Toán 11 đề thi , đáp án học sinh giỏi các trường chuyên, trường chuyên HDC hai phong

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG Trường THPT Chuyên Trần Phú KỲ THI HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI BẮC BỘ Năm học 2014 – 2015 ĐÁP ÁN ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN 11 Bài 1: Rõ ràng xyz = hệ có nghiệm ( 0;0;0 ) (1) Xét xyz ≠ x + 3x y = y ⇔ x = ( − 3x Khi x ≥ y= ) 1 y ⇔ =  ÷ − 3× y x x 1 π  ,α ∈ [ 0;π ] \   , đặt x = 2cos α 2 1 ,z = ,x = 2cos3α 2cos9α 2cos 27α k1π  α = 13 , k1 ∈ { 0;1; ;13} Nên cos 27α = cos α ⇔ 27α = ±α + k 2π ⇔  α = k2π , k ∈ { 1;2; ;13} \ { 7}  14 (2) Ngoài rõ ràng hệ có tối đa 27 nghiệm nên (1) (2) tất nghiệm hệ Bài 2: n2 ≤ un ≤ n + ∀n Ta chứng minh quy nạp n +1 Rõ ràng khẳng định với u1 k2 ( k + 1) ≤ u ≤ k + ≤ uk ≤ k + , ta chứng minh Giả sử có k +1 k +1 k+2 Thật uk ≤ k + ⇒ uk +1 ( k + 1) ≥ k+2 k2 ( k + 1) = k + − ≤ k + uk ≥ ⇒ uk +1 ≤ k k +1 k2 + k +1 +1 k +1 Vậy ta có n2 u ≤ un ≤ n + ∀n ⇒ lim n = n →+∞ n n +1 Bài 3: Phép vị tự tâm E biến (O) thành (O’) biến B C thành D nên B, D, E thẳng hàng Tương tự A, D, F thẳng hàng E Gọi AE ∩ BF = C , D trực tâm tam giác P ABC nên CD ⊥ AB ⇒ CD ≡ d M Gọi AC ∩ ( O ' ) = M , CD ∩ AB = N , CD ∩ EF = P Khi O’ trung điểm DM ( C , D, N , P ) = −1 Ta có A AM PC O ' D ND PC × × =− × = AC PD O ' M NC PD Do theo Menelaus cho tam giác CDM suy A, O’, P thẳng hàng Tương tự suy điều phải chứng minh Bài 4: k Đặt P ( x ) = ak x + Q ( x ) , ak ≠ 0,deg Q ( x ) < deg P ( x ) P ( n)  P( x) = ak ⇒ lim  k  = ak k x →+∞ x n→+∞ n Khi lim -) Nếu k = ⇒ Loại O' O D N F O" B -) Nếu k > ⇒ nlim →+∞ VT nk k = k VP = a , lim k = 2ak ⇒  k +1 ⇒ Loại n →+∞ n a = a  k k k +1 k VT VP = a12 − 1, lim = 2a1 ⇒ a12 − 2a1 − = ⇒ a1 = ± n →+∞ n n →+∞ n -) Nếu k = ⇒ lim ( ) -) Nếu P ( x ) = − x ( )( ) ( ) Đẳng thức  −  − n   − n + =  − n  sai n =   ( ) -) Nếu P ( x ) = + x Chứng minh đẳng thức α [ α n ]  − n + = [ α n ] với α − 2α − = 0,α > Thật vậy, xét α [ α n ] − n + − [ α n ] = ( α − ) [ α n ] − n + = ⇒0