PHẦN 4 TÍCH PHÂN

www.TOANTUYENSINH.com PHẦN TÍCH PHÂN 4.1 Tích phân hàm phân thức Câu Tính tích phân: I   6x+7 dx 3x  1 6x+7 (6x+4)+3 I dx   dx   (2  )dx 3x  3x  3x  0 1 1   dx   dx   dx   d(3x+2) 3x  3x  0 0 1 0  2x  ln 3x    ln Câu Tìm họ nguyên hàm  2x  dx x2  x 1 2x  2x    dx   dx      dx  x 1 (2 x  1)( x  1)  x  x     dx   dx 2x 1 x 1 d (2 x  1) d ( x  1)     2x 1 x 1   ln x   ln x   C 3 Ta có:  2x Câu Tính tích phân I x2 Biến đổi hàm số thành dạng Khi đó: I x2 3x dx x x 3x dx x x x2 3x x x 2 dx 1 2x x2 x 2x dx x2 x dx x1 1 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Vậy I 2x dx x2 x ln x x ln ln 1 x Câu Tính tích phân I x2 x Khi đó: I x x 2 x2 dx 0 2x x 1 dx dx x Biến đổi hàm số thành dạng 2x x 1 2x x dx 1 dx x0 1 Vậy I 2x x dx ln x 1 ln ln  Câu Tính tích phân sau: I    x   x2   dx x  x3    1 x   x2 I   x  dx  dx   x dx   x  x3  1 1 xx 2 2 2 Tính I1   x dx  x3  3 1  d  x   1 x x    ln  x I2   dx   x dx     1 x x x 1 x x x x Vậy I  I1  I   ln Nguyễn Văn Lực 2 Ninh Kiều – Cần Thơ  ln  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.2 Tích phân hàm chứa thức dx Câu Tính tích phân I   x x 1 I  dx x x 1  x dx x x 1 3 Đặt t  x3   x3  t   x dx  t.dt x 1 t  ; x   t  3 t.dt  1  I      dt (t  1)t   t 1 t 1  x 1 I  ln x 1 1 1   2   ln  ln   ln 3 2 1 3 Câu Tính tích phân I  x I x x2  dx  x x x2  1 x2  dx dx Đặt u  x   u  x2   udu  xdx ,  x2  u 1 I  u   u  1 u du  2  2 u    u  1   u  1 u  1 du u 1      du  ln u   u 1 u   Câu Tính tích phân I dx  Đặt t x dt  Đổi cận: x t  Vậy, I x xdx    ln 3  2 2 x dx  xdx dt x t 1 (1 t ) t ( dt ) 1 (t t )dt 2t 2t 15 2x  dx  3x  t2 1  dx  tdt Đặt 3x   t ta x  3 Đổi cận x   t  1; x   t  Câu Tính tích phân sau Nguyễn Văn Lực I  Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 2t  t   28 dt    2t  2t    ln Khi I   dt  1 t 1 t 1 27 2  Câu Tính tích phân sau: x 3 dx x 1  x  x   u  x   u  Đặt u = x   u   x  2udu  dx ; đổi cận:  x 3 2u  8u dx  0 x   x  1 u  3u  2du  1 (2u  6)du  61 u  1du Ta có:   u  6u 2   6ln u  1  3  ln 2 Câu Tính tích phân: xdx x 1  Đặt t  x  t  x  2tdt  dx Đổi cận: x =  t  x =9 t 3 3 t dt   I  2  2  t  t    dt t  t    2  t3 t  59     t  ln t     2ln 3 2 Câu Tính tích phân: I   ( x  1)  I  ( x  1)  dx  2x  x 2  ( x  1)   dx  2x  x ( x  1)( x  3) dx = dx  x  ( x  1) x 1  x3  x3 4  t2  Đặt t   2tdt  dx x 1 x 1 ( x  1)  I  1 dt  (  )  x2 Câu Tính tích phân x xdx Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 3 Ta có I x x xdx x dx 0 Đă ̣t J 3 3 x dx và K dx 3 81 dx ; ta có J   x dx  x  4 x x x x 0 K   x x  dx Đặt t x t2 x dx và x  t  2tdt Ta có x   t  1; x   t  1  116 K   t (t  1)dt   (t  t )dt   t  t   1 15 5 1 Khi đó 2 1679 60 Vậy I  J  K    Câu Tính tích phân: I   x  x  x dx   1 I   x  x  x dx   x dx   x  x dx 2 1 x3 I1   x dx   2 0 