L11 hình học không gian

Hình Học Không Gian Câu Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) B, ta lấy điểm M cho MB = 2a Gọi I trung điểm BC a) (1,0 điểm) Chứng minh AI ⊥ (MBC) b) (1,0 điểm) Tính góc hợp đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI) M H I B C A a) Tam giác ABC cạnh a , IB = IC = BM ⊥ (ABC) ⇒ BM ⊥AI Từ (1) (2) ta có AI ⊥ (MBC) a ⇒ AI ⊥ BC (1) (2) b)BM ⊥ (ABC) ⇒ BI hình chiếu MI (ABC) · · · , tan MIB = ⇒ ( MI ,( ABC ) ) = MIB MB =4 IB c) AI ⊥(MBC) (cmt) nên (MAI) ⊥ (MBC) MI = ( MAI ) ∩ ( MBC ) ⇒ BH ⊥ MI ⇒ BH ⊥ ( MAI ) ⇒ d (B,( MAI )) = BH 1 1 17 2a 17 = + = + = ⇒ BH = 2 17 BH MB BI 4a a 4a Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) ABCD hình thang vuông A, B AB = BC = a, ·ADC = 450 , SA = a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Tính góc (SBC) (ABCD) c) Tính khoảng cách AD SC a) CM mặt bên tam giác vuông SA ⊥ AB •SA ⊥ ( ABCD ) ⇒  SA ⊥ AD ⇒ ∆SAB ∆SAD vuông A Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh •BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B SB = SA2 + AB = 2a2 + a2 = 3a2 • SC = SB + BC = 3a2 + a2 = 4a2 • hạ CE ⊥ AD ⇒ ∆CDE vuông cân E nên EC = ED = AB = a ⇒ CD = a ⇒ AD = AE + ED = BC + ED = 2a ⇒ SD = SA2 + AD = 6a2 • SC + CD = 4a2 + 2a2 = 6a2 = SD nên tam giác SDC vuông C b) Tính góc (SBC) (ABCD) ) ( SA = • (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC , SB ⊥ BC , AB ⊥ BC ⇒ ·(SBC ),( ABCD ) = ·SBA ⇒ tan ·SBA = c) Tính khoảng cách AD SC • Ta có SC ⊂ (SBC ), BC P AD ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A,(SBC )) • Hạ AH ⊥ SB ⇒ = AH AB2 a • Vậy d ( AD, SC ) = + SA2 ⇔ AH = AB SA2 AB + SA2 = 2a 3a2 AB = 6a2 a ⇔ AH = uuur r uuur r uuur r Câu Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c Gọi I trung điểm đoạn r r r uur BG Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AI = ( AB + AG ) = ( AB + AB + AD + AE ) 2 r r r r 1r 1r = ( 2a + b + c ) = a + b + c 2 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 1) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông 2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) 3) Tính góc SC mp (SAB) 4) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) 1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ⇒ Các tam giác SAB, SAD vuông A • BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B • CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông D 2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC) 3) • BC ⊥ (SAB) ⇒ (·SC ,(SAB) ) = ·BSC • ∆SAB vuông A ⇒ SB = SA2 + AB = 3a2 ⇒ SB = a · • ∆SBC vuông B ⇒ tan BSC = BC = ⇒ ·BSC = 600 SB 4) Gọi O tâm hình vuông ABCD Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh ( (SBD),( ABCD)) = ·SOA • Ta có: (SBD) ∩ ( ABCD) = BD , SO ⊥ BD, AO ⊥ BD ⇒ · • ∆SAO vuông A ⇒ tan ·SOA = SA =2 AO Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi vuông góc OA = OB = OC = a, I trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC) 2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI) 3) Tính góc AB mặt phẳng (AOI) 4) Tính góc đường thẳng AI OB A K O C 1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1) • ∆OBC cân O, I trung điểm BC ⇒ OI ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI) 2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI) 3) • BC ⊥ (OAI) ⇒ (·AB,( AOI ) ) = ·BAI I • BI = B BC a = 2 • ∆ABC ⇒ AI = BC a a = = 2 ( ) AI · = ⇒ BAI = 300 ⇒ ·AB,( AOI ) = 300 AB 4) Gọi K trung điểm OC ⇒ IK // OB ⇒ (·AI , OB ) = (·AI , IK ) = ·AIK • ∆ABI vuông I ⇒ cos·BAI = • ∆AOK vuông O ⇒ AK = OA2 + OK = • AI = a2 • IK = a2 5a2 · • ∆AIK vuông K ⇒ cos AIK = IK = AI Câu Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông A, góc µB = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) (SBC) vuông góc với đáy; SB = a Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC) 1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC 3) Chứng minh: ∆BHK vuông 4) Tính cosin góc tạo SA (BHK) 1) S K H ( SAB ) ⊥ ( ABC )  ( SBC ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SB ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB  2) CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK) 3) Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vuông A H 4) Vì SC ⊥ (BHK) nên KH hình chiếu SA (BHK) B 600 Toán Tuyển