Toán 11 đề thi , đáp án học sinh giỏi các trường chuyên, trường chuyên HDC phu tho

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11 Câ u Nội dung cần đạt Điểm Điều kiện: x ≥ −1 Nhận thấy x = −1 nghiệm phương trình Xét x > −1 Khi phương trình cho tương đương với ( ) ( x +1 − + ) x + − = x − x − x − 12 4( x − 3) 4( x − 3) + = ( x − 3)( x + x + 4) x +1 + 2x + + 4   ⇔ ( x − 3)  + − ( x + 1)2 − ÷ = (1) 2x + +  x +1 +  4 + < 3, Vì x > −1 nên x + > x + > Suy x +1 + 2x + + ⇔ 4 + − ( x + 1)2 − < x +1 + 2x + + Do phương trình (1) ⇔ x − = ⇔ x = 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 x = Từ cách xác định dãy ( an ) , dễ dàng suy an > 0, ∀n ≥ a = L , từ hệ thức truy Giả sử n → +∞ dãy ( an ) có giới hạn hữu hạn, đặt lim n→+∞ n hồi cho, suy L nghiệm không âm phương trình 2x + x= ⇔ x3 − x − = (1) 4x Khảo sát hàm số f ( x ) = x − x − ¡ , ta thấy phương trình (1) có nghiệm ¡ Vì f ( x ) hàm số liên tục ¡ f ( ) f ( ) = −25 < nên < L < (2) Ta chứng minh a2 n−1 < a2 n+1 , ∀n ≥ 248 = a3 , khẳng định với n = Ta có a1 = < 49 Giả sử khẳng định với n từ đến k, ta chứng minh a2 k+1 < a2 k+3 3 + > + = a2 k+ Thật vậy, ta có a2 k = 2a2 k−1 4a2 k−1 2a2 k+1 4a2 k+1 3 + < + = a2 k+3 Suy a2 k+1 = 2a2 k 4a2 k a2 k+ a2 k+ Do theo nguyên lý Quy nạp khẳng định chứng minh 1 1 Như ta có = a1 < a3 < L < a2 n+1 < L , chứng tỏ dãy ( a2 n+1 ) dãy tăng bị chặn , từ suy L ≥ , mâu thuẫn với (2) Vậy n → +∞ dãy ( an ) giới hạn hữu hạn K A Q D P H O B C Gọi K giao điểm BD ( O ) , K ≠ B Q giao điểm CK PD Theo định lý bướm, suy D trung điểm đoạn PQ Mặt khác D trung điểm HK , tứ giác PHQK hình bình hành Suy ∠DHP = ∠HKQ Mà ∠HKQ = ∠BAC, ∠DHP = ∠BAC Giả thiết cho viết lại dạng ( x2 − x ) ( P ( x + ) + x + ) = ( x + x + ) ( P ( x ) + x ) , ∀x ∈ ¡ Lần lượt thay x = 0, x = 1, x = −3 vào ( 1) suy Q ( ) = 0, Q ( 1) = 0, Q ( −1) = Đặt P ( x ) + x = Q ( x ) , ta có x ( x − 1) Q ( x + ) = ( x + ) ( x + 3) Q ( x ) , ∀x ∈ ¡ 1 ( 1) Suy Q ( x ) = x ( x − 1) ( x + 1) H ( x ) , với H ( x ) ∈ ¡  x  Khi ( 1) trở thành x ( x − 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + 3) H ( x + ) = ( x + ) ( x + 3) x ( x − 1) ( x + 1) H ( x ) , ∀x ∈ ¡ Suy H ( x + ) = H ( x ) , ∀x ≠ −3, −2, −1, 0,1 Do H ( x + ) = H ( x ) , ∀x ∈ ¡ Suy H ( x ) = c, với c số Từ ta thu P ( x ) = cx ( x − 1) ( x + 1) − x = cx − ( c + 1) x, ∀x ∈ ¡ Thử lại P ( x ) = cx − ( c + 1) x thỏa mãn toán *) Ta thấy cặp ( x; y ) = ( 1; t ) , t ∈ ¢ thỏa mãn toán *) Xét x ≠ Phương trình viết lại dạng y ( y − ) ( y3 + y + y + ) = x11 − x −1 ( 1) x11 − p Gọi ước nguyên tố , suy p| x11 − x −1 Gọi h = ordp ( x ) , suy h|11 ⇒ h ∈ { 1,11} - Nếu h = x ≡ 1( mod 11) Vì p| x10 + x9 + L + x + nên p|11 suy p = 11 (2) - Nếu h = 11 từ x p−1 − 1Mp suy p ≡ 1( mod 11) (3) x11 − p Vì ước nguyên tố nên từ (2), (3) suy với ước số d x −1 x11 − có tính chất d ≡ hoÆc 1( mod 11) (4) x −1 x11 − Từ (1) suy y, y − vµ y + y + y + ước số (5) x −1 x11 − Vì y, y − 2| nên suy y ≡ 0,1, hoÆc ( mod 11) x −1 - Nếu y ≡ ( mod 11) y + y + y + ≡ ( mod 11) , trái với (4), (5) - Nếu y ≡ 1( mod 11) y + y + y + ≡ ( mod 11) , trái với (4), (5) - Nếu y ≡ ( mod 11) y + y + y + ≡ ( mod 11) , trái với (4), (5) - Nếu y ≡ ( mod 11) y + y + y + ≡ ( mod 11) , trái với (4), (5) Từ trường hơp trên, suy phương trình (1) vô nghiệm Vậy tất nghiệm phương trình cho ( x; y ) = ( 1; t ) víi t ∈ ¢ Giáo viên làm đáp án Đào Mạnh Thắng SĐT: 0919 686 359 1