I   x  x dx Đặt t   x  x   t  xdx  tdt Đổi cận: x   t  1; x   t   t3 t5   I    1  t  t dt    t  t dt        15 0 Vậy I  I1  I  2 15 Câu 10 Tính nguyên hàm sau: I   x x  3dx Đặt t  x   t  x   2tdt  2xdx  xdx  tdt t3 ( x  3)3 C Suy I   t.tdt   t dt   C  3 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com dx Câu 11 Tính nguyên hàm: I   2x    Đặt t  2x   t  2x   tdt  dx I  tdt    1   dt  t  ln t   C t4  t4  2x   ln   2x    C Câu 12 Tính I =    I=  1   x3 x  x  dx 1 x x  x  dx   x dx   x J   x3 x2  1dx    t x5 J  J x  1dx  5  t  dt 22 15 1 2 I = J  15 J   I   x x  3dx Câu 13 Tính tích phân sau:  Đặt x   t ta x   t  dx  2tdt  Đổi cận: x   t  2; x   t  3 232 2  Khi I    2t  6t  dt   t  2t   5 2 Câu 14 Tính tích phân I x x dx 2tdt xdx Đặt t Đổi cận: x t x x t x t 2 Suy ra: I t dt Vậy I 2 tdt xdx t3 2 2 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.3 Tích phân hàm số mũ, hàm số logarith Câu Tính tích phân I   1  x    e2 x  dx  du   dx =>  2x v  x  e 2x 1 I  (1  x)(2 x  e )   (2  e2 x )dx 2 1 e2  1  = (1  x)(2 x  e2 x )  ( x  e2 x ) 0 u   x Đặt  2x dv  (2  e )dx Câu Tính tích phân I   2 2 ln x x dx  x I   xdx  2 x3  ln x dx x2 2 ln x ln x dx   2 dx x x 2 ln x dx x Tính J   1 dx Khi du  dx, v   x x x Đặt u  ln x, dv  2 1 Do J   ln x   dx x x 1 1 1 J   ln    ln  x1 2 Vậy I   ln 2 (1 + x)e x dx Câu Tính tích phân I = I (1 x )e xdx u  Đặt dv I x du e xdx (1 Nguyễn Văn Lực v x )e x dx ex Thay vào công thức tích phân phần ta được: e xdx (1 1)e1 (1 0)e ex Ninh Kiều – Cần Thơ 2e (e1 e0) e  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Vậy, I x )e xdx (1 e ln Câu Tính tích phân: I   e2 x ex 1 dx Đặt t  e x   t  e x   2tdt  e x dx x   t  2, x  ln  t  (t  1)2tdt   (t  1)dt  t 2 I  t3   2  t  3   2 Câu Tính: I  0 ( x  2)e x dx I   ( x  2)e x dx u  x2 du  dx   x x dv  e dx  ve Đặt  Khi I= ( x  2)e x   e x dx x 1 = ( x  2)e  e x  2e  e Câu Tính: I  1 I  e 1  3ln x ln x dx x  3ln x ln x dx x Đặt u=  3ln x =>u2= 1+3lnx => 2udu= dx x Đổi cận: x=e => u=2 x=1 => u=1 u2 1 Khi I=  u udu 3 2 2 2 u5 u3 116 =  u (u  1)du  (  )  91 135 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Tính tích phân I u  Đặt du x dv (x e x )dx Ta có I x (x dx x2 v e x )dx x (x ex x2 x( x e )dx x e ) 0 x2 ( e )dx e Câu Tính tích phân I   x x ln x  1 e I   1 ln x  x  1 x e e ( x3 ( e) x e ) (0 1) dx e e x  x ln x  1   ln x  1 d  x ln x  1 dx   xdx   x ln x  x ln x  1 x2 I e e2   ln  e  1 2 e  ln x ln x  1  e Câu Tính tích phân I    x   ln xdx e  x e e 1 1 Ta có: I    x   ln xdx   x ln xdx   ln xdx  x x e  Tính  x ln xdx Đặt u  ln x dv  xdx Suy du  e e x2 dx v  x 2 e x2 x e2 x e2   Do đó,  x ln xdx  ln x   dx   2 4 1 e 1 t  ln x  dt  dx Khi x  t  , x  e t  ln x d x Đặt 1 x x  Tính e 1 t2 Ta có:  ln xdx   tdt  x Vậy, I  1  e2   