ln 2 e Cõu 11 Tớnh tớch phõn sau: x log 23 x + 3ln x dx t T i cn: vi I = u (1u ) du = ( 1+ 2 *) u u +1 2 u u u u +1 = 2( u 1) +1 ( u 1) = 2 u du ) + ( u 1)2 [( u +1) ( u 1)]2 = + u ( u 1) 2 = u 1 = + ữ + ( u 1) ( u +1)( u 1) ( u +1) ữ 1 ữ 1 + + ( u 1) ( u +1) ữ u u +1 ữ Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com dx x x = t = 0; x = e t =1 i cn 1 2t + K = dt = ( 2t ln ( t + 1) ) = ln Khi ú t +1 t ln x = t ta c dt = Vy ta c I = I1 + I = e ln ln I= Cõu 23 Tớnh cỏc tớch phõn sau ln I= x + 2e x x + 2e x ữdx +1 ữdx +1 ln Tớnh I1 = xdx ln Tớnh I = 2e 2 ta c kt qu I1 = ln x +1 dx t e x = t ta c e x dx = dt i cn x = t = 1; x = ln t = 2 dt = ( ln t ln ( 2t + 1) ) = ln ln = ln t ( 2t + 1) Vy ta c L = L1 + L2 = ln 2 + ln Khi ú I = e Cõu 24 Tớnh cỏc tớch phõn I = x ln xdx 1 du = dx u = ln x x dv = xdx v = x e e e x2 x x2 x2 I = ln x dx = ln x 2 1 e = e2 + x Cõu 25 Tớnh cỏc tớch phõn I = xe dx u = x du = dx x x x I = xe e dx = e e = x x dv = e dx v = e Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ln 2 x x Cõu 26 Tớnh tớch phõn I = ũ( e - 1) e dx t t = e - ị dt = e dx x x ùỡ x = ln ị i cn: ùớù ùỡù t = ùợù t = ợù x = 1 t3 = Suy ra: I = ũ t dt = 30 3 Vy I = e Cõu 27 Tớnh tớch phõn I = ũ + 5ln x dx x x t t = + 5ln x t = + 5ln x ị 2tdt = dx ỡù x = e ị i cn: ùớù ỡùù t = ùợù t = ợù x = 3 Suy ra: I = Vy I = 2 38 t dt = t = ( 33 - 23 ) = ũ 15 15 15 38 15 Cõu 28 Tớnh tớch phõn I = ũ 2 Ta cú: I = ũ xdx + 2ũ 1 ln x dx x 2 x2 ũ xdx = = ã Tớnh x + ln x dx x ũ ln x dx x x t t = ln x ị dt = dx ỡù x = ị i cn: ùớù ợù x = ỡùù t = ln ùợù t = ln ln x t2 dx = tdt = Suy ra: ũ ũ x Nguyn Vn Lc ln = ln 2 Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vy I = + ln 2 (2e Cõu 29 Tinh tich phõn I = 2xe Ta cú: I = x2 I1 = dx + xe x dx 2xe ã x2 + e x )xdx 1 ã x2 x2 dx = e d (x ) = e x2 = e xe dx I2 = x t u = x du = exdx dv = exdx v = ex 1 xe x ex dx e ex 0 = Suy ra: I2 = = Vy I = e + = e x2 - Cõu 30 Tớnh tớch phõn I = ũ ln xdx x ỡù u = ln x ùù t ớù x2 - ị dv = dx ùù x2 ợ ỡù ùù du = dx ù x ùù v = x+ ùùợù x ổ Suy ra: I = ỗỗỗx + ố 1ữ ln x ữ ứ xữ ổ =ỗ x+ ỗ ỗ ố 1ử ữ ữ ữln x xứ 2 ổ ũốỗỗỗx + ử1 1ữ dx ữ ứx xữ ổ 1ử ỗ x- ữ ữ ỗ ữ ỗ xứ ố = ln 2 Vy I = ln - Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.4 Tớch phõn hm lng giỏc Cõu Tớnh tớch phõn I = ( x + sin x ) cos xdx I = ( x + sin x ) cos xdx = x cos xdx + sin x cos xdx 0 43 44 43 1 M N Tớnh M u = x du = dx dv = cos xdx v = sin x t M = x sin x sin xdx = + cos x = 2 0 Tớnh N t t = sin x dt = cos xdx t =1 i cn x =0t =0 t 1 N = t dt = = 3 Vy I = M + N = x= Cõu .Tớnh tớch phõn: I = x cos xdx 0 I = xdx + x cos xdx 2 + xdx = x = + J = xcos2 xdx = x sin x sin xdx = cos2 x = 20 0 I= 2 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Cõu Tớnh tớch phõn I = ( x + cos x) sin xdx 0 I = x sin xdx + cos x sin xdx t I1 = x sin xdx, I = cos x sin xdx t u = x