Sinh Group C www.facebook.com/groups/toantuyensinh ⇒ (·SA,(BHK ) ) = (·SA, KH ) = ·SHK Trong ∆ABC, có: AC = AB tan µB = a 3; BC = AB + AC = a2 + 3a2 = 4a2 Trong ∆SBC, có: SC = SB + BC = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ SC = a ; SK = Trong ∆SAB, có: SH = SB a = SC SB a = SA 3a2 a 30 ⇒ HK = 10 10 HK 60 15 ⇒ cos ·SA,( BHK ) = cos·BHK = = = SH 10 Trong ∆BHK, có: HK = SH − SK = ( ) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a 1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD) ⊥ (SAD) 2) Tính góc SD (ABCD); SB (SAD) ; SB (SAC) 3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) 1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC) • CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD) 2) • Tìm góc SD mặt phẳng (ABCD) ( SD,( ABCD)) = ·SDA SA ⊥ (ABCD) ⇒ · S H A B O D tan ·SDA = C SA 2a = =2 AD a • Tìm góc SB mặt phẳng (SAD) AB ⊥ (ABCD) ⇒ (·SB,(SAD ) ) = ·BSA tan ·BSA = AB a = = SA 2a • Tìm góc SB mặt phẳng (SAC) BO ⊥(SAC) ⇒ (·SB,(SAC ) ) = ·BSO OB = OB a 3a , SO = ⇒ tan·BSO = = OS 2 3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = AH AH = SA + AD = 4a + a ⇒ AH = 2a 2a ⇒ d ( A,(SCD )) = 5 • Tính khoảng cách từ B đến (SAC) BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO = a 2 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ·BAD = 600 SA = SB = SD = a Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) S A H O B D C a) Vẽ SH ⊥ (ABCD) Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mặt khác ∆ABD có AB = AD ·BAD = 600 nên ∆ABD Do H trọng tâm tam giác ABD nên H ∈ AO ⇒ H ∈ AC  SH ⊂ (SAC ) Như vậy, SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( ABCD )  b) Ta có ∆ABD cạnh a nên có AO = a ⇒ AC = a Tam giác SAC có SA = a, AC = a a a2 AO = AC = ⇒ AH = 3 3 a 2 a2 Tam giác SHA vuông H có SH = SA2 − AH = a2 − = 3 2 2a 4a 4a a2 HC = AC = ⇒ HC = ⇒ SC = HC + SH = + = 2a 3 3 Trong ∆ABC, ta có: AH = SA2 + SC = a2 + 2a2 = 3a2 = AC ⇒ tam giác SCA vuông S c) SH ⊥ ( ABCD) ⇒ d (S,( ABCD )) = SH = a Câu Cho tam giác ABC vuông cân B, AB = BC= a , I trung điểm cạnh AC, AM đường cao ∆SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) I, lấy điểm S cho IS = a a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC) b) Xác định góc đường thẳng SB mp(ABC) c) Xác định góc đường thẳng SC mp(AMC) a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB • SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC) b) SI ⊥ (ABC) ⇒ (·SB,( ABC ) ) = ·SBI S M A I C B AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒ ·SBI = 450 ( SC,( AMC )) = ·SCM c) SB ⊥ (AMC) ⇒ · Tính SB = SC = a = BC ⇒ ∆SBC ⇒ M trung điểm SB ⇒ ·SCM = 300 Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 600 , đường cao SO = a Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh a) Gọi K hình chiếu O lên BC Chứng minh rằng: BC ⊥ (SOK) b) Tính góc SK mp(ABCD) c) Tính khoảng cách AD SB a) • AB = AD = a, ·BAD = 600 ⇒ ∆BAD ⇒ BD = a • BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK) b) Tính góc SK mp(ABCD) ( SK ,( ABCD)) = ·SKO • SO ⊥ (ABCD) ⇒ · S H D 60 A F C O B K a 1 a SO = + ⇒ OK = ⇒ tan·SKO = = 2 OK OK OB OC a • ∆BOC có OB = , OC = c) Tính khoảng cách AD SB • AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC )) • Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC) • Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC )) = AH • ∆CAH có OF đường trung bình nên AH = 2.OF • ∆SOK có OK = 1 a 57 a ⇒ AH = 2OF = 2a 57 = + ⇒ OF = , OS = a ⇒ 2 19 19 OF OS OK Câu 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác đều, SA ⊥ (ABC), SA= a M điểm cạnh AB, ·ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM a) Tìm quỹ tích điểm H M di động đoạn AB b) Hạ AK ⊥ SH Tính SK AH theo a ϕ a) Tìm quỹ tích điểm H M di động AB • SA ⊥ (ABC) ⇒ AH hình chiều SH (ABC) Mà CH ⊥ SH nên CH ⊥ AH • AC cố định, ·AHC = 900 ⇒ H nằm đường tròn đường kính AC nằm mp(ABC) K Mặt khác: + Khi M → A H ≡ A A ϕ C + Khi M → B H ≡ E (E trung điểm BC) E H Vậy quĩ tích điểm H cung ¼ AHE đường tròn M đường kính AC nằm mp(ABC) B b) Tính SK AH theo a ϕ • ∆AHC vuông H nên AH = AC.sin·ACM = a sin ϕ S • SH = SA2 + AH = a2 + a2 sin2 ϕ ⇒ SH = a + sin2 ϕ SA2 a SA = SK SH ⇔ SK = ⇔ SK = ∆ SAH • vuông A có SH + sin ϕ Câu 12 