Câu 10 Tính tích phân: I =  Nguyễn Văn Lực tan x ln(cos x ) dx cos x Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 t=1 , x  Từ I    1 ln t dt  t2  dt t2 1 Suy I   ln t  t I  1  ln t dt t2 1  du  dt ; v   t t *Đặt u  ln t ;dv  *Kết  t  1 1 t dt   ln  t 2 ln 2 e Câu 11 Tính tích phân sau: x log 23 x  3ln x dx Đặt Từ Đổi cận: với I   u4  (1u )  du   ( 1 *) u 1 u  u 1  u 1 u  u 1 2( u 1) 1 ( u 1) 2  u 1 du )  ( u 1) 2 [( u 1) ( u 1)]2   u 1 ( u 1) 2   u 1        ( u 1) ( u 1)( u 1) ( u 1)     1   1     ( u 1) ( u 1)    u 1  u 1    Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com dx x  Đổi cận x   t  0; x  e  t   Đặt ln x  t ta dt  2t  dt   2t  ln  t  1    ln t 1  Khi K    Vậy ta I  I1  I  e  ln ln I Câu 23 Tính tích phân sau  ln I    x x  dx 2e      x x  dx 2e     Tính I1   Tính I  ln  xdx ln  2e ta kết I1  ln 2 x 1 dx  Đặt e x  t ta e x dx  dt  Đổi cận x   t  1; x  ln  t  2 dt   ln t  ln  2t  1   ln  ln  ln t  2t  1 Vậy ta L  L1  L2  ln 2  ln  Khi I   e Câu 24 Tính tích phân I   x ln xdx 1  du  dx  u  ln x x    dv  xdx v  x  e e e x2 x x2 x2 I  ln x   dx  ln x  2 1 e  e2  Câu 25 Tính tích phân I   xe x dx 1 u  x du  dx x I  xe   e x dx  e  e x    x x dv  e dx v  e Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com ln 2 e x e x dx Câu 26 Tính tích phân I Đặt t e x Đổi cận: x dt e dx x ln t x t Suy ra: I t3 t dt Vậy I e Câu 27 Tính tích phân I Đặt t 5ln x t2 x e t x t Đổi cận: Suy ra: I 5ln x 3 t 15 2 t dt 5ln x dx x 2tdt 3 15 23 dx x 38 15 38 15 Vậy I Câu 28 Tính tích phân I x2 Ta có: I xdx 1 x2 xdx Tính ln x dx x ln x dx x ln x dx x Đặt t ln x Đổi cận: Nguyễn Văn Lực dt dx x x t ln x t Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Suy ra: Vậy I ln ln x dx x tdt ln ln 2 ln 2 (2e I = 0 Câu 29 Tính tích phân Ta có: I = t2 0 x2  ex )xdx 2xex dx   xex dx  e x2  2xe dx  e d ( x ) 0 I1 = 0 =   = e – 1 1 x2 x2 xe dx I2 = 0 x Đặt u = x  du = exdx dv = exdx  v = ex 1  xex   ex dx e  ex  = Suy ra: I2 =   0 = Vậy I = e – + = e Câu 30 Tính tích phân I u Đặt ln x du x2 dx x2 dv v Suy ra: I x ln x x 1 dx x x x x ln 2 Vậy I ln 2 Nguyễn Văn Lực 1 dx x x x ln x x x2 ln xdx x2 x x 3 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.4 Tích phân hàm lượng giác  Câu Tính tích phân I   ( x  sin x ) cos xdx    2 0 I   ( x  sin x ) cos xdx   x cos xdx   sin x cos xdx M N Tính M u  x du  dx  dv  cos xdx v  sin x Đặt       M  x sin x   sin xdx   cos x   2 0 Tính N Đặt t  sin x  dt  cos xdx   t 1 x0t 0 t 1 N   t dt   3 Đổi cận x Vậy I  M  N     Câu .Tính tích phân: I   x cos xdx   2 0 I   xdx   x cos xdx   x2 +  xdx  2  2     12 + J   xcos2 xdx  x sin x 02   sin xdx  cos2 x  20 0 I 2 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Câu Tính tích phân I =  ( x  cos2 x) sin xdx     2 2 0 I   x sin