du = dx I1 = x cos x dv = sin xdx v = cos x 0 I = cos x sin xdx = cos xd (cos x) = 3 + cos xdx = sin x =1 cos x = 3 Vy I = + = p Cõu Tớnh tớch phõn: I = ũ(1 + cos x )xdx p I = p p ũ(1 + cos x )xdx = ũ xdx + ũ x cos xdx 0 p x2 Vi I = ũ xdx = p = p2 02 p2 = 2 p Vi I = ũ x cos xdx ùỡ u = x ùỡ du = dx ù ù t ớù dv = cos xdx ị ớù v = sin x Thay vo cụng thc tớch phõn tng phn ta ùợ ùợ c: I = x sin x p - p ũ0 p sin xdx = - (- cos x ) = cos x Vy, I = I + I = p = cos p - cos = - p2 - 2 Cõu Tớnh Tớch phõn I = x cos xdx I = x cos xdx , Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com u = x du = dx dv = cos xdx v = sin x t I = x sin x sin xdx = + cos x 02 = 2 Cõu Tớnh tớch phõn sau: I = ( cot x ữ cos x + sin x ) dx cos x + sin x ữ = 2cos x ữ ữ + Ta cú: cos x + sinx = cot x ữ 2 dx = d tan x ữ = ln tan x ữ = ln + Do ú: I = 6 cos x tan x ữ ữ 3 6 Cõu Tớnh cỏc tớch phõn: I = sin x sin x.dx Tớnh cỏc tớch phõn: I = sin x sin x.dx I = sin x cos x.dx t t=sinx => dt=cosxdx 1 t5 I = 2t dt = = 5 Cõu Cho hm s f ( x) = tan x( cot x cos x + cos x ) cú nguyờn hm l F (x) v F = Tỡm nguyờn hm F (x) ca hm s ó cho Tỡm nguyờn hm F (x) ( ) ( ) F ( x) = tan x cot x cos x + cos x dx = sin x + sin x dx cos x +C F = + + C = C = 2 cos x Vy F ( x) = x + cos x = x + cos x Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Cõu Tớnh tớch phõn I = ( 2x sin x ) dx I = 0 0 ( 2x sin x ) dx = 2x dx dx sin xdx A = 2x dx = x = 2 ; B = dx = x ( C = sin xdx = cosx ) Vy I = A B + C = 0 = = A B C =1 Cõu 10 Tớnh tớch phõn I = x tan xdx I= 4 1 x( cos2 x 1)dx = x cos x dx xdx x2 xdx = = 32 x dx = I1 cos x u = x du = dx dx t dv = cos x v = tan x I1 = x tan x tanxdx = + ln cos x 4 Vy I= = ln ln 32 Cõu 11 Tớnh nguyờn hm I = ( x ) sin xdx Tớnh nguyờn hm I = ( x ) sin 3xdx du = dx cos x v= ( x ) cos 3x + cos 3xdx = ( x ) cos 3x + sin 3x + C Do ú: I = 3 u = x t , ta c dv = sin 3xdx Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Cõu 12 Tớnh tớch phõn sau: I = ( s inx+ cos x ) dx 0 I = ( s inx + cos x ) dx = s inxdx + cos xdx = cos x + sin x = Cõu 13 Tớnh tớch phõn sau: I = ( x sin x ) dx I = ( x sin x ) dx = xdx sin xdx = x 2 0 + cos x = 2 Cõu 14 Tớnh tớch phõn sau: I = ( sin x ) cos xdx I = ( sin x ) cos xdx t sin x = t dt = cos xdx i cn x = t = 0; x = t = t4 Khi ú I = ( t ) dt = t ữ = 4 Cõu 15 Tớnh tớch phõn sau I = I = dx sin x cos x dx sin x cos x t cot x = t dt = i cn x = dx sin x t = 3; x = t = Khi ú I = + ữ dt = t 3 + + dt = t = ữ ữ t t t 3t 27 + Cõu 16 Tớnh tớch phõn sau: I = ( s inx + x ) sin xdx Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com I = ( s inx + x ) sin xdx = sin xdx + x sin xdx 0 cos x dx = 2 t I1 = sin xdx = I = x sin xdx u = x du = dx dv = sin xdx v = cos x I = x cos x + cos xdx = + s inx = Khi ú I = Cõu 17 Tớnh cỏc tớch phõn I = x sin xdx u = x du = dx dv = sin xdx v = cos x t I = x cos x + cos xdx = + sinx 02 = p Cõu 18 Tớnh tớch phõn I = ũ( x + 1) sin xdx ỡù u = x + ị t ùớù ùợ dv = sin xdx ùỡù du = dx ù ùùù v = - cos x ợ p p 4 Suy ra: I = - ( x + 1) cos x + sin x 0 p p 4 1 = - ( x + 1) cos x + sin x = 4 0 Vy I = p Cõu 19 Tớnh tớch phõn I = ũ x ( + sin x) dx Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com p Ta cú: I = ũ xdx + p ũ x sin xdx = ùỡ u = x ị t ùớù ùợ dv = sin xdx p p x p + p p ũ x sin xdx = 32 + ũ x sin xdx 0 ùỡù du = dx ù ùùù v = - cos x ợ p p p p Suy ra: ũ x sin xdx =- x cos x + ũ cos xdx = ũ cos xdx = sin x = 2 4 0 Vy I = p2 + 32 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.5 ng dng ca tớch phõn Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = e x + ,trc honh, x = ln3 v x = ln8 ln8 Din tớch S = e x + 1dx ; t t = e x + t = e x + e x = t ln Khi x = ln3 thỡ t = ; Khi x = ln8 thỡ t = 3; Ta cú 2tdt = exdx dx = 2t dt t 2t 2 dt = + ữdt = t t 2 Do ú S = t = + ln ữ (vdt) = 2t + ln t +1 ữ Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = th hm s ct trc honh ti (-1; 0) Do ú S = x +1 v cỏc trc ta x2 x +1 dx x2 x +1 dx = (1 + )dx Ta cú S = x2 x2 1 = ( x + 3ln x )| = + 3ln = 3ln Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong y = ( x 1) ln x v ng thng y = x +) Xột phng trỡnh: (x-1)lnx = x-1 x = hoc x = e + Din tớch cn tỡm l: e e e 1 S = ( x 1)(ln x 1) dx = ( x 1)(ln x 1)dx = (ln x 1)d ( x2 x) = e =( x2 x 1 x )(ln x 1) |1e ( 1) dx = x x ữ|1e 2 = e 4e + (vdt) Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau y = x , trc honh v hai ng thng x=0, x=2 y = x , trc honh v hai ng thng x= 0, x=2 Trờn [0; 2] ta cú x = x = [0; 2] Din tớch ca hỡnh phng ó cho: S = x dx = x = 3 Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau y = x , y = x + v hai ng thng x =0, x=2 t f1 ( x) = x , f ( x) = x + x = [0;2] x = [0;2] 2 Ta cú: f1 ( x) f ( x) = x (2 x + 3) = x + x = Din tớch hỡnh phng ó cho S = | x + x | dx = ( x + x 3)dx + ( x + x 3)dx 1 x3 x3 = + x x ữ + + x 3x ữ = + + 1+ = + = 3 3 Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau y = x , y = x + x = x = 2 Ta cú: x ( x + 2) = x x = Din tớch hỡnh phng x3 x 1 S = | x x | dx = 2x ữ = + + = 2 2 Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau õy: Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com y = x - 4x + 3x - v y = - 2x + ộ x =1 3 Cho x - 4x + 3x - = - 2x + x - 4x + 5x - = ờx = Din tớch cn tỡm l: S = ũ x - 4x + 5x - dx hay S = ũ1 ổ x 4x 5x 1 ữ ữ (vdt) ỗ (x - 4x + 5x - 2)dx = ỗ + x == ữ ỗ ố4 ứ1 12 12 Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th ( C ) : y = x + 3x v ng thng : y = x Phng trỡnh honh giao im ca ( C ) v l: x + 3x = x x 3x x + = x = x = x = Din tớch hỡnh phng phi tỡm: S= ( x + 3x ) ( x 1) dx = = = ( x x + 3x + x dx 1 x 3 + 3x + x dx + x + 3x + x dx + 3x + x 3) dx + ( x + 3x + x 3) dx 1 x4 x4 x2 x2 = + x3 + 3x + + x3 + 3x 2 = + = (vdt) Cõu Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = ( x 1).