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh 1) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) DH = a 2) Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC D K A B I H C 1) CMR: BC ⊥ (ADH) DH = a ∆ABC đều, H trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI ⊥ (ABC) • AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân D, mặt khác I trung điểm AH nên DI ⊥ AH • BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI ⇒ DI ⊥ (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC • Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức HK ⊥ AD (1) Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2) Từ (1) (2) ta suy d ( AD , BC ) = HK • Xét ∆DIA vuông I ta có: a 3 a2 a DI = AD − AI = a −  = ÷ =  ÷   2 • Xét ∆DAH ta có: S = a a 1 AH DI = AD.HK ⇒ AH DI 2=a d ( AD, BC ) = HK = = 2 AD a · · Câu 13 Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, ·AOB = AOC = 60 , BOC = 900 a) Chứng minh ABC tam giác vuông b) Chứng minh OA vuông góc BC c) Gọi I, J trung điểm OA BC Chứng minh IJ đoạn vuông góc chung OA BC a) CMR: ∆ABC vuông • OA = OB = OC = a, ·AOB = ·AOC = 600 nên ∆AOB ∆AOC cạnh a (1) • Có ·BOC = 900 ⇒ ∆BOC vuông O BC = a (2) O I A C J B • ∆ABC có AB2 + AC = a2 + a2 = 2a2 = ( a ) = BC ⇒ tam giác ABC vuông A b) CM: OA vuông góc BC • J trung điểm BC, ∆ABC vuông cân A nên AJ ⊥ BC ∆OBC vuông cân O nên OJ ⊥ BC ⇒ BC ⊥ OAJ ⇒ OA ⊥ BC c) Từ câu b) ta có IJ ⊥ BC ∆ ABC = ∆OBC (c.c.c) ⇒ AJ = OJ (3) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh Từ (3) ta có tam giác JOA cân J, IA = IO (gt) nên IJ ⊥ OA Từ (3) (4) ta có IJ đoạn vuông góc chung OA BC (4) Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh BD ⊥ SC b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) c) Cho SA = a Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) S B A O D C a) ABCD hình vuông nên AC ⊥ BD SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD Từ (1) (2) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC (1) (2) b) BC ⊥ AB (ABCD hình vuông) SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC Từ (3) (4) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (SBC) (3) (4) c) SA ⊥ (ABCD) ⇒ hình chiếu SC (ABCD) AC · Góc SC mặt phẳng (ABCD) SCA a SA · ⇒ tan ( SC ,( ABCD ) ) = tan SCA = = = AC a · ⇒ SCA = 30 Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 3) Tính góc SC (ABCD) a) Chứng minh : BD ⊥ SC ,(SBD ) ⊥ (SAC ) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh • ABCD hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC • (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC) b) Tính d(A,(SBD)) • Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD) • AO = S a , SA = a ( gt ) ∆SAO vuông A nên = + = AH SA2 AO 6a2 6a2 a 78 ⇒ AH = ⇒ AH = 13 13 H O C D a2 = 13 6a2 c) Tính góc SC (ABCD) • Dế thấy SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu SC (ABCD) AC ⇒ góc SC (ABCD) ·SCA Vậy ta có: B A + tan ·SCA = SA a = = ⇒ ·SCA = 600 AC a uuur uuur Câu 16 Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG F uuur ur uuur uur uuur uur Đặt AB = e1 , AD = e2 , AE = e3 uuur uuur ur uuur uuur ur ur uur G E ur ur ur uur ⇒ AB.EG = e1 EF + EH = e1 e1 + e2 = e1 e1 + e1.e2 = a2 ( H ) ( ) Cách khác: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.EG = EF EG = EF EG cos ( EF , EG ) = a.a 2.cos 450 = a B C Câu A 17 Cho hình D chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) Gọi I, K hình chiếu vuông góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) c) Tính góc SC (SAB) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) S I K H B A O D Toán Tuyển Sinh Group C a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông • SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông D • SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ⇒ tam giác SAB SAD vuông A b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) • ∆SAB ∆SAD vuông cân A, AK ⊥ SA AI ⊥ SB www.facebook.com/groups/toantuyensinh nên I K trung điểm AB AD ⇒ IK//BD mà BD ⊥ (SAC) nên IK ⊥ (SAC) ⇒ (AIK) ⊥ (SAC) c) Tính góc SC (SAB) • CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu SC (SAB) SB ⇒ ( SC ,(SAB) ) = ( SC , SB ) = ·CSB • Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a ⇒ SB = a ⇒ tan·CSB = BC = SB