xdx   cos2 x sin xdx Đặt I1   x sin xdx, I   cos x sin xdx  u  x du  dx   I1   x cos x dv  sin xdx v   cos x  Đặt    2 0   cos xdx  sin x  1  cos x  3 I   cos2 x sin xdx    cos2 xd (cos x)   Vậy I    Câu Tính tích phân: I cos x )xdx (1 I cos x )xdx (1 xdx x cos xdx  Với I x2 xdx  Với I 2 02 2 2 x cos xdx  Đặt u x dv cos xdx du dx v sin x Thay vào công thức tích phân phần ta được: I2 x sin x  Vậy, I sin xdx ( cos x ) cos x cos cos 2 I1 I2 2  Câu Tính Tích phân I   x cos xdx  I   x cos xdx , Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com u  x du  dx  dv  cos xdx v  sin x Đặt    I  x sin x 02   sin xdx     cos x 02   Câu Tính tích phân sau: I      1   cot  x   6  cos x  sin x  dx     cos x  sin x   2cos  x   6    + Ta có: cos x  sinx       cot  x     6    2  + Do đó: I   dx   d tan  x    ln tan  x    ln   6 6  2     cos x  tan x      3 6 6     Câu Tính tích phân: I   sin x sin x.dx  Tính tích phân: I   sin x sin x.dx  I =  sin x cos x.dx Đặt t=sinx => dt=cosxdx 1 t5 ▪ I   2t dt = = 5 Câu Cho hàm số f ( x)  tan x2 cot x  cos x  cos x  có nguyên hàm F (x )    F    Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số cho 4 Tìm nguyên hàm F (x )     F ( x)   tan x cot x  cos x  cos x dx =   sin x  sin x dx  x  cos x  cos x C     F       C   C  1 2 4 cos x 1 Vậy F ( x)  x  cos x  Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Câu Tính tích phân I   2x   sin x  dx I      2 2 0 0  2x   sin x  dx   2x.dx   dx   sin xdx  A  B  C  A   2x dx  x    2   C   sin xdx  cosx Vậy I  A  B  C   ; B   dx  x 02     1 2   1   x tan Câu 10 Tính tích phân I = xdx   4  1 dx   xdx I =  x(  1)dx   x cos x cos x 0   x2 xdx  0 4  2 32  x dx  I1 cos x u  x du  dx Đặt  dx   dv  v  tan x  cos x    I1 = x tan x 04   tanxdx  Vậy I=    ln   ln cos x 2 32     ln Câu 11 Tính nguyên hàm I    x   sin 3xdx Tính nguyên hàm I    x   sin 3xdx du  dx  cos x  v    x   cos 3x  cos 3xdx    x   cos 3x  sin 3x  C Do đó: I   3 u  x  Đặt  , ta dv  sin 3xdx Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com  Câu 12 Tính tích phân sau: I    s inx+ cos x  dx    0 I    s inx  cos x  dx   s inxdx   cos xdx   cos x  sin x     Câu 13 Tính tích phân sau: I    x  sin x  dx    I    x  sin x  dx   xdx   sin xdx  x 2 0   2  cos x  2  Câu 14 Tính tích phân sau: I   1  sin x  cos xdx  I   1  sin x  cos xdx  Đặt sin x  t  dt  cos xdx   Đổi cận x   t  0; x   t   t4   Khi I   1  t dt   t    0   dx sin x cos x Câu 15 Tính tích phân sau I     I  dx sin x cos x  Đặt cot x  t  dt   Đổi cận x    t  3; x  1  Khi I   1   dt  t   1 dx sin x   t 1 1    1 1  t  t dt   t  t  3t   27  3  Câu 16 Tính tích phân sau: I    s inx  x  sin xdx Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com    I    s inx  x  sin xdx   sin xdx   x sin xdx 0    cos x dx   2  Đặt