( x x) vi trc honh Ta cú x = ( x 1).( x x) = x = x = Do ú din tớch cn tỡm l Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com S = ( x 1).( x x) dx = ( x 1).( x x) dx + ( x 1).( x x) dx 1 = ( x 1).( x x )dx ( x 1).( x x)dx 1 1 = ( x x)d ( x x) ( x x)d ( x x) 20 21 1 = ( x x) ( x x) [ (0 1)] = = Cõu 10 Tớnh th tớch vt th trũn xoay sinh quay hỡnh (D) quanh trc Ox bit (D) gii hn bi y = x , y = Ta cú: x = x = b p dng cụng thc: V = f ( x)dx a 1 2x x5 + ữ Ta cú: V = (1 x ) dx = ( 2x + x ) dx = x 1 1 2 16 = + ữ + ữ = + ữ = 15 Cõu 11 Gi (H) l hỡnh phng gii hn bi th (C): y = x sin x , cỏc trc Ox, Oy v ng thng x = Tớnh th tớch trũn xoay sinh cho (H) quay quanh Ox Th tớch trũn xoay cn tớnh l V= ( x sin x) dx = 04 x.sin xdx = 04 x + xdx = x + cos x dx = xdx x cos xdx ữ 2 = 32 x cos xdx t tng phn u = x, dv = cos 2xdx Ta cú du = dx, v = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th sin 2x 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com T ú, tớnh c x cos xdx = Do ú, V = ( + 8) 64 Cõu 12 Tớnh th tớch vt th trũn xoay thu c quay hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = tanx ; y=0 ; x=0; x = quanh trc Ox Gi V l th tớch ca vt th cn tỡm: V = tan xdx = ( 1)dx = (tan x 1) 04 = (1 ) cos x Cõu 13 Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay sinh bi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x + ,y =0,x =0,x =1 quay xung quanh trc Ox Phng trỡnh honh giao im ca th y = x3 + v y=0: x3 + = x = [ 0;1] Gi V l th tớch ca vt th cn tỡm: 1 V = ( x + 1) dx = ( x + x + 1)dx x7 1 23 = + x + x ữ = + + 1ữ = (vtt ) 14 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 [...]... = 1 x 4 4 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com e e 1 4 1 4 1 e 4 1 4 e 3e4 + 1 I = x ln x x dx = x = 4 4 x 4 16 1 16 1 1 e I = Cõu 19 Tớnh tớch phõn: 1 e e 4 + x ln 3 x dx x2 1 ln x 4e 4 dx + 2 dx = + I1 = + 4 + I 1 2 x x x1 e 1 I = 4 1 3 e ln 3 x Tớnh I1 = 2 dx x 1 t t = ln x dt = 1 dx x i cn: x = 1 t = 0; x = e t = 1 1 t4 1 1 I1 = t dt = = 0 4 4 0 3 4 17 Vy... B + C = 2 1 4 2 0 0 2 0 = = A B C 2 =1 Cõu 10 Tớnh tớch phõn I = 4 x tan 2 xdx 0 I= 4 4 4 1 1 0 x( cos2 x 1)dx = 0 x cos 2 x dx 0 xdx x2 xdx = 0 2 4 4 = 0 2 32 4 x 0 1 dx = I1 cos 2 x u = x du = dx dx t dv = cos 2 x v = tan x 4 I1 = x tan x tanxdx = + ln cos x 4 0 4 0 Vy I= 4 0 = ln 2 4 2 ln 2 4 32 Cõu 11 Tớnh nguyờn hm I = ( x 2 ) sin 3 xdx Tớnh nguyờn hm I = (... I = ũ xdx + 0 p 4 ũ x sin 2 xdx = 0 ùỡ u = x ị t ùớù ùợ dv = sin 2 xdx p 4 p 2 4 x 2 p 4 + 0 p 4 2 p ũ x sin 2 xdx = 32 + ũ x sin 2 xdx 0 0 ùỡù du = dx ù ớ 1 ùùù v = - 2 cos 2 x ợ p 4 p 4 p 4 p 4 Suy ra: ũ x sin 2 xdx =- 1 x cos 2 x + 1 ũ cos 2 xdx = 1 ũ cos 2 xdx = 1 sin 2 x = 1 2 2 0 2 0 4 4 0 0 0 Vy I = p2 1 + 32 4 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4. 