d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD BD ⊥ (SAC) ⇒ AH ⊥ (SBD) ⇒ AH = SA ( + AO ) ⇒ d A, ( SBD ) = = a + a = a a ⇒ AH = a 3 Câu 18 Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA = a Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) Câu 6: a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) S • SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Vẽ AH ⊥ SI (1) BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2) H Từ (1) (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH • B A I AH = AI + SA2 = 9a + 3a2 = 16 9a2 ⇒ AH = 3a c) Tính góc (SBC) (ABC) • (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC , AI ⊥ BC , SI ⊥ BC ⇒·( (SBC ),( ABC ) ) = ¶SIA C a SA ¶ = ⇒¶SIA = 60 • tan SIA = IA = a S Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 600 , SO ⊥ (ABCD), SB = SD = C' a 13 Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh: B' (SOF) vuông góc (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) c) Gọi D ( α ) mặt phẳng qua AD vuông góc (SBC) Xác định thiết diện hình H C chóp bị cắtK ( α ) Tính góc ( α ) (ABCD) O E F Toán Tuyển Sinh Group A B a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC) • ∆CBD đều, E trung điểm BC nên DE ⊥ BC www.facebook.com/groups/toantuyensinh a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD) • SO ⊥ AC, SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA (1) E • OP ⊥ SA, OP ⊂ (PBD) (2) F D N Từ (1) (2) ta suy SA ⊥ (PBD) C P b) CMR: MN ⊥ AD • Đáy ABCD hình vuông nên OB = OC, mà OB M O OC hình chiếu NB NC (ABCD) ⇒ NB = NC ⇒ ∆NBC cân N, lại có M trung điểm BC (gt) B A ⇒ MN ⊥ BC ⇒ MN ⊥ AD (vì AD // BC) c) Tính góc SA mp (ABCD) • SO ⊥ (ABCD) nên AO hình chiếu SA (ABCD) Vậy góc SA mặt phẳng (ABCD) ·SAO S a AO cos·SAO = = = SA 2a uur 4uuuur uuur d) CMR: vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng • Gọi E, F trung điểm SD DC, dễ thấy EN, FM, FE đường trung bình tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC từ ta có M, M, E, F đồng phẳng uuur uur uuuur • MN ⊂ (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) ⇒ BD, SC , MN đồng phẳng Câu 24 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc với Gọi H chân đường cao vẽ từ A tam giác ACD a) Chứng minh: CD ⊥ BH b) Gọi K chân đường cao vẽ từ A tam giác ABH Chứng minh AK ⊥ (BCD) c) Cho AB = AC = AD = a Tính cosin góc (BCD) (ACD) a) AB ⊥ AC, AB ⊥ AD ⇒AB ⊥ (ACD) ⇒ AB ⊥ CD (1) AH ⊥ CD (2) Từ (1) (2) ⇒ CD ⊥ (AHB) ⇒ CD ⊥ BH b) AK⊥ BH, AK ⊥ CD (do CD ⊥ (AHB) (cmt) ⇒ AK⊥ (BCD) c) Ta có AH ⊥ CD, BH ⊥ CD ⇒ ( (BCD ),( ACD ) ) = ·AHB Khi AB = AC = AD = a AH = Toán Tuyển Sinh Group CD a = 2 www.facebook.com/groups/toantuyensinh BH = AB + AH = a2 + a2 a = 2 AH cos·AHB = = BH Câu 25 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC tam giác vuông C, CA = a, CB = b, mặt bên AA′B′B hình vuông Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈ AA′) a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK) b) Tính góc hai mặt phẳng (AA′B′B) (CHK) c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK) a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK) BC ⊥ AC , BC ⊥ AA′ ⇒ BC ⊥ (AA′C′C ) ⇒ BC ⊥ CK AB′ ⊥ A′ B, KH P A ' B ⇒ KH ⊥ AB ', CH ⊥ AB ' ⇒ AB ' ⊥ (CHK ) b) Tính góc hai mặt phẳng (AA′B′B) (CHK) CóAB ' ⊥ (CHK ), AB ' ⊂ ( AA ' B ' B) ⇒ ( AA ' B ' B) ⊥ (CHK ) (( AA ' B ' B),(CHK )) = 90 c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK) Ta đãcóAB ' ⊥ (CHK )(cmt ) taị H nên d ( A,(CHK )) = AH AC ⊥ BC (gt ), CC ' ⊥ AC (gt : lt ) ⇒ AC ⊥ (CC ' B ' B) ⇒ AC ⊥ CB ' AB = AC + BC = a2 + b , AB ' = AB = 2a + 2b Trong ∆ACB’ vuông taị C: CH ⊥ AB′ ⇒ AC = AH AB′ ⇒ AH = AC a2 a2 = = AB ' AB 2(a2 + b2 ) Câu 26 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = BC = a, AC = a a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′ b) Gọi M trung điểm AC Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′) c) Tính khoảng cách BB′ AC′ Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh a) Tam giác ABC có AB + BC = 2a = (a 2)2 = AC ⇒ ∆ABC vuông B ⇒ BC ⊥ AB, BC ⊥ BB '(gt ) ⇒ BC ⊥ (AA ' B ' B) ⇒ BC ⊥ AB ' b) Gọi M trung điểm AC Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′) *) Tam giác ABC cân B, MA = MC ⇒ BM ⊥ AC , BM ⊥ CC '(CC ' ⊥ ( ABC )) ⇒ BM ⊥ (AA ' C ' C ) BM ⊂ (BC ' M ) ⇒ ( BC ' M ) ⊥ ( ACC ' A ') c) Tính khoảng cách BB′ AC′ BB′ // (AA′C′C) ⇒ d (BB′ , AC′ ) = d (BB′ ,( AA′C′C )) = d (B,( AA′C ′C )) AC a BM ⊥ ( AA′C′C ) ⇒ d (B,( AA′C′C )) = BM = = 2 Câu 27 Cho hình vuông ABCD tam giác SAB cạnh a, nằm hai mặt phẳng vuông góc với Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh tam giác SAD vuông b) Xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung SD BC c) Gọi F trung điểm AD Chứng minh (SID) ⊥ (SFC) Tính khoảng cách từ I đến (SFC) a) Chứng minh tam giác SAD vuông (SAB) ⊥ ( ABCD ),(SAB) ∩ ( ABCD ) = AB, SI ⊥ AB ⇒ SI ⊥ ( ABCD )  AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ ∆SAD vuông A   AD ⊥ SI b) Xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung SD BC *) BC P AD ⇒ BC P (SAD ) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh  MN , BQ P AD  *) Gọi M,N,Q trung điểm cạnh SA, SD, BC ⇒  MN = BQ = AD  ⇒ MNQB hình bình hành ⇒ NQ P MB AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ MB mà BC//AD, NQ//MB nên BC ⊥ NQ AD ⊥ MB , MB ⊥ SA ⇒ MB ⊥ (SAD ) ⇒ MB ⊥ SD ⇒ NQ ⊥ SD Vậy NQ đoạn vuông góc chung BC SD Tam giác SAB cạnh a (gt) nên MB = a a ⇒ d (BC , SD ) = NQ = 2 Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC) b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC) c) Cho SA = a Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC) BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊂ (SBC ) ⇒ (SBC ) ⊥ (SAB) b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC) BD ⊥ AC , BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC ) a Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC hình chiếu SC (ABCD) · (·SC ,( ABCD) ) = (·SC, AC ) = SCA c) Cho SA = · tan SCA = SA a · · = = ⇒ ( SC ,( ABCD ) ) = SCA = 300 AC 3a Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) c) Tính góc SC mp (SAB) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông  SA ⊥ AB SA ⊥ ( ABCD ) ⇒  ⇒ tam giác SAD SAB vuông A  SA ⊥ AD CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông D  CD ⊥ SA  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B   BC ⊥ SA b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD)  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC )   BD ⊥ SA BD ⊂ (SBD ), BD ⊥ (SAC ) ⇒ (SAC ) ⊥ (SBD ) c) Tính góc SC mp (SAB) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ hình chiếu SC (ABCD) AC · ⇒ ϕ = (·SC ,( ABCD )) = (·SC , AC ) = SCA · ∆SAC vuông A nên , AC = a 2, SA = a ( gt ) ⇒ ϕ = SCA = 450 Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SD= a SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm SA SB a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD) (ABCD) c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông SA ⊥ AB SA ⊥ ( ABCD ) ⇒  ⇒ tam giác SAB, SAD vuông A SA ⊥ AD  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B  BC ⊥ SA  Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông D  CD ⊥ SA b) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD) (ABCD) (SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD AD ⊂ ( ABCD ), AD ⊥ CD , SD ⊂ (SCD ), SD ⊥ CD · ; ( (SCD),( ABCD) ) = SDA · cos SDA = AD a 21 = = SD a 7 c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND)  AB ⊥ SA  AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ (SAD ), MN P AB ⇒ MN ⊥ (SAD )  ⇒ ( MND ) ⊥ (SAD ), ( MND ) ∩ (SAD ) = DM , SH ⊥ DM ⇒ SH ⊥ ( MND ) ⇒ d (S ,( MND )) = SH SA2 = SD − AD = 7a2 − 3a2 = 4a2 ⇒ MA = · ⇒ AMH = 60 SA AD a · = a ⇒ tan SMH = = = AM a a · · ∆SHM : SHM = 90 ⇒ SH = SM sin SMH = Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a SA ⊥ (ABCD) Gọi E, F hình chiếu vuông góc A lên cạnh SB SD a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC) c) Tính tan ϕ với ϕ góc cạnh SC với (ABCD) a) Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD , CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD ) b) SA ⊥ ( ABCD ), SA = a , tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE đường trung bình tam giác SBD ⇒ FE P BD BD ⊥ AC ⇒ FE ⊥ AC , SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ FE ⊥ SA FE ⊥ (SAC ), FE ⊂ ( AEF ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( AEF ) · c) SA ⊥ ( ABCD ) nên AC hình chiếu SC (ABCD) ⇒ ϕ = SCA ⇒ tan ϕ = SA a = = ⇒ ϕ = 450 AC a 2 Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh SD a) Chứng minh MN // BD SC ⊥ (AMN) b) Gọi K giao điểm SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc c) Tính góc đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) SN SM = ⇒ MN P BD a) ∆SAD = ∆SAB , AN ⊥ SD, AM ⊥ SB ⇒ SD SB uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuur uuur uuur uur uuur SC AN = ( AC − AS ) AN = ( AD + AB − AS ) AN = AD AN + AB.AN − AS.AN uuur uur uuur uuur uuur = ( AD − AS ) AN = SD AN = ⇒ SC ⊥ AN uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuuur uuur uuur uur uuur SC AM = ( AC − AS ) AM = ( AD + AB − AS ) AM = AD AM + AB AM − AS AM uuur uur uuur uuur uuur = ( AB − AS ) AM = SD AM = ⇒ SB ⊥ AM Vậy SC ⊥ ( AMN ) b) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD , AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ BD ⊥ AK ⊂ (SAC ) AK ⊂ ( AMN ) ,MN // BD ⇒ MN ⊥ AK c) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC hình chiếu SC (ABCD) ⇒ ( SC ,( ABCD ) ) = ·SCA tan ·SCA = SA a = = ⇒ ( SC ,( ABCD ) ) = 450 AC a Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, đường cao SO = a Gọi I trung điểm SO a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD a) Gọi M, N lân lượt trung điểm CD CB S.ABCD hình chóp tứ giác nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOM) Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD) (*) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh I trung điểm SO, H trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD) (**) OK 1 a a = + = ⇒ OK = ⇒ d (I ,(SCD )) = IH = 2 2 OK OM SO 3a b) ∆SMC = ∆SNC (c.c.c) ⇒ MQ ⊥ SC ⇒ NQ ⊥ SC · (SCD ) ∩ (SCB) = SC ⇒ ((SCD ),(SCB)) = MQN Từ (*) (**) ta suy IH = SM = OM + SO = a2 + 3a = 4a 1 1 4a2 = + = + = ⇒ MQ = ∆SMC : MQ MS MC 4a a2 4a MQ + NQ − MN · · ⇒ cos MQN = = − ⇒ MQN = 120 MQ.NQ c) AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD) Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD có OP⊥ AC 1 1 a 30 = + = + = ⇒ d ( AC , BD ) = OP = 2 OP SO OD 3a 2a 6a Câu 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a a) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (ABC) c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a) Tam giác ABC đều, M ∈ BC , MB = MC ⇒ AM ⊥ BC (1) ∆SAC = ∆SAB ( c.g.c ) ⇒ ∆SBC cân S ⇒ SM ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ (SAM) b) (SBC) ∩ (ABC) = BC, SM ⊥ BC ( cmt ) , AM ⊥ BC · ⇒ ((SBC ),( ABC )) = SMA AM = a SA · , SA = a ( gt ) ⇒ tan SMA = =2 AM c) Vì BC ⊥ (SAM) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM) (SBC ) ∩ (SAM ) = SM , AH ⊂ (SAM ), AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ (SBC ) ⇒ d ( A,(SBC )) = AH , Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh 3a 1 SA AM =a = 2+ ⇒ AH = ⇒ AH = 2 AH SA AM SA + AM 3a2 3a + 2 3a2 Câu 35 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA vuông góc với đáy a) Chứng minh tam giác SBC vuông b) Gọi H chân đường cao vẽ từ B tam giác ABC Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH) c) Cho AB = a, BC = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) a) SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt)⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Vậy tam giác SBC vuông B b) SA ⊥ (ABC) ⇒ BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC) BH ⊂ (SBH) ⇒ (SBH) ⊥ (SAC) c) Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) ⇒ d (B,(SAC )) = BH 1 = + 2 BH AB BC AB BC 2 10 BH = = ⇒ BH = 2 5 AB + BC Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a Gọi M, N trung điểm BC SO Kẻ OP vuông góc với SA a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD) b) CMR: MN ⊥ AD c) Tính góc SA vàuur mpuuuu (ABCD) uuur r d) CMR: vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng S E P D N F M O A C B Toán Tuyển Sinh Group a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD) • SO ⊥ AC, SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA (1) • OP ⊥ SA, OP ⊂ (PBD) (2) Từ (1) (2) ta suy SA ⊥ (PBD) b) CMR: MN ⊥ AD • Đáy ABCD hình vuông nên OB = OC, mà OB OC hình chiếu NB NC (ABCD) ⇒ NB = NC www.facebook.com/groups/toantuyensinh S ⇒ ∆NBC cân N, lại có M trung điểm BC (gt) ⇒ MN ⊥ BC ⇒ MN ⊥ AD (vì AD // BC) c) Tính gócHgiữa SA mp (ABCD) • SO ⊥ (ABCD) nên AO hình chiếu SA (ABCD) B Vậy góc SA mặt phẳng (ABCD) ·SAO A a AO cos·SAO = C = = SA 2a uur 4uuuur uuur d) CMR: vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng O D • Gọi E, F trung điểm SD DC, dễ thấy EN, FM, FE đường trung bình tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC từ ta có M, M, E, F đồng phẳng uuur uur uuuur • MN ⊂ (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) ⇒ BD, SC , MN đồng phẳng Câu 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC 3) Tính góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD) 1) CMR: (SAB) ⊥ (SBC) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SAB) ⊥(SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC • Trong tam giác SAC có AH ⊥ SC • d ( A, SC ) = AH ⇒ ⇒ AH = 1 2 = 2+ = 2+ = 2 AH SA OA 3a a 3a a 3) Tính góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD) • Vì ABCD hình vuông nên AO ⊥ BD, SO ⊥ BD · • (SBD) ∩ ( ABCD ) = BD ⇒ ((SBD ),( ABCD )) = SOA a SA · = = ⇒ ( (SBD ),( ABCD ) ) = 60 • Tam giác SOA vuông A ⇒ tan SOA = OA a 2 Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB), (SAC) vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân C AC = a, SA = x a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC) b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB) d) Xác định đường vuông góc chung SB AC Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC) • (SAB) ⊥ (ABC) SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥(ABC) ⇒ AB hình chiếu SB (ABC) SA x · · ⇒ ( SB,( ABC ) ) = ( SB, AB ) = ·SBA ⇒ tan ·SBA = = AB a • BC ⊥ AC, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC) ⇒ SC hình chiếu SB (SAC) BC a · · · · ⇒ ( SB,(SAC ) ) = ( SB, SC ) = BSC ⇒ tan BSC = SC = 2 a +x b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Theo chứng minh ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC) • Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAC) Vậy AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A,(SBC )) = AH • AH = SA2 + AC = x2 + a2 ⇒ AH = ax x + a2 c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB) Gọi K trung điểm BH ⇒ OK // AH ⇒ OK ⊥ (SBC) OK = ⇒ d (O,(SBC ) = OK = ax x + a2 AH d) Xác định đường vuông góc chung SB AC • Dựng mặt phẳng (α) qua AC vuông góc với SB P ⇒ CP⊥ SB AP ⊥ SB • Trong tam giác PAC hạ PQ ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ SB SB ⊥ ( PAC) Như PQ đường vuông góc chung SB AC Câu 39 1) CMR phương trình sau có nghiệm: x − 10 x = 2) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 300 Tính chiều cao hình chóp 1) Xét hàm số f ( x ) = x − 10 x − ⇒ f ( x ) liên tục R • f (−1) = 1, f (0) = −7 ⇒ f (−1) f (0) < nên PT f ( x ) = có nghiệm c1 ∈(–1; 0) • f (3) = −10, f (4) = 17 ⇒ f (3) f (4) < nên PT f ( x ) = có nghiệm c2 ∈ ( 3; ) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh • mà c1 ≠ c2 nên phương trình cho có nghiệm thực 2) • S • Hình chóp S.ABCD chóp tứ giác nên chân đường cao SO hình chóp O = AC ∩ BD Đáy hình vuông cạnh a nên AC = a ⇒ OC = D C O A • a 2 a · , SCO = 30 a a ⇒ SO = OC.tan·SCO = = ∆SOC vuông O, có OC = B Câu 40 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) DH = a 2) Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC D K A B I H C 1) CMR: BC ⊥ (ADH) DH = a ∆ABC đều, H trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI ⊥ (ABC) • AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân D, mặt khác I trung điểm AH nên DI ⊥ AH • BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI ⇒ DI ⊥ (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC • Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức HK ⊥ AD (1) Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2) Từ (1) (2) ta suy d ( AD , BC ) = HK • Xét ∆DIA vuông I ta có: a 3 a2 a DI = AD − AI = a −  = ÷ =  ÷   2 a a 1 AH DI • Xét ∆DAH ta có: S = AH DI = AD.HK ⇒ 2=a d ( AD, BC ) = HK = = 2 AD a Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 600 , SO ⊥ (ABCD), SB = SD = a 13 Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) c) Gọi ( α ) mặt phẳng qua AD vuông góc (SBC) Xác định thiết diện hình chóp bị cắt ( α ) Tính góc ( α ) (ABCD) Câu 6: S C' B' D H K C O (SOF ) ∩ ( SBC ) = SF , OH ⊥ SF ⇒ OH ⊥ (SBC ) ⇒ d (O,(SBC )) = OH E F A a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC) • ∆CBD đều, E trung điểm