I1   sin xdx     I   x sin xdx u  x du  dx  dv  sin xdx v   cos x       I   x cos x   cos xdx    s inx   Khi I    Câu 17 Tính tích phân I   x sin xdx u  x du  dx  dv  sin xdx v   cos x Đặt     I   x cos x 02   cos xdx    sinx 02  Câu 18 Tính tích phân I x sin xdx Đặt u dv x sin xdx Suy ra: I du dx v cos x x cos x x cos x Vậy I sin x 4 sin x 4 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 19 Tính tích phân I x sin x dx 4 Ta có: I xdx Đặt u x dv sin xdx Suy ra: x sin xdx Vậy I x2 x sin xdx 32 Nguyễn Văn Lực 4 du dx v cos x x cos x 0 x sin xdx cos xdx x sin xdx 32 cos xdx sin x 4 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4.5 Ứng dụng tích phân Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x  ,trục hoành, x = ln3 x = ln8 Diện tích S  ln8  e x  1dx ; Đặt t  e x   t  e x   e x  t  ln Khi x = ln3 t = ; Khi x = ln8 t = 3; Ta có 2tdt = exdx  dx  2t dt t 1 2t 2   dt      dt  t  t    2 Do S   t 1     =  2t  ln   ln   (đvdt)  t 1  2  Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x 1 trục tọa x2 độ Đồ thị hàm số cắt trục hoành (-1; 0) Do S   1 x 1 Ta có S   dx = x2 1 0  ( x  3ln x  )| 1 x 1 dx x2  (1  x  )dx 1   3ln  3ln  Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  ( x  1) ln x đường thẳng y  x  +) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 + Diện tích cần tìm là: y x -8 -6 -4 -2 -5 x = x = e e e e 1 S   ( x  1)(ln x  1) dx   ( x  1)(ln x  1)dx   (ln x  1)d ( x2  x)  e ( x2 x 1   x )(ln x  1) |1e   (  1)dx     x  x  |1e 2 4   e  4e  (đvdt) Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y  x2 , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 y  x2 , trục hoành hai đường thẳng x= 0, x=2 Trên [0; 2] ta có x2   x   [0;2] Diện tích hình phẳng cho: S x dx  x  3 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y  x2 , y  2 x  hai đường thẳng x =0, x=2 Đặt f1 ( x)  x , f ( x)  2 x   x  1 [0;2]  x  3  [0;2] Ta có: f1 ( x)  f ( x)   x  (2 x  3)   x  x     Diện tích hình phẳng cho S   | x  x  | dx   ( x  x  3)dx   ( x  x  3)dx 1  x3   x3     x  3x     x  3x   0  1       1    3 3 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y  x , y  x   x  1 x  Ta có: x  ( x  2)   x  x     Diện tích hình phẳng  x3 x  1 S   | x  x  | dx     2x         2   1 1 2 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây: y x 4x 3x y 2x Cho x 4x 3x 2x x3  Diện tích cần tìm là: S hay S (x 4x 5x 4x x3 x4 2)dx 5x 4x 5x 4x 3 5x 2 x x 2 dx 2x 1 12 (đvdt) 12 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C : y  x  3x  đường thẳng : y   x  Phương trình hoành độ giao điểm C   là:  x  3x   x   x  3x  x    x  1   x   x  Diện tích hình phẳng phải tìm: S   x 3  3x  4   x  1 dx  1  1    x  x  3x  x  dx 1  x 3  3x  x  dx    x  3x  x  dx  3x  x  3dx  1   x 3  3x  x  3dx 1  x4   x4  x2 x2     x3   3x      x3   3x  2   1  1     (đvdt) Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ( x  1).