5 ng dng ca tớch... quanh Ox 4 Th tớch khi trũn xoay cn tớnh l 4 2 V= ( x sin x) dx = 04 x.sin xdx = 04 x 2 0 4 + xdx = x 2 0 + 2 4 4 0 0 1 cos 2 x dx = 4 xdx 4 x cos 2 xdx ữ 0 2 2 0 2 = 32 x cos 2 xdx t tng phn u = x, dv = cos 2xdx Ta cú du = dx, v = Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 1 sin 2x 2 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com T ú, tớnh c 4 0 x cos 2 xdx = 1 2 Do ú, V = ( 4 + 8) 8 4 64 Cõu 12... 02 = 1 0 p 4 Cõu 18 Tớnh tớch phõn I = ũ( x + 1) sin 2 xdx 0 ỡù u = x + 1 ị t ùớù ùợ dv = sin 2 xdx ùỡù du = dx ù ớ 1 ùùù v = - 2 cos 2 x ợ p p 4 4 Suy ra: I = - 1 ( x + 1) cos 2 x + 1 sin 2 x 2 4 0 0 p p 4 4 1 1 3 = - ( x + 1) cos 2 x + sin 2 x = 2 4 4 0 0 3 4 Vy I = p 4 Cõu 19 Tớnh tớch phõn I = ũ x ( 1 + sin 2 x) dx 0 Nguyn Vn Lc Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com p 4 Ta cú: I... =1 3 2 3 2 Cho x - 4x + 3x - 1 = - 2x + 1 x - 4x + 5x - 2 = 0 ờ ờx = 2 ờ ở 2 Din tớch cn tỡm l: S = ũ x 3 - 4x 2 + 5x - 2 dx 1 2 hay S = 2 ũ1 ổ ử x 4 4x 3 5x 2 1 1 ữ ữ (vdt) ỗ (x 3 - 4x 2 + 5x - 2)dx = ỗ + 2 x == ữ ỗ 4 ứ1 3 2 12 12 Cõu 8 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th ( C ) : y = x 3 + 3x 2 4 v ng thng : y = x 1 Phng trỡnh honh giao im ca ( C ) v l: x 3 + 3x 2 4 = x 1 x 3 3x 2... cos 2 x = 2 2 0 Cõu 14 Tớnh tớch phõn sau: I = ( 1 sin 3 x ) cos xdx 0 2 I = ( 1 sin 3 x ) cos xdx 0 t sin x = t dt = cos xdx i cn x = 0 t = 0; x = t = 1 2 1 t4 3 Khi ú I = ( 1 t 3 ) dt = t ữ = 4 0 4 0 1 4 Cõu 15 Tớnh tớch phõn sau I = 6 4 I = 6 1 dx sin x cos 4 x 2 1 dx sin 2 x cos 4 x t cot x = t dt = i cn x = 3 1 dx sin 2 x t = 3; x = t = 1 6 4 2 1 Khi ú I = 1 +... ỗ ữ ỗ xứ ố 1 5 3 = ln 2 2 2 5 2 Vy I = ln 2 - Nguyn Vn Lc 3 2 Ninh Kiu Cn Th 0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4. 4 Tớch phõn hm lng giỏc 2 Cõu 1 Tớnh tớch phõn I = ( x + sin 2 x ) cos xdx 0 2 2 2 I = ( x + sin 2 x ) cos xdx = x cos xdx + sin 2 x cos xdx 0 0 4 2 43 0 44 2 4 43 1 1 M N Tớnh M u = x du = dx dv = cos xdx v = sin x t 2 M = x sin x 2 sin xdx = + cos x 2 = 1 2 2 0 0... www.TOANTUYENSINH.com du = dx u = x 1 K = xe dx t K = xe 2x 1 2x 2 x ; khi o dv = e dx 2 v = e 0 2 1 1 1 2x 0 1 2x e dx 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 K = e 2 e 2x = e 2 e 2 + = e 2 + Vy I = e 3 + e 2 2 4 2 4 4 4 4 4 4 0 e Cõu 15 Tớnh tớch phõn I = 3x + 2 ln x + 1 x 2 + x ln x 1 e I = Phõn tớch 1 e Tớnh 3 x + 2 ln x + 1 x 2 + x ln x 2( x + ln x) 2( x + ln x) x 2 + x ln x e dx + 1 e x +1 x 2 + x ln x dx 1... x + 3 = 0 x = 1 x = 3 x = 1 Din tớch hỡnh phng phi tỡm: S= 3 ( x 3 + 3x 4 ) ( x 1) dx = 2 1 = 1 = 1 ( x 3 x 3 + 3x 2 + x 3 dx 1 1 x 3 3 3 + 3x 2 + x 3 dx + x 3 + 3x 2 + x 3 dx 1 + 3x 2 + x 3) dx + 1 3 ( x 3 + 3x 2 + x 3) dx 1 1 3 x4 x4 x2 x2 = + x3 + 3x + + x3 + 3x 2 2 4 1 4 1 = 4 + 4 = 8 (vdt) Cõu 9 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = ( x 1).( x 2