BC nên DE ⊥ BC • ∆BED có OF đường trung bình nên OF//DE, DE ⊥ BC ⇒ OF ⊥ BC (1) • SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (SOF) Mà BC ⊂ (SBC) nên (SOF) ⊥(SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) • Vẽ OH ⊥ SF; (SOF) ⊥ (SBC), • B OF SO = SB − OB2 ⇒ SO = ⇒ OH = SO + OF ⇒ OH = a , a= 2 = 3a 3a • Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K ∈ CH ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ d ( A,(SBC )) = AK 3a 3a ⇒ d ( A,(SBC )) = 4 AD ⊂ ( α ), ( α ) ⊥ ( SBC ) ⇒ ( α ) ≡ ( AKD ) c) • AK = 2OH ⇒ AK = • Xác định thiết diện Dễ thấy K ∈ (α ), K ∈ (SBC ) ⇒ K ∈ (α) ∩ (SBC) Mặt khác AD // BC, AD ⊂ (SBC ) nên (α ) ∩ (SBC ) = ∆ ⇒ K ∈ ∆, ∆ P BC Gọi B ' = ∆ ∩ SB, C ' = ∆ ∩ SC ⇒ B′C′ // BC ⇒ B′C′ // AD Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD bị cắt bời (α) hình thang AB’C’D • SO ⊥ (ABCD), OF hình chiếu SF (ABCD) nên SF ⊥ BC ⇒ SF ⊥ AD (*) SF ⊥ OH , OH P AK ⇒ SF ⊥ AK • (**) • Từ (*) (**) ta có SF ⊥ (α) • SF ⊥ (α), SO ⊥ (ABCD) ⇒·( (α ),( ABCD ) ) =·(SF , SO ) = ·OSF a OF = = • tan ·OSF = ⇒·( (α ),( ABCD ) ) = 300 3a SO Câu 42 Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA = a Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC) a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI) • SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ (SBC) ⊥ (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) • Vẽ AH ⊥ SI (1) BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH S H • B A I AH = AI + SA = 9a + 3a = 16 9a ⇒ AH = 3a c) Tính góc (SBC) (ABC) • (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC , AI ⊥ BC , SI ⊥ BC ⇒·( (SBC ),( ABC ) ) = ¶SIA C a SA ¶SIA = = ⇒¶SIA = 60 tan = • IA a Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, OB = SO ⊥ ( ABCD ) , SB = a a) Chứng minh: ∆SAC vuông SC vuông góc với BD b) Chứng minh: (SAD ) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD ) a , c) Tính khoảng cách SA BD a) • Chứng minh: ∆SAC vuông S + SO = SB − OB2 = a2 − H + OA = OC = BC − OB = a2 − 3a = a = SO I ⇒ tam giác SAC vuông S K A B O D 3a2 6a a ⇔ SO = ⇔ SO = 9 C • Chứng minh SC ⊥ BD BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC b) • Chứng minh: (SAD) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD) Gọi H trung điểm SA SA = OA = 2a SA a ⇒ OH = = 3 ⇒ OH = OB = OD ⇒ ∆HBD vuông H ⇒ DH ⊥ BH (1) • ∆SOA vuông cân O, H trung điểm SA ⇒ OH ⊥ SA (2) • SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD, mặt khác AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ SA ⊥ BD (3) • Từ (2) (3) ta suy SA ⊥ (HBD) ⇒ SA ⊥ HD (4) Từ (1) (4) ta suy DH ⊥ (SAB), mà DH ⊂ (SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB) • Gọi I trung điểm SC dễ thấy OI = OH = OB = OD ⇒ ∆IBD vuông I ⇒ ID Toán Tuyển Sinh Group www.facebook.com/groups/toantuyensinh ⊥ BI (5) 2 • SD = SO + OD = 6a + 3a = a = CD ⇒ ∆DSC cân D, IS = IC nên ID ⊥ SC 9 (6) Từ (5) (6) ta suy ID ⊥ (SBC), mà ID ⊂ (SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD) c) Tính khoảng cách SA BD OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên d (SA, BD ) = OH = a Câu 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) Gọi I, K hình chiếu vuông góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) c) Tính góc SC (SAB) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác S vuông • SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B I • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt) K ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông D H • SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD B ⇒ tam giác SAB SAD vuông A A b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK) O • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) D C • ∆SAB ∆SAD vuông cân A, AK ⊥ SA AI ⊥ SB nên I K trung điểm AB AD ⇒ IK//BD mà BD ⊥ (SAC) nên IK ⊥ (SAC) ⇒ (AIK) ⊥ (SAC) c) Tính góc SC (SAB) • CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu SC (SAB) SB ⇒ ( SC ,(SAB) ) = ( SC , SB ) = ·CSB • Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a ⇒ SB = a ⇒ tan·CSB = BC = SB d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD BD ⊥ (SAC) ⇒ AH ⊥ (SBD) ⇒ AH ( = + SA2 AO ) ⇒ d A, ( SBD ) = Toán Tuyển Sinh Group = a2 + a2 = a2 ⇒ AH = a a 3 www.facebook.com/groups/toantuyensinh