( x  x) với trục hoành Ta có x  ( x  1).( x  x)    x   x  Do diện tích cần tìm Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com S   ( x  1).( x  x) dx   ( x  1).( x  x) dx   ( x  1).( x  x) dx 1   ( x  1).( x  x)dx   ( x  1).( x  x)dx 1 1   ( x  x)d ( x  x)   ( x  x)d ( x  x) 20 21 1    ( x  x)  ( x  x)    1  (0  1)   Câu 10 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn y   x , y  Ta có:  x2   x  1 b Áp dụng công thức: V    f ( x)dx a  2x x5  Ta có: V    (1  x ) dx    1  2x  x  dx    x     1  1 1 1 2      16    1      1              15     Câu 11 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị (C): y  x sin x , trục Ox, Oy đường thẳng x   Tính thể tích khối tròn xoay sinh cho (H) quay quanh Ox Thể tích khối tròn xoay cần tính    V=   ( x sin x) dx =  04 x.sin xdx   04 x   x +  xdx = +   0  2 32    cos x   dx    xdx   x cos xdx  2  x cos xdx Đặt phần u = x, dv = cos 2xdx Ta có du = dx, v = Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ sin 2x  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Từ đó, tính   x cos xdx =   (  4  8)  Do đó, V = 64 Câu 12 Tính thể tích vật thể tròn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y = tanx ; y=0 ; x=0; x =  quanh trục Ox Gọi V thể tích vật thể cần tìm:   V    tan xdx     (  1) dx   (tan x  1) 04   (1  ) cos x Câu 13 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y  x3  ,y =0,x =0,x =1 quay xung quanh trục Ox Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị y  x3  y=0: x3    x  1  0;1 Gọi V thể tích vật thể cần tìm:  x7   1  23 V    ( x  1) dx    ( x  x  1)dx     x  x       1   (đvtt )   14  0 0 1 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 [...]... 1 4 1 4 1 e4 1 4 e 3e4  1 I  x ln x   x dx   x  4 4 x 4 16 1 16 1 1 e e e Câu 19 Tính tích phân: I   1 4  x ln 3 x dx x2 e e 1 ln 3 x 4e 4 I  4 2 dx   2 dx    I1    4  I1 x x x1 e 1 1 e ln 3 x Tính I1   2 dx x 1 Đặt t  ln x  dt  1 dx x Đổi cận: x  1  t  0; x  e  t  1 1 t4 1 1 I1   t dt   0 4 4 0 3 y 5 Vậy x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 1 Câu 20 Tính tích phân sau I  ... Câu 19 Tính tích phân I x 1 sin 2 x dx 0 4 4 Ta có: I xdx 0 Đặt u 0 x dv sin 2 xdx 4 Suy ra: x sin 2 xdx 0 Vậy I x2 2 x sin 2 xdx 2 32 Nguyễn Văn Lực 4 4 0 du dx v 1 cos 2 x 2 4 1 x cos 2 x 2 0 0 1 2 4 2 x sin 2 xdx 4 cos 2 xdx 0 x sin 2 xdx 32 1 2 0 4 cos 2 xdx 0 4 1 sin 2 x 4 0 1 4 1 4 Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4. 5 Ứng dụng của tích phân Câu 1 Tính diện tích hình phẳng...  dx  x 02    2  1 2 0 2  4  2 1  4  x tan Câu 10 Tính tích phân I = 2 xdx 0   4 4  4 1 1 dx   xdx I =  x( 2  1)dx   x cos x cos 2 x 0 0 0   x2 xdx  0 2 4 4  0 2 32  4 x 0 1 dx  I1 cos 2 x u  x du  dx Đặt  dx   dv  v  tan x  cos 2 x    4 I1 = x tan x 04   tanxdx  0 Vậy I=  4  4  ln 2   ln cos x 2 32  4 0   4  ln 2 Câu 11 Tính nguyên hàm I... các tích phân I   x sin xdx 0 u  x du  dx  dv  sin xdx v   cos x Đặt     2 I   x cos x 02   cos xdx  0  0  sinx 02  1 0 4 Câu 18 Tính tích phân I x 1 sin 2 xdx 0 Đặt u dv x 1 sin 2 xdx Suy ra: I du dx v 1 cos 2 x 2 4 1 x 1 cos 2 x 2 0 4 1 x 1 cos 2 x 2 0 Vậy I 4 1 sin 2 x 4 0 4 1 sin 2 x 4 0 3 4 3 4 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com 4 Câu... t  1 2 1  t4  3  Khi đó I   1  t dt   t    4 0 4  0 1 3  4 1 dx sin x cos 4 x Câu 15 Tính tích phân sau I   2  6  4 I  1 dx sin x cos 4 x 2 6  Đặt cot x  t  dt   Đổi cận x   6  t  3; x  2 1  Khi đó I   1  2  dt  t  1  3 1 dx sin 2 x  4  t 1 3 2 1 8 3 4   2 1  1 1  t 2  t 4 dt   t  t  3t 3  1  27  3 3  Câu 16 Tính tích phân sau: I ...    2  4    2  3 2 2  3 2  1 3 1 2 2 Nguyễn Văn Lực Ninh Kiều – Cần Thơ  0933.168.309 www.TOANTUYENSINH.com Câu 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: y x 3 4x 2 3x 1 và y 2x 1 Cho x 3 4x 2 3x 2x 1 x3 1 2  Diện tích cần tìm là: S 2 hay S 1 (x 3 4x 2 5x 1 4x 2 x3 x4 4 2)dx 5x 2 4x 2 5x 4x 3 3 5x 2 2 0 x 1 x 2 2 dx 2 2x 1 1 12 1 (đvdt) 12 Câu 8 Tính diện tích hình phẳng... y  x sin x , các trục Ox, Oy và đường thẳng x   4 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox Thể tích khối tròn xoay cần tính là   4  V=   ( x sin x) 2 dx =   04 x.sin 2 xdx    04 x 0  4  2 4 x +  xdx = 2 0 +   4 0 0  2 32   1  cos 2 x   dx    4 xdx   4 x cos 2 xdx  0 2 2 0  x cos 2 xdx Đặt từng phần u = x, dv = cos 2xdx Ta có du = dx, v = Nguyễn... www.TOANTUYENSINH.com Từ đó, tính được   4 0 x cos 2 xdx =  2  1 (  4  8)  Do đó, V = 64 8 4 Câu 12 Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx ; y=0 ; x=0; x =  quanh trục Ox 4 Gọi V là thể tích của vật thể cần tìm:   4 V    tan 2 xdx 0  4 1    (  1) dx   (tan x  1) 04   (1  ) 4 0 cos 2 x Câu 13 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh... xe 2x  1 2x 2x dv  e dx 2 0  v  e   2 1 1 1  2x 0 1 2x e dx 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3  K  e 2  e 2x  e 2  e 2   e 2  Vậy I  e 3  e 2  2 4 2 4 4 4 4 4 4 0 e Câu 15 Tính tích phân I   3x  2 ln x  1 x 2  x ln x 1 e I  Phân tích 3x  2 ln x  1 1 e Tính x 2  x ln x 2( x  ln x) 2( x  ln x)  x2  x ln x e dx  1 e x 1  x 2  x ln x dx 1 1  x2  x ln x dx  2  x dx  2 1... e2 1 e2 5 x x x  B  ln x   dx  ln x    I  4 4 1 12 1 4 1 4 4 2 2 e ln x  1 dx x 2  ln 2 x e ln x 1  ln x 1 ln x  1  du  dx : u(1)=0; u(e)= I Đặt u  2 2 1 x x e   ln x   x 2 1       x   e Câu 13 Tính tích phân: I  1 1 1 e 0 I 1 1  u 1  e 1 e 1 du  ln  ln u2 1 2  u  1  0 2 e  1 1 (x Câu 14 Tính tích phân 3e x )e 2xdx 0 1 Ta có I (x 0 1 1 0 0 3e )e dx